第二章 誤差的基本性質(zhì)與處理

1、合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 本章分別詳細(xì)闡述隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類誤差的來源、性質(zhì)、數(shù)據(jù)處理的方法以及消除或減小的措施。特別是在隨機誤差的數(shù)據(jù)處理中，分別掌握等精度測量和不等精度測量的不同數(shù)據(jù)處理方法。通過學(xué)習(xí)本章內(nèi)容，使讀者能夠根據(jù)不同性質(zhì)的誤差選取正確的數(shù)據(jù)處理方法并進(jìn)行合理的數(shù)據(jù)處理。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理n三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各三大類誤差的特征、性質(zhì)以及減小各類誤差對測量精度影響的措施類誤差對測量精度影響的措施n掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法掌握等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法n掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理方法掌握不等精度測量的數(shù)據(jù)處理

2、方法合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、隨機誤差產(chǎn)生的原因一、隨機誤差產(chǎn)生的原因合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 當(dāng)對同一測量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時，得到一系列當(dāng)對同一測量值進(jìn)行多次等精度的重復(fù)測量時，得到一系列不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些不同的測量值（常稱為測量列），每個測量值都含有誤差，這些誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測下誤差的出現(xiàn)沒有確定的規(guī)律，即前一個數(shù)據(jù)出現(xiàn)后，不能預(yù)測下一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)一個數(shù)據(jù)的大小和方向。但就誤差整體而言，卻明顯具有某種統(tǒng)計規(guī)律。計規(guī)律。 隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不

3、便掌握的微小因素構(gòu)隨機誤差是由很多暫時未能掌握或不便掌握的微小因素構(gòu)成，主要有以下幾方面：成，主要有以下幾方面： 測量裝置方面的因素測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素環(huán)境方面的因素 人為方面的因素人為方面的因素零部件變形及其不穩(wěn)定零部件變形及其不穩(wěn)定性，信號處理電路的隨性，信號處理電路的隨機噪聲等。機噪聲等。溫度、濕度、氣壓的變溫度、濕度、氣壓的變化，光照強度、電磁場化，光照強度、電磁場變化等。變化等。瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人瞄準(zhǔn)、讀數(shù)不穩(wěn)定，人為操作不當(dāng)?shù)?。為操作不?dāng)?shù)取Ｒ?、隨機誤差產(chǎn)生的原因一、隨機誤差產(chǎn)生的原因合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理對稱性對稱性單峰性單峰性有界性有界性抵償性抵償性正態(tài)

4、分布誤差概率密度曲線和直方圖正態(tài)分布誤差概率密度曲線和直方圖22/(2)1( )2fe)(0Llii合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 0)(f)()(ff)0()(maxff)0()(ff0lim1nniin合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理oiiLl )2/(2221)(efdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(2254)(|df326745.0令為隨機誤差，滿足正態(tài)分布，則令為隨機誤差，滿足正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）：標(biāo)準(zhǔn)差（或均方根誤差）： 數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：方差：方差：平均誤差：平均誤差：或然誤差：或然誤差：反映隨機誤差反映隨機誤差分布的中心位分布的中心位置置反映隨機誤差反映

5、隨機誤差相對于中心的相對于中心的分散程度分散程度合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理圖2-1為正態(tài)分布曲線以及各精度參數(shù)在圖中的坐標(biāo)。值為曲線上拐點A的橫坐標(biāo)，值為曲線右半部面積重心B的橫坐標(biāo)，值的縱坐標(biāo)線則平分曲線右半部面積。 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理三、算術(shù)平均值三、算術(shù)平均值( (一一) ) 定義定義niinlnnlllx1211( (二二) ) 算術(shù)平均值的意義算術(shù)平均值的意義 由由 得得 即即oiiLl onnnLlll)(2121nioiniinLl11nnlLniiniio110lim1nniin01Lnlxnii算術(shù)平均值可算術(shù)平均值可以作為被測量以作為被測量真值的估計值真值的

6、估計值合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理若測量次數(shù)有限，由參數(shù)估計知，算術(shù)平均值是該測量總體期望的一個最佳的估計量 ，即滿足無偏性、有效性、一致性，并滿足最小二乘法原理；在正態(tài)分布條件下滿足最大似然原理。nillloii, 2 , 1xxii0010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii( (三三) ) 殘差殘差( (四四) )算術(shù)平均值的簡便求法算術(shù)平均值的簡便求法 選一個接近所有測得值的數(shù)選一個接近所有測得值的數(shù) 作為參考值作為參考值ol合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理0l64.187901. 065.187900 xlxil64.187901. 065.1879x

7、序號序號1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101879.641879.641879.691879.691879.601879.601879.691879.691879.571879.571879.621879.621879.641879.641879.651879.651879.641879.641879.651879.65-0.01-0.01+0.04+0.04-0.05-0.05+0.04+0.04-0.07-0.07-0.03-0.03-0.01-0.010 0-0.01-0.010 00 0+0.05+0.05-0.04-0.04+0.05+0.05-0.07-

