全等三角形解答題--答案

1、2016 暑假作業(yè)（七）全等三角形解答題答案參考答案與試題解析一.解答題（共28小題）1.（2012?邵陽(yáng)）如圖所示，AC BD相交于點(diǎn)O,且OA=OCOB=OD求證：AD/ BC.【解答】證明： AC BD交于點(diǎn)O,/ AOD2 COB在厶AOD和厶COB中，AODA COB（ SAS/ A=Z C,AD/ BC.2.（2016?重慶校級(jí)模擬） 如圖，A、C F、B在同一直線上，AC=BF AE=BD且AE/BD求證：EF/ CD/ A=Z B,/AC=BFAC+CF=BF+CFBC=AF在厶EAF和厶DBC中,EAFA DBC（ SAS,/ EFA=/ BCDEF/ CD3.（2015?于

2、洪區(qū)一模）如圖1,在厶ABC中，/ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）如果AB=AC/BAC=90,1當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2,線段CF BD所在直線的位置關(guān)系為垂直，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 相等 ；2當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3,中的結(jié)論是否仍然成立，并 說(shuō)明理由；（2） 如果ABAQ/BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)/ACB滿足什么 條件時(shí)，CF丄BC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由.【解答】證明：（1正方形ADE F中，AD=AF【解答】證明：AE/ BD, Z BAC玄DAF=90 , Z BAD

3、玄CAF,又AB=AQDAA FAQCF=BQ Z B=/ACEZ ACB4/ACF=90 ,即CF BD.當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)的結(jié)論仍成立.由正方形ADEF得AD=AE Z DAF=90度. Z BAC=90 ,Z DAFN BAGZ DAB玄FAQ又AB=AQDAA FAQCF=BQ Z ACFN ABD Z BAC=90 , AB=AQ Z ABC=45 , Z ACF=45 , Z BCFN ACB4/ ACF=90度.即CF丄BD(2)當(dāng)Z ACB=45時(shí)，CFXBD (如圖).理由：過(guò)點(diǎn)A作AGLAC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,貝U Z GAC=90 , Z ACB=45 , Z A

4、GC=90 - Z ACR Z AGC=90 - 45 =45 ,Z ACB2AGO45 , AC=AQ/DAGMFAC（同角的余角相等），AD=AF? A GABA CAEZ ACFNAGO45 ,Z BCF ACB+Z ACF=45 +45 =90,即CF丄BC.4.（2014?南京）【問(wèn)題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS、“ASA、“AAS、“SSS）和直角三角形全等的判定方法（即“Hl）后，我們繼續(xù)對(duì)“兩個(gè)三角形 滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的情形進(jìn)行研究.【初步思考】我們不妨將問(wèn)題用符號(hào)語(yǔ)言表示為：在厶ABC和DEF中，AODF BC=EF?Z B=Z E,然后，對(duì)/

5、B進(jìn)行分類(lèi)，可分為/B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.【深入探究】在厶CBGnFEH中,第一種情況：當(dāng)/B是直角時(shí)，AB3A DEF.(1) 如圖，在厶ABC和厶DEF AC=DFBC=EF/B=Z E=90,根據(jù)HL, 可以知道RtABCRtDEF第二種情況：當(dāng)/B是鈍角時(shí)，ABCDEF(2) 如圖，在ABC和厶DEF AC=DF BC=EF/B=Z E,且/B、/E都是鈍角，求證：ABCA DEF第三種情況：當(dāng)/B是銳角時(shí)，ABC和厶DEF不一定全等.(3) 在厶ABC和厶DEF AC=DF BC=EF/B=/E,且/B、/E都是銳角，請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作出DEF使厶DEF和厶ABC不

6、全等.(不寫(xiě)作法，保 留作圖痕跡)(4) /B還要滿足什么條件，就可以使ABCA DEF請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：在ABC和DEF中，AC=DF BC=EF/B=/E,且/B/E都是銳角，若_/B/A,則厶ABCA DEF.【解答】(1)解：HL;(2)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CGL AB交AB的延長(zhǎng)線于G,過(guò)點(diǎn)F作FH丄DE交DE的延長(zhǎng)線于H,/ABC=/ DEF,且/ABC/DEF都是鈍角，180-/ABC=180-/DEF,即/CBG/FEH,5.(2013?河南)如圖1,將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中/C=9C , /B=/E=30.CBGA FEH( AAS, CG=FH在

