常微分方程自學練習題

1、常微分方程自學習題及答案一填空題：I一階微分方程的通解的圖像是 _維空間上的一族曲線2 二階線性齊次微分方程的兩個解yi(x);y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是 _3 方程y_2y+y =0的基本解組是 _.4 一個不可延展解的存在區(qū)間一定是 _ 區(qū)間.5 方程 巴=Ji一y2的常數(shù)解是 _ .dx6 方程xp(t)x+=q(t)x =0個非零解為 xi(t),經(jīng)過變換_7 若 4(t)是線性方程組X = A(t)X的基解矩陣，則此方程組的任一解 4(肓_.8 一曲線上每一占切線的斜率為該點橫坐標的2 倍，則此曲線方程為 _ .9 滿足_ 條件的解，稱為微分方程的特解10 如果在微分方

2、程中，自變量的個數(shù)只有一個我們稱這種微分方程為 _.II一階線性方程y p(x)y = q(x)有積分因子(二).12 求解方程dy- -x/y的解是().dx2 2 213 已知(axy +3x y)dx+(x + y)x dy = 0為恰當方程，則a=_.dy2丄2=x + yJdx,R : x 1,y 1由存在唯一性定理其解的存在區(qū)間是y(0) = 017 若向量函數(shù)】1(X)；、2(X)；、3(X)Tn(X)在區(qū)間 D 上線性相關(guān)貝陀們的伏朗斯基行列式w (x)=_.18 若 P(X)是方程組 翌=A(x)Y的基本解方陣則該方程組的通解可表示為 _.dx二單項選擇：dy-31 方程X3

3、y滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是().dx(A)上半平面(B)xoy平面(C)下半平面(D)除 y 軸外的全平面14().15 方程dy2-5-dy60的通解是(dx).16 方程dy4y3. X二y5的階數(shù)為2 方程翌1()奇解.dx在下列函數(shù)中是微分方程yy = 0的解的函數(shù)是(C)y = sin x(A)必要(B)充分二階線性非齊次微分方程的所有解(A)構(gòu)成一個 2 維線性空間(C)不能構(gòu)成一個線性空間充分必要).(B) 構(gòu)成一個 3 維線性空間(D)構(gòu)成一個無限維線性空間(A)有一個(B)有兩個(C)無(D)有無數(shù)個方程y_y二ex二x的一個特解y*形如().x .(A)ae

4、 bx(B)axebxx(C)ae bx cx(D)axe bx cf (y)連續(xù)可微是保證方程dydx=：f(y)解存在且唯一的 ()條件.方程也=3y3過點(0,0)有(dx).1011(A)無數(shù)個解(B)只有一個解(C)只有兩個解(D)只有三個解初值問題xx ,金)=在區(qū)間，-：t：:上的解是().-1I、e )ze、(A) U(t)(C)u(t)-(D)u(t)-_tl_e丿Le丿三求下列方程的解：1 求下列方程的通解或通積分dyTT=y1 ny(2)dxd/ 、2IX丿xdy + xy5dx2 22xydx + (x - y )dy = 03y=xyF(y)2 求方程的解x_x(4)

5、=0t3 解方程：矽=y2COSX并求出滿足初始條件：當 x=0 時,y=2 的特解dx4 求方程:直tg#dx x x5 求方程：y = 6 xy2的通解dx x22236 求(3x 6xy )dx (6x y 4y )dy = 0的通解.4 伯努利方程5Lipschitz條件6 線性相關(guān)求解方程:賈.4, 2d x d x小亠22亠x = 0dt2求方程：噪4dt5t dt441 dX = 0的解求方程y-5y = -5x2的通解10 求下列方程組的通解dx1=y +-dtsin tdy一=xdr11 求初值問題丿R: x+1蘭1 y蘭1的解的存在區(qū)間并求出第二次近似解12 求方程的通解(

