高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)-------最值問(wèn)題

1、. 或葿蕆螃膀腿蚃蠆袆芁蒅薅裊莄蟻袃襖肅蒄衿襖芆蝿螅袃莈薂蟻袂蒀蒞羀袁膀薀袆袀節(jié)莃螂罿蒞蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蝕羄芃蚃薆羃蒞蒆裊肂肅螞螁肂膇蒅蚇肁芀蝕蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螃肇莆莄蠆肆肆蕿薅膆膈莂襖膅芀薈螀膄蒃莁螆膃膂蚆螞膂芅葿羈膁莇蚄袇膀葿蕆螃膀腿蚃蠆袆芁蒅薅裊莄蟻袃襖肅蒄衿襖芆蝿螅袃莈薂蟻袂蒀蒞羀袁膀薀袆袀節(jié)莃螂罿蒞蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蝕羄芃蚃薆羃蒞蒆裊肂肅螞螁肂膇蒅蚇肁芀蝕蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螃肇莆莄蠆肆肆蕿薅膆膈莂襖膅芀薈螀膄蒃莁螆膃膂蚆螞膂芅葿羈膁莇蚄袇膀葿蕆螃膀腿蚃蠆袆芁蒅薅裊莄蟻袃襖肅蒄衿襖芆蝿螅袃莈薂蟻袂蒀蒞羀袁膀薀袆袀節(jié)莃螂罿蒞

2、蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蝕羄芃蚃薆羃蒞蒆裊肂肅螞螁肂膇蒅蚇肁芀蝕蚃肀蒂薃羂聿膂莆袈肈芄薁螃肇莆莄蠆肆肆蕿薅膆膈莂襖膅芀薈螀膄蒃莁螆膃膂蚆螞膂芅葿羈膁莇蚄袇膀葿蕆螃膀腿蚃蠆袆芁蒅薅裊莄蟻袃襖肅蒄衿襖芆蝿螅袃莈薂蟻袂蒀蒞羀袁膀薀袆袀節(jié)莃螂罿蒞蕿蚈羈肄莁薄羈膆薇羂羇荿蒀袈羆蒁蚅螄羅膁蒈蝕羄芃 高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)-最值問(wèn)題 最值問(wèn)題也可以表述成值域問(wèn)題，取值范圍等問(wèn)題，它包括最大值及最小值。這部分知識(shí)是高考中必考題，它與其他知識(shí)的聯(lián)系也是十分緊密的，因此我們有必要把求最值的知識(shí)方法總結(jié)一下。 1利用二次函數(shù)求最值 二次函數(shù)是我們研究的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，特別是在給定區(qū)間上的最值問(wèn)題。這部分

3、常見(jiàn)的是換元后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式。特別注意換的“元”的取值范圍。研究二次函數(shù)問(wèn)題最好是結(jié)合它的圖像（可以在草稿紙上畫(huà)草圖），這樣不易出錯(cuò)，并且加快解題速度。 例1：f(x)=1-2·ax-a2x (a>0且a1)(1) 求函數(shù)f(x)的值域； (2) 若x-2,1時(shí)，f(x)的最小值為-7，求a的值及此時(shí)f(x)的最大值。 解：令t=ax，則t>0， f(x)=1-2t-t2=-(t2+2t+1)+2=-(t+1)2+2 對(duì)稱軸t=-1<0, f(x)<-(0+1)2+2=1 f(x)的值域?yàn)?-,1)。 (2) 由(1)，f(x)=1-2t-t2=-(t+

4、1)2+2 ，并且在（1, ）上是減函數(shù) x-2,+1, 當(dāng)a>1時(shí)，ta-2,a 當(dāng)t=a時(shí)，f(x)min=-(a+1)2+2=-7,a=2 此時(shí)f(x)max=-(a-2+1)2+2=。 當(dāng)0<a<1時(shí)，ta, a-2, 當(dāng)t=a-2時(shí)，f(x)min=-(a-2+1)2+2=-7,a=,此時(shí)f(x)max=-(a+1)2+2=, 滿足題要求時(shí)a=2時(shí)，f(x)max=。 a=時(shí)，f(x)max=。 例2：已知：a1，f(x)=ax2-2x+1在1，3上最大值為M(a),最小值為N(a)，令g(a)=M(a)-N(a)。求g(a)的最小值。 解：f(x)=a(x2-x+

