高中數(shù)學 1-1-1集合的含義與表示課件 新人教A版必修1

1、 11集合 11.1集合的含義與表示 1我們在初中接觸過“正數(shù)的集合”、“負數(shù)的集合”等，集合的含義又是什么呢？ 解不等式2x13得x2，所有大于2的實數(shù)集在一起稱為這個不等式的解集 平面幾何中，圓是到定點的距離等于定長的點的集合 自然數(shù)的集合0,1,2,3， 高一(5)班全體同學組成一個集合 請想一想，集合這個概念應該怎樣描述？ 一般地，我們把所研究的對象如點、自然數(shù)、高一(5)班的同學統(tǒng)稱為 ，把一些 組成的總體叫做，通常用表示 2元素與集合的關系用符號表示 3集合中元素的性質(zhì)(或稱三要素)：元素元素集合大寫拉丁字母A、B、C，、確定性、互異性、無序性 (1)給定的集合中的元素必須是確定的

2、 “我國的小河流”能不能組成一個集合，你能用集合的知識解釋嗎？ 答案：“我國的小河流”不能組成一個集合因為集合中的元素必須是確定的，而在我國的河流中到底多大才算小河流并無具體的標準 (2)集合中的元素必須是互不相同的，由1，1,1,3組成的集合為；若aa2,1則a . (3)若構成兩集合的元素是一樣的，則稱兩集合 ，若集合1,2與集合a,1相等，則a . 4常見的數(shù)集符號：自然數(shù)集： ；正整數(shù)集： ；整數(shù)集： ；有理數(shù)集： ；實數(shù)集： . 5把集合中的元素一一列舉出來 并用 括起來表示集合的方法叫做，如大于1且小于10的偶數(shù)構成的集合可表示為1，1,3相等2NNZQR花括號“ ”列舉法0,2,

3、4,6,80 用列舉法表示下列集合： (1)方程(x21)(x22x8)0的解集為 (2)方程|x1|3的解集為 (3)絕對值小于3的整數(shù)的集合為1,1，4,22,42，1,0,1,2 6用集合所含元素的表示集合的方法，稱作描述法 具體方法是：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的，再畫一條豎線，在這條豎線后面寫出這個集合中元素所具有的 它的一般形式是xA|p(x)或x|p(x)“ ”為代表元素，“ ”為元素x必須具有的共同特征，當且僅當“x”適合條件“p(x)”時，x才是該集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性的特點，當元素個數(shù)較多時，一般選用此法共同特征一般符號及取值(或變化)范圍共同特征xp

4、(x) 1試用描述法表示下列集合： (1)方程x23x20的解集為 (2)不等式3x20的解集為 (3)大于1小于5的整數(shù)組成的集合為 2用列舉法表示下列集合： (1)6的正約數(shù)組成的集合_ (2)不等式2x15的自然數(shù)解組成的集合_ ( 3 ) 古 代 我 國 的 四 大 發(fā) 明 組 成 的 集合_ (4)Ax|00 xZ|1x5 解析(1)6的正約數(shù)為1,2,3,6，故所求集合為1,2,3,6 (2)不等式2x15變形為x3，因此它的自然數(shù)解為0,1,2，故所求集合為0,1,2 (3)古代我國的四大發(fā)明為：指南針，造紙，火藥，印刷術，形成集合為指南針，造紙，火藥，印刷術 (4)A1,2,3

5、,4,5 (5)B2,3 本節(jié)重點：集合的概念，集合中元素的三個特性及集合的表示方法 本節(jié)難點：集合中元素的性質(zhì)的理解 正確理解概念，準確使用符號，熟練進行集合不同表示方法的轉換是學好本節(jié)的關鍵 1要辯證理解集合和元素這兩個概念： (1)符號和 是表示元素和集合之間關系的，不能用來表示集合之間的關系元素與集合之間是個體與整體的關系，不存在大小與相等關系 (2)集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符合條件 2深刻認識集合中元素的四種屬性 (1)任意性：集合中的元素可以是任意的對象，無論是數(shù)、式、點、線、人，還是其它的某種事或物，只要它們具有某種共同屬性，

6、集中在一起就能組成一個集合，我們把集合的這一性質(zhì)稱為元素的任意性；在中學，我們主要研究對象是一系列的數(shù)的集合或點的集合 (2)確定性：判斷一些對象是否可以組成一個集合，主要方法是，在觀察任意一個對象時，應該可以確定這一對象要么屬于這一集合，要么它不屬于這一集合 (3)無序性：在表示一個集合時，我們只需將某些指定的對象集在一起，雖然習慣上會將元素按一定順序來寫出，但卻不強調(diào)它們的順序，當兩個集合中的元素相同，即便放置順序完全不同時，它們也表示同一集合 例如：a，b和b，a表示同一個集合 (4)互異性：對于任意一個集合而言，在這一集合中的元素都是互不相同的個體如：給出集合1，a2，我們根據(jù)集合中元

