2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章參數(shù)方程本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收教學(xué)案新人教A版選修4-4

1、99第二章參數(shù)方程【本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P33考情分析通過對(duì)近幾年新課標(biāo)區(qū)高考試題的分析可見，高考對(duì)本講知識(shí)的考查，主要是以參數(shù)方程為工具，考查直線與圓或與圓錐曲線的有關(guān)的問題.真題體驗(yàn)x= t ,1.（湖南高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線I：彳（t為參數(shù)）過橢圓C：iy=t-ax= 3cos $ ,y= 2s in$（$為參數(shù)）的右頂點(diǎn)，則常數(shù)a的值為2 2x y解析：由題意知在直角坐標(biāo)系下，直線I的方程為y=xa,橢圓的方程為+才=1,所以其右頂點(diǎn)為（3,0）.由題意知 0 = 3a,解得a= 3.答案：32 22.（陜西高考）如圖，以過原點(diǎn)的直線的傾斜角B為參數(shù)，則

2、圓x+yx= 0 的參數(shù)方程為_y解析：由三角函數(shù)定義知-=tan0（x豐0）,y=xtan0,X22由x+yx= 0 得,2 2, 2x+xtan0 -x=0,n又0=2 時(shí)，x=0, y= 0 也適合題意,（0為參數(shù)）.99則y=xtan0 =cos20tan0 =sin0cos0 ,f2x=cos0 ,故參數(shù)方程為q|y=sin0cos答案:x=cos20 ,y=sin0cos（0為參數(shù)）3x= 2cost,3.(新課標(biāo)全國卷n)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P, Q都在曲線 C (t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)y= 2s int參數(shù)分別為t= a與t=2a(0VaV2n),M為PQ的中點(diǎn).(1) 求M的軌跡的參數(shù)方程；

3、(2) 將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為a的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標(biāo)原點(diǎn).解：依題意有P(2cosa, 2sina) ,Q2cos 2a, 2sin 2a),因此Mcosa+ cos 2a, sina+ sin 2a).x=cosa +cos 2a ,M的軌跡的參數(shù)方程為 (a為參數(shù)，Ov a V2n).y=sina +sin 2a(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=Jx2+y2=2+2cosa(0V a V2n).當(dāng)a=n時(shí)，d= 0,故M的軌跡過坐標(biāo)原點(diǎn).高頻戈冬例析對(duì)應(yīng)學(xué)生用書 P33曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化1.消參的常用方法(1) 代入消參法，是指由曲線的參數(shù)方程中的某一個(gè)(或兩個(gè))

4、得到用x(或y，或x,y)表示參數(shù)的式子，把其代入?yún)?shù)方程中達(dá)到消參的目的.(2) 整體消參法，是指通過恰當(dāng)?shù)淖冃伟褍墒狡椒较嗉?或相減、相乘、相除)達(dá)到消參的目的，此時(shí)常用到一些桓等式，女口 sin20+ cos20= 1,sec20= tan20+ 1,，t+辛ft2= 4 等.2消參的注意事項(xiàng)(1) 消參時(shí)，要特別注意參數(shù)的取值對(duì)變量x,y的影響，否則易擴(kuò)大變量的取值范圍.(2) 參數(shù)方程中變量x,y就是參數(shù)的函數(shù)，可用求值域的方法確定變量x,y的取值范圍.4解化為普通方程是：x2+y2=25,v-n 0,0 xw5,50,a2+b2= 1 時(shí)，|y=yo+bt上述方程組才為直線的參數(shù)方

