人教版高數(shù)必修五第1講：正弦定理和余弦定理（教師版）.docx

1、正弦定理和余弦定理冬大腦體黛）.*作業(yè)完成情況J逢教學目標）教學重點：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定義，公式的變形應用教學難點：公式的變形，解直角三角形的應用邊與角之間的關系及變形，判斷三角形的形狀是趣味引入）逐知識梳理）1、正弦定理：在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即AABC中，若ZA,ZB,ZCabc所對的邊分別為gc則=sinAsinBsinC2、解三角形一般地，我們把三角形的三個角及其ai邊分別叫做三角形的元素。己知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。利用正弦定理可以解決以下兩類解三角形問題：（1）己知三角形的任意兩角與一邊，求其他邊和角，有唯一解;（2）

2、已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，求其他的邊和角。3、正弦定理的常見公式拓展：ahc=2R（R為AABC的外接圓半徑）sinAsinBsinC 3=2RsinA，=2RsinB,c=2RsinC（邊化角公式）課程顧問簽李:教學主管簽李: sinA=-,sinB=-,sinC=（角化邊公式）2R2R2R ：:=sinA:sin8:sinCa+bb+cc+a八八 =2RsinA+sinBsin5+sinCsinC+sinA a+b+c_=2RsinA+sinB+sinC4、余弦定理 定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩借。c2=a2+b2-2abcosC

3、 定乂式：=屏+2bccosAb1=c2+cT-2czccosB5、余弦定理的變形式和特例三廠（T+b2-c2_c2+a2-b2.b1+C1-a1lablac2bc C=90oc2=a2+b2 C=60。c1=a2+b2ab C=120。=子=W+屏+ab C=30oc2=a2+b2yf3ab C=45c2=a2+b2yflab6、余弦定理可以解決的兩類三角形問題（1）已知三邊長，求三個內(nèi)角；（2）已知兩邊長和它們的夾角，求第三邊長和其他角。典例講練）類型一：巳知三角形兩角及任意一邊，解三角形；已知三邊長，求夾角。例1：（2015山東濰坊一中月考）在AABC中，己知q=8,/B=60,/C=7

4、5,則等于（）A.4a/3B.4a/5C.赫D.3解析：由己知可得ZA=180-ZB-ZC=45由一=合一得sinAsinBfasinB8xsin60,皿、止b=4j6,故選CsinAsin45答案：C練習1：在AABC中，若ZA=60,ZB=45,BC=3yf2，則AC=0答案：B練習2：在A4BC中，己知o=2,B=30,A=45,求答案：b=答案：b=asmB2sin30sinAsin45例2：在ZVIBC中，若i=l,c=2,試求A入2*2_21解析：由余弦定理的變形公式，得=弓因為。我。,所以A=6。答案：4=60練習3：在ZVIBC中，若a=也,b=,c=2,試求8答案：3=30練

5、習4：在AA6C中，若。=l,c=2,試求C答案：C=90規(guī)律總結：已知邊求角時，需運用正弦定理余弦定理公式及公式的變形。類型二：已知三角形兩邊及其中一角，解三角形；已知兩邊長和它們的夾角，求第三邊長和其他角。例3：（2014北京高考）在M況中，a=5,si=S，則sini）B.B.-3C.zrbA5解析：根據(jù)=得sin3=一，代入數(shù)值得sin8=,故選BsinAsinBa9答案：B練習5：（2015廣東六校聯(lián)盟第三次聯(lián)考）在AABC中，NA=45,3=75,c=2,則此三角形的最短邊的長度是答案：至3練習6：（2014廣東深圳模擬）已知AABCa.b.c分別為內(nèi)角&B,C所對的邊，且4。=2

6、,8=3,cos8=則sinA的值52答案：-5例4：設AABC的內(nèi)角AB.C所對的邊分別為。,b,c若Z?+c=2o,3sinA=5sin則角。為（）兀23兀5/rA.B.C._D.334657解析：.3sinA=5sin3由正弦定理知3a=5h:.a=-b代入h+c=2a,得c=b由余弦定理知a2+b2-c212tiCSC=labT故選13答案:B練習7：在刃此1中，b=5,。=5也，刃=30。,則。等于（）A.5B.4C.3D.10答案：A練習8：在及?中，已知。2=屏+/+施，則角刃等于（）答案：C類型三：判斷三角形形狀及面積例5：（2015遼寧錦州月考）在AABC中a.b.c分別為內(nèi)

7、角AB.C所對的邊，若ccosA=b,則AABC的形狀為（）A銳角三角形B鈍角三角形C直角三角形D以上皆有可能解析：由正弦定理及已知條件得sinCeosA=sin8,而B=（A+C）,故sinCeosA=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC,整理得sinAcosC=0,又因為sinA。0,所71以cosC=0,即C=-.所以MBC是直角三角形。2答案:C練習9：在中，如果a2sinB=b2sinA則A4BC的形狀為（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：A練習10：在AABC中，如果a2sinC=c2sinA,KOAABC的形狀為（）A等腰三角形B直