8、0.07-0.02-0.020 0+0.01+0.010 0+0.01+0.01 01. 01niiv01.0101010iilxilivx選參考值選參考值 =1879.65=1879.65，合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理01niivxAnvnii21Anvnii)5.02(1xxxnxvniinii11常用常用合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理序號 (mm) (mm)1 12 23 34 45 56 67 78 89 9101011112000.072000.072000.052000.052000.092000.092000.062000.062000.082000.082000.072000

9、.072000.062000.062000.052000.052000.082000.082000.062000.062000.072000.07+0.003+0.003-0.017-0.017+0.023+0.023-0.007-0.007+0.013+0.013+0.003+0.003-0.007-0.007-0.017-0.017+0.013+0.013-0.007-0.007+0.003+0.003 74.22000111iil003. 0111iiv22表合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理mmmmxnmmlii737.22000067.20001174.22000111mmmmmmxlv

10、iiii003. 0737.2200074.2200011111111mmAnmmvmmAnii005. 05 . 02003. 0001. 0, 55 . 02115 . 02111mmmmmmlxii067.20000673.20001174.2200011111計算正確計算正確x合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差（一）單次測量標(biāo)準(zhǔn)差（一）單次測量標(biāo)準(zhǔn)差 精度評定指標(biāo)之一精度評定指標(biāo)之一 . . 的意義的意義: :反映了隨機誤差分布的分散性反映了隨機誤差分布的分散性值愈小，值愈小， 高而陡，誤差分布高而陡，誤差分布范圍小，測量精度高。范圍小，測量精度高。值愈大，

11、低而平坦，誤差分值愈大，低而平坦，誤差分布范圍大，測量精度低。布范圍大，測量精度低。測量結(jié)果被測量估計值（或）估計值的精度評定測量結(jié)果被測量估計值（或）估計值的精度評定ilx)(f)(f合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理. . 的計算的計算根據(jù)隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差的定義，得根據(jù)隨機變量標(biāo)準(zhǔn)差的定義，得112nvniinnii12i i未知時未知時BesselBessel公式公式更準(zhǔn)確更準(zhǔn)確條件：條件：n5n5四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差四、測量的標(biāo)準(zhǔn)差合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理德國天文學(xué)家，數(shù)學(xué)家，天體測量學(xué)的奠基人之一。1784 年7 月22日生于明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15歲輟學(xué)到不來梅

12、一家出口公司當(dāng)學(xué)徒，在學(xué)習(xí)航海術(shù)的同時學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。20歲時發(fā)表了有關(guān)彗星軌道測量的論文。1806年成為天文學(xué)家施特勒爾的助手。1810年，奉普魯士國王之命，任新建的柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。1812年當(dāng)選為柏林科學(xué)院院士。 貝塞爾（Bessel，F(xiàn)riedrich Wilhelm，17841846）合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理0iilL0022011LxxlLxxlLxxlnnxLx)(0令，則令，則xnnxxvvv2211xniiniinv11nnvnniiniiniix111212122122nnnnjijiniiniix當(dāng)當(dāng)n n適當(dāng)大時，可以認(rèn)為適當(dāng)大時，可以認(rèn)為 趨近

13、于零趨近于零niji1nvniiniinii121212niivn122212nvi推導(dǎo)過程：推導(dǎo)過程：21212xniiniinv合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理3. 3. 的其他計算公式的其他計算公式別捷爾斯法別捷爾斯法（PetersPeters公式公式) ) 由殘差絕對值之和求由殘差絕對值之和求nnvniii1221niiniivnn12121111nnvniiniiniiniivnnn11)1(1) 1(253. 1253. 12nnvi合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理mmmm0330. 011010250. 0253. 1)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv序號序號1

14、 12 23 34 45 56 67 78 89 9101075.0175.0175.0475.0475.0775.0775.0075.0075.0375.0375.0975.0975.0675.0675.0275.0275.0575.0575.0875.080.0350.0350.0050.0050.0250.0250.0450.0450.0150.015+0.045+0.045+0.015+0.015-0.025-0.025+0.005+0.005+0.035+0.0350.0012250.0012250.0000250.0000250.0006250.0006250.0020250.00

15、20250.0002250.0002250.0020250.0020250.0002250.0002250.0006250.0006250.0000250.0000250.0012250.001225 2101200825. 0mmvii)(2mmvi32表例例2-42-4 用別捷爾斯法求得表用別捷爾斯法求得表2-32-3的標(biāo)準(zhǔn)差。的標(biāo)準(zhǔn)差。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理n2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 201.13 1.69 2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 3.08 3.17 3.26 3.34 3.41

16、 3.47 3.53 3.59 3.64 3.69 3.74nd42表極差法極差法1 1）極差）極差n n2 2）的計算的計算若等精度多次測量測得值若等精度多次測量測得值 服從正態(tài)分布，則服從正態(tài)分布，則nxxx,21minmaxxxnnndE)()(nndEnnd合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理mmmmmmlln09. 000.7509.75minmaxmmmmdn0292.008.309.010 08. 310d合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理nK1nK1n1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.25 0.88 0.75 0.68 0.64 0.61 0.58