5、-)+1=a(x-)2+1- a1,13。 所以f(x)的圖像開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在1,3之間。 x1,3 當(dāng)x=時(shí)，f(x)min=N(a)=1-， 當(dāng)12，即a1時(shí)，f(x)max=f(3)=M(a)=9a-5。 當(dāng)2<3，即a<時(shí)，f(x)max=f(1)=M(a)=a-1。 g(a)=M(a)-N(a) g(a)=,當(dāng)a<時(shí)，g(a)=a+-22-2=0。當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)“=”成立，a=1, ), g(a)>0, 可證g(a)在, )是單減函數(shù)， g(a)在, )上無(wú)最小值, 當(dāng)a1時(shí)，g(a)=9a+-66-6 當(dāng)且僅當(dāng)a=時(shí)“=”成立，a=,1 g(a)>

6、0,可證g(a)在,1上為單增函數(shù)， g(a)min=g()=,當(dāng)a=時(shí)，g(a)min=。注：最好掌握一般的情況f(x)=ax+(a,b>0)的圖像，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，只畫(huà)右邊部分。（下面的3中涉及到了） 因?yàn)閍x+，在ax=時(shí)取等號(hào)，即x。草圖如下：（可以觀察最值和單調(diào)性） 2利用平均值不等式求最值例1：從半徑為2的圓板上剪下一個(gè)以原圓心為圓心的扇形，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，如何操作使圓錐體積最大？ 解：如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為2，設(shè)圓錐軸截面的底角為(0<<)則圓錐底面半徑r=2cos,高h(yuǎn)=2sin， V=r2h =·4cos2·2sin =( 1-sin2)

7、sin = = 。當(dāng)且僅當(dāng)2sin2=1-sin2，即sin=時(shí)“=”成立，此時(shí)，圓錐底面半徑r=,圓錐側(cè)面展開(kāi)圖扇形的中心角=， 即從圓板上剪下中心角為的扇形圍成的圓錐體積最大，最大值為。注：cos2·2sin是三次關(guān)系，對(duì)于所有的三次關(guān)系的最值問(wèn)題，幾乎都用均值不等式（因?yàn)槲覀冎粚W(xué)過(guò)二次函數(shù)求最值，沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)求最值，故只能用均值不等式求） 例：求函數(shù)y=(x0)的最小值。 解：y=(x+1)+-42-4。 當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x=-1時(shí)，“=”成立， ymin=2-4。 本法叫分離常數(shù)法，就是在分子中湊出與分母相同的項(xiàng)，然后約分。在分式中經(jīng)常用到。本種題型有些書(shū)上經(jīng)常去分母轉(zhuǎn)

8、化成關(guān)于x的二次方程，利用判別式求最值，但要注意x0這個(gè)條件，即轉(zhuǎn)化后的方程不僅有根，而且要有大于等于0的根（還要考慮有一個(gè)還是有兩個(gè)根），因此如果對(duì)x加以限制后最好采用平均值 不等式的方法來(lái)求，特別注意等號(hào)成立的條件。 注：在分式和三次式中求最值常用均值不等式 3利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決最值問(wèn)題應(yīng)該是最直接的方法，除了我們研究的常見(jiàn)函數(shù)外，大家應(yīng)特別注意y=x+這種形式函數(shù)的單調(diào)性。經(jīng)常會(huì)遇到用平均不等式后發(fā)現(xiàn)等號(hào)不成立。故需要用到函數(shù)的單調(diào)性。 例：求：y=的值域。 解：令t=, t,+), y=t+2, 當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)“=”成立， t=1,+), y>2。(

