周世勛量子力學(xué)習(xí)題及解答

1、量子力學(xué)習(xí)題及解答第一章量子理論基礎(chǔ)1. 1由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長mT=b（常量）；并近似計(jì)算b的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。 解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式這里的的物理意義是黑體內(nèi)波長介于人與人+d人之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是入取何值時(shí)，取得極大值，因此，就得要求對(duì)人的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的人的值，記作mO但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)人的二階導(dǎo)數(shù)在m處的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m就是要求的，具體如下：hc如果令x=，則上述方程為kT這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0,但經(jīng)過驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過逐步近似

2、法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=,經(jīng)過驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有把x以及三個(gè)物理常量代入到上式便知這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來判定溫度的高低。1 . 2在0K附近，鈉的價(jià)電子能量約為3eV,求其德布羅意波長。解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv ,如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（E動(dòng)ec2）,那么如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為3eV,遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即0.51 106eV ,因此利用非相對(duì)論性的電子的能量

3、一一動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有在這里，利用了以及最后，對(duì)以及vdv8 hv31,一3- hv一dvc e而1v c,vdvvd ,(1)(2)(3)m與溫度T成反比，即作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而 粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較 強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子 意義來說，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。一L 3,丁,一1 . 3氨原子的動(dòng)能是E -kT(k為玻耳茲曼常數(shù))，求T=1K時(shí)，氨原子的德布羅意

4、波長。2解根據(jù)31k K 10 eV,知本題的氨原子的動(dòng)能為2顯然邁邁小于核c這樣，便有這里，利用了最后，再對(duì)德布羅意波長與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為T的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為kT,這樣，其相慶的德布羅意波長就為據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長就越長，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長長 到比粒子間的平均距離還長時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳茲 曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布一一玻色分布或費(fèi)米公布。1 . 4利用玻爾一一索末菲的量子化條件，求：(1)一維諧振子的能量；(2)在均勻磁場中作圓周

5、運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場H=10T,玻爾磁子MB9 1024J T1,試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔E,并與T=4K及T=100K的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解玻爾一一索末菲的量子化條件為其中q是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n是正整數(shù)。(1)設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為k,諧振子質(zhì)量為心，于是有這樣，便有這里的正負(fù)號(hào)分別表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)可解出xJkk這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾一一索末菲的量子化條件，有為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；這樣，便有這時(shí)，令

6、上式左邊的積分為A,此外再構(gòu)個(gè)積分這樣，便有A B 2E .2A B ：2E .2,這里 二2 8,這樣，就有一d2E一，kk(1)一cos2 d kA BEJ dsin0(2). k（2）當(dāng)電子在均勻磁場中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有 這時(shí)，玻爾一一索末菲的量子化條件就為2_ _P又因?yàn)閯?dòng)能耐E所以，有2q其中，MB上一是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且2具體到本題，有根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式以及可知，當(dāng)溫度T=4K時(shí)，當(dāng)溫度T=100K時(shí)，顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。1 . 5兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問要實(shí)

7、現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長 最大是多少？解關(guān)于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過程，如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問題，嚴(yán)格來說，需要用到相對(duì)性量子場論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒 等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電 子對(duì)反需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長也就最長，而且，有 此外，還有 于是，有盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最 輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波 長將會(huì)更小，

8、這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問題，一般所需的能量是很 大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來越 高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波函數(shù)和薛定調(diào)方程證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令可見J與t無關(guān)。由下列定態(tài)波函數(shù)計(jì)算幾率流密度:解：J1和J2只有r分量rsinJ1與r同向。表示向外傳播的球面波。根據(jù)式（1）和（2）,便有 這樣，便有其中h最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論首先，注意到諧振子的能量被量子化了;其次，這量子化的能量是等間隔分布的從所得結(jié)果說明1表示向外傳播的球面波,2表示向

