《電動力學》教案 第六章_第1頁
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1、第六章 狹義相對論61證明在伽利略變換下,牛頓定律是協(xié)變換的,麥克斯韋方程不是協(xié)變的證:設(shè)慣性系以速度沿另一個慣性系的軸運動,兩參考系相應的坐標軸平行,由伽利略變換得速度在這兩個慣性系之間的變換:物體在這兩個慣性系中分別為 ,而質(zhì)量是伽利略變換下的不變量,即 ,于是牛頓定律系和系有相同的形式: 即牛頓定律在伽利略變換下是協(xié)變的。我們知道,從麥克斯韋方程組可以導出矢勢和標勢的波動方程,設(shè)系中標勢波動方程為 在伽利略變換之下,均為不變量,但光速c不是不變量,因此,這方程不是協(xié)變的,由此推知麥克斯韋方程組也不是協(xié)變的。62設(shè)兩根互相平行的尺,在各自靜止的參考系中的長度均為,它們以相同速度相對于某一參

2、考系運動,但運動方向相反,且平行于尺子。求站在一概尺子上測量另一根尺的長度。解:設(shè)一尺(系)沿系X軸正向以速度運動,則二尺(系)相對于 系的速度為,于是,在一尺上測量二尺的速度即其長度。分別為63靜止長度為的車廂以速度相對于地面運行,車廂的后壁以速度向前推出一個小球,求地面的觀察者測得小球從后壁到前壁的運動時間。解:如圖(6。1),設(shè)地面參考系為 ,車廂沿的x軸正向運動。在系中,小球處于車廂后壁的時空坐標為,到達前壁時空坐標為,在車廂參考系中,這兩件事的時空坐標為:。方法一:洛倫茲變換為 (1)其中。在系中,測得車廂靜止長度,小球運動時間為,于是由變換(1)的第二式,得地面上測得小球的運動時間

3、為 (2)方法二:由變換(1)的第一式,地面上測得小球的運動距離(3),在地面與車廂中,這兩事件的間隔為別為 (4) (5)將(3)式代入(4)式,并由間隔不變性,可得,如(2)式。方法三:在小球靜止的系觀察,車廂以速度運動,運動距離和時間分別為 (6)地面測得小球的運動速度為 (7)于是,地面上測得小球運動時間為 (8)方法四:地面測得車廂的長度為,小球運動速度如(7)式,設(shè)地面上測得小球運動的時間為,則應當有 (9)由此也可解得 (10)64一輛以速度運動的列車上的觀察者,在經(jīng)過某一高大建筑物時,看見其避雷針上跳動起一脈沖電火花,電光迅速傳播,先后照亮了鐵路沿線上的兩鐵塔,求列車上的觀察者

4、測量到電光到達兩鐵塔的時間差,設(shè)建筑物及兩鐵塔都在一直線上,與列車前進方向一致,鐵塔到達建筑物的地面距離已知都是.解:設(shè)地面參考系中,兩鐵塔分別位于,距離,被照亮的時刻,故。由洛倫茲變換 (1)的第一式在列車參考系中,兩鐵塔被照亮的時刻差為 (2)或者,從(1)式的第二式,有故由間隔不變性, (3)亦可得(2)式的結(jié)果。本題結(jié)果表示“同時”的相對性的含義。65有一光源S,與接收器R相對靜止,距離為,S-R裝置浸在均勻無限的液體介質(zhì)(靜止折射率n)中。試對下面三種情況計算光源發(fā)出訊號到接收器接到訊號所經(jīng)歷的時間。(1)液體介質(zhì)相對于SR裝置靜止;(2)液體沿著S-R連線方向以速度V流動;(3)液

5、體垂直于S-R連線方向以速度V流動。解:設(shè)S-R裝置靜止的參考系為,S-R連線在x軸上。(1) 當液體相對于這裝置靜止時,光速為,訊號傳播時間為 (2)當液體沿著S-R連線方向流動時,在液體靜止的參考系中,光速,故在中,光速及訊號傳播時間分別是:(3)當液體介質(zhì)系的Y軸正方向流動時,在液體靜止的系中,S-R裝置的運動速度為,光速,故在系中,光從S到R的傳播速度和時間分別是:,變換到S-R靜止的系中,便有66在參考系中,有兩個物體都以速度沿X軸運動,在系看來,它們一直保持距離不變。今有觀察者以速度沿X軸運動,他們看到這兩個物體的距離是多少?解:在兩物體都靜止的參考系中,兩者距離為設(shè)觀察者所在參考