17、 0.56 0.55 0.53 0.52 0.51 0.50 0.50 0.49n16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 300.48 0.48 0.47 0.47 0.46 0.46 0.45 0.45 0.45 0.44 0.44 0.44 0.44 0.43 0.43n2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20 25 301.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48 0.46 0.44nK152表最大誤差法：最大誤差法：當(dāng)各個獨立測量值服從正態(tài)分布時，當(dāng)各個獨立測量值服從正態(tài)

18、分布時，max|1inKmax|1invK合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理mmvi045. 0max57.0110KmmmmKvi0256. 0045. 057. 010max合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理m63299130. 0m63299144. 0mmm8101463299144. 063299130. 025. 111KmmK7811075. 1101425. 1合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理四種計算方法的優(yōu)缺點四種計算方法的優(yōu)缺點貝塞爾公式貝塞爾公式: :最常用，適用于最常用，適用于測量次數(shù)較多測量次數(shù)較多的情況，計的情況，計算精度較高，但較麻煩。對重要的測量或多種結(jié)果矛算精度較高，但

19、較麻煩。對重要的測量或多種結(jié)果矛盾時，以盾時，以貝塞爾公式貝塞爾公式為準(zhǔn)。為準(zhǔn)。別捷爾斯公式：最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科別捷爾斯公式：最早用于前蘇聯(lián)列寧格勒附近的普爾科夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計夫天文臺，它的計算速度較快，但計算精度較低，計算誤差為貝氏公式的算誤差為貝氏公式的1.071.07倍。倍。極差法：簡單、迅速，當(dāng)極差法：簡單、迅速，當(dāng)n10n10n10以后，以后， 的減的減小很慢。此外，由于增加測量次小很慢。此外，由于增加測量次數(shù)難以保證測量條件的恒定，從數(shù)難以保證測量條件的恒定，從而引入新的誤差，因此一般情況而引入新的誤差，因此一般情況下取下取n=10n=

20、10以內(nèi)較為適宜。以內(nèi)較為適宜?？傊岣邷y量精度，應(yīng)采取適總之，提高測量精度，應(yīng)采取適當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量當(dāng)精度的儀器，選取適當(dāng)?shù)臏y量次數(shù)。次數(shù)。x合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理五、測量的極限誤差（容許誤差）五、測量的極限誤差（容許誤差）（一）極限誤差定義（一）極限誤差定義指在一定的觀測條件下，測量誤差不應(yīng)超出的范圍極限指在一定的觀測條件下，測量誤差不應(yīng)超出的范圍極限值。若測量誤差落在范圍內(nèi)的概率為，超值。若測量誤差落在范圍內(nèi)的概率為，超出該范圍的概率為，則為置信概率的極限出該范圍的概率為，則為置信概率的極限誤差。誤差。,limlimxxxlim（二）單次測量的極限誤差（二）單次測量

21、的極限誤差dedfp22221)(合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理ddtt,)(2222102222tdtedteptttttdtettt02221)(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，其值可布，其值可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表（附分布表（附錄表）查錄表）查得得)(21t置信概率置信概率)(ttt合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理p=2(t)p=2(t)=1-2(t)=1-2(t)2 6表t t不超出不超出 的概率的概率超出超出 的概率的概率測量測量次數(shù)次數(shù)n n超出的測超出的測量次數(shù)量次數(shù)0.670.671 12 23 34 40.670.671 12 23 34 40.49720.49720.68260.

22、68260.95440.95440.99730.99730.99990.99990.50280.50280.31740.31740.04560.04560.00270.00270.00010.00012 23 3222237037015626156261 11 11 11 11 1t合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過由于在一般測量中，測量次數(shù)很少超過幾十次，因此可以認(rèn)為絕對值大于幾十次，因此可以認(rèn)為絕對值大于33的的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差誤差是不可能出現(xiàn)的，通常把這個誤差稱為單次測量的極限誤差，即稱為單次測量的極限誤差，即 （p p99.7399.73

23、）其它其它t t值也可值也可一般情況下，測量列單次測量的一般情況下，測量列單次測量的極限誤差可用下式表示：極限誤差可用下式表示：若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差若已知測量的標(biāo)準(zhǔn)差，選定置信系數(shù)，選定置信系數(shù)t t，則可由上式求，則可由上式求得單次測量的極限誤差。得單次測量的極限誤差。 3limxtxlim合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（三）算術(shù)平均值的極限誤差（三）算術(shù)平均值的極限誤差算術(shù)平均值誤差：算術(shù)平均值誤差：oxLx 當(dāng)多個測量列的算術(shù)平均值誤差當(dāng)多個測量列的算術(shù)平均值誤差 為正態(tài)分為正態(tài)分布時，根據(jù)概率論知識，可得布時，根據(jù)概率論知識，可得), 2 , 1(Nii xxtxlimt t為置信系數(shù)為

