選修4-5 不等式選講

1、人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學選修選修4-5 4-5 不等式選講不等式選講第一節(jié)第一節(jié) 絕對值不等式絕對值不等式第二節(jié)第二節(jié) 不等式證明的基本方法不等式證明的基本方法選修4-5 不等式選講人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學備考方向要明了備考方向要明了 考考 什什 么么怎怎 么么 考考1.理解絕對值不等式的幾何意義，理解絕對值不等式的幾何意義， 并能利用絕對值不等式的幾何并能利用絕對值不等式的幾何意意 義證明以下不等式：義證明以下不等式： (1)|ab|a|b|； (

2、2)|ab|ac|cb|.2.會利用絕對值的幾何意義求解會利用絕對值的幾何意義求解 以以 下類型的不等式：下類型的不等式：|axb|c；|ax b|c；|xa|xb|c. 從近兩年的高考試題從近兩年的高考試題可以看出，本節(jié)重點考查可以看出，本節(jié)重點考查含絕對值不等式的解法含絕對值不等式的解法(可能含參可能含參)或以函數(shù)為背或以函數(shù)為背景證明不等式，題型為解景證明不等式，題型為解答題，如答題，如2012年高考新課年高考新課標標T24等等.回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學歸納歸納知識整合知

3、識整合1絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法(1)|axb|c(c0)和和|axb|c(c0)型不等式的解法型不等式的解法|axb|c .|axb|c .(2)|xa|xb|c(c0)和和|xa|xb|c(c0)型不等型不等式的解法式的解法法一：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想；形結合思想；caxbcaxbc或或axbc回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學法二：法二：利用利用“零點分段法零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論思想；求

4、解，體現(xiàn)了分類討論思想；法三：法三：通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了通過構造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想函數(shù)與方程的思想探究探究1.解含絕對值不等式或含絕對值方程的關鍵解含絕對值不等式或含絕對值方程的關鍵是什么？是什么？提示：提示：關鍵是根據(jù)絕對值的定義或性質去掉絕對值關鍵是根據(jù)絕對值的定義或性質去掉絕對值回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學2絕對值三角不等式絕對值三角不等式(1)定理定理1：如果：如果a，b是實數(shù)，則是實數(shù)，則|a|b|ab|a|b|，當且僅當

5、當且僅當 時，等號成立時，等號成立(2)定理定理2：如果：如果a，b，c是實數(shù)，那么是實數(shù)，那么|ac|ab|bc|，當且僅當，當且僅當 時，等號成立時，等號成立探究探究2.絕對值的三角不等式的向量形式及幾何意義絕對值的三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？是什么？提示：當提示：當a，b不共線時，不共線時，|ab|a|b|，它的幾何意，它的幾何意義是三角形的兩邊之和大于第三邊義是三角形的兩邊之和大于第三邊ab0(ab)(bc)0回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學自測自測牛刀小試牛刀小試1

6、求不等式求不等式|2x1|3的解集的解集解：解：|2x1|3等價于等價于2x13或或2x13，解得，解得x2或或x1.所以解集為所以解集為(，12，)回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學2已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)|x2|x1|，求，求f(x)的值域的值域回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第

7、一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學4已知關于已知關于x的不等式的不等式|x1|x|k無解，求實數(shù)無解，求實數(shù)k的取的取值范圍值范圍解：解：|x1|x|x1x|1，當當k1時，不等式時，不等式|x1|x|k無解，故無解，故k1.5如果關于如果關于x的不等式的不等式|xa|x4|1的解集是全體實的解集是全體實數(shù)，求實數(shù)數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍解：在數(shù)軸上，結合實數(shù)絕對值的幾何意義可知解：在數(shù)軸上，結合實數(shù)絕對值的幾何意義可知a5或或a3.回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學絕

