2020-2021中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題題庫(kù)∶直角三角形的邊角關(guān)系的綜合題附答案解析

1、2020-2021中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題題庫(kù)：直角三角形的邊角關(guān)系的綜合題附答案解析一、直角三角形的邊角關(guān)系1.如圖，山坡上有一棵樹(shù)AB,樹(shù)底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為6J3米，山坡的坡角為30.小寧在山腳的平地F處測(cè)量這棵機(jī)勺高， 點(diǎn)C到測(cè)角儀EF的水平距離CF=1米,從E處測(cè)得樹(shù)頂部A的仰角為45,樹(shù)底部B的仰角為20,求樹(shù)AB的高度.(參考數(shù)值：sin200,34:os20=0.94tan20=0.3.【答案】6.4米【解析】解：二,底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的距離BC為63米，山坡的坡角為30. .DC=BC?cos306A/39米,2,.CF=1米, .DC=9+1=10米， .GE=10米， /A

2、EG=45； .AG=EG=10米，在直角三角形BGF中,BG=GF?tan20=10 x0.36*6AB=AG-BG=10-3.6=6.4米,答：樹(shù)高約為6.4米首先在直角三角形BDC中求得DC的長(zhǎng)， 然后求得DF的長(zhǎng)， 進(jìn)而求得GF的長(zhǎng)， 然后在直角三角形BGF中即可求得BG的長(zhǎng)，從而求得樹(shù)高2.如圖，某無(wú)人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B、D的俯角分別是3060，此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度AC為60m,隨后無(wú)人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30J3m到達(dá)A處.(1)求A、B之間的距離(2)求從無(wú)人機(jī)A上看目標(biāo)D的俯角的正切值.【答案】(1)120米；(2)冬亙5解直角三角形即可得到結(jié)論；過(guò)A作AEBC交BC的延

3、長(zhǎng)線于DC=3AC=20,3,然后根據(jù)三角函數(shù)的定義3即可得到結(jié)論.【詳解】解：(1)由題意得：/ABD=30,/ADC=60,在RtABC中，AC=60m,在RtAABC中，AC=60m,/ADC=60,八3八-DC=-AC=20.3DE=50,3AE602工tanZAAD=tan/ADC=尸=一13DE50.35【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵3 .如圖，海上觀察哨所B位于觀察哨所A正北方向，距離為25海里.在某時(shí)刻，哨所A與哨所B同時(shí)發(fā)現(xiàn)一走私船，其位置C位于哨所A北偏東53。的方向上，位于哨所B南偏東37。的方向上.(1)求觀察哨所A與走私船所

4、在的位置C的距離；(2)E,連接AD,于是得到AEAC60,CEAA30J3,在RtABC中，求得60AB=1=120(m)sin30-2過(guò)A作AE則AEAC60,BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接AD,CEAA30有,DC2-答：從無(wú)人機(jī)A上看目標(biāo)D的俯角的正切值是一，3.5(2)若觀察哨所A發(fā)現(xiàn)走私船從C處以16海里/小時(shí)的速度向正東方向逃竄，并立即派緝私艇沿北偏東76。的方向前去攔截.求緝私艇的速度為多少時(shí)，恰好在D處成功攔截.(結(jié)果保留根號(hào))(參考數(shù)據(jù)：sin37=cos53產(chǎn)cos37=sin53格tan37【答案】(1)觀察哨所 A A 與走私船所在的位置C的距離為15海里；(2)當(dāng)緝私

5、艇以每小時(shí)6折海里的速度行駛時(shí)，恰好在D處成功攔截經(jīng)檢驗(yàn)，v6折是原方程的解.答：當(dāng)緝私艇以每小時(shí)6J17海里的速度行駛時(shí)，恰好在D處成功攔截.t2tan76r【解析】【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出AC即可;(2)過(guò)點(diǎn)C作CMLAB于點(diǎn)M,CM、AM,解RtAAMD中，求出/ACB=90,再解RtABC,利用正弦函數(shù)定義得出易知，D、C、M在一條直線上.解RtAAMC,求出DM、AD,得出CD.設(shè)緝私艇白速度為x海里/小時(shí)，根據(jù)走私船行駛CD所用的時(shí)間等于緝私艇行駛【詳解】AD所用的時(shí)間列出方程,解方程即可.(1)在ABC中，ACB180BAC180375390.AC在RtVABC中

