微積分期末復(fù)習(xí)重點(diǎn)綱要zhaoshuyuan

1、109-10年微積分(高數(shù)(三)(下)期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)第六章 定積分一. 本章重點(diǎn)定積分的基本性質(zhì)，定積分的計(jì)算， 變上限定積分的求導(dǎo)法。二. 復(fù)習(xí)要求1.理解定積分的概念， 知道定積分與不定 積分的區(qū)別。函數(shù) f(x)的不定積分是求導(dǎo)和求微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。函數(shù) f (x)在l.a,b 1上的定積分是一個(gè)和式的極限，是一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)只與被積函數(shù) f(x)及積分區(qū)間!a,b有關(guān)。2.理解并記住定積分的基本性質(zhì)。3.理解變上限定積分的概念， 熟練掌握求 變上限定積分的導(dǎo)數(shù)的方法：4.熟練掌握用牛頓一萊布尼茲公式求定 積分的方法。牛一萊公式將定積分與不定積分這兩個(gè) 截然不同的概念聯(lián)系起來，求定積分

2、的值， 只需求出被積函數(shù) f(x)的一個(gè)原函數(shù)F(x)，再應(yīng)用牛一萊公式即可。因而計(jì)算定積分也與求不定積分類似，有直接積分 法，換元積分法，分部積分法。5.熟練掌握定積分的換元積分法，分部積 分法。注意：用換元法求定積分時(shí)， 換元必?fù)Q限， 無需還元；若是湊微分而不顯示“換元”，則 積分限不作變換。定積分適用分部積分的類型及 u、dv的選擇都與不定積分類似，唯一的區(qū)別是定 積分的分部積分公式中每一項(xiàng)都帶著積分 上、下限，而且為了減少出錯(cuò)，要及時(shí)計(jì) 算出uva的值。b6.熟記奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分的性 質(zhì)。7.熟練掌握用定積分求平面圖形的面積及平 面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。三.例題

3、選解x4arcs in2 2、tdt例1.求極限lim - -廠7 十x解：這是-型不定式，應(yīng)用羅彼塔法則及變0上限定積分求導(dǎo)法，有原式=lim(arcs沱用)4x3九申十6x52x24x3=lim5x卩6x5(無窮小代換)=43例2.求定積分：1 _x3,4 x2dxJ丄1x 1e2( (3)x Jx ln xdx.1根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間積分的性質(zhì),1 _x3,4 x2dx = 0.本題被積函數(shù)含一次函數(shù)的根式，且不 能用直接積分法和湊微分求解，適用第二類 換元法。令 t貝 u x=t2, dx = 2tdt ;有:當(dāng)x = 1時(shí)，t =1，當(dāng)x = 4時(shí)t=2.2dt=221t211t21

4、22t22 _222t22 2dt=21t211=(2t -2arctant)(3)顯然本題積分2t2dtFdte2_x xx In xdx屬適用分1步積分的類型.,根據(jù)Xdx = d(丄X1),川1可得形的面積以及該平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周形 成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：由所給曲線方程解得交點(diǎn)：(1,1),1(2, ),(2,2).畫出平面圖形如下：2(1)求平面圖形的面積.視平面圖形為X形區(qū)域，得平面圖形面積為：自我復(fù)習(xí)習(xí)題六(A) 4. (3)、(5). 5.(3)、(6)、(8)、(10) .6.(1)、(3) . 12.(1)、(3)、(5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5

5、). 25.(1)、.第七章無窮級(jí)數(shù)一. 本章重點(diǎn)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判定(包括正項(xiàng)級(jí) 數(shù)的收斂性判定；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與 條件收斂的判定)。幕級(jí)數(shù)的收斂域的確 定。利用幕級(jí)數(shù)的性質(zhì)求幕級(jí)數(shù)的和函數(shù)。二. 復(fù)習(xí)要求1.理解級(jí)數(shù)的基本概念；記住級(jí)數(shù)的基QQ本性質(zhì)，特別是：若級(jí)數(shù)二 Un收斂，則必n -12嚴(yán)2(2)求旋轉(zhuǎn)體的體積.視平面圖形為X形區(qū)域，有: 四練習(xí)題及參考答案有l(wèi)im un=0，但m un0nn j時(shí)，級(jí)數(shù) v Un 未nT必收斂1、求極限x3_tan3tdt02.熟記等比級(jí)數(shù)aqn的斂散性:2、求積分3dx.3 .1 x2x53x,x 1dx04(3)xcos2xdx.0當(dāng)|q|