8、對值不等式性質的應用絕對值不等式性質的應用 例例1確定確定“|xa|m且且|ya|m”是是“|xy|2m(x，y，a，mR)”的什么條件的什么條件 自主解答自主解答|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m， |xa|m且且|ya|m是是|xy|2m的充分條件的充分條件 取取x3，y1，a2，m2.5，則有，則有|xy|252m，但，但|xa|5，不滿足，不滿足|xa|m2.5， 故故|xa|m且且|ya|m不是不是|xy|2m的必要條件的必要條件 故為充分不必要條件故為充分不必要條件回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕

9、對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學兩數(shù)和與差的絕對值不等式的性質兩數(shù)和與差的絕對值不等式的性質 |a|b|ab|a|b| (1)對絕對值三角不等式定理對絕對值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數(shù)的最值時數(shù)的最值時 (2)該定理可強化為該定理可強化為|a |b|ab|a|b|，它經(jīng)，它經(jīng)常用于證明含絕對值的不等式常用于證明含絕對值的不等式回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識

10、識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學絕對值不等式的解法絕對值不等式的解法 (1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零用零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值

11、的點；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結果的并集，注意在分段時不要遺不等式；取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值漏區(qū)間的端點值 (2)用圖象法，數(shù)形結合可以求解含有絕對值的不用圖象法，數(shù)形結合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法觀，是一種較好的方法回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升

12、升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學3(2011遼寧高考遼寧高考)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)|x2|x5|.(1)證明：證明：3 f(x)3；(2)求不等式求不等式f(x)x28x15的解集的解集回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)

13、養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 形如形如|xa|xb|c(或或c)型的不等式主要有如下解法：型的不等式主要有如下解法： (1)零點分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應方程的根，零點分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應方程的根，將數(shù)軸分為將數(shù)軸分為(，a，(a，b，(b，)(此處設此處設ac(c0)的幾何意義：數(shù)軸上的幾何意義：數(shù)軸上到點到點x1a和和x2b的距離之和大于的距離之和大于c的點的集合的點的集合 (3)圖象法：作出函數(shù)圖象法：作出函數(shù)y1|xa|xb|和和y2c的圖象，結的圖象，結合圖象求解合圖象求解.回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢

14、測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學創(chuàng)新交匯創(chuàng)新交匯含參數(shù)的絕對值不等式的恒成立問題含參數(shù)的絕對值不等式的恒成立問題 1含參數(shù)的絕對值不等式的恒成立問題是高考的熱含參數(shù)的絕對值不等式的恒成立問題是高考的熱點內(nèi)容之一，此類問題常與二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角點內(nèi)容之一，此類問題常與二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)結合命題，需要有一定的綜合知識的能力函數(shù)結合命題，需要有一定的綜合知識的能力 2解答此類問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論解答此類問題時，根據(jù)絕對值的定義，分類討論去掉絕對值符號，轉化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結合去掉絕對值符號，轉化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結

15、合解決，是常用的思想方法解決，是常用的思想方法 回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 1本題有以下創(chuàng)新點本題有以下創(chuàng)新點 把絕對值不等式與集合、函數(shù)知識、恒成立問題緊把絕對值不等式與集合、函數(shù)知識、恒成立問題緊

16、密結合起來研究，盡管難度不大，但需要有一定的知識密結合起來研究，盡管難度不大，但需要有一定的知識綜合能力綜合能力 2解決本題的關鍵點解決本題的關鍵點 解答本題的關鍵點：解答本題的關鍵點：(1)先求解不等式先求解不等式|ax1|3，并，并將解集與已知解集對照求出將解集與已知解集對照求出a的值；的值；(2)利用零點分段討論利用零點分段討論去掉絕對值，將問題轉化為恒成立問題去掉絕對值，將問題轉化為恒成立問題回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學3在解決恒成立問題時應注意在解決恒成立問題時應注意Cf

17、(x)恒成立恒成立Cf(x)max，Cf(x)恒成立恒成立Cf(x)min.1(2012陜西高考改編陜西高考改編)若存在實數(shù)若存在實數(shù)x使使|xa|x1|3成立，求實數(shù)成立，求實數(shù)a的取值范圍的取值范圍解：解：|xa|x1|a1|，則只需要，則只需要|a1|3，解，解得得2a4.回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學2(2012蘇北四市調(diào)研蘇北四市調(diào)研)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.若若不等式不等式|ab|ab|a|f(x)對對a，bR，且，且a0恒成立，恒成立，求實數(shù)求實數(shù)x的范