6、1)乎dx xy2矽/tandx x x2(3)(y - 3x )dx -(4y - x)dy = 0(三種方法）汀5書。13 計算方程y 4y二3sin 2x的通解14 計算方程亡-4空4 costdt dt15 求下列常系數(shù)線性微分方程：y“-2y10y2x二xe16 試求X二2 o_的基解矩陣17 試求矩陣 A，1-11I的特征值和對應的特征向量418 試求矩陣A = 35的特征值和特征向量_-53f ,、3 2、$21 219 解方程組y1四名詞解釋1 微分方程2 常微分方程、偏微分方程3 變量分離方程五證明題1 在方程y p(x)y q(x)y = 0中已知 p(x);q(x)在(-

7、：;：)上連續(xù)求證:該方程的任一非零解在xoy 平面上不能與 x 軸相切.2 設 xi(t)、X2(t)分別是非齊次性線方程dnxdn JxrG,t)口 Gn(t)x = h(t)dtdtn二Gt)加dt證明：X1(t)+X2(t)是方程瞑-G(t) Gn(t)X二人 *f2(t)的解。dtdt3 設 f (x)在0； +：上連續(xù)且limf (x)=0 求證：方程 史y二f (x)的一切解 y(x)；XT旳dx均有l(wèi)imy (x)=0X)：4 在方程y” p(x)y q(x) 0中 p(x)、q(x)在(一匚片：)上連續(xù)；求證：若 p(x)恒不為零；則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式w( X

8、)是(卩十邊)上的嚴格單調(diào)函數(shù)。1X2X.nX6 證明：函數(shù)組e ,ee(其中當i = j時打=,)在任意區(qū)間(a ,b)上線性無關(guān)。常微分方程習題答案 一填空題：1、 22、 線性無關(guān)(或：它們的朗斯基行列式不等于零)XX3、 e ; xe4、 開5、y -1dtGn(t)X = f2(t)5 證明:X1(t)+X2(t)是方程dnxdnJx-an(x)tf2(t)的解。4 伯努利方程5Lipschitz條件6 線性相關(guān)7、(t)c,c 為常數(shù)列向量28、 y=x +c9、 初始10、 常微分方程11、e . p(x)dx12、 x2+y2=c ; c 為任意正常數(shù)13、 /14、一 II

9、2 2丿1 (1)解：當y = 0, y = 1時，分離變量取不定積分，得dyy1ny通積分為1ny= Cex(2)解：令y=xu，則譽u x饕代入原方程，得du x -dx分離變量，取不定積分，得16、417、018、(x)c;其中 c 是確定的 n 維常數(shù)列向量二單項選擇I、 D 2、C3、CII、 D12、 B13、 D三求下列方程的解4、D14、D5、B15、B6、C 7、A 8、D 9、A16、 C 17、 D 18、 D10、C15、通積分為：arcs in - -1 nCx x(3) 解：方程兩端同乘以 y-5,得y哼xdx令y-4=z，則-4y5dx畔,代入上式，得1 dzZ

10、= X4 dx通解為4x1z = Ce_-x4原方程通解為_4x1=Ce -x -4cN二2x，所以原方程是全微分方程。:xxy 202xydx -oy dy =C213x y y = C3解：原方程是克萊洛方程，通解為:設y =則方程化為- y dtdtt5,3,2,于是 x=Cit +C2t +C3t +C4t+C5y = cx+2c3dx=0，積分后得 y = ct 即ct dt其中 Ci, C2, C3, C4, C5為任意常數(shù)=fl(t) + f2(t)故 X1(t)+X2(t)為方程d xnt)G1(t)d斜衛(wèi)GnX(t)=f1(t)+f2 (t)的解。dtdt卑=cosxdx y