24、置信系數(shù)， 為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。為算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。x當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，應(yīng)按當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，應(yīng)按“學(xué)生氏學(xué)生氏”分布分布( (“studentstudent” distribution)distribution)或稱或稱t t分布來計算：分布來計算：xatxlim合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理式中的式中的 為置信系數(shù)，它由給定的置信概率為置信系數(shù)，它由給定的置信概率 和自由度和自由度 來確定，具體數(shù)值見附錄來確定，具體數(shù)值見附錄3 3； 為超出為超出極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取極限誤差的概率（稱顯著度或顯著水平），通常取 =0.01=0.01或或0.02,

25、0.050.02,0.05；n n為測量次數(shù)；為測量次數(shù)； 為為n n次測量的算術(shù)次測量的算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)差。平均值標(biāo)準(zhǔn)差。 對于同一測量列，按正態(tài)分布和對于同一測量列，按正態(tài)分布和t t分布分別計算時，分布分別計算時，即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此即使置信概率的取值相同，但由于置信系數(shù)不同，因此求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。求得的算術(shù)平均值極限誤差也不同。at1vn1px合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理il64.187901. 065.1879x序號序號1 12 23 34 45 56 67 78 89 910101879.641879.641879.691879.69187

26、9.601879.601879.691879.691879.571879.571879.621879.621879.641879.641879.651879.651879.641879.641879.651879.65-0.01-0.01+0.04+0.04-0.05-0.05+0.04+0.04-0.07-0.07-0.03-0.03-0.01-0.010 0-0.01-0.010 00 0+0.05+0.05-0.04-0.04+0.05+0.05-0.07-0.07-0.02-0.020 0+0.01+0.010 0+0.01+0.01 01. 01niiv01.0101010iilxi

27、livx合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理2000.07 2000.05 2000.09 2000.06 2000.08例例2-32-3 對某量進(jìn)行對某量進(jìn)行6 6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：次測量，測得數(shù)據(jù)如下： 802.40802.40，802.50802.50，802.38802.38，802.48802.48， 802.42 802.42，802.46802.46。求算術(shù)平均值及其。求算術(shù)平均值及其 極限誤差。極限誤差。 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理例例2-3 2-3 對某量進(jìn)行對某量進(jìn)行6 6次測量，測得數(shù)據(jù)如下：次測量，測得數(shù)據(jù)如下：802.40802.40，802.50802.50，80

28、2.38802.38，802.48802.48，802.42802.42，802.46802.46。求算術(shù)。求算術(shù)平均值及其極限誤差。平均值及其極限誤差。 解：算術(shù)平均值解：算術(shù)平均值 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 因測量次數(shù)較少，應(yīng)按因測量次數(shù)較少，應(yīng)按t t分布計算算術(shù)平均值的極分布計算算術(shù)平均值的極限誤差。已知限誤差。已知 ，取，取 ，則由附錄表，則由附錄表3 3查查得得 ，44.80266611iiniillx047.016161212iiniivnv019. 06047. 0nx51 nv01. 003. 4at合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理076. 0019. 003. 4limxatx99. 0

29、1p01. 0049. 0019. 060. 2limxtx合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理六、不等精度測量六、不等精度測量（一）不等精度測量列（一）不等精度測量列不同測量條件，不同儀器，不同測量方法，不同測量條件，不同儀器，不同測量方法，不同測量次數(shù)，不同的測量者等不同測量次數(shù)，不同的測量者等nnlll,2121mmxmmnmmxnxnxlllxlllxlll,212222211112112211合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（二）權(quán)的概念（二）權(quán)的概念權(quán)權(quán): :描述不等精度測量列中各個值的可信賴程度。描述不等精度測量列中各個值的可信賴程度。PiPi越大，說明該測量值越可信賴。越大，說明該測量

30、值越可信賴。等精度測量：等精度測量： P P1 1=P=P2 2= =P=Pn n不等精度測量：不等精度測量： P P1 1PP2 2 P Pn n（三）權(quán)的確定（三）權(quán)的確定以第種情況為例：以第種情況為例：P Pi i=n=ni i一般情況：權(quán)的大小是由測量值的標(biāo)準(zhǔn)差決定一般情況：權(quán)的大小是由測量值的標(biāo)準(zhǔn)差決定22221211:1:1:nnPPP合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（四）測量結(jié)果估計加權(quán)算術(shù)平均值（四）測量結(jié)果估計加權(quán)算術(shù)平均值x仍以特例說明：仍以特例說明：miimiiimmmmmmmnimimniiniiPxPPPPxPxPxPnnnxnxnxnxnlxnlxnlxm112122