6、，smB所以AB答：觀察哨所 A A 與走私船所在的位置(2)過(guò)點(diǎn)C作CMAB,垂足為AC3ABsin37255C的距離為15海里.由題意易知,D、C、15(海里).在一條直線上.在RtVACM中,CMACsinCAM41512,5AMACcosCAM9.在RtAADM中,tanDAM罌所以MDAMtan7636.所以ADAM2MD2.92362設(shè)緝私艇的速度為v海里/小時(shí)，則有24169-17,CDMD917,解得vvMC24.6.17.若CF=aCD(a0)時(shí)，試猜想sin/CAB的值.(用含a的代數(shù)式表示,果)直接寫(xiě)出結(jié)【答案】(1)AE=CE(2)【解析】試題分析：(1)連接AE、DE

7、,如圖AD=DC,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得1,根據(jù)圓周角定理可得/ADE=/ABE=90,由于AE=CE(2)連接AE、ED,如圖2,由/ABE=90可得AE是。的直徑，根據(jù)切線的性質(zhì)可得/AEF=90從而可證到AD&4AEF,然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得W=AD?AF.當(dāng)CF=CD時(shí)，可得,從而有EC=AE、*CD,在RtDEC中運(yùn)用三角函數(shù)可得DCsin/CED=*，根據(jù)圓周角定理可得/CAB=/DEC即可求出sin/CAB的值；當(dāng)【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想.4 .已知Rt

8、ABC中，AB是。的弦，斜邊AC交。于點(diǎn)D,且AD=DC,延長(zhǎng)CB交。O是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長(zhǎng)？請(qǐng)說(shuō)若CF=CD時(shí)，求E作。的切線，交sin/CAB的值;AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)E五個(gè)點(diǎn)中,C圖:CF=aCD(a0)時(shí)，同即可解決問(wèn)題.試題解析：(1)AE=CE理由：連接AE、DE,如圖1,./ABC=90,./ABE=90,./ADE=/ABE=90,AD=DQ.AE=CE(2)連接AE、ED,如圖2,/ABE=90,AE是。的直徑，:EF是。OO的切線,AEAD/AEF=90，/ADE=ZAEF=90又一/DAE=ZEAF.=AD?AF.當(dāng)CF=CD時(shí)，AD=

9、DC=CFAF=3DC,.1.j4&2=DC?3DC=fp2,.AEADC,EC=AEDCDCLH.EC=?DC,.sinZCAB=sinZCED=;=*=：*；當(dāng)CF=aCD(a0)時(shí)，sin/CAB=+2.CF=aCDAD=DC,.AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,./%DC?(a+2)DC=(a+2)心,.AE=V。+2DC,EC=AEECH+2DC,圖1考點(diǎn)：1.圓的綜合題；2.探究型；3.存在型.5.已知：如圖，在RtAABC中，/ACB=90,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，MD/BC,且MD=CM,DELAB于點(diǎn)E,連結(jié)AD、CD.(1)求證：MEDSBCA；(2)求證：AM

10、DCMD;17設(shè)4MDE的面積為Si,四邊形BCMD的面積為當(dāng)S2=S時(shí)，求cos/ABC的AADEAAEF,(3)DCocL.znrz5值.5【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）cos/ABC=5.7【解析】【分析】（1）易證/DME=/CBA/ACB=/MED=90,從而可證明MEDsBCA;（2）由ZACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn)，可知MB=MC=AM,從而可證明ZAMD=ZCMD,從而可利用全等三角形的判定證明AMD0CMD;一SMD21(3)易證MD=2AB,由(1)可知：MEDSBCA,所以二,所以SVACBAB41281ME，一一SAMCB=-SAACB=28I

11、,從而可求出SAEBC=82-SMCB-81=8I,由于,從而可25SVEBDEB知ME5,設(shè)ME=5x,EB=2x,從而可求出AB=14x,BC=7,最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的EB22定義即可求出答案.(1).MD/BC,/DME=ZCBA/ACB=ZMED=90；.MEDsBCA；(2)/ACB=90，點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn),MB=MC=AM,/MCB=ZMBC, /DMB=ZMBC,/MCB=ZDMB=ZMBC, /AMD=180-/DMB,/CMD=180-/MCB-/MBC+ZDMB=180-/MBC,/AMD=ZCMD,AMD與ACMD中，BDMDMDAMDCMD,AMCM.AMDACM