11、因而，通解為1sin x c這里 c 是任意常數(shù)。以 x=0 , y=1 代入通解中以決定任意常數(shù)c，得到dnx(t)Gdnx(t).G(t)X2(t)5(t)哪G(愛dt-4y解：因為豈取(Xo,yo)=(0, 0)原方程的通積分為(5)2 解:3 解：將變量分離,得到兩邊積分，即得二sin x c因而，所求特解為i y =1 - si nx= xdyu代入，則原方程變?yōu)閐xdu x udxdx這里c是任意函數(shù)，整理后，得到sin u - _ecx、e令二e = c，得至 Usinu = cx5 解：令 z = y-1得dzdx一dyydx代入原方程得到dz6- =z xdxx這是線性方程，

12、求得它的通解為2x代回原來的變量 y，得到1 _ cx2廠x68這就是原方程的通解。此外，方程還有解y=022236 解： 這里 M =3x +6xy .N = 6x y+4y ，這時.:M；N12xy. 12xy:y:x因此方程是恰當方程。現(xiàn)在求u ，使它同時滿足如下兩個方程c = -1將上式分離變量，即有ctgududx兩邊積分，得到帕sinu=nx +c解：以-=u及二u tgudutgu由（1 對 x 積分，得到u =x3 3x2y2：；：（y）為了確定申（y），將（3）對 y 求導數(shù)，并使它滿足（2）,即得2y 3 =6x2y 4y3dy皿 4y4dy積分后可得:(y)=y4將（y）

13、代入（3），得到3224u = x + 3x y + y因此，方程的通解為3小2 24x + 3x y + y =c這里 C 是任意常數(shù)-1-0 即特征根二-的特征方程為det( E - A) -3-1-2丸一2乂 一1)(，-4) =0為方程組解 a 為任意常數(shù).這樣邠、為方程的解dnxdn*x2由已知得肓 E 5二fi(t)dnxdnx-Gi(t)Gn(t)x2二f2(t)把 xi(t)+x2(t)代入方程 器Gi(t)Xdtdt-GnX(t)二fi(t) f2(t)由左端得心X)G(t)d咒X)Gn(t)(xi(t)X2(t)=dtdtn啣 氣Gi(t) Gn(t) Gn(t)xi(t)

14、 Gn(t)x2(t)dt dtdtdt3 證明 設 y = y(x)是方程任一解，滿足y (x0) = y，該解的表達式為X/、f (s)e(X0)ds X、/y(x)二一x-x -X05 函數(shù) f (x , y)稱為在 R 上關(guān)于 y 滿足Lipschitz條件，如果存在常數(shù)L0,使得不等式f (x.yj - f (x.y2)蘭L %-丫2對于所有(x,丫！),(x, y2) R都成立,L 稱為Lipschitz常數(shù)6 定義在區(qū)間atb上的函數(shù)X&), X2(t),Xk(t),如果存在不全為零的常數(shù)ci, C2, Ck使得恒等式CiXi(t) C2X2(t)亠亠CkXk(t) =0

15、對于所有t a,b 1都成立，稱這些函數(shù)是線性相關(guān)的五 1 在方程y p(x)y q(x)y =0中，已知 p (x),q (x)在(-：，：)上連續(xù)，求證:該方程的任一非零解在xoy平面上不能與 x 軸相切證明：方程Vp(x)yq(x)y = 0，設y =(x)是它的任一非零解。若 p (x),q (x)在(-：)上連續(xù)，假設y= (x)在xoy平面上與軸相切。則y二(xH0, y = 0與方程有非零解y二(x)矛盾。故y二(x)與 x 軸不相切。的方程，稱為伯努利方程，這里P(x), Q(x)為 x 的連續(xù)函數(shù)，n = 0,1是常數(shù)取極限Vff(s)e(5dslim y(x)二lim- lim上莎-x：Je丸x：ex_xo0若J：f(s) eidse=0f(x)e(xN):x匕mexo=0若f(S)e(s。)ds =盟L_exo4 證明 設 yi(x),y2(x)是方程的基本解組，則對任意x(-：, =),它們朗斯基行列式在(-：)上有定義，且W (x) = 0.又由劉維爾公式W(x) = W(Xo)exoP(s)ds,Xo(八，二)：p( s) dsW(x)二W(xo)exop(x)由于W(Xo) =0