7、素的互異性，就已經(jīng)得到了關于這個集合的幾點信息，即這一集合中有兩個不同的元素，其中的一個是實數(shù)1，而另一個一定不是1，所以a1，且a1. 3正確理解列舉法 (1)元素間用分隔號“，”隔開； (2)元素不重復； (3)對于含較多元素的集合，如果構成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后才能用省略號 4合理選用集合的表示方法 列舉法與描述法各有優(yōu)點，列舉法可以看清集合的元素，描述法可以看清集合元素的特征，一般含有較多或無數(shù)多個元素時不宜采用列舉法，因為不能將集合中的元素一一列舉出來，而沒有列舉出來的元素往往難以確定 5要正確理解描述法 用描述法表示集合時注意：(1)弄

8、清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序實數(shù)對(點)等(2)元素具有怎樣的屬性？ 用描述法表示集合時，若需要多層次描述屬性時，可選用聯(lián)結詞“且”與“或”等聯(lián)結；若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍 6特別注意以下幾種集合，這是我們研究集合時的主要研究對象 (1)一般數(shù)集 (2)特殊數(shù)集：如方程的解集；不等式的解集等 (3)平面點集 (4)圖形集 7集合語言 集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，也就是用集合的有關概念和符號來敘述問題的語言包括文字語言、符號語言、圖形語言 要熟練地將集合的三種語言進行相互轉化 8解集合問題的關鍵 解決集合問題的關鍵是弄清

9、集合由哪些元素所構成如何弄清呢？關鍵在于把抽象問題具體化、形象化也就是把用描述法表示的集合用列舉法來表示，或用圖示法來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合 例如，在判斷集合Ax|x4k1，kZ與集合By|y2n1，nZ是否為同一集合時，若從代表元素入手來分析它們之間的關系，則比較抽象，而用列舉法來表示兩個集合，則它們之間的關系就一目了然即A，1,1,3,5，而B，1,1,3,5 A與B是同一集合 例1下列各組對象： 接近于0的數(shù)的全體； 比較小的正整數(shù)全體； 平面上到點O的距離等于1的點的全體； 正三角形的全體； 的近似值的全體 其中能構成集合的組數(shù)是() A2組B3組 C4組 D5組 分析集合

10、中的元素必須是確定的 解析“接近于0的數(shù)”、“比較小的正整數(shù)”標準不明確，即元素不確定，所以、構不成集合同樣，“ 的近似值”沒有給出取近似值的標準(如“四舍五入法”、“收尾法”、“去尾法”等)和位數(shù)，因此很難判定一個數(shù)，比如1.5，是不是它的近似值，所以也不是一個集合、能構成集合選A. 下列各條件中，能夠成為集合的是() A與 非常接近的正數(shù) B世界著名的科學家 C所有的等腰三角形 D全班成績好的同學 答案C 解析對于選項A、B、D沒有明確的標準來衡量，故選C. 分析本題重在考查元素的互異性，需要結合實數(shù)的性質(zhì)去思考，尤其是要準確認識根式的意義 若x1,3，x3，則有() Ax0或x1 Bx1

11、或x3 Cx0或x1或x3 Dx0或x3 答案C 解析x1,3，x3x1或3或x3 當xx3時x0，1，由于x31,3， x1，故x0，1,3，故選C. 例3若集合1，|x|與x，x2相等，求實數(shù)x的值 解析1，|x|與x，x2兩集合相等，兩集合含有相同的元素 即x，x2一定含有1這個元素 由于x20，x1. 例4將下列集合改為用符號語言描述： (1)非負奇數(shù)集 (2)能被3整除的整數(shù)的集合 (3)第一象限和第三象限內(nèi)的點的集合 (4)一次函數(shù)y2x1與二次函數(shù)yx2的圖象交點的集合 分析從集合中元素(數(shù)或點)所滿足的條件、具有的屬性入手，聯(lián)想有關的數(shù)學表達形式 解析(1)x|x2k1，kN*

12、； (2)n|n3k，kZ； (3)(x，y)|xy0； 點評要重視同一數(shù)學對象的不同形態(tài)語言的表達方法及互譯練習(如，普通語言符號語言)，這對今后學習大有裨益. 例5用適當?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?(1)24的正約數(shù)組成的集合； (2)大于3小于10的整數(shù)組成的集合； (3)方程x2axb0的解集； (4)平面直角坐標系中第二象限的點集； 分析首先搞清楚集合的元素是什么，然后選用適當?shù)姆椒ū硎炯?解析(1)1,2,3,4,6,8,12,24； (2)大于3小于10的整數(shù)xZ|3x104,5,6,7,8,9； (3)x|x2axb0； (4)(x，y)|x3且x2n，nZ； (3)P|P在平面內(nèi)