31、11212211121221111,21合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理不等精度測量列，經(jīng)單位權(quán)化處理后，就可按等精度測量列來處理。（五）單位權(quán)化使不等精度測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列（五）單位權(quán)化使不等精度測量列轉(zhuǎn)化為等精度測量列等精度：等精度：P Pi i=P=1 =P=1 單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差 不等精度：不等精度：1iiiiiiiivplpvpl單位權(quán)化：任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根。單位權(quán)化：任何一個量值乘以自身權(quán)數(shù)的平方根。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（六）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差（六）加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差1112111mvpppppmiiiniiniiiiniix近似近似精確精

32、確合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理例例2-10 2-10 對一級鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測量，對一級鋼卷尺的長度進(jìn)行了三組不等精度測量， 其結(jié)果為其結(jié)果為mmmmxmmmmxmmmmxxxx10.0,60.200020.0,15.200005.0,45.2000321321例例2-11 2-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較， 得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(999.9425mm(三三 次測量的次測量的) )，999.9416mm(999.9416mm(兩次測量的兩次測量的) )，999.9

33、419999.9419 mm( mm(五次測量的五次測量的) )，求最后測量結(jié)果。求最后測量結(jié)果。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理例例2-11 2-11 工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較，工作基準(zhǔn)米尺在連續(xù)三天內(nèi)與國家基準(zhǔn)器比較， 得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為得到工作基準(zhǔn)米尺的平均長度為999.9425mm(999.9425mm(三三 次測量的次測量的) )，999.9416mm(999.9416mm(兩次測量的兩次測量的) )，999.9419999.9419 mm( mm(五次測量的五次測量的) )，求最后測量結(jié)果。，求最后測量結(jié)果。解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：解：按測量次數(shù)來確定權(quán)：

34、，選，選 則有則有5, 2, 3321pppmmx94.9990mmmmmmx9420.9995230019. 050016. 020025. 0394.999合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 mmx9420.999mvmvmvxxx1.0,4.0,5.03215, 2, 3, 3321pppmmmmmmx0002. 024. 02012. 1) 523 () 13 () 1 . 0(5) 4 . 0(25 . 0322合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理七、隨機誤差的其他分布七、隨機誤差的其他分布 正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯正態(tài)分布是隨機誤差最普遍的一種分布規(guī)律，但不是唯一分布

35、規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。一分布規(guī)律。下面介紹幾種常見的非正態(tài)分布。( (一一) )均勻分布均勻分布 在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主在測量實踐中，均勻分布是經(jīng)常遇到的一種分布，其主要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的要特點是，誤差有一確定的范圍，在此范圍內(nèi)，誤差出現(xiàn)的概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。概率各處相等，故又稱矩形分布或等概率分布。數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望：標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：第一節(jié)隨機誤差aa21)(fa圖 2-5o021)(afaadaE023a合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理( (二二) )反正弦分布反正弦分布 反正弦分布實際上是一種隨機

36、誤差的函數(shù)分布規(guī)反正弦分布實際上是一種隨機誤差的函數(shù)分布規(guī)律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反律，其特點是該隨機誤差與某一角度成正弦關(guān)系。反正弦分布的分布密度正弦分布的分布密度 （圖（圖2-62-6）)(faaaf當(dāng)當(dāng)011)(22022daEaa2a合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（三）三角形分布（三）三角形分布 當(dāng)兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差當(dāng)兩個誤差限相同且服從均勻分布的隨機誤差求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛求和時，其和的分布規(guī)律服從三角形分布，又稱辛普遜（普遜（SimpsonSimpson）分布。）分布。 三角形分布的分布密度三角形分布的分布密度 （圖（

37、圖2-72-7）：）：)(faaaaaaaf當(dāng)當(dāng)當(dāng)000)(22aa1)(fa圖 2-7o0E6a合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 如果對兩個誤差限為不相等的均勻分布隨機誤差求和時，如果對兩個誤差限為不相等的均勻分布隨機誤差求和時，則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。則其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。 在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、在測量工作中，除上述的非正態(tài)分布外，還有直角分布、截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘截尾正態(tài)分布、雙峰正態(tài)分布及二點分布等，在此不做一一敘述。述。（四）（四） 分布分布 令令 為為 個獨立隨機變量，每個隨機

38、變量都服從個獨立隨機變量，每個隨機變量都服從標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。定義一個新的隨機變量隨機變量隨機變量 稱為自由度為稱為自由度為 的卡埃平方變量。自由度的卡埃平方變量。自由度 表示表示上式中項數(shù)或上式中項數(shù)或獨立變量的個數(shù)。獨立變量的個數(shù)。2v,21v222212v2vv合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 分布的分布密度分布的分布密度 式中的式中的 函數(shù)。函數(shù)。 它的數(shù)學(xué)期望為：它的數(shù)學(xué)期望為： 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 在本書最小二乘法中要用到在本書最小二乘法中要用到 分布，此外它也是分布，此外它也是 t t 分布和分布和 F F 分布分