7、RtACG和RtDFH中， RtACG2RtDFH( HL),/A=/D,在厶ABC和厶DEF中，ABCA DEF(AAS；(3) 解：如圖，DEF和厶ABC不全等；(4) 解：若/B/ 人，則厶ABCA DEF.故答案為：(1)HL; (4)/B/A. Z ACD=60 ,(1)操作發(fā)現(xiàn)如圖2,固定ABC使厶DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，填空：又TZCDEZ BAC=60,Z ACDZ CDEDE/ AC;1線段DE與AC的位置關(guān)系是DE/ AC;2設(shè)BDC的面積為Si, AEC的面積為3,貝U Si與S2的數(shù)量關(guān)系是Si=S2.【解答】解：(1)DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在A

8、B邊上, AC=CD/ BAC=90 -Z B=90- 30 =60, ACD是等邊三角形，TZB=30,Z C=9C ,CD=AC=ABBD=AD=AC根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，ACD的邊AC AD上的高相等，BDC勺面積和AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等)即Sl=S2；故答案為：DE/ AC; Si=S2;(2)如圖，DEC是由厶ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，BC=CE AC=CDTZACN-Z BCN=90 , Z DCM-Z BCN=180 - 90 =90,Z ACNZ DCIMT在人。“和厶DCM中,ACNm DCM( AAS,AN=DMBDC勺面積和AEC的面積相等(等底等高的三

9、角形的面積相等)(2) 猜想論證當(dāng)厶DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想(1)中Si與S2的數(shù) 量關(guān)系仍然成立，并嘗試分別作出了BDC和厶AEC中BG CE邊上的高， 請(qǐng)你證明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4 DE/ AB交BC于點(diǎn)E(如圖4).若在射線BA上存在點(diǎn)F,使 SADCSBDE,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的BF的長(zhǎng).即Si=S2；點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn)，(3)如圖， 過(guò)點(diǎn)D作DF/BE,易求四邊形BEDF是菱形, 所以BE=DF,且BEDF上的高相等，此時(shí) SADCF=SBDE過(guò)點(diǎn)D作DF2丄BD/ ABC=60 , FiD/ BE,/

10、 F2FiD=Z ABC=60 ,/BFi=DF，/FiBD=/ ABC=30，/F2DB=90,/ FIDFF/ABC=60,DFF2是等邊三角形，-DFi=DF?, BD=CD/ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，/DBC/DCB軟60=30,/ CDF=180-Z BCD=180 - 30 =150,/CDF=360-150-60=150,/CDF=/CDF,在CDF和厶CDE中，/ABC=60，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE/ AB,/DBC/BDE玄ABD= 60=30,又BD=4BE=4十cos30=2十=,BFi=,BE=BFi+FiF2=+=,故BF的長(zhǎng)為或.【解答】解：(1)AE

11、/BF, QE=QF理由是：如圖1,v Q為AB中點(diǎn)，6. (20I3?煙臺(tái))已知，點(diǎn)P是直角三角形ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，分別過(guò)A,B向直線CP作垂線，垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點(diǎn).(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合時(shí)，AE與BF的位置關(guān)系是AE/ BF,QE與QF的數(shù)量關(guān)系式QE=QF;(2) 如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上不與點(diǎn)Q重合時(shí)，試判斷QE與QF的數(shù) 量關(guān)系，并給予證明；(3) 如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA(或AB)的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)(2)中的結(jié) 論是否成立請(qǐng)畫(huà)出圖形并給予證明.CDFBA CDF ( SAS, AQ=BQ BF丄CP, A且CP, BF/AE, Z

12、 BFQ=ZAEQ=90 ,在ABFQ和AAEQ中BF(A AEQ( AAS , QE=QF故答案為：AE/ BF; QE=QF(2) QE=QF證明：如圖2,延長(zhǎng)FQ交AE于D,Q為AB中點(diǎn)， AQ=BQ BF丄CP, A且CP,BF/ AE, Z QAD2 FBQ在厶FBQ和ADAQ中FB(A DAQ( ASA ,- QF=QQ AE丄CP, EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線,- QE=QF=QD即QE=QF(3)(2)中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖3,延長(zhǎng)EQ FB交于D,Q為AB中點(diǎn)， AQ=BQ BFXCP, AE丄CP, BF/ AE,仁/D,在AACJE和BQD中，A AQA B