5、程的標(biāo)準(zhǔn)形式，直線經(jīng)過的起點(diǎn)坐標(biāo)為M( (xo,yo) )，直線上另外兩點(diǎn)M( (X1,y1) ) ,M( (X2,y2) )對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,這時(shí)就有| |MM| | =|切,| |MM| | =七七| | , | |MM| |= | |t112|.|.2. 直線參數(shù)方程的應(yīng)用直線的參數(shù)方程應(yīng)用十分廣泛，特別在計(jì)算與圓錐曲線的相交弦的弦長時(shí)，可以利用參數(shù)的幾何意義和弦長公式求解，這樣可以避免因運(yùn)用直線和圓錐曲線的方程所組成的方程組求解導(dǎo)致的煩瑣運(yùn)算，從而簡化解題過程，優(yōu)化解題思路.3. 應(yīng)用直線的參數(shù)方程求弦長的注意事項(xiàng)(1) 直線的參數(shù)方程應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)形式.(2) 要注意直線傾斜角的

6、取值范圍.(3) 設(shè)直線上兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2.(4) 套公式|t1t2|求弦長.例 3已知點(diǎn) R3,2)平分拋物線y2= 4x的一條弦AB,求弦AB的長.解設(shè)弦AB所在的直線方程為例 1參數(shù)方程x= 5cosy= 5si n直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用5X= 3+tCOSa ,(t為參數(shù))，y= 2+tsina代入方程y2= 4x整理得：2 . 2tsina+ 4(sina COSa )t 8 = 0.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,2)是弦AB的中點(diǎn)，由參數(shù)t的幾何意義可知，方程的兩個(gè)實(shí)根ti,t2滿足關(guān)系t1+t2= 0.即 sina COSa= 0.n因?yàn)?OW a V n，所以a= .222x=a

7、+rcos0 ,圓心為(a,b),半徑為r的圓(xa) + (yb) =r的參數(shù)方程為|y=b+rsi n0(0為參數(shù))；2 2長半軸為a，短半軸為b,中心在原點(diǎn)的橢圓X2+2= 1(ab 0)的參數(shù)方程為a bx=acos0 ,( 0 為參數(shù))，圓、橢圓的參數(shù)方程在計(jì)算最大值、最小值和取值范圍等y=bsin0問題中有著廣泛的應(yīng)用，禾U用圓、橢圓的參數(shù)方程將上述問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，利用三角函數(shù)的變換公式可以簡化計(jì)算，從而避免了繁雜的代數(shù)運(yùn)算.(1) 寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2) 過曲線C上任意一點(diǎn)P作與I夾角為 30的直線，交I于點(diǎn) A,求|PA的最大值與 最小值.

8、例 4(新課標(biāo)全國卷I2 2)已知曲線c：x+y= 1，直線l:x= 2+1，y= 22t(t為參數(shù)).6x=2cos0，解(1)曲線C的參數(shù)方程為 1.參數(shù)方程c2x= cosA.C.y= sin0為參數(shù)）所表示的曲線為拋物線的一部分雙曲線的一部分解析：x+y2= cos202又x= cos00,1+ sin為拋物線的一部分.答案：AA.C.B. 一條拋物線D. 一條雙曲線2=1，即y=-x+ 1.,y=sin0 當(dāng)參數(shù)0變化時(shí),動(dòng)點(diǎn) R2cos-1,1,0 ,3sin0）所確定的曲線必過點(diǎn)（2,3）B.點(diǎn)（2,0）點(diǎn)（1,3）D.點(diǎn)(0(0,_ _2 2) )解析：令x= 2cos0,y=

9、 3sin，則動(dòng)點(diǎn)（x,y）的軌跡是橢圓:2x:+w= 1,二曲線49過點(diǎn)(2,0).答案：B6.已知三個(gè)方程：x= tant,y=tan2t;x= siny= sint,2t（都是以t為參數(shù)）.那么表示同一曲線的方程是A.B.C.D.9解析：的普通方程都是y=x2，但中x的取值范圍相同，都是xR,而中x的取值范圍是一 Kx 1.答案：B解析：可以把直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，或者直接根據(jù)直線參數(shù)方程的非標(biāo)準(zhǔn)式中寸 -羽莓yJ2*）11 =羽，可得t= ，將t代入原方程，x= 3,x= 1,得=或。所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（一 3, 4）或（一 1,2）.y=4y= 2,答案：C& （安徽高考）以平

