2018-2019學(xué)年上海市金山區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上上海市金山區(qū)高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1現(xiàn)有60個(gè)機(jī)器零件，編號(hào)從1到60，若從中抽取6個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣的方法確定所抽的編號(hào)可以是（ ）A.3，13，23，33，43，53B.2，14，26，38，40，52C.5，8，31，36，48，54D.5，10，15，20，25，30【答案】A【解析】由題意可知：，系統(tǒng)抽樣得到的產(chǎn)品的編號(hào)應(yīng)該具有相同的間隔，對(duì)此可以選出正確答案.【詳解】根據(jù)題意可知，系統(tǒng)抽樣得到的產(chǎn)品的編號(hào)應(yīng)該具有相同的間隔，且間隔是。只有A符合要求，即后面的數(shù)比前一個(gè)數(shù)大10?！军c(diǎn)睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣的原則.2設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，、是兩條

2、不同的直線，有下列命題：如果，那么； 如果，那么；如果，那么；如果平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，那么；其中正確的命題是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】根據(jù)線面垂直與線面平行的性質(zhì)可判斷;由直線與平面垂直的性質(zhì)可判斷;由直線與平面平行的性質(zhì)可判斷;根據(jù)平面與平面平行或相交的性質(zhì),可判斷.【詳解】對(duì)于如果,根據(jù)線面垂直與線面平行性質(zhì)可知或或,所以錯(cuò)誤對(duì)于如果,根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可知,所以正確;對(duì)于如果,根據(jù)直線與平面平行的判定可知,所以正確;對(duì)于如果平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等,當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),若三個(gè)點(diǎn)分布在平面的兩側(cè),也可以滿足條件,所以錯(cuò)誤,所以錯(cuò)誤;綜上可知,

3、正確的為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面平行、直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面平行的性質(zhì),屬于中檔題.3如圖，在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線異面且?jiàn)A角成的直線的條數(shù)為（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】結(jié)合圖形，利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案【詳解】在正方體ABCDA1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作直線，與直線A1B異面且?jiàn)A角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條故選：B【點(diǎn)睛】本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是基礎(chǔ)題4運(yùn)用祖暅原理計(jì)

4、算球的體積時(shí)，構(gòu)造一個(gè)底面半徑和高都與球半徑相等的圓柱，與半球（如圖一）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)，圓柱上底面為底面的圓錐（如圖二），用任何一個(gè)平行與底面的平面去截它們時(shí)，可證得所截得的兩個(gè)截面面積相等，由此證明該幾何體與半球體積相等.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖三），類比上述方法，運(yùn)用祖暅原理可求得其體積等于（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)橢圓方程,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2,高為3的圓柱,通過(guò)計(jì)算可知高相等時(shí)截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.【詳解】由橢圓方程,構(gòu)造一個(gè)底面半徑為2

5、,高為3的圓柱在圓柱中挖去一個(gè)以圓柱下底面圓心為頂點(diǎn)、上底面為底面的圓錐當(dāng)截面與底面距離為時(shí)，截圓錐得到的截面小圓半徑為 則，即所以截面面積為把代入橢圓方程，可求得所以橄欖球形狀幾何體的截面面積為由祖暅原理可得橄欖球幾何體的體積為故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了類比推理的綜合應(yīng)用,空間幾何體體積的求法,屬于中檔題.二、填空題5函數(shù)的定義域是_【答案】【解析】將函數(shù)的指數(shù)形式轉(zhuǎn)化為根式形式,即可求得其定義域.【詳解】函數(shù)即根據(jù)二次根式有意義條件可知定義域?yàn)?故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了具體函數(shù)定義域的求法,將函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)變形,更方便求解,屬于基礎(chǔ)題.6若，則_【答案】10【解析】根據(jù)組合數(shù)的性