13、QD(AAS,- QE=QQ BF丄CP,FQ是斜邊DE上的中線， QE=QF7. （2013?涪陵區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ADE的頂點(diǎn)D在AABC的BC邊上， 且/ABDNADBZ BAD/ CA AC=AE求證：BC=DE【解答】證明：/ ABDNADRAB=AQ/ BAD玄CAEZ BAD4/ DAC2 CAEV DAQ即Z BAC玄DAE在ABC和AADE中，AABCA ADE（SA, BC=DE& （2013?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬） 如圖，將兩個(gè)全等的直角三角形ABD AACE拼在一起（圖1）. AABD不動(dòng)，（1）若將AACE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接DE, M是DE的中點(diǎn)，連接MBMC（

14、圖2）,證明：MB=MC（2）若將圖1中的CE向上平移，Z CAE不變，連接DE, M是DE的中點(diǎn)， 連接MBMC（圖3）,判斷并直接寫(xiě)出MB MC的數(shù)量關(guān)系.（3）在（2）中，若/CAE的大小改變（圖4）,其他條件不變，則（2）中 的MB MC的數(shù)量關(guān)系還成立嗎說(shuō)明理由.【解答】 證明：（1）如圖2,連接AM由已知得ACE AD=A AB=AQ Z BAD2 CAE MD=M Z MADM MAE Z MAD- Z BAD/ MA& Z CAE即Z BAMM CAM在ABM和ACM中，AB曜ACM（SAS, MB=MQ（2） MB=MC理由如下：如圖3,延長(zhǎng)DB AE相交于E,延長(zhǎng)E

15、C交AD于F,BD=BE , CE=CFTM是ED的中點(diǎn)，B是DE的中點(diǎn)， MByAE, Z MBCM CAE同理：MO/AD, Z BCMM BAQ/ BAD玄CAE Z MBCM BCM(3)MB=M直成立.如圖4,延長(zhǎng)BM交CE于F, CE/ BD,Z MDBMMEE Z MBDN MF又M是DE的中點(diǎn)，在厶MDB和AMEF中，MDB2A MEF( AAS , Z ACE=90 , Z BCF=90 , EG=EF9.(2012?昌平區(qū)模擬)(1)如圖，在四邊形ABCD, AB=AQ Z B=Z D=9CT ,E、F分別是邊BG CD上的點(diǎn)，且/EAF=Z BAD求證：EF=BE+FQ(

16、2)如圖，在四邊形ABCD, AB=AQ Z B+Z D=18(J , E、F分別是邊BGCD上的點(diǎn)，且/EAF=Z BAQ (1)中的結(jié)論是否仍然成立(3)如圖，在四邊形ABC沖，AB=AQ Z B+ZADC=180 , E、F分別是邊BG CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且/EAFNBAB (1)中的結(jié)論是否仍然成立若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【解答】證明：(1)延長(zhǎng)EB到G,使BG=DF連接AG Z ABG2 ABC玄D=9CT , AB=AQAB學(xué)ADF AG=AF Z仁/2. Z 1+Z 3=Z 2+Z 3=Z EAFN BADZ GAE2 EAF.又AE=AEAE

17、學(xué)AEF.EG=BE+BGEF=BE+FD(2)(1)中的結(jié)論EF=BE+FDD5然成立.(3)結(jié)論EF=BE+F環(huán)成立，應(yīng)當(dāng)是EF=BFD.證明：在BE上截取BG,使BG=DF連接AG/ B+ZADC=180 , Z ADF-t/ADC=180 ,Z B=Z ADEAB=AQA ABCA ADE Z BAG/ DAF, AG=AF Z BAGV EAD玄DAF亡EAD=Z EAF=Z BADZ GAE2 EAF.AE=AEA AECA AEF.EG=EF EG=BF BG EF=BE- FD.CF=EF10.(2009?沈陽(yáng))將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖方式擺放， 其中Z ACB

18、DEB=90 , Z A=Z D=3CT,點(diǎn)E落在AB, DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F.(1)求證：AF+EF=D(2)若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角,且0 a 60 ,其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出你在(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立；(3)若將圖中的DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角且60 3 180,其它條件不變，如圖你認(rèn)為(1)中猜想的結(jié)論還成立嗎若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明 理由.【解答】（1）證明：連接BF（如圖），/A ABCA DBE（已知）， BC=BE AC=DE Z ACB2 DEB=90 , Z B