6、1時(shí)，等比級(jí)數(shù)aqn發(fā)散。n d3.熟記p級(jí)數(shù)的斂散性：nmn兀x =一2圍成的平面區(qū)域D的面積，及區(qū)域D繞X軸 旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。34.116 1；(3).15843、求由曲線 y 二 sin x ,直線 y =2x 以及參考答案：1、2、0 ;(2)JI當(dāng)p1時(shí),p級(jí)數(shù)二I收斂;心np3、一2-1;4兀4兀2一64當(dāng)p/3n + 1f(一1廣叫衛(wèi)nm31解:(1)令Un= 1 - COS n當(dāng)n、：時(shí)，Un丄(丄)2，2 n顯然 J _12收斂，故原級(jí)數(shù)收斂。n2n小結(jié)：利用P級(jí)數(shù)作比較標(biāo)準(zhǔn)，用比較判 別法來判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，用等價(jià) 無窮小代換是一個(gè)簡便實(shí)用的方法，常用 的

7、等價(jià)無窮小代換還有： 1 111取極限:limn -an 1an限:nim：2n時(shí)，sin，ln(1 )n nn n(參見教材 P79)。21 -,心3n 1事實(shí)上，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法的極 限形式，因?yàn)閸u(-1)3n 1和收斂區(qū)間.解：所給幕級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形，由Un1(X)lim5 un(x)=limni:12(n 1) J2n 1X12n_12X.J3n +2 limn:v3n3nlimlim12n 3n 2nI 3n 2oO OaO O d又因?yàn)?nL3n=23.n=發(fā)散,oO所以瓦(-1)n=1n .123n 1發(fā)散；但有:記 Un -J3n +1Un二3(n 1) TUn1，1根據(jù)

8、定理7-12,當(dāng)x21 即 x2時(shí)，所給幕級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)-x21 即2x x442 2時(shí)，所給幕級(jí)數(shù)發(fā)散.所以幕級(jí)數(shù)的收斂半徑R=R= 2 2，收斂區(qū)間為(- 2, 2) ).QQ例3.求x(n 2)xn的收斂半徑，收斂區(qū)間n=0及和函數(shù)，解：記 a n 2,則幕級(jí)數(shù)收斂半徑為：lim Un = 0，QQ所以交錯(cuò)級(jí)數(shù) J(-1)nn =1-2條件收斂。,3n 1R二limn y -an 1如航收斂區(qū)間為(3).QC計(jì))n 1n(n 1)3n煮 n(n +1)23n，根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法,(n +1)( n +2)(-1,1).且當(dāng)x-x- -1-1時(shí)，幕級(jí)數(shù)為、(n - 2)(_1)n,

9、其通項(xiàng)求極限n=03n1幕級(jí)數(shù)的收斂域也是( (-1,1).仆口丄1nr3n 3由limnjpC3n孑呼收斂n&3n二八nn(n +1)二(T)n絕對(duì)收斂。n =33n(n 1)例2求幕級(jí)數(shù)+xn #22nd的收斂半徑記幕級(jí)數(shù)和函數(shù)為 f (x).即(1)當(dāng)x = 0時(shí),=_ (x ) = (x ) =_(-)Xn=0 xn=0X 1 _ X_ 1 2x-x22-x一 -X (1 -X )2(1 -X )22位平等的自變量。即求Fx時(shí)，視 y, z 為常旳x2n(-1)耳的收斂半徑和收n =15斂區(qū)間.03.求 anxn 2的收斂半徑，收斂區(qū)間及和n =1函數(shù)。參考答案：1.(1).絕

10、對(duì)收斂；(2).絕對(duì)收 斂；條件收斂；發(fā)散.2.R5;收斂區(qū)間(-、5八5).3X)x) 數(shù)，其余類似。5.掌握二元函數(shù)極值的概念及判斷法，能熟 練用拉格朗日乘數(shù)法求多元(二，三元)函數(shù)的 條件極值.6.理解二重積分的概念，掌握并理解二重積 分的基本性質(zhì)；7.熟練掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下化為二 次積分進(jìn)行計(jì)算的方法，并能熟練把一種次 序的二次積分交換為另一種次序的二次積 分。8.會(huì)用二重積分求平面區(qū)域的面積。三.例題選解：例1.求下列函數(shù)的全微分或偏導(dǎo)數(shù).第八章多元函數(shù)(2)當(dāng)x=0時(shí)，f (x)=2綜上:f( (x走寺一 4 x 1四.練習(xí)題及參考答案 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性。1.44、(-

11、1)心-Jn(1-)n占nnf(-1)2n 43n 1 (-1)n an 1n -14n 1下的計(jì)算。二.復(fù)習(xí)要求1.理解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定 義域；2.熟練掌握二元函數(shù)一階及二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，會(huì)求二元函數(shù)的全微分；3.熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，特別是抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法；4.熟練掌握利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)出的 隱函數(shù)求導(dǎo)公式：若 F(x, y,z)=0 可確定隱函數(shù) z= f(x,y)zFx:xFz；z Fy- =-Fz求 FX, Fy,Fz時(shí),均視 x, y, z 為地自我復(fù)習(xí)：習(xí)題七(A)4. (7) ,(8);5,(4); 7.(1),(3);8. (1),