9、內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。在球坐標(biāo)中可見，12與反向。表示向內(nèi)（即向原點(diǎn)）傳播的球面波。補(bǔ)充：設(shè)（x） eikx,粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化?2波函數(shù)不能按（x） dx 1方式歸一化。其相對(duì)位置幾率分布函數(shù)為2一一.一，.一，一1表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同一粒子在一維勢場中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)解：U（x）與t無關(guān)，是定態(tài)問題。其定態(tài)S一方程即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢阱以外的地方去。根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù)A, B,由連續(xù)性條件，得2(0)l(0)2(a)3(a)5B 06Asin ka 0A 0sinka 0ka n (n 1,2,3,)2(x) Asin n

10、- x由歸一化條件在各區(qū)域的具體形式為I ： x 0n ： 0 x am ： x a2d22m dx22d2-22 m dx2d2T -22m dx由于（1）、（3）方程中，由于U（x）l(x)2(x)3(x)U(x) i(x) E i(x) CfE2(x)U(x)3(x) E3(x)區(qū),要等式成立，必須方程（2）可變?yōu)?2d2(x) 2mEdx22(x)0令k22mE得其解為2(x) Asin kxBcoskx得Asin2xdx 1oaa_._ m n asin-x sin xdxbaa 2對(duì)應(yīng)于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為證明()式中的歸一化常數(shù)是A sin - (x a), xa證：na0

11、,x a由歸一化，得歸一化常數(shù)A - #a求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。d1(x)/口令一0 ,得dx由1(x)的表達(dá)式可知，x 0, x時(shí)，1( x)可見x1J 是所求幾率最大的位置。#V在一維勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U( x)證：在一維勢場中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài)S-方程為2d2了d7(x)U(x)(x) E (x)將式中的*以(x)代換，得2 22En2n2ma(n 1,2,3,)可見E是量子化的2d2廠菽(x) U( x) ( x)(x)0 O顯然不是最大幾率的位置U (x),證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。5x) U(x) ( x) E ( x)x)和(x)都是描寫

12、在同一勢場作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是(x) c (x)x反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的乘，得可見，c一粒子在一維勢阱中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)(0 EU0)的能級(jí)所滿足的方程。整理后,利用U ( x) U (x),得同一個(gè)狀態(tài)，因此(x)和(x)之間只能相差一個(gè)常數(shù)co方程、可相互進(jìn)行空間反演(xx)而得其對(duì)方，由經(jīng)x x反演，可得,(x) cx)1時(shí),(x)(x)(x)具有偶宇稱,1時(shí),x)(x)(x)具有奇宇稱,當(dāng)勢場滿足U(x)U(x)時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。解法一：粒子所滿足的S-方程為按勢能U (x)的形式分區(qū)域的具體形式為2d22 dx21(x)

13、Uo1(x) E1(x)2d22 dx22(x)2(x)2且dx23(x)Uo3(x) E3(x)(Uo2E)比較、式可知，(由再經(jīng)x2 (UoE)32306kk；k1各方程的解為由波函數(shù)的有限性, 因此(13)式，并合并成方程組，得C、D、F,進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須2k1ae，22、 (k2k)sin 2k2a2k1k2cos2k2a 022、即(k2k1)tg2 k2a 2k1k20為所求束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。#解法二：接(13)#解法三：合并(a)、(b)：in:令k；2 (UoE)2tg2 k2a2k1k222k2k1利用tg2k2a2tgk2a1 tg2k

14、2a由波函數(shù)的連續(xù)性，有整理(10)、(11)、(12)、解此方程即可得出B、(11)-(13)2k2D sin k2ak1ek1a(B F )(10)+(12)2Dcosk2a ek1a(B F)(11)+(13)2k2c cos k2ak1(F B)eika(12)-(10)2Csink2a (F B)eik1a(11)(13)(12)(10k2ctgk2ak1kza,kza,則解法四：（最簡方法-平移坐標(biāo)軸法）因此由波函數(shù)的連續(xù)性，有代入（6）利用、（5）,得#分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似表示為求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程。解：勢能曲線如圖示，分成四個(gè)區(qū)域求解定態(tài)S-方程為對(duì)各