12、D(SAS;(3)MD=CM,，AM=MC=MD=MB, .MD=2AB,由（1）可知：MEDSBCA,2SMD1SVACBAB4SAACB=4SI,.CM是AACB的中線,C1SAMCB=SAACB=2SI,22_SAEBD=S2SAMCBSI=SI,5MEEB設(shè)ME=5x,EB=2x,.MB=7x,.AB=2MB=14x,MDME1ABBC2 .BC=10 x,BC10 x5cos/ABC=-AB14x7【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問(wèn)題，涉及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積的面積比，銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，綜合程度較高，熟練掌握和靈

13、活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)及定理進(jìn)行解題是關(guān)鍵k-6.如圖，反比例函數(shù)yk0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象相交于xA A(1,a),B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在第四象限，CA/y y 軸，ABC90.(1)求k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)求tanC的值.SSVEBDMEEBSI-MEEB，【答案】(1)k2,B1,2；(2)2.【解析】【分析】(1)先根據(jù)點(diǎn)A在直線y=2x上，求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A在反比例函數(shù)kyk0的圖象上，利用待定系數(shù)法求得k的值，再根據(jù)點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可x求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)作BH,AC于H,設(shè)AC交X軸于點(diǎn)D,根據(jù)ABC90,BHC90，可得CABH,再由已知可得AODABH,從而得

14、CAOD,求出tanC即可.【詳解】(1),一點(diǎn) A A(1,a a)在y2x上， a=2,A(1,2),k把 A A(1,2)代入y得k2,xk 反比例函數(shù)y-k0的圖象與正比例函數(shù)y2x的圖象交于 A A，B B 兩點(diǎn)，x ABAB 兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱(chēng)，B1,2；(2)作BHIAC于H,設(shè)AC交x軸于點(diǎn)D,ABC90,BHC90,CABH,CA/y y 軸，BH/x軸，AODABH,.CAOD,AD2tanCtanAOD-2.OD1【點(diǎn)睛】本題考查了反比例與一次函數(shù)綜合問(wèn)題，涉及到待定系數(shù)法、中心對(duì)稱(chēng)、三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵，(2)小題求出/C=/AOD是關(guān)

15、鍵.of次-1 ：HAH7.在RtACB和4AEF中，/ACB=/AEF=90,若點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，連接PC,PE.特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1,若點(diǎn)E、F分別落在邊AB,AC上，則結(jié)論：PC=PE成立(不要求證明).問(wèn)題探究：把圖1中的4AEF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).(1)如圖2,若點(diǎn)E落在邊CA的延長(zhǎng)線上，則上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖3,若點(diǎn)F落在邊AB上，則上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)記=k,當(dāng)k為何值時(shí)，CPE總是等邊三角形？(請(qǐng)直接寫(xiě)出后的值，不必說(shuō))BC【答案】1PCPE成立2,PCPE成立3當(dāng)k為Y3時(shí)，VCPE

16、總是等邊三3角形【解析】【分析】(1)過(guò)點(diǎn)P作PMLCE于點(diǎn)M,由EFAE,BCAC,得到EF/MP/CB,從而有EMFP一口，一，再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，可得EM=MC,據(jù)此得到PC=PEMCPB(2)過(guò)點(diǎn)F作FDAC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD,先證DAF0EAF,即可得出AD=AE;再證DAPEAP,即可得出PD=PE最后根據(jù)FDAC,BCAC,PM，AC,可得FD/BC/PM,再根據(jù)點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，推得PC=PD再根據(jù)PD=PE即可得到結(jié)論.(3)因?yàn)?CPE總是等邊三角形，可得ZCEP=60,/CAB=60；由/ACB=90,求出/CBA=30；最后根據(jù)公Ck,公C=