8、角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形答案：A例6：在AABC中，=J5,AC=1,B=3O。,則MBC的面積為心1廠.ACAB,._ABsinB3xsin30/3叱八右八。叫解析：由正弦定理=知sinC=L，所以C=60,l20,當sinBsinCACI2C=60時A=180-B-C=90,5=iAB.AC.sinA=,當C=l20時,A=l80FC=3（r,S=*A5=答案:岑專練習ll：在AABC中，A=60,AC=4,3C=2j5，則A4BC的面積等于多少答案：2a/3例7：（2014江西理）在ZUB。中，內(nèi)角4、B、。所對應的邊分別為a、b、c,若4=J/+6,Cji=虧，則刃冏

9、7的面積是（）D.3/3A.3B.距/解析：由題設條件得a+t）c2ab,由余弦定理得avljcab,:.ab=6,:.&板=部sin尋=X6乂乎=碧.選C.答案：C練習12：以4、5、6為邊長的三角形一定是三角形（填：銳角、直角、鈍角）答案：銳角練習13：若2、3、x為三邊組成一個銳角三角形，則x的取值范圍為.答案：（姑，樨）規(guī)律總結：做這塊的類型題，熟練應用正弦定理公式變形，面積的求解時需考慮三角形本身的角度問題。當堂檢測）在中，AB=y3,ZA=45,ZC=75,則等于（）A.3-3B.y2C.2D.3+3答案:A1. 在銳角A5C中，角/、6所對的邊長分別為a、b若2asinB=$b,

10、則角/等于（）jijijijiAB.yC.yD.y答案：D己知外接圓半徑是2cm,Z/J=60,則8。邊的長為答案：2寸頃在/網(wǎng)中，A=3Q,C=45,c=吏,則邊a=答案：15.在，網(wǎng)中，6=45。,AC=yiO9cos=255,求邊網(wǎng)的長.答案：BC=3yJi.6.的內(nèi)角A.B、。的對邊分別為a、b、c,若a、b、c滿足B=ac,且c=2a,則cos=(B4答案：B7.在刀龐中，AABC=AB=季,BC=3,則sin匕徹。=()A.yio10yio310a/55答案：c上9當堂總結)家庭作業(yè))基礎鞏固1.在A4BC中，若8=2A,crb=l:g,則4=.答案：30712.在MBC中，若Z?

11、=5,/B=,tanA=2,貝ysinA=；a=4答案：,2Vio3.在ABC中，a=3yb=2/6,AB2ZA求cosA的值;(2)求c的值.答案：cosA=asinCsinA=5.4.等腰三角形的周長為8,底邊為2,則底角的余弦等于()2V2B.2V2答案：C5.在中，己知q=8,B=60,C=75,則力等于（）A.4a/2B.43C.4632D.3答案：C6.在伽中，角的對邊分別為已知A=；心面=1,則cA.1B.2C.V3-1D.y/3答案：B7.在中，A-VC2B,a+c=8,ac=15,求人答案：b=W能力提升8.在ABC中，角A,B.C所對的邊分別為a,b,c,若-b,則匕8=（

12、)712C.335D.6271A.B.6答案：A9. 設a,b,c分別是ABC中所對邊的邊長，則直線xsinA+ay+c=。與bx-ysinB+sinC=0的位置關系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直答案：C10. 在中，AB=3,BC=yfl3,AC=49則WC邊上的高為（）A鋌BWc2222答案：Bac,11. 在中，Z=60,Mac,則這個三角形是（A.不等邊三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.直角三角形答案：B714.設的內(nèi)角、B、。所對的邊分別為公b、c,且a+c=6,b=2,cosB=y(1) 求a、c的值；求sinU-)的值.答案：(1)由余弦定理，得lj=a+c2

13、accosB,Id(a+c)22ac(l+cos。，7又己矢口。+。=6,b=2,cosB=,.ac=9.由a+c=6,ac=9,解得a=3,c=3.7(2)在及?中，Vcos=-,十easin2y2由正弦定理侍:1以=丁=日-十easin2y2由正弦定理侍:1以=丁=日-Va=c,.，為銳角，/.cosA=yl1sin2J=-393927*393927*sin(/4=sin4cos月一cosKsin=15.在A8C中，如果A=60,c=4,i=斤,判斷三角形解的情況.答案：解法一：由題意知：csinA=4sin60=2后.2后6,.csinAa此題無解.解法二：由正弦定理得：一=,.血。=劃

14、4=彳-=扼1此題無解.sinAsinCaJ616.已知圓內(nèi)接四邊形/助的邊長分別為AB=2,BC=S,CD=DA=4,求四邊形刃此Z?的面積.答案：如圖，連結AC.8+0=180。，:.sinB=sinD.S四abcd=SabcSacd=AB-BC-sinB+ADDOsinD=14sinB.由余弦定理，得A+BC1-2ABBCcosB=AD2+DC2-2ADDCcosD,即4024cosB=3232cos).又cos8=cos。，56cosB=89cos8=,V0B180,AsinB=/l-cos2B=-.S四邊形ABCD=14sinB=8V3.217.SAABC中，內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a,b,c己知cosA=,sinB=y/5cosC3求tanC的值;(1) 若。=扼，求ABC的面積.答案：由cosA，得sinA=-.又33a/5cosC=sinB=sin(A+C)=cosC+sinC,.tanC=V5v733(2)由tanC=5,得sinC=,cosC=sinB-y5cosC=666.r扼X匝十r、小e/口isinC6rr由正弦定理，得。=y=J3sinAJ51-.ABC的面積S=*inB=；.ABC的面積S=*inB=；_X序用巫=正62jr18.在