圓知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題

1、圓知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題、圓的概念集合形式的概念：1 1 、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；2 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1 1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓； （補(bǔ)充 ）2 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫 中垂線）；3 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4 4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定 長(zhǎng)的兩條直線；5 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌

2、跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1 1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi)；2 2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上；3 3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1 1、直線與圓相離dr無(wú)交點(diǎn)；2 2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn)；3 3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1 1）無(wú)交點(diǎn)dR r；外切（圖2 2）有一個(gè)交點(diǎn)dR r；相交（圖3 3）有兩個(gè)交點(diǎn)R rd R r;內(nèi)切（圖4 4）有一個(gè)交點(diǎn)dR r;內(nèi)含（圖5 5）無(wú)交點(diǎn)dR r;五、垂徑定理 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。 推論 1 1：（1 1）平分弦（不是

3、直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（2 2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；（3 3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 以上共 4 4 個(gè)定理，簡(jiǎn)稱 2 2 推 3 3 定理：此定理中共 5 5 個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2 2 個(gè)即 可推出其它 3 3 個(gè)結(jié)論，即：AB是直徑 AB CDCE DE弧BC弧BD弧AC弧AD中任意 2 2 個(gè)條件推出其他 3 3 個(gè)結(jié)論。推論 2 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在OO中，TAB/CD弧AC弧BD六、圓心角定理圓心角定理： 同圓或等圓中， 相等的圓心角所對(duì)的弦相等， 所對(duì)的弧相等， 弦心

4、距相等。 此定理也稱 1 1 推 3 3 定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的 1 1 個(gè)相等，則可以推出其它的 3 3 個(gè)結(jié)論，即：AOB DOE ，AB DE;OC OF;弧BA弧BD七、圓周角定理 1 1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2 2、圓周角定理的推論：推論 1 1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等??；即：在OO中，C、D都是所對(duì)的圓周角C D推論 2 2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角； 圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓， 所對(duì)的弦是直徑。即：在OO中，AB是

5、直徑或C 90C 90AB是直徑推論 3 3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在ABC中，OC OA OBABC是直角三角形或C 90注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。 即:在OO中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形C BAD 180 B D 180 DAE C九、切線的性質(zhì)與判定定理（1 1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：MN OA且MN過(guò)半徑OA外端 M

6、N是OO的切線（ 2 2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖）推論 1 1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切點(diǎn)。推論 2 2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線 的夾角。即：PA、PB是的兩條切線PA PBPO平分BPA十一、圓冪定理（1 1）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在OO中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P,PA PB PC PD（2 2）推論： 如果弦與直徑垂

7、直相交， 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在OO中，直徑AB CD,2CE2AE BE（3 3）切割線定理 ：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在OO中，PA是切線，PB是割線 PA2PC PB(4) 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。即：在OO中，PB、PE是割線PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：TOOi、OO2相交于A、B兩點(diǎn)- O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線

8、兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式：(1)公切線長(zhǎng)：RtRt OQOQ2C C 中，AB2CO,2O,O2CO22;(2)外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和。十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1 1 )正三角形在OO中厶ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在Rt BOD中進(jìn)行：OD:BD:OB 1:、.3:2；(2 2 )正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAE中進(jìn)行，OE:AE:OAOE:AE:OA 1:1:1:1: 2 2 :(3 3 )正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt OAB中進(jìn)行，AB :OB :OA 1:.3:2. .卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1 1、扇形：（1 1）弧長(zhǎng)

9、公式:n R180（2 2 ）扇形面積公式:360-1R2n:圓心角R:扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長(zhǎng)S:扇形面積2 2、圓柱：（1 1 ）圓柱側(cè)面展開圖SaS側(cè)2S底= =2 rh 2 r2（2 2）圓柱的體積：Vr2h（2 2 ）圓錐側(cè)面展開圖（1）S表S側(cè)S底= =Rrr212（2 2）圓錐的體積：V丄r2h3選擇題1.1. 右兩圓相切，且兩圓的半徑分別是A.A. 5 52 2, 3 3,則這兩個(gè)圓的圓心距是（)B.B. 1 1C.C. 1 1 或5 5D.D. 1 1 或 4 42.2.O 0和O Q的半徑分別為 1 1 和 4 4,圓心距OQ= 5 5,那么兩圓的位置關(guān)系是（)A.