15、區(qū)域的具體形式為對(duì)于束縛態(tài)來說，有U0(L 0)(0 x 2a)212221k22 (UE),2k22 E/2束縛態(tài)0 E U0U(x)(x0)U0(0 x a)m：Ui(ax b)IV:(bx)U(x)粒子不可能到達(dá)此區(qū)域，故(U。2E)2 (Ui2E)2 (U0E)24Fek3x由波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)，得3(b)4(b)Ck2sin k2b Dk2cosk2bFk3ek3b由 、得(k2cosk2b)C (k2sin k2b)D ( k3sink2b)C (k3cosk2b)D,k2k2(一cosk2b sin k2b)C(一cosk2b sink2b)D 0(12)k3k3聯(lián)立（12

16、）、（13）得，要此方程組有非零解，必須把代入即得此即為所要求的束縛態(tài)能級(jí)所滿足的方程。附：從方程之后也可以直接用行列式求解。見附頁。此即為所求方程。#補(bǔ)充練習(xí)題一12 2一X1、設(shè)（x） Ae2（為常數(shù)），求A = ?解：由歸一化條件，有91291 JV2L2ki2k23k；k22 (UiE)22 E/2各方程的解分別為由波函數(shù)的有限性，得k3x2A(ek3Xe )2(a)3(a)A(ek3xk3X)C sin k2aD cosk2a3(a)3(a)Ak1(ek3aek3a)Ck2cosk2a Dk2sin k2a3(b)4(b)C sin k2bDcosk2b Fek3b由、，得kakak

17、1e1ek kk( ak( aCcosk2a D cosk2aC sin k2a D cosk2a(11)Lae1Lae1kakae ek1、，,則式變?yōu)閗2A e dy A J利用e dy力2 (U0E)22、求基態(tài)微觀線性諧振子在經(jīng)典界限外被發(fā)現(xiàn)的幾率。解：基態(tài)能量為E。設(shè)基態(tài)的經(jīng)典界限的位置為在界限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為1勢能的平均值U一exdxa1式中.2:2/2e出為正態(tài)分布函數(shù)(x)Jxet2/2dt.2時(shí)的值（2） o查表得(.2) 0.920.922(1 0.92) 0.16在經(jīng)典極限外發(fā)現(xiàn)振子的幾率為。(23x33x）是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對(duì)應(yīng)的能量。證：線性諧振子的

18、S-方程為2d22 dx(X)x2(x)E (x)把（x）代入上式，有把 （x）代入式左邊，得dx 時(shí)，左邊=右邊2(x)(23 x）,是線性諧振子的波函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的能量為一維諧振子處在基態(tài)（x）第三章2 2.x i22量子力學(xué)中的力子重3、試證明（X）122 2x22(2)動(dòng)能的平均值Tp-(3)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。一12F1222x2解：(1)?Uxx e dx22* q(x) ? (x) dx11或T E U 24* c(p)p(x) (x)dx動(dòng)量幾率分布函數(shù)為#1r / a.氫原子處在基態(tài)(r, , )j- e，求:.a0(1)r的平均值;2八e ,一(2)勢能 的平均值；r(3)最

19、可幾半徑；(4)動(dòng)能的平均值；(5)動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。解：(1)r (r, , )2dre2r/a0r2sin drd dC3000a。(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為d (r)0,r10,2,口a0dra0是最可幾半徑。21, 2、11- 2(r )-(Sin )22r r r sinsin。0, r2時(shí),(r)0為幾率最小位置 c(p)*p(r)(r, , )d動(dòng)量幾率分布函數(shù)#證明氫原子中電子運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的電流密度在球極坐標(biāo)中的分量是 證：電子的電流密度為在球極坐標(biāo)中為式中er、e、e為單位矢量nm中的r和部分是實(shí)數(shù)Jeie ,.一27；(1mnm2 r sinimnm|2)e