19、CF玄BEF=90 . BF=BRtABFCRtABFE又AF+CF=AQAF+EF=DE(2)解：畫(huà)出正確圖形如圖 ( 1)中的結(jié)論AF+EF=D5然成立;(3)不成立.證明：連接BF, A ABCA DBEBOBE Z ACB玄DEB=90 ,BCF和ABE F是直角三角形，在RtABCF和RtABEF中，BCFA BEF(HL), CF=EE A ABCA DBEAODEAF=AC+FC=DE+EF11 . (2015?荷澤)如圖，已知/ABC=90 , D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)A作AF丄AB,并截取AF=BQ連接DG DF、CF,判斷CDF的形狀并證明；(2)如

20、圖2, E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD直線AB CD相交于點(diǎn)P, ZAPD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：(1) ACDF是等腰直角三角形，理由如下： AFXAD, Z ABC=90 , Z FAD玄DBQ在厶FAD與ADBC中，F(xiàn)AtA DBC(SAS, FD=DQCDF是等腰三角形，F(xiàn)AtA DBQ Z FDA玄DCB Z BDCy DCB=90 , Z BDCy FDA=90 , Z APD玄FCD=45 .CDF是等腰直角三角形；(2)作AF丄AB于A,使AF=BQ連結(jié)DF, CF,如圖, AFXAD, Z ABC=90 , Z FADN

21、DBG在AFAD與ADBC中，F(xiàn)AtA DBC(SAS ,.FD=DQCDF是等腰三角形，F(xiàn)AtA DBQ Z FDAN DCB Z BDCV DCB=90 , Z BDCV FDA=90 ,CDF是等腰直角三角形， Z FCD=45 , AF/且AF=C四邊形AFCE平行四邊形，AE/ CF, AFUCq AE=AQ12.(2016?常德)已知四邊形ABC沖，AB=AQ ABAD,連接AC,過(guò)點(diǎn)A作AH AC,且使AE=AQ連接BE,過(guò)A作AHL CD于H交BE于F.(1)如圖1,當(dāng)E在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：厶AB(A ADEBF=E(2)如圖2,當(dāng)E不在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，BF=EF還成立

22、嗎請(qǐng)證明你的結(jié)論.【解答】證明：(1)如圖1, ABXAD, AE丄AC, Z BAD=90 , Z CAE=90 ,Z仁/2,在AABC和AADE中，AB笑ADE(SAS；如圖1 ,AB笑ADEZ AEC2 3, AFUCq AE=AQ在RtAACE中，Z ACE4/AEO90 , Z BCE=90 ,AB=AQAB=AM Z AHE玄BCE=90 , BC/ FH,=1,BF=EF;(2)結(jié)論仍然成立，理由是：如圖2所示，過(guò)E作MhLAFJ交BA CD延長(zhǎng)線于M N, Z CAE=90 , Z BAD=90 ,Z 1 + 7 2=90 , Z 1 + ZCAD=90 ,Z 2=Z CAQ

23、MN/ AH,Z 3=Z HAE Z ACHV CAH=90 , Z CAH丄HAE=90 , Z ACH2 HAEZ 3=Z AC4在AMAE和ADAC中， MAA DAC ( ASA ,.AM=AQ在AABD和ACAE中， AF/ ME=1, BF=EE13.(2015春？郵城縣期末)如圖1, A ABC中，Z BAC=90 , AB=AQ AE是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且點(diǎn)B, C在AE的異側(cè)，BD丄AE于點(diǎn)D, CHAE于 點(diǎn)E.(1)BD=DE+C戰(zhàn)立嗎為什么(2)若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置時(shí)，其他條件不變，BD與DE, CE關(guān)系如何請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】解：(1) BD=DE+C戰(zhàn)立

24、， Z BAC=90 , BD丄AE, CHZ BDA2AEO90 , Z ABDV BAE=90 , Z CAE-tZ BAE=90 Z ABD2 CAE AB=AQA ABtA CAE(AAS , BD=A AD=C匸AE=AD+DE BD=DE+CE(2) BD=DE CE; Z BAC=90 , BD丄AE, CHAE,Z BDANAEO90 , Z ABD4/ DAB玄DEBV CAE Z ABD玄CAEAB=AQ在AABD和CAE中， ?A ABtA CAE(AAS , BD=A AD=C匸.AD+AE=BD+QE DE=BD+CEBD=DF CE14.(2015秋？微山縣期末)已