10、A.外離B.B.內(nèi)含C C .外切D.D.外離或內(nèi)含3 3.如果半徑分別為 1 1cm和 2cm2cm 的兩圓外切，那么與這兩個(gè)圓都相切，且半徑為 3 3cm的圓的個(gè)數(shù)有（）A.A. 2 2 個(gè)B.B. 3 3C.C. 4 4 個(gè)D.D.5 5 個(gè)4 4.若兩圓半徑分別為R和r（R r）,圓心距為d,且氏+cf-r2= 2 2Rd,則兩圓的位置關(guān)系是（）A.A.內(nèi)切B.B.外O切C.C.內(nèi)切或外0 0 和 OQOQ 的位置關(guān)系是A.A.陰影部分的面積為（D.D.相交5.5.如圖，O 0的直徑為 1010 厘米,弦AB的長(zhǎng)為 6 6cm M是弦AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則線段0M的長(zhǎng)的取值范圍是（A.A.

11、 3 3 0M5B. 4v OMkD.D. 4 4vOIOIV5 56 6. .已知：OO O 和O0 02的半徑是方程2x x 5x5x + 6 6 = 0 0的兩個(gè)根,且兩圓的圓心距等于C.C.外切D.D.內(nèi)切7 7. .如圖，ABC為等腰直角三角形, /A= 9090,AB=ACAC= . 2 2 ,O A與BC相切，則圖中A.A.B.B. 1 1C.C.D.D. 1 1 - -518.8.如圖，點(diǎn)B在圓錐母線VA上，且VB= VA3圓錐，若小圓錐的側(cè)面積為S，原圓錐的側(cè)面積為A.A.S=丄S3過(guò)點(diǎn)B作平行于底面的平面截得一個(gè)小B.B.S,則下列判斷中正確的是（S=- S4C.C.S=D

12、.D.S=- S9-S6填空題1.1.若半徑分別為 6 6 和 4 4 的兩圓相切，則兩圓的圓心距d的值是2.2.O O和O Q的半徑分別為 2020 和 1515,它們相交于A, B兩點(diǎn)，線段AB=2424,則兩圓的圓心距OO =_。3.3.O O和O O相切，O O的半徑為 4 4cm圓心距為6 6cm,則O O的半徑為OO和OO相切，OO的半徑為 6 6cm圓心距為4 4cm則O 02的半徑為4.4.O O、O O和O Q是三個(gè)半徑為 1 1 的等圓，且圓心在同一直線上，若OO分別與O 0,0Q相交，O 0與O Q不相交，則O 0與O O圓心距d的取值范圍是 _。5.5.在厶ABC/C=

13、 9090,AC= 3 3,BC= 4 4,點(diǎn)0是厶ABC勺外心，現(xiàn)在以0為圓心，分別以 2 2、3 3、為半徑作O Q則點(diǎn)C與OO的位置關(guān)系分別是 _。B.B.切C.C.內(nèi)切或外6.6.如圖在O O中，直徑A電弦CD垂足為P, /BAD=3030,則/AOC勺度數(shù)是度。7.7. 在 RtRtABC斜邊AB=1313cm BC=1212cm以AB的中點(diǎn)O為圓心，為半徑畫圓，則直線BC和O O的位置關(guān)系是 _。8.8. 把一個(gè)半徑為 1212 厘米的圓片，剪去一個(gè)圓心角為120120。的扇形后，用剩下的部分做成一個(gè)圓錐側(cè)面，那么這個(gè)圓錐的側(cè)面積是 _。9.9.已知圓錐的母線與高的夾角為_ 303

14、0 ,母線長(zhǎng)為 4cm,4cm,則它的側(cè)面積為_cm（結(jié)果保留n）o10.10.一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為 4 4n,用它做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐的底面半徑為_o解答證明題1.1.已知：如圖，O O和O Q相交于點(diǎn)A、B,過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C, D點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)直線，BMBM 分別交兩圓于點(diǎn)E、Fo求證：C氐A(chǔ)BC的三邊長(zhǎng)分別為 6 6、8 8、1010,并且以A、B C三點(diǎn)為圓心作兩兩相切的圓， 求這三個(gè)圓的半徑。3.3.如圖所示，O O和O O相切于P點(diǎn)，過(guò)P的直線交O O于A, ,交 OQOQ 于B,求證：OA/ QB4.4.如圖，A為O O上一點(diǎn)，以A為圓心的O A交O O于B C兩點(diǎn)，O 0的弦AD交公共弦BC于E點(diǎn)。(1) 求證：AD