20、e mrsin可見，JerJe0#由上題可知， 氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的(1)求一圓周電流的磁矩。(2)證明氫原子磁矩為原子磁矩與角動(dòng)量之比為 這個(gè)比值稱為回轉(zhuǎn)磁比率。解：(1)一圓周電流的磁矩為dM iA JedS A ( i為圓周所圍面積)(2)氫原子的磁矩為e m在CGS單位制中M-一2 cH-lrshiS_*為圓周電流，A原子磁矩與角動(dòng)量之比為MzLzLz(SI)MzLze -行(CGS)一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為它的能量的經(jīng)典表示式是HL-, L為角動(dòng)量，求與此對(duì)應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量及波函數(shù)：(1)轉(zhuǎn)子繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：(2)轉(zhuǎn)子繞一固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：解：(1)設(shè)

21、該固定軸沿軸方向，則有哈米頓算符2d22I d2其本征方程為(H與t無關(guān)，屬定態(tài)問題取其解為()Aeim(m可正可負(fù)可為零)由波函數(shù)的單值性，應(yīng)有即ei2m1m= 0 , 1, 2,2 2轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為Em. (m= 0 , 1, 2,)2I可見能量只能取一系列分立值，構(gòu)成分立譜。定態(tài)波函數(shù)為A為歸一化常數(shù)，由歸一化條件轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為綜上所述，除m=0外，能級(jí)是二重簡并的。(2)取固定點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為H?與t無關(guān)，屬定態(tài)問題，其本征方程為(式中Y(,)設(shè)為I-?的本征函數(shù)，E為其本征值)令2IE2,則有此即為角動(dòng)量L?2的本征方程，其本征值為其波函數(shù)為球諧函數(shù)Ym(

22、, ) NmP網(wǎng)(cos )eim轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為可見，能量是分立的，且是(21)重簡并的#設(shè)t=0時(shí)，粒子的狀態(tài)為求此時(shí)粒子的平均動(dòng)量和平均動(dòng)能。解：(x) Asin2kx2cos kx A1(1 cos2kx)2cos kx上述的A為歸一化常數(shù)，可由歸一化條件，得A 1/ 動(dòng)量p的平均值為#一維運(yùn)動(dòng)粒子的狀態(tài)是其中0,求：(1)粒子動(dòng)量的幾率分布函數(shù);(2)粒子的平均動(dòng)量?？梢姡瑒?dòng)量pn的可能值為0 2k2k k2動(dòng)能包的可能值為022k222, 2 22k k 2k2對(duì)應(yīng)的幾率n應(yīng)為A2A 2A 2AA1616A216A216解：（1）先求歸一化常數(shù)，由3/2動(dòng)量幾率分布函數(shù)為3 xdx

23、 p (x)? (x)dx i 4 xe (e )dx dx#.在一維無限深勢阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢阱的寬度為a,如果粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描寫，A為歸一化常數(shù)，求粒子的幾率分布和能量的平均值。解：由波函數(shù)（x）的形式可知一維無限深勢阱的分布如圖示。粒子能量的本征函數(shù)和本征值為動(dòng)量的幾率分布函數(shù)為（E） C先把（x）歸一化，由歸一化條件,2240n 2(E)|Cn|F1 ( 1)n.設(shè)氫原子處于狀態(tài)求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值解：在此能量中，氫原子能量有確定值角動(dòng)量平方有確定值為角動(dòng)量Z分量的可能值為其相應(yīng)的幾率分別為其平均值為一粒子在硬壁球

24、形空腔中運(yùn)動(dòng)，勢能為求粒子的能級(jí)和定態(tài)函數(shù)。解：據(jù)題意，在r a的區(qū)域，U（r）,所以粒子不可能運(yùn)動(dòng)到這一區(qū)域，即在這區(qū)域粒子的波函數(shù)0(r a)無關(guān)，是各向同性的，因此，粒子的波函數(shù)只與r有關(guān)，而與 、 無由于在r a的區(qū)域內(nèi),U（r） 0。只求角動(dòng)量為零的情況，即0 ,這時(shí)在各個(gè)方向發(fā)現(xiàn)粒子的幾率是Cnx)dx相同的。即粒子的幾率分布與角度關(guān)。設(shè)為（r）,則粒子的能量的本征方程為22 E令U(r) rE , k得其通解為波函數(shù)的有限性條件知，（0）有限，則B(r) sin krr由波函數(shù)的連續(xù)性條件，有B 0 ka(n 1,2,)22其中B為歸一化，由歸一化條件得歸一化的波函數(shù).nsin