39、布的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。由圖由圖2-82-8的兩條的兩條 理論曲線看出，當(dāng)理論曲線看出，當(dāng) 逐漸增大時，曲線逐漸接近逐漸增大時，曲線逐漸接近對稱?？梢宰C明當(dāng)對稱?？梢宰C明當(dāng) 足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這足夠大時，曲線趨近正態(tài)曲線。值得提出的是，在這里稱里稱 為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。為自由度，它的改變將引起分布曲線的相應(yīng)改變。2)(2f000)()2(2)(222122222當(dāng)當(dāng)evfvv為)2(v022122222)()2(2vdevEvvv22v222vvv合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 令令 和和 是獨立的隨機變量，是獨立的隨機變量， 具有自由度為具有自由度

40、為 的的 分布函數(shù)，分布函數(shù)， 具有標(biāo)具有標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)，則定義新的隨機變量為 隨機變量隨機變量t t稱自由度為稱自由度為 的學(xué)生氏的學(xué)生氏t t變量。變量。 t t分布的分布密度分布的分布密度 它的數(shù)學(xué)期望為：它的數(shù)學(xué)期望為： 它的標(biāo)準(zhǔn)差為：它的標(biāo)準(zhǔn)差為： t t分布和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖分布和標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布密度曲線不同，如圖2-92-9所示。當(dāng)自由度較小時，所示。當(dāng)自由度較小時，t t分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度分布與正態(tài)分布有明顯區(qū)別，但當(dāng)自由度 時，時，t t分布曲線趨于正態(tài)分布分布曲線趨于正態(tài)分布曲線。曲線。t t分布是一

41、種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，分布是一種重要分布，當(dāng)測量列的測量次數(shù)較少時，極限誤差的估計，或者在檢驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經(jīng)常用到它?；蛘咴跈z驗測量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)誤差時經(jīng)常用到它。 v2vtv)(tf2/ )1(2)1 ()2()21()(vvtvvvtfdtvtvvvEv2/ )1(2)1 ()2()21(2vvv（五）（五）t t分布分布合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（六）（六）F F分布分布 若若 具有自由度為具有自由度為 的卡埃平方分布函數(shù)，的卡埃平方分布函數(shù)， 具有自由度為具有自由度為 的卡埃的卡埃平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為平方分布函數(shù)，定義新的隨機變量為

42、隨機變量隨機變量F F稱為自由度為稱為自由度為 、 的的F F變量。變量。 F F分布的分布密度分布的分布密度 如圖如圖2-102-10所示。所示。 它的數(shù)學(xué)期望為：它的數(shù)學(xué)期望為： 它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：它的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： F F分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。分布也是一種重要分布，在檢驗統(tǒng)計假設(shè)和方差分析中經(jīng)常應(yīng)用。12212211/vvvvF11v22v1v2v)(Ff000)()2()2()2()(2/ )(1212/21212/22/121121FFFvvFvvvvvvFfvvvvv當(dāng)當(dāng))0(2)(E2022vvvdFFFf) 4() 4() 2()

43、 2(22222121222vvvvvvv)4()4()2()2(2222212122vvvvvvv合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理u 系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因系統(tǒng)誤差的產(chǎn)生原因u 系統(tǒng)誤差的特征與分類系統(tǒng)誤差的特征與分類u 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法u 系統(tǒng)誤差的減小和消除方法系統(tǒng)誤差的減小和消除方法合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因一、系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于：件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于： 測量裝置方面

44、的因素測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因素環(huán)境方面的因素 測量方法的因素測量方法的因素 測量人員的因素測量人員的因素計量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計量校準(zhǔn)后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計原理缺陷、儀器制造和安裝的計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。不正確等。測量時的實際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的測量時的實際溫度對標(biāo)準(zhǔn)溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計算公式采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。引起的誤差等。測量人員固有的測量習(xí)性引起的測量人員固有的測量習(xí)性引起的誤差等。誤差等。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理二、系統(tǒng)誤差

45、的分類和特征二、系統(tǒng)誤差的分類和特征系統(tǒng)誤差的特征：系統(tǒng)誤差的特征：在同一條件下，多次測量同一測量值時，在同一條件下，多次測量同一測量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化，按一定的規(guī)律變化，不具有抵償性不具有抵償性。根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所根據(jù)系統(tǒng)誤差在測量過程中所具有的不同變化特性，將系統(tǒng)具有的不同變化特性，將系統(tǒng)誤差分為誤差分為不變系統(tǒng)誤差不變系統(tǒng)誤差和和變化變化系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差兩大類。兩大類。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理（一）不變系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）（一）不變系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差） 在整個測量

46、過程中，誤差的大小和符號始終不在整個測量過程中，誤差的大小和符號始終不變。變。 eg:eg:千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差；千分尺或測長儀讀數(shù)裝置的調(diào)零誤差；量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等量塊或其它標(biāo)準(zhǔn)件尺寸的偏差等（二）變化系統(tǒng)誤差（二）變化系統(tǒng)誤差 在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的在整個測量過程中，誤差的大小和方向隨測試的某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。某一個或某幾個因素按確定的函數(shù)規(guī)律而變化。eg:eg:量塊中心長度隨溫度的變化量塊中心長度隨溫度的變化mmTLLL)(00 線性變化的系統(tǒng)誤差線性變化的系統(tǒng)誤差合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 周期變化的系統(tǒng)誤差周期變化的