25、知：在厶ABC中，Z ACB=90 , AC=BQ點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn).(1)直線BF垂直于CE于點(diǎn)F,交CD于點(diǎn)G(如圖1).求證：AE=CQ(2)直線AH垂直于CE垂足為H,交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M(如圖2).那么 圖中是否存在與AMt目等的線段若存在，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解答】 解：(1)-點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC=BQ Z ACB=90 ,CDLAB, Z ACDMBCD=45 , Z CAD2 CBD=45 . Z CAE2 BCG BF丄CE, Z CBG# BCF=90 . Z ACEV BCF=90 , Z ACE2 CBG在AAEC和ACGB中，

26、AAE(ACGB(ASA). AE=CG(2)圖中存在與AM相等的線段，AM=CE證明： CFLHM CEL EQ Z CMA MCH=90 , ZBEC+ZMCH=90 . BG=Cf; Z CMAM BEC AC=Bq Z ACMMCBE=45 ,在CAM和BCE中， A CAIA BCE( AAS AM=CE15.(2015秋？豐潤(rùn)區(qū)期末)如圖，在厶ABC中，Z ACB=90 , AC=BQ E為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作ADXAB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D, CG平分/ACB交BD于點(diǎn)G, F為AB邊上一點(diǎn)，連接CF,且/ACFN CBG求證：(1)AF=CQ(2)DG=C(3)直接寫(xiě)出CF與D

27、E的數(shù)量關(guān)系.【解答】 證明：(1) /ACB=90 , AC=BQ CG分/ACRZ CAFNCBA=45 , Z BCGMACG=45 , Z BCG2 CAF=45 /CBG2ACF, AC=BC BG=Cf; BC(A CAE(2)連接AG如圖1所示：在ACgABCG中，A AC(A BCG AG=BQ Z GBA2 GAR ADXAB Z D=9CT - Z GBA=90 - Z GAB2 GAQ AG=DG由(1) BG=CF DG=C(3)如圖2,延長(zhǎng)CG交AB于H, CG分/ACP AC=BQ CI-LAB, CH平分AB, ADXAB, AD/ CG Z D=Z EGG在AA

28、DE與ACGE中，A ADA CGE(AAS, DE=G匸即DG=2D AD/ CG CH平分AR DG=BQ A AFCA CBQCF=BQCF=2DE16.(2015秋？宜賓期末)如圖，在厶ABC中，AB=AQ D上，Z ADB2AECNBAC(1)求證：DE=DB+EQ(2)若Z BAC=120 , AF平分/BAG且AF=AR連接FD的形狀，并寫(xiě)出證明過(guò)程.【解答】(1)證明：/ADB2AECNBAC； Z ADB4/ ABD4/ BAD/ BADV BAC-tZ EAC=180 , Z ABD玄EAQ在AABD與AACE中， AB醫(yī)AEG DF=EE Z BFD玄AFE, BD=A

29、DE=AD+AE DE=DB+EQ(2) A DEF為等邊三角形理由： A ABF和AACF均為等邊三角形 BF=AF=AB=AC=QFZ BAFh CAFNABF=60 ,Z BDA AEC BAC=120 , Z DBAV DAB玄CAE4Z DAB=60 , Z DBA/ CAE在ABAD和AACE中，A ADA CEA(AAS, BD=A Z DBA/ CAE/ ABF CAF=60 , Z DBAV ABF=Z CAE4Z CAF, Z DBF玄FAE在ABD F和AAE F中，DBFA EAF(SAS,A、E在直線mFE,請(qǐng)判斷 Z DFEN DFA-iZ AFEN DFA4Z B

30、FD=60 , A DEF為等邊三角形.17.(2015秋？南陵縣期末)如圖，已知點(diǎn)O到AABC的兩邊AB AC的距離分別是OD OE,且OD=O OB=OC(1)如圖1,若點(diǎn)O在BC邊上，補(bǔ)全圖形并求證：AB=AQ(2)如圖2,若點(diǎn)O在AABC的內(nèi)部，補(bǔ)全圖形并求證：AB=AC【解答】(1)證明：如圖1所示： OCLAB, OHAC, E, F分別是垂足， Z ODB2 OEC=90 ,在RtAOBM RtAOCE中，.RtA0BE2RtA0CE( HL), Z B=Z C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)，AB=AC(等角對(duì)等邊)；(2)證明：如圖2所示： OCLAB, OHAC, E, F分別是