25、r1 a22求第題中粒子位置和動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系（x） （ p）解：P 0粒子處于狀態(tài)式中 為常量。當(dāng)粒子的動(dòng)量平均值，并計(jì)算測不準(zhǔn)關(guān)系（x）2（ p）2解：先把（x）歸一化，由歸一化條件，得,是歸一化的動(dòng)量平均值為FP7?_2x * x dx xexdx#(r)（奇被積函數(shù)）利用測不準(zhǔn)關(guān)系估計(jì)氫原子的基態(tài)能量。解：設(shè)氫原子基態(tài)的最概然半徑為R,則原子半徑的不確定范圍可近似取為由測不準(zhǔn)關(guān)系2基態(tài)能量應(yīng)取E的極小值，由補(bǔ)充練習(xí)題二可見，io。不是U的本征函數(shù)可見，io。是(T? U?)的本征函數(shù)2.證明：L J6 , L的氫原子中的電子，在2解：Wm( , )d Ymd2 Wm( , ) Ym|L

26、蕊，L的電子，其2, m 1(P)24R2對(duì)于氫原子，基態(tài)波函數(shù)為偶宇稱,而動(dòng)量算符P為奇宇稱，所以又有(P)22P所以p2(P)24R2可近似取R2能量平均值為P2作為數(shù)量級(jí)估算可近似取2es則有R2代入E ,得到基態(tài)能量為Emin4es11.試以基態(tài)氫原子為例證明:不是做l?的本征函數(shù)，而是T? I?的本征函數(shù)。45和135的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。22W21（,）Ym15sin82cos152sin23245和13515W2 1為最大值。即在32135方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在c 150-32之間。3.試證明：處于1s, 2p和3d態(tài)的氫原子的電子在離原子核

27、的距離分別為a0、4ao和9ao的球殼內(nèi)被發(fā)現(xiàn)的幾率最大（a0為第一玻爾軌道半徑證：對(duì)1s態(tài)，n1,0,1、3/2 r/a0R10（一）ea。W100, r2a0易見，當(dāng)10,2時(shí)，W100不是最大值。W1o（ao）4一ea。2一，為最大值,所以處于1s態(tài)的電子在ra0處被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。對(duì)2P態(tài)的電子n 2,1,*3/2r3a0r/2a0er10,2r34a0易見，當(dāng)r10,2時(shí),W210為最小值。r 4a。為幾率最大位置,即在4ao的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。對(duì)于3d態(tài)的電子n 3,2,23/21rr2r/3a0R32（一）-（一） ea081 . 15 a0W32令一320r0,

28、r2r39a0易見，當(dāng)r10, r2時(shí),W320為幾率最小位置。r 9a0為幾率最大位置，即在9a0的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)球態(tài)的電子的幾率最大。4.當(dāng)無磁場時(shí)，在金屬中的電子的勢能可近似視為22 E2-其中U00,求電子在均勻場外電場作用下穿過金屬表面的透射系數(shù)。解：設(shè)電場強(qiáng)度為，方向沿x軸負(fù)向，則總勢能為V(x) ex (x 0),勢能曲線如圖所示。則透射系數(shù)為式中E為電子能量。x10 , x2由下式確定UoEx2-e令xU0一Esin2e2透射系數(shù)D exp 3UoE .-e2(UoE)5.指出下列算符哪個(gè)是線性的，說明其理由。D4x2-d-2；dx解：4x2_2是線性算符dx22一，z不是線性算符