17、tan30；求出當(dāng)CPE總是等邊三角形時(shí)，k的值是BCBC多少即可.【詳解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PMLCE于點(diǎn)M,EF71AE,BOXAC,.EF/MP/CB,如圖3,過(guò)點(diǎn)F作FD,AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)P作PMLAC于點(diǎn)M,連接PD,/ZDAF=ZEAF,/FDA=ZFEA=90在DAF和EAF中,/DAF=ZEAF,/FDA=ZFEA,AF=AF, .DAFAEAF(AAS,.AD=AE,在ADAP和AEAP中， .AD=AE,/DAP=/EAP,AP=AP, .DAPAEAP(SAS,.PD=PE .FDAC,BCAC,PMXAC,.FD/BC/PM,DMFP,

18、MCPB點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，.DM=MC,又PMXAC,PC=PD,又.PD=PE.PC=PE圖3(3)如圖4,.CPE總是等邊三角形,/CEP=60,/CAB=60,/ACB=90/CBA=90-/ACB=90-60=30:ACk,處=tan30；EMMC.EM=MC,又.PMCE,.1.PC=PEFP一一,一，二.點(diǎn)P是BF的中點(diǎn),PB(2)PC=PEI立，理由如下:CBCBC，“。3k=tan30=,3.當(dāng)k為Y3時(shí)，CPE總是等邊三角形.3C【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：1.幾何變換綜合題；2.探究型；3.壓軸題；4.三角形綜合題；5.全等三角形的判定與性質(zhì)；6.平行線分線段成比例.8.水庫(kù)大壩截面的迎

19、水坡坡比（DE與AE的長(zhǎng)度之比）為1：0.6,背水坡坡比為1:2,大壩高DE=30米，壩頂寬CD=10米，求大壩的截面的周長(zhǎng)和面積.【答案】故大壩的截面的周長(zhǎng)是（6后+30芯+98）米，面積是1470平方米.【解析】試題分析：先根據(jù)兩個(gè)坡比求出AE和BF的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求出AD和BC,再由大壩的截面的周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC梯形的面積公式可得出答案.試題解析：二.迎水坡坡比（DE與AE的長(zhǎng)度之比）為1:0.6,DE=30m,，AE=18米，在RTAADE中，AD=JDE2AE2=6后米背水坡坡比為1：2,.BF=60米，在RTABCF中，BC=JCF2BFBF2=30V5

20、米,.周長(zhǎng)=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+30而+88=（6734+3075+98）米，面積=（10+18+10+60）X30+2=1470平方米）.故大壩的截面的周長(zhǎng)是(6扃+30J5+98)米，面積是1470平方米.9 .現(xiàn)有一個(gè)Z型的工件(工件厚度忽略不計(jì))，如圖所示，其中AB為20cm,BC為60cm,ZABC=90,/BC460,求該工件如圖擺放時(shí)的高度(即A到CD的距離).(結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：、3=1.73【答案】工件如圖擺放時(shí)的高度約為61.9cm.【分析】過(guò)點(diǎn)A作AP，CD于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,由/CQP=/AQB、/CPQ=/B=90知/A=/

21、C=60,在4ABQ中求得分別求得AQ、BQ的長(zhǎng)，結(jié)合BC知CQ的長(zhǎng)，在4CPQ中可得PQ,根據(jù)AP=AQ+PQ得出答案.【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作APLCD于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)Q,ZCQP=ZAQB,/CPQ=/B=90/A=/C=60,4320二二40在4ABQ中，.AQ=E5A12BQ=ABtanA=20tan60=2典學(xué)(cm),.CQ=BC-BQ=60-20M(cm),在ACPQ中，PQ=CQsinC=(6020*3)sin60=30(0-1)cm,.-.AP=AQ+PQ=40+30(3-1)=61.9cm),答：工件如圖擺放時(shí)的高度約為61.9cm.【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的

22、應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義求得相關(guān)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.10 .已知AB是。的直徑，弦CDAB于H,過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作。的切線交AB的延長(zhǎng)線于F,(cm)，切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.（1）如圖1,求證：KE=GE;1（2）如圖2,連接CABG若/FGB=/ACH,求證：CA/FE；2.3_.（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CG交AB于點(diǎn)N,若sinE=-,AK=J10,求CN5的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AEAD是等腰三角形.證明見(jiàn)解析；（3）20根.13【解析】試題分析：(1)連接OG,則由已知易得/OGE=/AHK=90,由OG=OA可得/AGO=/OAG,從而可