31、垂足， Z ODB2 OEC=90 ,在RtAOBM RtAOCE中，.RtA0BE2RtA0CE( HL), Z OBD2 OCE(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)，又OB=OQ Z OBCM OCR Z EBoy OBC2 OCFV OCR即/ABC2 ACB AB=AC18.（2015春？金堂縣期末）（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn) 了下面這種典型的基本圖形.如圖（1）,已知：在ABC中，Z BAC=90 ,AB=AQ直線I經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, BD丄直線I , CH直線I ,垂足分別為點(diǎn)D E.證 明：DE=BD+CE（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢如圖（2）,將（1）中

32、的條件改為：在厶ABC中，AB=AQ D、A、E三點(diǎn)都在直線m,并且有/BDA=ZAEC/ BAC=sc ,其中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論DE=BD+C是否成立如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖（3） , iiAABC的邊AB AC向外作正方形ABD倂口正方形ACFQAH是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)I ,求證：I是EG的中點(diǎn).【解答】解：（1）如圖1, BD丄直線I , CH直線I , Z BDA玄CEA=0O , Z BAC=90 , Z BAD4/ CAE=90/ BAD4/ ABD=90 ,Z C

33、AEN ABD在AADB和ACEA中， AADA CEA( AAS ,AE=BQ AD=C匸 DE=AE+AD=BD+QE(2) DE=BD+CE如圖2,證明如下： Z BDA玄 BACP, Z DBA4/ BAD玄BADV CAE=180 - a , Z DBA玄CAE在AADB和ACEA中.A ADA CEA（AAS, AE=BQ AD=C DE=AE+AD=BD+CE（3）如圖3,過(guò)E作EMLHI于M, GhL HI的延長(zhǎng)線于N.Z EMI=GNI=90由（1）和（2）的結(jié)論可知EM=AH=GN EM=GN在和GNI中， EMIA GNI （AAS, EI=GI I是EG的中點(diǎn)19.（2

34、015秋？文安縣期末）已知ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上 一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B,點(diǎn)C重合）.以AD為邊作等邊三角形ADE連接CE（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí).1求證：MB蟲(chóng)AACE2直接判斷結(jié)論BODC+C是否成立（不需證明）；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，其他條件不變，請(qǐng)寫(xiě)出BC,DG CE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程.【解答】 解：(1)ABOTAADE是等邊三角形, Z BAC玄DAE=60 , AB=BC=AQ AD=DE=AEZ BAG- Z DAC2 DAL Z DAQZ BAD玄EAC在AABD和AACE中AB醫(yī)ACE(SAS .ABIA ACE BD

35、=CEBC=BD+CP BOCE+CD(2) BC+CD=CEABC和AADE是等邊三角形， Z BAC玄DAE=60 , AB=BC=AQ AD=DE=AEZ BAC4/ DAC2 DAEV DAQZ BAD玄EAC在AABD和AACE中AB醫(yī)ACE(SAS. BD=CEBD=BC+CP CE=BC+CP20.(2015春？山亭區(qū)期末)如圖1,將一塊等腰直角三角板ABC的直角頂 點(diǎn)C置于直線I上，圖2是由圖1抽象出的幾何圖形，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作 直線I的垂線，垂足分別為DE.(1)AACD與ACBE全等嗎說(shuō)明你的理由.(2)猜想線段AD BE、DE之間的關(guān)系.(直接寫(xiě)出答案)【解答】 證明：

36、(1) ADLCE, BHCEADC2CEB=90 ,又Z ACB=90 ,ACD2CBE=90 - Z ECB在AACD與ACBE中，A ACIA CBE(AAS；(2) AD=BF DE理由如下： A ACIA CBE CD=BE AD=CE又CE=CB DEAD=BE- DE21.(2015秋？遷安市期末)在厶ABC中，AB=AC點(diǎn)D是射線CB上的一動(dòng) 點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作厶ADE使AD=AE/DAE=/ BAC連接CE設(shè)/BACa,/DCE申.(1) 如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上,且a =60時(shí)，那么3=120度；(2)當(dāng)60.1如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上，

37、求a與3間的數(shù)量關(guān)系；2如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)將如圖3補(bǔ)充完整，并求出a與3之間的數(shù)量關(guān)系.【解答】 解：(1)vZ DAE=/ BAC/BAD玄CAE在厶ABD與厶ACE中，ABDA ACE/ACE玄ABC=60，3 =120，(2)a +3 =180，理由：/BAC玄DAE/BAC- / DAC2 DAE- / DAC即/BAD/CAE在厶ABD與厶ACE中，ABDA ACE/B=/ACE/B+/ACB=/ ACE+Z ACB / B+/ ACB=/ DCE/3，va+/ B+/ ACB=180，圖形正確，a =3，/DAE/BAC/DAE-/BAE玄BAC-/BAE即/D