29、n 是線性算符K 16.指出下列算符哪個(gè)是厄米算符，說明其理由。d2. . . .7、下列函數(shù)哪些是算符-2的本征函數(shù)，其本征值是什么？dx2x x , e , sinx, 3cosx, sin x cosxd2, 2、 c解： 一2(x )2dx2x2不是 J 的本征函數(shù)。dx2Jxdx2d2.夫 的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為1。dxex不是d2cosx是 2的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為一dx解：F?的本征方程為22-d-E,2Edxk28、試求算符F?ieix的本征函數(shù)。dxFeixce（F是F的本征值）9、如果把坐標(biāo)原點(diǎn)取在一維無限深勢阱的中心，求阱中粒子的波函數(shù)和能級(jí)的表達(dá)式。0,解:

30、U(x)方程（分區(qū)域）：U(x)in:U(x)i(x)0/a(x2iii(x)0D dx2(sin x) (cosx) sin xdx.d2.可見，sinx是 一的本征函數(shù)，其對(duì)應(yīng)的本征值為dx21。1 J(3cosx) ( 3sin x) dxdx3cosx (3cosx)d23cosx是2的本征函數(shù),dx其對(duì)應(yīng)的本征值為-1。d2.-2 (sin xdx(sin x dcosx)(cosxdxcosx)sin x)sin xcosxsin xii22 E2-標(biāo)準(zhǔn)條件:M2)11(2)IIIAsin(sin( kxk20IIkx(x)Asin k(xka(n1,2,)Asin粒子的波函數(shù)為(

31、x)n(x2)0,2_. 2粒子的能級(jí)為E k22k2(n1,2,3,)由歸一化條件，得A .2 a粒子的歸一化波函數(shù)為10、證明：處于1s、2P和3d態(tài)的氫原子中的電子，當(dāng)它處于距原子核的距離分別為a、4a、9a的球殼處的幾率最（a。為第一玻爾軌道半徑）證：1s:(r)10drR1022r dr令 jdr0，則得d210dr2110為幾率最小處。rnd210dr2r11a0為幾率最大處。a00r329a0為幾率最大處。11、求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。令d0 ,得dxr的平均值;2e勢能 的平均值r21drd22idr2r224ao為最大幾率位置。d2r224 a04a0時(shí),

32、10dr2r 0為幾率最小位置。132dr0,得同理可知r310為幾率最小處。解：r3a02ra0drsin13a。re2rdr解：1(x)d2dxd2dxX1x1x20, x20,x1x26.設(shè)氫原子處在(r,x000為幾率最小處。ra0 x0為幾率最大處。的態(tài)(a0為第一玻爾軌道半徑)，求112*22 xe212、粒子在勢能為的場中運(yùn)動(dòng)。證明對(duì)于能量UiU2的狀態(tài)，其能量由下式?jīng)Q定:則得（其中i22d22 dx22dii2 dx2Uiiiiiii(x0)0 x A)m:2iiid2dxiii(x 0)22E2 (U2E)2d2iidx2k2iid2iiidx2iii其通解為利用標(biāo)準(zhǔn)條件，由

33、有限性知iCie由連續(xù)性知i(0)ii(0)C1Asini(0)ii(0)CikA cosii(a)iii(a)Asin( kxxD2eii(a)iii(a)kA cos(kxD2ex由、，得tg由、，得6tg(ka而tg(ka) tgka tg1 tgka tg把、代入,得tgkatg1 tgka tg整理，得tgka令tgka由sin xtgxka nktg,1 tg2x1sin 2sink2 U2#13、設(shè)波函數(shù)（x）*d2求(dx)xdxdx ?解：原式(dx)x(dx)xd dxdxxdx14、說明：如果算符A和B?都是厄米的，那么（A+B?）也是厄米的證:*(A自)2d*B?2dA

34、+B?也是厄米的。15、問下列算符是否是厄米算符:？px1 , 2(?x?x?)解：1(x?x)2d12(?x 2)d因?yàn)閜x?0px不是厄米算符。2*11l(ppxpxp)2d 221 (Xppxpxp)是厄米算符。216、如果算符p?滿足關(guān)系式？?2?2? 2 ?？3?3?3?2證：？2?2? (1？?3?3? (2 ?17、求pxPc Pxpx?解：pxPxPxLpx(掂=018、IpxQ ppx?解：px?xpx(尼pPy)=0第四章.求在動(dòng)量表象中角動(dòng)量Lx的矩陣元和Lx的矩陣1(xpx)2d-1(pxp)2d2p2p)p2#p2p) pp3pPy)PxPx(pPzppy)(pP p