9、此時(shí)要用到y(tǒng)=x+型函數(shù)的單調(diào)性) y=t+在1,+)是增函數(shù)（自己去證） y=t+在,+) 上也是增函數(shù)， y,+) 。 4利用三角變換求最值。例：求函數(shù)y=x+x·的最值。 解：定義域：-1，1，設(shè)x=cos,0,，則=sin, y=cos+sin+cos·sin 令t=sin+cos=sin(+),t-1, y=t+(t2-1)=(t2+2t+1)-1=(t+1)2-1 t-1,。 當(dāng)t=-1時(shí)，即x=-1時(shí)，ymin=-1, 當(dāng)t=時(shí)，即x=時(shí)，ymax=。 注：本題應(yīng)用定義域-1，1上入手，采用三角換元方法解決，換元后一定要說(shuō)明新元的范圍。 例：已知：復(fù)數(shù)z1,z

10、2,z3的輻角分別為,，模分別為1，k,2-k，且z1+z2+z3=0。 求：cos(-) 的最大及最小值及相應(yīng)的k值。 解： k, 2-k是復(fù)數(shù)的模， 0<k<2, 設(shè)z1=cos+isin, z2=k(cos+isin),z3=(2-k)(cos+isin) z1+z2+z3=0, cos+kcos+(2-k)cos+isin+ksin+(2-k)cos=0, 。 sin2+cos2=1, (k-2)2cos2-2k(k-2)coscos+k2cos2+(k-2)sin2-2k(k-2)sinsin+k2sin2=1, 即(k-2)2+k2-1=2k(k-2)coscos+si

11、nsin=2k(k-2)cos(-)。 0<k<2, cos(-)=1+=1+ 當(dāng)k=1時(shí)，cos(-)max=-, cos(-)-1,1, 當(dāng)k=或時(shí)，cos(-)min=-1。 注：本題最后求最值時(shí)，不僅要考慮k的變化，也要考慮三角函數(shù)本身的范圍。 5利用數(shù)形結(jié)合求最值。例：求函數(shù)y=的最值。 解：本題可看作定點(diǎn)P（2，3）與動(dòng)點(diǎn)Q(cosx,sinx)連線的斜率的范圍。而動(dòng)點(diǎn)Q在圓心在原點(diǎn)的單位圓上移動(dòng)，當(dāng)過(guò)P點(diǎn)的直線與圓相切時(shí)得到最值。 設(shè)過(guò)P的直線y-3=k(x-2) (1+k2)x2-2k(2k-3)x+(4k2-12k+8)=0 =4k2(2k-3)2-4(1+k2)

12、(4k2-12k+8)0，3k2-12k+80 2-k2+, ymax=2+, ymin=2-。 例：已知：實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-6y+12=0,求：x2+y2的范圍。 解：由x2+y2-4x-6y+12=0，得到(x-2)2+(y-3)2=1 x2+y2即為圓上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方， (x2+y2)min=(-1)2=14-2,(x2+y2)max=(+1)2=14+2。 x2+y214-2,14+2。 注：切記x2+y2是指到原點(diǎn)距離的平方。 蒄莇襖膆芇蚅袃裊蒂薁袂羈芅薇袁膀薀蒃袀節(jié)莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀羇袆莀莆羆罿膃蚄羅肁莈蝕羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒅蚇羈芀芇薃肀罿蒃葿蚆肂芆蒞蚆膄蒁螄蚅羄芄蝕蚄肆薀薆蚃膈莂蒂螞芁膅螀蟻羀莁蚆螀肅膃薂螀膅荿蒈蝿襖膂莄螈肇莇螃螇腿芀蠆螆芁蒅薅螅羈羋蒁螄肅蒄莇襖膆芇蚅袃裊蒂薁袂羈芅薇袁膀薀蒃袀節(jié)莃螂衿羂膆蚈袈肄莁薄袈膇膄蒀羇袆莀莆羆罿膃蚄羅肁莈蝕羄芃膁薆羃羃蒆蒂羂肅艿螁羂膇蒅蚇羈芀芇薃肀罿蒃葿蚆肂芆蒞蚆膄蒁螄蚅羄芄蝕蚄肆薀薆蚃膈莂蒂螞芁膅螀蟻羀莁蚆螀肅膃薂螀膅荿蒈蝿襖膂莄螈肇莇螃螇腿芀蠆螆芁蒅薅螅羈羋蒁螄肅蒄莇襖膆芇蚅袃