38、AB/EAC在厶ABD與厶ACE中，ABDA ACE/ADB/AEC設(shè)線段AE和線段CB相交于點(diǎn)F.故答案為：120; /DFA玄EFC Z DAF-iZ DFA-iZ ADFK ECF4Z EFC+ZAEC=180 , Z DAFN ECF, a = 3 22.(2015春？漳州期末)如圖，ABC中，D為AB的中點(diǎn)，AD=5厘米，Z B=Z C, BC=8M米.(1)若點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度從點(diǎn)B向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上從點(diǎn)C向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，1若點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度相等，經(jīng)1秒鐘后，請(qǐng)說(shuō)明厶BPIA CQF?2點(diǎn)Q的速度與點(diǎn)P的速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的速度為多少時(shí)，能夠使A

39、BPD CPQ(2)若點(diǎn)P以3厘米/秒的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以5厘米/秒的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，它們都依次沿ABC三邊運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過(guò)多長(zhǎng) 時(shí)間，點(diǎn)Q第一次在AABC的哪條邊上追上點(diǎn)P【解答】 解：(1)- BP=3X仁3, CQ=3仁3, BP=CQD為AB的中點(diǎn)，BD=AD=5 CP=BG- BPp BD=Cf?在ABPD與ACCiP中，BPtA CQF?設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s ,BP醫(yī)CPQ- BP=CP=4 CQ=t=,v=;(2)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后，點(diǎn)Q第一次追上點(diǎn)P,由題意得5x-3x=2X10,解得：x=10,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為3X10=30,30=28+2,此

40、時(shí)點(diǎn)P在BC邊上，經(jīng)過(guò)10秒，點(diǎn)Q第一次在BC邊上追上點(diǎn)P.23.(2015秋？奉賢區(qū)期中)如圖，在厶ABC中，D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，DF/ AQ延長(zhǎng)FD至E,且DE=DF聯(lián)結(jié)AE AF.(1)求證：Z E=Z C;(2)如果DF平分/AFB求證：AC丄AB. AC丄AB.【解答】證明：(1) TD為AB的中點(diǎn), BD=AQ在AAED與ABFD中，A AEtA BFD(SAS , Z E=Z DFB DF/ AC, Z C=Z DFB Z C=Z E;(2) DF平分/AFB Z AFDN DFB Z E=Z DFBZ AFDNAEDED=DEZ DAF-tZ AFD=90 , EF

41、/ AC, Z AFDN FAQ AC丄AB. Z DAF-tZ FAC=90 ,24.(2015秋？點(diǎn)軍區(qū)期中)在厶ABC中，CG是/ACB的角平分線，點(diǎn)D在BC上，且/DAC2B,AD交于點(diǎn)F.(1)求證：AG=AF(如圖1);(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)G作GE/AD交BC于點(diǎn)E,連接EF,求證：EF/ AB.【解答】 證明：(1)/ 4=Z B+Z2, Z 5=Z 3+Z 1,且/3=/B,- Z 4=7 5, AG=Af;(2) GE/ AQZ EGF2 4,在GACAGEC中，A AG(A EGC(ASA), AC=EQ在AAFC和AEFC中，A AFCA EFQZ FEC玄3,/ B=Z

42、3,Z FEC玄B, EF/ AB. Z FBG的度數(shù)為9025.(2015秋？遷安市期中)如圖，在厶ABC中，AD, CE是高，AD與CE交于點(diǎn)F,連接BF,延長(zhǎng)AD到點(diǎn)G,使得AG=BQ連接BQ若CF=AB(1)試判斷BF與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求/FBGI勺度數(shù).【解答】解：(1) BF=BQ AD, CE是高，Z BAD4/ AFE=Z BCF CFD=90 , Z AFE=Z CFQ Z BAD玄BCF,在AABG與ACFB中，A ABCA CFRBF=BQ(2) A AB(A CFR Z G=Z FBQ Z FBG的度數(shù)為90 Z FBD-tZ DBG=90 , Z G+Z DBG=90 ,26.(2014秋？錦江區(qū)