6、系為,他測得這兩個物體的速度為故觀察者測得這兩個物體的距離為67一把直尺相對于參考系靜止,直尺與x軸交角。今有一觀察者以速度沿x軸運動,他看到直尺與x軸交角有何變化?解:在尺子靜止的參考系中,有。而在運動的觀察者看來,尺子的長度在x和y軸兩個方向的投影為因此有68 兩個慣性系和中各放置若干時鐘,同一個慣性系中的時鐘同步。相對于以速度沿x軸方向運動。設(shè)兩系原點相遇時,。問處于系中某點處的時鐘與系中何處的時鐘相遇時,指示的時刻相同?讀數(shù)是多少?解:由洛侖茲變換 (1)當系位于的鐘與系位于的鐘相遇,而且兩鐘指示的時刻相同,即時,從(1)的第四式,得 (2)將此式代入(1)的第一式,得這兩個鐘的位置關(guān)

7、系以及它們的讀數(shù)為 (3)69火箭由靜止狀態(tài)加速到,設(shè)瞬時慣性系上加速度為,問按靜止系的時鐘和按火箭內(nèi)的時鐘加速火箭各需多少時間?解:設(shè)火箭加速方向沿靜止系的x軸正向,速度為在瞬時慣性系中,而,故在系中火箭的加速度為即有故在系中火箭從加速到所需時間為而在火箭內(nèi)的參考系中,故同樣的加速過程,火箭內(nèi)的時鐘記錄的時間為610一平面鏡以速度自左向右運動,一束頻率為與水平成夾角的平面光波自右向左入射到鏡面上,求反射光波的頻率與反射角,垂直入射情況如何?解:這是光在運動鏡面上的反射問題。令鏡子沿系的x軸正向運動,鏡面垂直于運動方向。如圖6.2,設(shè)鏡子靜止的參考系中,入射波頻率為,入射角為,由反射定律有,故

8、入射波矢的反射波矢的x分量分別為 (1)在系中,觀察到入射波頻率為,入射角為,反射波頻率為,反射角為,即入射波矢和反射波矢的x分量分別為 (2)從系到系,入射波的四維波矢變換為 (3)從系到系,反射波的四維波矢變換為 (4)由(1)式,有,以及(3)的第一,第三式,和(2)式的第一式,從(4)的第三式得系中反射波的頻率為 (5)其中,因為,可知總有;僅當,才有。再由(2)的第二式,(3)的第一、三式,以及(5)式,從(4)的第一式得 (6) (7)可見,一般情況下,反射擊角,即靜止條件下的反射定律對于運動物體不成立,僅當,才有。當入射角即垂直入射情形,由(5)式和(7)式,有 (8)(6)式也

9、可以由速度變換得到。在鏡子靜止的參考系中,入射波和反射波速度c的x分量分別是;而在系中,入射波和反射波速度的x分量分別是,由速度變換 (9)對于入射波,得 (10)對于反射波,有 (11)將(10)式的第二式代入(11)式,即可得(6)式。611在洛倫茲變換中,若定義快度y為。證明(1)洛倫茲變換矩陣可寫為(2) 對應的速度合成公式可用快度表為證明:由雙曲函數(shù)的定義以及,若定義快度y為,便有于是,當以速度沿的x軸運動,且相應的坐標軸平行時,洛倫茲變換矩陣在系與系中速度的x分量分別為,和,令,,,則速度變換可寫成:即612電偶極子以速度作勻速運動,求它產(chǎn)生的電磁勢,和電磁場,。解:在靜止的參考系

10、中,僅觀察到它的標勢,或電場: (1) (2)其中,和分別是從到場點的距離與矢徑: (3)令沿系的x軸運動,由四維勢變換,得系中的電磁勢為 (4)下標表示與運動方向平行的分量,表示垂直分量。又由電磁場量的變換,即 (5)則在系觀察到的電磁場為 (6)設(shè)t=0時剛好經(jīng)過系的原點,此時場點從標的變換為,因此在將(1)式代入(4)式,(2)式代入(6)式時,其中的和應當換成 (7)613設(shè)在參考系內(nèi),系沿的方向運動,問系應以什么樣的速度相對于運動才能使其中只有電場或只有磁場?解:令沿系的x軸正向運動,按題意,在系中 (1)由電磁場變換關(guān)系 (2)得系中 (3)若在系中只觀察到電場,磁場,由(3)的第