47、系統(tǒng)誤差sineL 復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差例如例如: :微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線微安表的指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力距間不嚴(yán)格保持線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所產(chǎn)生的誤差就屬于復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差。 e e9090o o0 0o o180180o o270270o oe eL L0 0O O9090O O180180O O360360O Oeg:eg:指針在任一轉(zhuǎn)角指針在任一轉(zhuǎn)角 處引起的讀數(shù)誤差處引起的讀數(shù)誤差 。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類

48、方法加以識別：我們可針對不同性質(zhì)的系統(tǒng)誤差，可按照下述兩類方法加以識別： 1 1、用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差用于發(fā)現(xiàn)測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差，包括實驗對比法、殘余誤差，包括實驗對比法、殘余誤差觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法；觀察法、殘余誤差校核法和不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法； 2 2、用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差用于發(fā)現(xiàn)各組測量之間的系統(tǒng)誤差，包括計算數(shù)據(jù)比較法、秩，包括計算數(shù)據(jù)比較法、秩和檢驗法、和和檢驗法、和t t 檢驗法。檢驗法。三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法三、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法檢驗法秩和檢驗法計算數(shù)據(jù)比較法組間不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差法殘余誤差校核法殘余誤差觀察法實驗對比法組內(nèi)發(fā)現(xiàn)

49、系統(tǒng)誤差的方法t合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 1 1、實驗對比法、實驗對比法 實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量，實驗對比法是改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件，進(jìn)行不同條件的測量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。 這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差這種方法適用于發(fā)現(xiàn)不變的系統(tǒng)誤差。 2 2、殘余誤差觀察法、殘余誤差觀察法 殘余誤差觀察法是根據(jù)測量殘余誤差觀察法是根據(jù)測量列的各個殘余誤差大小和符號的列的各個殘余誤差大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差。 這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)律變這種方法適于發(fā)現(xiàn)有規(guī)

50、律變化的系統(tǒng)誤差化的系統(tǒng)誤差。（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法（一）測量列組內(nèi)的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 3 3、殘余誤差校核法殘余誤差校核法( (有兩種方法有兩種方法) ) 用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差用于發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差nKjjiKinKjjKiixlxlvv1111)()( 若上式的兩部分值若上式的兩部分值顯著不為顯著不為O O，則有理由認(rèn)為測，則有理由認(rèn)為測量列存在線性系統(tǒng)誤差量列存在線性系統(tǒng)誤差。這種校核法又稱。這種校核法又稱“馬列科夫準(zhǔn)馬列科夫準(zhǔn)則則”，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，它能有效地發(fā)現(xiàn)線性系統(tǒng)誤差。但要注意的是，有時按殘余誤差校核法求得差值有

51、時按殘余誤差校核法求得差值=0=0，仍有可能存在系，仍有可能存在系統(tǒng)誤差。統(tǒng)誤差。 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差用于發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差nnniiivvvvvvvvu1322111121nu若若則認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又則認(rèn)為該測量列中含有周期性系統(tǒng)誤差。這種校核法又叫叫阿卑阿卑赫梅特準(zhǔn)則（赫梅特準(zhǔn)則（Abbe-HelmertAbbe-Helmert準(zhǔn)則）準(zhǔn)則），它能有，它能有效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。效地發(fā)現(xiàn)周期性系統(tǒng)誤差。 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理4 4、不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法、不同公式計算標(biāo)準(zhǔn)差比較法 對等精度測量，可用不同分式計算標(biāo)準(zhǔn)

52、差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)對等精度測量，可用不同分式計算標(biāo)準(zhǔn)差，通過比較以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。按貝塞爾公式：誤差。按貝塞爾公式： 按別捷爾斯公式：按別捷爾斯公式： 令令 若若 則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。則懷疑測量列中存在系統(tǒng)誤差。 121nvi) 1(253. 12nnviu12112nu在判斷含有系統(tǒng)誤差時，違反在判斷含有系統(tǒng)誤差時，違反“準(zhǔn)準(zhǔn)則則”時就可以直接判定，而在遵守時就可以直接判定，而在遵守“準(zhǔn)則準(zhǔn)則”時，不能得出時，不能得出“不含系統(tǒng)不含系統(tǒng)誤差誤差”的結(jié)論，因為每個準(zhǔn)則均有的結(jié)論，因為每個準(zhǔn)則均有局限性，不具有局限性，不具有“通用性通用性”。 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理則任意兩組結(jié)