23、得/KGE4AKH=ZEKG,這樣即可得至ijKE=GE(2)設(shè)/FGB形，由AB是直徑可得/AGB=90,從而可得ZKGE=90-a,結(jié)合GE=KE可得，一。、一，_1ZEKG=90-a,這樣在4GKE中可得/E=2,由/FGB/ACH可得/ACH=2?這樣可得2/E=/ACH,由此即可得到CA/EF;(3)如下圖2,作NP,AC于P,AH3由(2)可知/ACH=/E,由此可得sinE=sinZACH=一，設(shè)AH=3a,可得AC=5a,AC5一一CH4CH=4a,貝UtanZCAH=-,由(2)中結(jié)論易得ZCAK=ZEGK士EKG=ZAKC,從而可AH3AH得CK=AC=5a由此可得HK=a

24、,tan/AKH=3,AK=VTQa,結(jié)合AK=J10可得a=1,HK貝UAC=5;在四邊形BGKH中， 由/BHK=/BKG=90,可得ZABG+ZHKG=180,結(jié)合ZAKH+ZGKG=180；/ACG=ZABG可得/ACG=ZAKH,在RtAPN中，由tanZCAH=4EN,可設(shè)PN=12b,AP=9b,由3APtanZACG=-PN-tan/AKH=3可得CP=4b,由此可得AC=AP+CP13b=5,貝U可得b=,由CP13此即可在RtACPN中由勾股定理解出CN的長(zhǎng).試題解析：(1)如圖1,連接0G.EF切OO于G,OGXEF,ZAGO+ZAGE=90,.CDLAB于H,ZAHD=

25、90,ZOAG=ZAKH=90,-.OA=OG,ZAGO=ZOAG,ZAGE=ZAKH,3 ZEKGNAKH,4 ZEKGNAGE,KE=GE(2)設(shè)/FGBw,5 AB是直徑，ZAGB=90,ZAGE=ZEKG=90-a,ZE=180-ZAGE-ZEKG=2pc16 ZFGB=-ZACH,27 /ACH=2aZACH=ZE,8 .CA/FE.(3)作NPLAC于P.9 ZACH=ZE,AH3”sinZE=sinZACH=一，設(shè)AH=3a,AC=5a,AC5、CH4貝UCH=sJAC2CH24a，tanZCAH=-,Ano1.CA/FE,ZCAK=ZAGE,ZAGE=ZAKH,ZCAK=ZAK

26、H,.AC=CK=5aHK=CK-CH=4a,tanZAKH=AH-=3,HK-AK=0,10a,10, a=1.AC=5, /BHD=ZAGB=90； /BHD+/AGB=180,在四邊形BGKH中,/BHD+ZHKG+ZAGB+ZABG=360, /ABG+ZHKG=180； /AKH+ZHKG=180,/AKH=ZABG, /ACN=ZABG,/AKH=ZACNI, tanZAKH=tanZACN=3, .NPXACTP,/APN=ZCPN=90；PN4在RtAPN中，tanZCAH=設(shè)PN=12b,貝UAP=9b,AP3在RtACPN中，tan/ACN=-PN-=3CP.CP=4b,.

27、AC=AP+CP=13b,.AC=5,.-13b=5,b=9 b=13.z20CN=7PN2CP2=4710b=_V10-13AK=.AH3/11.小明坐于堤邊垂釣，如圖，河堤AC的坡角為30,AC長(zhǎng)上米，釣竿是60,其長(zhǎng)為3米，若AO與釣魚(yú)線OB的夾角為60,求浮漂B與河堤下端離（如圖）.AO的傾斜角C之間的距試題分析：延長(zhǎng)OA交BC于點(diǎn)D.先由傾斜角定義及三角形內(nèi)角和定理求出匕仃=180tl-CD=9【在RtACD中C之間的距離./1=180=32、居3RD力?！眛anx-rj-77在RtACD中，.CD=2AD=3米,.BOD是等邊三角形,3RD=0D-OA+AD-3+-+.5BC=BD-CD=4.5-3=1.5(米).答：7?漂B與河堤下端C之間的距離為1.5米.12.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)C(1,0),正方形AOC