11、三式,要求系的速度為 (4)由于總有,故系中應滿足.若在系中只觀察到磁場,電場,則從()的第二式,要求系的速度為 (5)而且系中應滿足6.14作勻速運動的點電荷所產(chǎn)生的電場在運動方向發(fā)生壓縮,這時在運動方向上電場與庫侖場相比較會發(fā)生減弱,如何理解這一減弱與變換公式的關(guān)系?解:設(shè)點電荷沿系軸以速度運動在電荷靜止的系中,任意時刻都觀察到球?qū)ΨQ的庫侖場,它在運動方向上的分量為 (1)(是系中場點的坐標變換到系中,雖然有 (2)但在系中場點坐標為,而場點坐標是按 (3)變換的設(shè)時電荷剛好經(jīng)過系的原點,此時對同一個場點,因,故,因而必有,即對于同一個場點,在系中觀察到的分量實際上被壓縮了;按()式,對同

12、一個場點任何時刻都有而變換式則是描寫在兩個參考系中,當,,亦即不同場點上的平行分量相等6.15有一沿軸方向螺旋進動的靜磁場,其中,為磁場周期長度現(xiàn)有一沿z軸以速度運動的慣性系,求在該慣性系中觀察到的電磁場證明當時,電磁場類似于一列頻率為的圓偏振電磁波解:在系中,且,故在運動參考系中觀察到地電磁場為由,有,而,因此將這電磁場寫成復數(shù)形式其中可見當,即系的速度時,這電磁場類似于一列頻率為,沿著負z軸方向傳播的圓偏振波6.16 有一無限長均勻帶電直線,在其靜止參考系中線電荷密度為該線電荷以速度沿自身長度勻速運動在與直線相距為的地方有一同樣速度平行于直線運動的點電荷e則分別用下列兩種方法求出作用在電荷

13、上的力:()在直線靜止系中確定力,然后用四維力變換公式;()直接計算線電荷和線電流作用在運動電荷上的電磁力;解:設(shè)帶電直線沿系的軸運動在該系統(tǒng)靜止的系中,帶電線的電磁場為故電荷受到的作用力為由于系中的電荷速度,故四維力為即而在系中,其中,由四維力變換,得系中電荷受到的力為若直接在系觀察,則帶電線的電磁場為故電荷受到的作用力為6.17質(zhì)量為M的靜止粒子衰變?yōu)閮蓚€粒子和,求粒子的動量和能量.解:沒衰變后產(chǎn)生的兩個粒子動量為和,則兩粒子的能量為,由衰變前后系統(tǒng)的能量和動量守恒解出6.18 己知某一粒子衰變成質(zhì)量為和,動量為和(兩者方向間的夾角為)的兩個粒子,求該粒子的質(zhì)量.解:設(shè)衰變前粒子的動量為,

14、由衰變前后能量和動量守恒,即解出6.19 (1)設(shè)和是粒子體系在實驗室參考系中的總能量和總動量(與x軸方向夾角為).證明在另一參考系(相對于以速度v沿x軸方向運動)中粒子體系的總能量和總動量滿足(2)某光源發(fā)出的光束在兩個慣性系中與x軸的夾角分加別為和,證明(3)考慮在系中立體角為的光束,證明當變換到另一慣性系時,立體角變?yōu)榻?1)設(shè)粒子體系在系中的四維動量為由四維動量變換,得系中動量方向由下式描述(2)設(shè)光束在系中的角頻率為,輻射方向與x軸的夾角為,四維波矢量為設(shè)在系中角頻率為,輻射方向與軸x的夾角為,四維波矢量為由四維波矢量變換,得最后一式為相對論多普勒效應.由上述諸式,可解出這就是相對論