13、且PAPB 例6下面三個集合：x|yx21；y|yx21；(x，y)|yx21 (1)它們是不是相同的集合？ (2)它們各自的含義是什么？ 分析對于用描述法給出的集合，首先要清楚集合中的代表元素是什么，元素滿足什么條件 解析(1)由于三個集合的代表元素代表的對象互不相同它們是互不相同的集合 (2)集合x|yx21的代表元素是x， 當xR時，yx21有意義 x|yx21R； 集合y|yx21的代表元素是y， 滿足條件yx21的y的取值范圍是y1， y|yx21y|y1 集合(x，y)|yx21的代表元素是(x，y)，可以認為是滿足yx21的數(shù)對(x，y)的集合；也可以認為是坐標平面內(nèi)的點(x，y

14、)構成的集合，且這些點的坐標滿足yx21， (x，y)|yx21P|P是拋物線yx21上的點總結評述：用描述法表示的集合，認識它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式；二要看元素滿足什么條件對符號語言所表達含義的理解在數(shù)學中要求是很高的，希望同學們能逐步提高對符號語言的認識.總結評述：用列舉法表示集合，就是要根據(jù)集合的一般特性(確定性、互異性、無序性)和集合本身的特征，把集合中的元素不重復、不遺漏、不計順序地一一表示出來 例8已知集合A是由方程ax22x10(aR)的實數(shù)解作為元素構成的集合 (1)1是A中的一個元素，求集合A中的其它元素； (2)若A中有且僅有一個元素，求a的值組

15、成的集合B； (3)若A中至多有一個元素，試求a的取值范圍 若a0，則當且僅當方程的判別式44a0，即a1時，方程有兩個相等的實根x1x21，此時集合A中有且僅有一個元素， 所求集合B0,1； (3)集合A中至多有一個元素包括兩種情況： A中有且只有一個元素，由(2)知此時a0或a1； A中一個元素也沒有，即A ，此時a0，且44a0，a1； 綜合、知所求a的取值范圍是a|a1或a0 已知集合AxR|ax2x20，若A中至少有一個元素，則a的取值范圍是_ 分析題中給出數(shù)集A滿足的條件解答此題就從此條件入手逐步推出結論 例10集合Ax|x3n1，nZ，Bx|x3n2，nZ，Cx|x6n3，nZ，

16、對任意的aA，bB，是否一定有abC？并證明你的結論 錯解由aA，有a3n1(nZ)， 由bB，有b3n2(nZ)， 則ab6n3(nZ)，故abC 辨析集合A是所有被3除余1的整數(shù)所組成的集合集合B是所有被3除余2的整數(shù)所組成的集合，集合C是所有被6除余3的整數(shù)所組成的集合，易知1A,5B，而156 C，則aA，bB，不一定有abC.錯解的根源在于將A，B中的n看成同一個數(shù)，即a，b不是任意的，而是互相制約的，從而破壞了a與b的獨立性 正解設a3m1(mZ)，b3t2(tZ)， 則ab3(mt)3， 當mt是偶數(shù)時，設mt2k(kZ)， 有ab6k3(kZ)，則abC； 當mt為奇數(shù)時，設m

17、t2k1(kZ)， 有ab6k(kZ)，則ab C 綜上可知不一定有abC. 一、選擇題 1 給 出 下 面 四 個 關 系 ： R,0.7 Q,00,0N.其中正確的個數(shù)是 () A1個B3個 C2個 D4個 答案B 解析0.7為有理數(shù)，故0.7 Q不正確 2下列集合表示方法正確的是 () A方程(x1)(x2)2(x4)0的解集為1,2,2,4 B不等式x50的解集為x50 C所有奇數(shù)構成的集合為xZ|x2k1 D所有偶數(shù)構成的集合為x|x2k，kZ 答案D 點評應注意C與D的區(qū)別，C中xZ，并沒要求kZ，故是錯誤的，若改為x|x2k1，kZ則為正確的 二、填空題 3用符號或 填空： (1

18、)1_1 (2)a_a，b，c (3)3_4，2 (4)0_N* (5)_Q (6) _R (7)若Ax|x2x，則1_A； (8)若Bx|x2x60，則3_B； (9)若CxN|1x10，則8_C； ( 1 0 ) 若 D x Z | 2 x 3 ， 則1.5_D. 答案(1)；(2)；(3) ；(4) ；(5) ；(6)；(7) ；(8) ；(9)；(10) . 點評如果a是集合A的元素，記作aA，否則記作a A，N*、Q、R分別表示正自然數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集 4若3a3,2a1，a24，則實數(shù)a構成的集合為_ 答案0,1 解析當a33時，a0，此時集合為1，3，4；當2a13時，a1，此時a243，與集合元素的互異性矛盾若a243，則a1，a1已討論當a1時，集合為2,1，3，綜上所述a0或1. 三、解答題 5用列舉法表示下列集合 (2)By|yx28，xN，yN (3)C(x，y)|yx28，xN，yN 解析(1)要使x， 都是整數(shù)，故|2x|必是6的約數(shù)，當x4，1,0,1,3,4,5,8時，|2x|是6的約數(shù)A4，1,0,1,3,4,5,8 (2)由yx28，xN，yN知，y8，所以當x0,1,2時，y8，7,4符合題意B4,7,8 (3)集合C中的元素是點，這些點必須滿足兩個條件它是拋物線yx28上的點，這些