10、面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線I的參數(shù)方程是 F =t+1 1，（t為參數(shù)）,圓Cy=t 3=2 2.答案：Dx= COS 6+6sin6,9.已知圓的漸開線，6 6cos6（6為參數(shù)）上有一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為y=r sill(3,0),則漸開線對(duì)應(yīng)的基圓的面積為( )A.nB. 3nC. 6nD. 9n7.直線；x x一2 27t，y=3+J2t( )A. ( 4,5)C. ( 3,4)或(1,2)（t為參數(shù)）上與點(diǎn) R 2,3）的距離等于 2 的點(diǎn)的坐標(biāo)是B. （ 3,4）D. （ 4,5）或（0,1）參數(shù)的幾何意義可得A. 1

11、4C. 2解析：由題意得，直線B. 2 14D. 2 2l的普通方程為y=x 4,圓C的直角坐標(biāo)方程為（x 2） +y|2 一 0 一 4|=4,圓心到直線l的距離d=2=2,直線l被圓C截得的弦長為的極坐標(biāo)方程是p= 4cos0，則直線I被圓C截得的弦長為（2 . 22 . 2210解析：把已知點(diǎn)（3,0）代入?yún)?shù)方程得SinSin0=rg I f! 0 0cos$tan0,所以0= 0,代入得，3 =r （cos 0 + 0），所以r= 3,所以基圓的面積為 9n.答案：DA.橢圓弧B.圓弧C.雙曲線弧D.拋物線弧3in0 +cos0 =a,a=sin0 +cos0 ,解析：由題知即in0

12、 cos0 =b,b=sin0 cos0.2 .a 2b= (sin20 +cos0)2sin0 cos0 =1.表示拋物線弧.答案：D二、填空題（本大題共 4 個(gè)小題，每小題 5 分，滿分 20 分.把答案填寫在題中的橫線上）x=2+cos0 ,11.若直線I:y=kx與曲線C：（參數(shù)0 R）有唯一的公共點(diǎn)，則|y=sin0實(shí)數(shù)k=_.解析：曲線C的普通方程為（x 2）2+y2= 1,由題意知，口2= 1,二k=屮+k3 3答案：土于x=tan0 ,12 .雙曲線/（0為參數(shù)）的漸近線方程為 _y=2sec02解析：雙曲線的普通方程為yx2= 1,42由魯x2= 0,得y=2x，即為漸近線方

13、程.答案：y=2x，由得0=210.已n0和 cos0(|0| w4)，則點(diǎn)(a,b)的軌跡11x=3+4t,X=T；cos0 ,13.已知點(diǎn)P在直線丄 (t為參數(shù))上，點(diǎn)Q為曲線丫3 3(0y= 1 + 3ty=3s in0為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，貝 U |PQ的最小值等于 _.解析：直線方程為 3x 4y 5= 0, 亠 ，亠，、，亠|5cos0 12sin0 5|由題意，點(diǎn)Q到直線的距離d=8dmin=，即 |PQmin=5答案：814.直線n1 經(jīng)過點(diǎn)M（1,5），傾斜角為 j，且交直線Xy 2= 0 于M點(diǎn)，則|MM=+ 1） 答案：6（ 3 +1）三、解答題（本大題共 4 個(gè)小題，滿分

14、50 分解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）|x=a 2t,15.（本小題滿分12 分）（福建高考）已知直線I的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）,ly=4tX=4cos0 ,圓C的參數(shù)方程為（0為參數(shù)）.y=4s in0（1）求直線I和圓C的普通方程；5|解析：由題意可得直線（t為參數(shù)）代入直線方程Xt= 6( 3 + 1) 根據(jù)t的幾何意義可知|MM= 6( 3l的參數(shù)方程為y= 5 +得 i+22 = 0,解得12（2）若直線l與圓C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）直線l的普通方程為 2Xy 2a= 0, 圓C的普通方程為X2+y2= 16.13因?yàn)橹本€l與圓C有公共點(diǎn),故圓C的圓心到直線l的