15、光行差公式.用速度變換,更能快捷地得到這結(jié)果.在系中光速c的兩個分量為,在系中有,由立得(3)由于角與運動方向垂直,故,對上面第一式兩邊求微分,可得6.20 考慮一個質(zhì)量為,能量為的粒子射向一個質(zhì)量為的靜止粒子的體系.通常在高能物理中,選擇動量中心參考系有許多方便之處,在該參考系中,系統(tǒng)的總動量為零.(1)求動量中心參考系相對于實驗室系的速度;(2)求動量中心參考系中每個粒子的動量、能量及總能量;(3)己知電子靜止質(zhì)量.北京正負電子對撞機(BEPC)的設(shè)計能量為.估計一下若用單束電子入射靜止靶,要用多大的能量才能達到與對撞機相同的相對運動能量?解:在實驗室參考系中,粒子的能量與動量為(1)粒子

16、的動量.設(shè)系統(tǒng)的動量中心系相對于實驗室系的速度為,于是由(2)得(3)在動量中心參考系中,系統(tǒng)的總動量為零:(4)因此兩粒子的動量數(shù)值和能量分別為(5)(6)(7)其中(8)若用質(zhì)量為的單束粒子射向靜止靶粒子,則要發(fā)生對撞機(兩束粒子反向加速實現(xiàn)對撞)相同的能量效果,就意味著單束運動粒子的能量和,于是從(6)式和(8)式.得,即(9)將,以及對撞機中單束粒子的能量代入(9)式,得靜止靶加速器中,對單束粒子加速的能量必須為這幾乎是對撞機中單束粒子能量的倍!6.21 電荷為e,靜止質(zhì)量為的粒子在均勻電場內(nèi)運動,初速度為零,試確定粒子運動軌跡與時間的關(guān)系,并研究非相對信論的情況.解:令,由方程,有(

17、1)積分,并由時,得粒子的運動速度(2)由,并設(shè)時,對(2)式積分,得粒子的運動軌跡(3)在非相對論情形下,由于,將(3)式中的根式展開,得(4)或者,由于非相對論情形下方程(1)變?yōu)?即積分,并由時,亦得(4)式的結(jié)果.6.22 利用洛倫茲變換,試確定粒子在相互垂直的均勻電場和磁場()內(nèi)的運動規(guī)律,設(shè)粒子的初速度為而且沿著垂直于電場和磁場的軸正向.解:設(shè)和靜止的參考系為,因且,而粒子以初速沿z方向運動,故由6.13題結(jié)果知,在粒子靜止的參考系中,只有電場,磁場.由相對論變換, 系中的電場為其中于是系中粒子運動方程為第一個方程與6.21題方程(1)相似.從上述方程可解出設(shè)時粒子位于系原點,由洛

18、倫茲變換而,因此粒子在系中的運動軌跡為平面的拋射線,這是因為且,粒子受到的電力比磁力大所致.6.23 己知t=0時點電荷位于原點,靜止于y軸上, 以速度沿軸勻速運動,試分別求出和各自所受的力,如何解釋兩力不是等值反向?解:由于時位于原點,此時靜止電荷對的作用力為,運動電荷在其靜止的參考系中,于所在點產(chǎn)生的電磁場為,變換到靜止的參考系,并注意到,有其中.因靜止,故運動電荷產(chǎn)生的電磁場中,只有電場對其施加作用力牛頓第三定律僅在條件下才成立,而在高速運動情形,因此6.24 試比較下列兩種情況下兩個電荷的相互作用力:(1)兩個靜止電荷位于軸上相距為(2)兩個電荷都以相同速度平行于軸勻速運動.解:(1)

19、此情形下一個電荷對另一個電荷施加的靜電排斥力為(2)在兩個電荷靜止的參考系中,兩者的相互作用力仍如上式:是四維力的空間向量.變換到靜止參考系,由于力的方向與運動方向垂直,故有其中6.25 角頻率為的光子(能量,動量)撞在靜止的電子上,試證明(1)電子不可能吸收這個光子,否則能量和動量守恒定律不能滿足;(2)電子可以散射這個光子,散射后光子的頻率比散射前的頻率小(不同于經(jīng)典理論中散射光頻率不變的結(jié)論)證(1)在初態(tài)電子靜止的參考系觀察,該系統(tǒng)的能量和動量為,為電子的靜止質(zhì)量,是入射光子運動方向的單位矢量.若電子吸收了這個光子,它將獲得動量,為使動量守恒滿足,應有,于是末態(tài)電子的能量為顯然,因此電子不可能吸收這光子.(2)仍在初態(tài)電子靜子的參考系觀察散射前系

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