6、質(zhì),即可求得的值.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)所以故答案為:10【點(diǎn)睛】本題考查了組合數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.7在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,即可求得項(xiàng)的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 所以當(dāng)時(shí)為項(xiàng)則所以項(xiàng)的系數(shù)為故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理展開(kāi)式的應(yīng)用,求指定項(xiàng)的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.8已知地球半徑為，處于同一經(jīng)度上的甲乙兩地，甲地緯度為北緯75°，乙地緯度為北緯15°，則甲乙兩地的球面距離是_【答案】【解析】同一緯度的兩地之間與球心共在一個(gè)大圓上,根據(jù)緯度差即可求得圓心角,進(jìn)而求得兩地間距離

7、.【詳解】由題意可知,同一緯度的兩地之間與球心共在一個(gè)大圓上當(dāng)甲地緯度為北緯75°,乙地緯度為北緯15°,則兩地間所在的大圓圓心角為60°所以兩地的球面距離為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了球的截面性質(zhì),大圓及球面距離的求法,屬于基礎(chǔ)題.9若函數(shù)的反函數(shù)為，且，則的值為_(kāi)【答案】【解析】根據(jù)反函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的解析式,代入即可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的反函數(shù)為,且令則所以即函數(shù)()所以故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)的求法,求函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.10底面是直角三角形的直棱柱的三視圖如圖，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該棱柱的表面積是_【答案】【解析】根據(jù)

8、三視圖,畫(huà)出空間幾何體,即可求得表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可知該幾何體為三棱柱,畫(huà)出空間結(jié)構(gòu)體如下:該三棱柱的高為2,上下底面為等腰直角三角形,腰長(zhǎng)為所以上下底面的面積為 側(cè)面積為 所以該三棱柱的表面積為故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原空間結(jié)構(gòu)體,棱柱表面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.11若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為 .【答案】【解析】【詳解】由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長(zhǎng)為2.圓錐的底面周長(zhǎng)為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.12若，則的值是_【答案】2【解析】利用賦值法,分別令代入式子即可求得的值.【詳解】因?yàn)榱?代

9、入可得令,代入可得兩式相減可得,即故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,賦值法求二項(xiàng)式系數(shù)的值是常用方法,屬于基礎(chǔ)題.13設(shè)某同學(xué)選擇等級(jí)考科目時(shí)，選擇物理科目的概率為0.5，選擇化學(xué)科目的概率為0.6，且這兩個(gè)科目的選擇相互獨(dú)立，則該同學(xué)在這兩個(gè)科目中至少選擇一個(gè)的概率是_【答案】0.8【解析】根據(jù)相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式,及對(duì)立事件的概率求法,即可求解.【詳解】因?yàn)檫x擇物理科目的概率為0.5,選擇化學(xué)科目的概率為0.6,所以既不選擇物理也不選擇化學(xué)的概率為 所以由對(duì)立事件的性質(zhì)可知至少選擇一個(gè)科目的概率為 故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立事件的概率求法,對(duì)立事件的性質(zhì)應(yīng)用

10、,屬于基礎(chǔ)題.14在斜三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為2，若，且，則的值為_(kāi)【答案】4【解析】根據(jù)向量線性運(yùn)算分別表示出,結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意,畫(huà)出空間幾何體如下圖:,且,且底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為2則,所以故答案為:4【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)，若垂直于，則的面積的最小值為_(kāi).【答案】【解析】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，再求|BP|的最小值，最后求的面積的最小值.詳解：以D點(diǎn)為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，以DC所在直線為y軸，以DA所在直線為x軸，以D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則點(diǎn)P(2,