35、py)態(tài)和力學(xué)量的表象13-P rpr解：(Lx)pp(2 ) e(ypzZpy)ed#求能量表象中，一維無限深勢阱的坐標(biāo)與動(dòng)量的矩陣元解：基矢：Un( x)2sQx a a臺(tái)匕旦. 匚目匕星：En2 2 2n2 a2對(duì)角元：xmm2xsin2jx a a1uucosnudu2cosnu sin nu cnn當(dāng)時(shí)，m nxmn(sin m x) x / . n(sin )dx2求在動(dòng)量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)。解：定態(tài)薛定調(diào)方程為兩邊乘以2/日，得跟課本式比較可知，線性諧振子的能量本征值和本征函數(shù)為 式中Nn為歸一化因子，即#.求線性諧振子哈密頓量在動(dòng)量表象中的矩陣元求它們的本征值和歸一

36、化的本征函數(shù)。最后將矩陣Lx和Ly對(duì)角化解：Lx的久期方程為. Lx的本征值為0,L?x的本征方程ai其中a2設(shè)為Lx的本征函數(shù)L2和l?Z共同表象中的矩陣a3當(dāng)i0時(shí)，有ai00ai由歸一化條件1取ai)C(P,t) 0P,設(shè)已知在L2和2的共同表象中,算符&和？y的矩陣分別為200對(duì)應(yīng)于？x的本征值012當(dāng)2時(shí)，有ai2aiai由歸一化條件1取ai2121歸一化的一產(chǎn)對(duì)應(yīng)于？*的本征值,212當(dāng)2時(shí)，有a12a1a1由歸一化條件1取a1二2121了對(duì)應(yīng)于Lx的本征值12由以上結(jié)果可知，從L2和？Z的共同表象變到 ？x表象的變換矩陣為.對(duì)角化的矩陣為LxS LxS.歸一化的按照與上同

37、樣的方法可得?y的本征值為0,?y的歸一化的本征函數(shù)為利用S可使17y對(duì)角化#求連續(xù)性方程的矩陣表示解：連續(xù)性方程為而J :(*)2i (*T? T? *) t寫成矩陣形式為第五章微擾理論ro、電荷均勻分布的小球，計(jì)算這種效應(yīng)對(duì)類氫原子基態(tài)能量的一級(jí)修正解：這種分布只對(duì)r ro的區(qū)域有影響，對(duì)r ro的區(qū)域無影響。據(jù)題意知其中U0(r)是不考慮這種效應(yīng)的勢能分布，即ro區(qū)域，U (r)可由下式得出,73/ Z1/2(-3)eao2Zrao r ao,故e轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I、電偶極矩為D的空間轉(zhuǎn)子處在均勻電場在從L2和L?Z的共同表象變到?y表象的變換矩陣為如果類氫原子的核不是點(diǎn)電荷，而是半徑為U (

38、r)為考慮這種效應(yīng)后的勢能分布，在ro區(qū)域,由于ro很小，所以H?H?(o)Uo(r),可視為一種微擾，由它引起的一級(jí)修正為(基態(tài)Z一rao)Ei2-74 2Z e3 3 oaororoo2 2(3rrr4)dr-742Z e3 oaorord(o)1中，如果電場較小，用微擾法求轉(zhuǎn)子基態(tài)能量的二級(jí)修正解：取 的正方向?yàn)閆軸正方向建立坐標(biāo)系，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為取H?(0)E01及E02,現(xiàn)在受到微擾H?的作用，微擾矩陣元為解：由微擾公式得能量的二級(jí)修正值為解：當(dāng)電離后的電子動(dòng)能為零時(shí)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的單色光的頻率最小，其值為t 0時(shí)，氫原子處于基態(tài)，其波函數(shù)為2i在t時(shí)刻躍遷到電離態(tài)的幾率為對(duì)于吸收