53、果則任意兩組結(jié)果 與與 間間不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是：不存在系統(tǒng)誤差的標(biāo)志是： 若對同一量獨立測量得若對同一量獨立測量得 m m 組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)組結(jié)果，并知它們的算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差為：準(zhǔn)差為：( (二二) )測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法測量列組間的系統(tǒng)誤差發(fā)現(xiàn)方法mmxxx,;,;,2211jixx ji22ixjxjijixx222而任意兩組結(jié)果之差為：而任意兩組結(jié)果之差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：其標(biāo)準(zhǔn)差為：1 1、計算數(shù)據(jù)比較法、計算數(shù)據(jù)比較法 對同一量進(jìn)行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計算比較，對同一量進(jìn)行多組測量得到很多數(shù)據(jù)，通過多組數(shù)據(jù)計算比較，若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果

54、應(yīng)滿足隨機誤差條件，否則可認(rèn)為若不存在系統(tǒng)誤差，其比較結(jié)果應(yīng)滿足隨機誤差條件，否則可認(rèn)為存在系統(tǒng)誤差。存在系統(tǒng)誤差。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理2 2、秩和檢驗法、秩和檢驗法 對某量進(jìn)行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和對某量進(jìn)行兩組測量，這兩組間是否存在系統(tǒng)誤差，可用秩和檢驗法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。檢驗法根據(jù)兩組分布是否相同來判斷。 若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為：若獨立測得兩組的數(shù)據(jù)為： 21, 2, 1, 2, 1niynixii 將它們混和以后，將它們混和以后，從從1 1開始，按從小到大的順序重新排列開始，按從小到大的順序重新排列，觀察測，觀察測量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它

55、的測得值在混合后的次序編號（即量次數(shù)較少那一組數(shù)據(jù)的序號，它的測得值在混合后的次序編號（即秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號號即為秩和秩），再將所有測得值的次序相加，得到的序號號即為秩和 T T。10,21nnTTT 1 1） 兩組的測量次數(shù)兩組的測量次數(shù) ，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次，可根據(jù)測量次數(shù)較少的組的次數(shù)數(shù) n n1 1 和測量次數(shù)較多的組的次數(shù)和測量次數(shù)較多的組的次數(shù) n n2 2 ，由秩和檢驗表，由秩和檢驗表2-102-10查得查得 T T- - 和和 T T+ + （顯著度（顯著度0.050.05），），若若 則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤

56、差。 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理TTnn212 24 43 311112 25 53 313132 26 64 414142 27 74 416162 28 84 418182 29 94 420202 210105 521213 33 36 615153 34 47 717173 35 57 720203 36 68 822223 37 79 924243 38 89 927273 39 9101029293 31010111131314 44 4121224244 45 5131327274 46 6141430304 47 7151533334 48 8161636364 49 91

57、71739394 41010181842425 55 5191936365 56 6202040405 57 7222243435 58 8232347475 59 9252550505 51010262654546 66 6282820206 67 7303054546 68 8323258586 69 9333363636 61010353567677 77 7393966667 78 8414171717 79 9434376767 71010464680808 88 8525284848 89 9545490908 81010575795959 99 966661051059 9101

58、06969111111101010108383127127102 表TTnn21TTnn21TTnn21合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理2 2） 當(dāng)當(dāng) ，秩和，秩和 T T 近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布 括號中第一項為數(shù)學(xué)期望，第二項為標(biāo)準(zhǔn)差，此時括號中第一項為數(shù)學(xué)期望，第二項為標(biāo)準(zhǔn)差，此時 T T- - 和和 T T+ + 可由正態(tài)分布算出。可由正態(tài)分布算出。 根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值根據(jù)求得的數(shù)學(xué)期望值 a a 和和 標(biāo)準(zhǔn)，則：標(biāo)準(zhǔn)，則：選取概率選取概率 ，由正態(tài)分布分表（附錄表，由正態(tài)分布分表（附錄表1 1）查得）查得t t，若，若則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。則無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)

59、誤差。10,21nn1121212(1)(1)(,)22n n nn n nnTN,taTaTt)(ttt 合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表解：將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表 查表查表2-102-10得得 ix例例2-162-16 對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。對某量測得兩組數(shù)據(jù)如下，判斷兩組間有無系統(tǒng)誤差。 x xi i : 14.7, 14.8, 15.2, 15.6: 14.7, 14.8, 15.2, 15.6 ; ; y yi i ：14.6, 15.0, 15.1 14.6, 15.0, 15.1 iyi i1 12 23 34 45 56 6

60、7 714.714.714.814.815.215.215.615.614.614.615.015.015.115.1 已知已知4, 321nn, 7T17TTTT 計算秩和計算秩和 T=1+4+5=10 T=1+4+5=10 因因 故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。故無根據(jù)懷疑兩組間存在系統(tǒng)誤差。 注意：注意：若兩組數(shù)據(jù)中有若干個相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按它們所排若兩組數(shù)據(jù)中有若干個相同的數(shù)值，則該數(shù)據(jù)的秩按它們所排 列的次序的平均值計算。列的次序的平均值計算。合肥工業(yè)大學(xué)誤差理論與數(shù)據(jù)處理 令變量令變量 由數(shù)理統(tǒng)計知，變量由數(shù)理統(tǒng)計知，變量t t是服從自由度為是服從自由度為( )( )的的t