11、y,z),所以.因?yàn)镃(0，2，0),M(2，0，1),所以,因?yàn)?因?yàn)锽(2，2，0)，所以，所以因?yàn)?y2，所以當(dāng)y=時(shí)，.因?yàn)锽CBP,所以.故填.點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是解題思路的確定.本題數(shù)形結(jié)合不是很方便，由于函數(shù)的方法是處理最值問(wèn)題的常用方法，所以要建立空間直角坐標(biāo)系，先求出函數(shù)的解析式，再求函數(shù)的定義域y|0y2，再利用二次函數(shù)研究函數(shù)的最小值.16已知（為常數(shù)），對(duì)任意，均有恒成立，下列說(shuō)法：的周期為6；若（為常數(shù)）的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則；若，且，則必有；已知定義在上的函數(shù)對(duì)任意均有成立，且當(dāng)時(shí)，；又函數(shù)（為常數(shù)），若存在使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，其中說(shuō)法正確的是_（填寫(xiě)所有正

12、確結(jié)論的編號(hào)）【答案】【解析】根據(jù)成立即可求得對(duì)稱軸,由對(duì)稱軸結(jié)合解析式即可求得的值,可判斷;根據(jù)及對(duì)稱軸即可求得的值,可判斷;根據(jù)條件可得與的關(guān)系,結(jié)合二次函數(shù)的值域即可判斷;根據(jù)條件可知函數(shù)為偶函數(shù),根據(jù)存在性成立及恒成立,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域即可判斷.【詳解】對(duì)于,因?yàn)閷?duì)任意,均有成立,則的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,所以解得.即是軸對(duì)稱函數(shù),不是周期函數(shù),所以錯(cuò)誤;對(duì)于,的圖像關(guān)于直線對(duì)稱,可得,解得,所以正確;對(duì)于,而由可知?jiǎng)t或.當(dāng)時(shí),代入可得,即,解不等式組可得,不等式無(wú)解,所以不成立當(dāng)時(shí),代入可得,即,解不等式組可得,即所以,所以,所以錯(cuò)誤;對(duì)于,由可知函數(shù)為偶函數(shù),當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .所以在

13、上的值域?yàn)樵谏系闹涤驗(yàn)橐驗(yàn)榇嬖谑沟贸闪⑺灾恍枨壹?即實(shí)數(shù)的取值范圍是,所以正確綜上可知,說(shuō)法正確的是故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性及恒成立問(wèn)題的綜合應(yīng)用,對(duì)于分類討論思想的理解,屬于難題。三、解答題17男生4人和女生3人排成一排拍照留念.（1）有多少種不同的排法（結(jié)果用數(shù)值表示）？（2）要求兩端都不排女生，有多少種不同的排法（結(jié)果用數(shù)值表示）？（3）求甲乙兩人相鄰的概率.（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）【答案】（1）5040；（2）1440；（3）.【解析】（1）根據(jù)排列的定義及排列數(shù)公式,即可求得總的排列方法.（2）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,先把兩端的位置安排男生,再安排中間5個(gè)位置即可

14、.（3）根據(jù)捆綁法計(jì)算甲乙兩人相鄰的排列方法,除以總數(shù)即可求得甲乙兩人相鄰的概率.【詳解】（1）男生4人和女生3人排成一排則總的安排方法為種（2）因?yàn)閮啥瞬话才排?所以先把兩端安排男生,共有種剩余5人安排在中間位置,總的安排方法為種根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知兩端不安排女生的方法共有種（3）甲乙兩人相鄰,兩個(gè)人的排列為把甲乙看成一個(gè)整體,和剩余5人一起排列,總的方法為因?yàn)槟猩?人和女生3人排成一排總的安排方法為種所以甲乙兩人相鄰的概率為【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合的綜合應(yīng)用,對(duì)特殊位置要求及相鄰問(wèn)題的求法,屬于基礎(chǔ)題.18已知直三棱柱中，.（1）求直線與平面所成角的大小；（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案