39、躍遷情況，上式起主要作用的第二項(xiàng)，故不考慮第一項(xiàng),由于電場較小，又把H?視為微擾,用微擾法求得此問題。H?的本征值為E(o)2I(1)2本征函數(shù)為(0)Ym(，)F?(0)的基態(tài)能量為E00,為非簡并情況。根據(jù)定態(tài)非簡并微擾論可知H12H21a , H11H22a、b都是實(shí)數(shù)。用微擾公式求能量至二級(jí)修正值。求經(jīng)過長時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率xH?設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)有兩個(gè)能級(jí):E0；)H11E02H22b#設(shè)在及率。t 0時(shí)，氫原子處于基態(tài),以后受到單色光的照射而電離。設(shè)單色光的電場可以近似地表示為均為零；電離電子的波函數(shù)近似地以平面波表示。求這單色光的最小頻率和在時(shí)刻sin t,t躍遷到

40、電離態(tài)的幾微擾H?(t)m(21e r sin t、3/2 )eeJit i t、-(e e )2i其中F? e3解：對(duì)于2P態(tài),m可取0,1三值，其相應(yīng)的狀態(tài)為氫原子處在2p態(tài)的幾率也就是從100躍遷到210、211、211的幾率之和。,、1 am(t)iHmkeimktdt由上述結(jié)果可知,時(shí),其中21W100W1s 2P1(E2E1)*R21Y10e2110,(t)rcos RoYoodW100 21 1(取方向?yàn)閆軸方向)W100 210W100 211W10021 14es。(11、3 e44833e28 a。#計(jì)算氫原子由第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)的自發(fā)發(fā)射幾率。解:Amk2 34esmk3

41、c3由選擇定則故只需計(jì)算2p1 s的幾率21X21y212P有三個(gè)狀態(tài)，即(1)先計(jì)算Z的矩陣元(2)計(jì)算x的矩陣元計(jì)算y的矩陣元計(jì)算fA21計(jì)算氫原子由解：J2prmk5.231s是禁戒的Z2121 1r cosrsin cosy rsin sinr.一-sin21一rsin2i(ei(ei10910 s 0.52 10 s2p態(tài)躍遷到1s態(tài)時(shí)所發(fā)出的光譜線強(qiáng)度。1sN2PA2p 1s 219一 一 _若N2P10，則J213.1W求線性諧振子偶極躍遷的選擇定則#補(bǔ)充練習(xí)三作用，試求基態(tài)能級(jí)的一級(jí)修正。解：基態(tài)波函數(shù)（零級(jí)近似）為 .能量一級(jí)修正為2、具有電荷為q的離子，在其平衡位置附近作一

42、維簡諧振動(dòng)，在光的照射下發(fā)生躍遷。 設(shè)入射光的能量為1（）其波長較長，求: 原來處于基態(tài)的離子，單位時(shí)間內(nèi)躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。討論躍遷的選擇定則一維線性諧振子的波函數(shù)為解:Amkrmkxmkk 1時(shí),xmkk 1一維無限深勢阱（0 x a）中的粒子受到微擾10(21xe2e2 2x)x12x22dx躍遷幾率2 24 qs0 1o231(22qsT?I()2 2qsT()2xmk，當(dāng)xmk0時(shí)的躍遷為禁戒躍遷即選擇定則為（提示：利用積分關(guān)系2nx02ax(2n 1)2n 1答：0 12 2qs21(-222 qsI()僅當(dāng)1時(shí),xmk0,所以諧振子的偶極躍遷的選擇定則是q 1解：F? q0 x2(eq)其中x10*.1x0dxrmk2I(mk)2 2qs32x102I（對(duì)于一維線T諧振子rnxi）3可見，所討論的選擇定則為一激發(fā)態(tài)的幾率。.證明:?x?y上式兩邊乘?z,得Q2i ?z求在自旋態(tài)i(Sz)中，Sx和S?v的測不準(zhǔn)關(guān)系：2y解：在z表象中l(wèi)(Sz)、x、的矩