2014級線代課件：陳建利 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

1、5.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 一、一、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 二、二、拉格朗日配方法拉格朗日配方法 一、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形一、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 對于二次型對于二次型, 我們討論的主要問題是我們討論的主要問題是:尋求可逆的線性變換尋求可逆的線性變換, 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.由上可知由上可知: 即尋找可逆矩陣即尋找可逆矩陣 C 使使 CTAC 為對角陣為對角陣.此問題稱為把對稱陣此問題稱為把對稱陣 A 合同對角化合同對角化. 設(shè)設(shè)對稱陣對稱陣 A 的的n個特征值為個特征值為: 1, 2, , n, 對角陣對角陣 = dia

2、g ( 1, 2, , n), 則總存在則總存在正交陣正交陣 P 使得使得 P 1AP= , 即即 PTAP= . 定理定理 5.2 任給二次型任給二次型 f = xTAx, 總有總有正交變換正交變換 x = Py, 使使 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形:其中其中 1, 2, , n是是 f 的矩陣的矩陣 A 的的n個特征值個特征值. ,2222211nnyyyf 推論推論 任給二次型任給二次型 f = xTAx, 總有總有可逆可逆變換變換 x=Cz, 使使 f 化為規(guī)范性化為規(guī)范性:其中其中 r 是是 f 的秩的秩. ,221221rppzzzzf 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化

3、二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟:1. 寫出二次型寫出二次型 f 的矩陣的矩陣 A . 2. 求出矩陣求出矩陣 A 的所有特征值的所有特征值: 1, 2, , n. 3. 對每個對每個 = i 求出對應(yīng)方程求出對應(yīng)方程(A E)x=0的基礎(chǔ)的基礎(chǔ)解系解系, 并正交、單位化得并正交、單位化得: P1, P2, ,Pn. 4. 得正交矩陣得正交矩陣: P = (P1, P2, ,Pn). 5. 正交變換正交變換 x = Py 將將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形:.2222211nnyyyf 3231212322213214844),(xxxxxxxxxxxxf 例例1 1 求一個求一個正交變換正交變換 x =

4、 Py, 將二次型將二次型 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形. 解解f 的矩陣為的矩陣為:,124242421 A 124242421|EA,)5)(4(2 A的特征值為的特征值為:. 5, 4321 對對 1= 4, 5242824254EA由由,0002110101 r,212:1 得得.21231:1 P單位化得單位化得對對 2 = 3= 5, 4242124245EA由由,0000001211 r,120,021:32 得得正交化得：正交化得：,02122 524513 單位化得：單位化得：,021512 P,5241553 P得正交矩陣得正交矩陣: P = (P1, P2, P3),3503

5、21552523115545132 故正交變換故正交變換 將將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形: 321321yyyPxxx.554232221yyyf ,515121332211 zyzyzy若再令若再令說明說明: 321321510005100021zzzyyy,321 zzzC 則則可逆變換可逆變換 (其中其中 K=PC ),321321 zzzKxxx將將 f 化為規(guī)范形化為規(guī)范形: .232221zzzf 323121232221222xxxxxbxxaxxf 例例2 2 二次型二次型經(jīng)正交變換經(jīng)正交變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形: 321321yyyPxxx,42321yyf 求求 a, b

6、 及正交矩陣及正交矩陣P.解解f 的矩陣為的矩陣為:,111111 abbA由由 f 的標(biāo)準(zhǔn)形可知的標(biāo)準(zhǔn)形可知A的特征值為的特征值為:. 4, 0, 1321 ,0)1(|522 bAa故有故有.13 ba對對 1=1, 011121110EA由由,000110101 r,111:1 得得.11131:1 P單位化得單位化得對對 2 = 0, 111131111A由由,000010101 r,101:2 得得.10121:2 P單位化得單位化得對對 3 = 4, 3111111134EA由由,000210101 r,121:3 得得.12161:3 P單位化得單位化得故所求正交陣為故所求正交陣

7、為 P = (P1, P2, P3).61213162031612131 二、拉格朗日配方法二、拉格朗日配方法1. 若二次型含有若二次型含有 xi 的平方項(xiàng)的平方項(xiàng), 則先把含有則先把含有 xi 的乘積項(xiàng)的乘積項(xiàng)先集中先集中, 然后配方然后配方, 再對其余的變量同樣進(jìn)行再對其余的變量同樣進(jìn)行,直到都配直到都配成平方項(xiàng)為止成平方項(xiàng)為止.323121232221321222),(xxxxxxxxxxxxf 例例3 3 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用變換矩陣并求所用變換矩陣. 解解323121232221321222),(xxxxxxxxxxxxf 3223223121

8、212)22(xxxxxxxxx 3222232142)(xxxxxx 2323223212)( 2)(xxxxxx ,333223211 xyxxyxxxy令令,100110011321321 yyyxxx即即可將可將 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形:.22232221yyyf 所用變換矩陣為所用變換矩陣為).01|(|,100110011 CC kkjijjiiyxyyxyyx), 2 , 1(jiknk 且且2. 若二次型中不含有平方項(xiàng)若二次型中不含有平方項(xiàng), 但有但有 aij 0 (i j ), 則先作可逆變換則先作可逆變換化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型再按化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型再按 1 中方法配方中方法配方.323121622xxxxxxf 例例4 4 化二次型化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣. , 33212211 yxyyxyyx令令解解.8422 : 32312221yyyyyyf 代入二次型得代入二次型得323121622xxxxxxf 例例4 4 化二次型化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, 并求所用的變換矩陣并求所用的變換矩陣. .6)2(2)(2:,23232231yyyyyf 得得配方配方,2 33322311 yzyyzyyz再再令令,2 33322311 zyzzyzzy即即可將可將 f