15、】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)直三棱柱的性質(zhì),可知直線與平面所成角即為,根據(jù)即可得解.（2）根據(jù)結(jié)合三棱錐體積求法即可得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）畫(huà)出空間幾何體如下圖所示:因?yàn)槿庵鶠橹比庵?所以即為直線與平面所成角因?yàn)?所以即直線與平面所成角為（2）因?yàn)橹比庵?. 所以則,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為則所以 即,解得所以點(diǎn)到平面的距離為【點(diǎn)睛】本題考查了直線與平面的夾角,點(diǎn)到平面距離的求法及等體積法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19已知某條有軌電車運(yùn)行時(shí)，發(fā)車時(shí)間間隔（單位：分鐘）滿足：，.經(jīng)測(cè)算，電車載客量與發(fā)車時(shí)間間隔滿足：，其中.（1）求，并說(shuō)明的實(shí)際意義；（2）若該線路每分鐘的凈收益為（

16、元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘最大凈收益.【答案】（1），實(shí)際意義是當(dāng)電車的發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)，載客量為350；（2）間隔時(shí)間為5分鐘時(shí)凈收益最大，每分鐘最大凈收益為60元.【解析】（1）根據(jù)的解析式代入求得,其意義為某一時(shí)刻的載客量.（2）將的解析式代入即可求得的解析式.根據(jù)基本不等式性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性可求得收益的最大值及取得最大收益時(shí)的間隔發(fā)車時(shí)間.【詳解】（1）因?yàn)樗缘膶?shí)際意義是當(dāng)電車的發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí),載客量為 （2）根據(jù),則將的解析式代入的解析式可得化簡(jiǎn)即可得當(dāng)時(shí), ,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí)等號(hào)成立綜上可知,當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為時(shí)

17、,線路每分鐘的收益最大,最大為元.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性求最值,屬于基礎(chǔ)題.20如圖，是圓柱的底面直徑且，是圓柱的母線且，點(diǎn)是圓柱底面面圓周上的點(diǎn).（1）求證：平面；（2）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求二面角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）若，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求的最小值.【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)可得,由圓的性質(zhì)可得,即可證明平面;（2）先判斷當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)的位置.過(guò)底面圓心作,即可得二面角的平面角為,根據(jù)所給線段關(guān)系解三角形即可求得,進(jìn)而用反三角函數(shù)表示出即可.（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長(zhǎng)線

18、上,結(jié)合余弦定理即可求得的最小值,也就是的最小值.【詳解】（1）證明:因?yàn)槭菆A柱的母線,平面 所以又因?yàn)槭菆A柱的底面直徑所以,即又因?yàn)樗云矫妫?）當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),底面積最大,所以到的距離最大,此時(shí)為設(shè)底面圓的圓心為,連接則,又因?yàn)樗云矫嬉驗(yàn)? 所以取中點(diǎn),則過(guò)O作,垂足為則,所以為中點(diǎn)連接,由平面可知所以為二面角的平面角在中, ,所以則二面角的大小為（3）將繞旋轉(zhuǎn)到使其共面,且在的反向延長(zhǎng)線上,如下圖所示:因?yàn)?在中,由余弦定理可知?jiǎng)t所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定,二面角的平面角作法及求法,空間中最短距離的求法,綜合性較強(qiáng),屬于中檔題.21若存在常數(shù)（），使得對(duì)定義域內(nèi)的任意，（），都有成立，則稱函數(shù)在其定義域上是“利普希茲條件函數(shù)”.（1）判斷函數(shù)是否是“利普希茲條件函數(shù)”，若是，請(qǐng)證明，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)（）是“利普希茲條件函數(shù)”，求常數(shù)的最小值；（3）若（）是周期為2的“利普希茲條件函數(shù)”，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有.【答案】（1）不是；詳見(jiàn)解析（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）利用特殊值,即可驗(yàn)證是不是“利普希茲條件函數(shù)”.（2）分離參數(shù),將不等式變?yōu)殛P(guān)于,的不等式,結(jié)合定義域即可求得常數(shù)的最小值;（3）設(shè)出的最大值和最小值,根據(jù)一個(gè)周期內(nèi)必有最大值與最小值