12、(3); 9. (5),(12); 10. (2).(1).z z = =ln(1 x2- y2),求dz;(2).= arctanz_yx確定 z 是x, y的函數(shù),一.本章重點(diǎn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分；多元函數(shù) 的極值與條件極值；二重積分在直角坐標(biāo)系2x2 2，x 1 x- y:z _2y 2 2y 1 x _ y2.求幕級(jí)數(shù)2dz二zxdx zydy22(xdx _ ydy)1 + x - y(2).本題函數(shù)為隱函數(shù).令F (X, y, z) =x- arctan -,則有zx解：畫出區(qū)域D略圖如下：” 0乞x蘭12x蘭y蘭3x=1(- x4X3一空 X212x)dx = 231.2 2

13、 6例5.要造一個(gè)容積等于定數(shù)a(a . 0)的長令 F = xy 2yz 2xz(xyz-a)其中x , y為自變量，u, v 為中間變量,由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法, 注意到fu,fv要看成是fu(u, v), fv(u,v)，所以有：i3y例3將二次積分 dy f ( x, y)dx 交換積 分次序.解：由已知，原積分區(qū)域?yàn)檠拘蛥^(qū)域：0乞y豈10乞x乞3?:Fy 2z yz = 0:x:Fx 2z xz = 0：x:F2y 2x xy = 0 xxyz = a因本問題存在最小值點(diǎn)，故唯一的可疑點(diǎn)即所求.畫出積分區(qū)域D的略圖如下所示：即當(dāng)水池長，寬分別為怎,高為 13區(qū)時(shí),水池l 0：x 叮 1

14、視D為X型區(qū)域：暨心表面積最小.，得法2由約束方程xyz=a解得：z z = = xy1 1原式二0dxx3f (x,y)dy 例4計(jì)算(4 -x-y)dxdy,其中區(qū)域D由曲代入s=xy 2yz 2xz得：s=xy號(hào)D于是求條件極值轉(zhuǎn)化為求上面得到的二元函數(shù)的線 y = x2,直線 y = 3x 及x =1所圍成.2 2：zFx z(x y z) - =- =:xFzx(x2y2)1例2.設(shè)z = fxy ,?(x2- y2) 1，其中f具有方體無蓋水池應(yīng)如何選擇水池的尺寸，方可 使它的表面積最小.分析與解：設(shè)長方體的長，寬，高分別為x, y,z 貝 U 水池表面積 s=xy - 2yz 2

15、xz二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求；：2z本問題歸結(jié)為求三元函數(shù) s 二 xy 2yz 2xz分析：顯然fxy是一個(gè)復(fù)合函數(shù),在約束條件xyz=a下的最小值點(diǎn).有兩種解u =xy,v(x22y2),則 z = f(u,v)法：法1.用拉格朗日乘數(shù)法.解方程組：得唯一可疑點(diǎn)：x = y = 2z = V2a2.無條件極值解方程組:得 x= y =32a,經(jīng)檢驗(yàn)(自己可用極值的充分1i/x3.交換二次積分( (0dxJ0f (x, y)dy的積分次序。程的解法：掌握一階線性微分方程的特點(diǎn)(齊次、 非 齊次)，熟練掌握用常數(shù)變易法或公式法 求解一階線性非齊次微分方程。例題選解x1.求xy y = e的通解條件檢

16、驗(yàn))(32a,32a)就是唯一的極小值點(diǎn), ,也4.33_140就是最小值點(diǎn), ,即當(dāng)水池長, ,寬分別為32a,5.8a3x = y = z =莘,Vmax =.J333高夕33公J懇時(shí),水池表面積最小.四練習(xí)題及參考答案1.求下列函數(shù)的全微分或偏導(dǎo)數(shù).(1).z = x y - x2y2,求dz;自我復(fù)習(xí)：習(xí)題八(A)8.(3),(5), 14.(2).19.( 3),(3)， ,(5).30.(1).第九章16.(2), (3).27.(2).常微分方程簡介29.(2).2y2z2y y = =x2z 確定 z 是x, y的函數(shù)1.-22.求例2所示函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)三.exex2.3.本章重點(diǎn)求解一階線性微分方程。復(fù)習(xí)要求知道微分方程的定義、階、通解、特解等 概念；熟練掌握可分離變量的微分方程的解法；知道可化為形如 3 二f($)的齊次微分方dx x4.計(jì)算(x2y)dxdy ,其中D是由曲線Dy y =x=x2 2與y y2 2=x=x圍成的平面區(qū)域.2例.求微分方程y：xy = xe的通解。 解：