18、圍的范圍“演練知能檢測演練知能檢測” ” 見見“限時集訓限時集訓（七十五）（七十五）”回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科

19、素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第一節(jié) 絕對值不等式人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學備考方向要明了備考方向要明了考考 什什 么么回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知

20、能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學考考 什什 么么回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 1.該部分是對必修該部分是對必修5中中“不等式不等式”的補充和深化，屬選學的補充和深化，屬選學 選考內(nèi)容單獨命題時，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中選考內(nèi)容單獨命題時，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中 等難度題目等難度題目2.高考考查的重點是不等式的證明、基本不等式、柯西高考考查的重點是不等式的證明、基本不等式、柯西 不等式、數(shù)學歸納法的應用，利用基本不等

21、式、柯西不等式、數(shù)學歸納法的應用，利用基本不等式、柯西 不等式求函數(shù)的最值等，如不等式求函數(shù)的最值等，如2012年新課標年新課標T24等等.怎怎 么么 考考回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學歸納歸納知識整合知識整合1比較法比較法作差比較法與作商比較法的基本原理作差比較法與作商比較法的基本原理ab1回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學2綜合法與分析法綜合法與分析法方法方

22、法特征特征綜合法綜合法證明不等式時，從已知條件出發(fā)，利用定義、證明不等式時，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質等，經(jīng)過公理、定理、性質等，經(jīng)過 而得出命而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因導果法題成立，綜合法又叫順推證法或由因導果法分析法分析法證明命題時，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使證明命題時，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的它成立的 ，直到將待證不等式歸結，直到將待證不等式歸結為一個已成立的不等式為一個已成立的不等式(已知條件、定理等已知條件、定理等)這這是一種是一種 的思考和證明方法的思考和證明方法.推理論證推理論證充分條件充分條件執(zhí)果索因執(zhí)果索因回回扣扣主主干干知知識識突

23、突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 探究探究1.在證明不等式時綜合法和分析法有怎樣的在證明不等式時綜合法和分析法有怎樣的關系？關系？ 提示：綜合法：由條件出發(fā)推導出所要證明的不等式提示：綜合法：由條件出發(fā)推導出所要證明的不等式成立分析法：從結論出發(fā)尋找使結論成立的充分條件，成立分析法：從結論出發(fā)尋找使結論成立的充分條件，綜合法與分析法是對立統(tǒng)一的兩種方法在實際解題時，綜合法與分析法是對立統(tǒng)一的兩種方法在實際解題時，常常用分析法探求解題思路，用綜合法表達常常用分析法探求解題思路，用綜合法表達 2在什么條件下

24、用分析法證明不等式？在什么條件下用分析法證明不等式？ 提示：如果不適合用反證法、歸納法，而綜合法又不提示：如果不適合用反證法、歸納法，而綜合法又不易操作時，通過分析又容易找到使要證明結論成立的已知易操作時，通過分析又容易找到使要證明結論成立的已知條件，這時用分析法條件，這時用分析法回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 3反證法反證法 先假設要證的命題先假設要證的命題 ，以此為出發(fā)點，結合已知，以此為出發(fā)點，結合已知條件，應用公理、定義、定理、性質等，進行正確的條件，應用公理、定義、

25、定理、性質等，進行正確的 ，得到和命題的條件得到和命題的條件(或已證明的定理、性質、明顯成立的事或已證明的定理、性質、明顯成立的事實等實等) 的結論，以說明假設的結論，以說明假設 ，從而證明原命題成，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法立，我們把它稱為反證法 4放縮法放縮法 證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當?shù)刈C明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適當?shù)豞 或或 ，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關系更為明顯，從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮等關系更為明顯，從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮法法不成立不成立推理推理矛盾矛盾不正確不

26、正確 放放大大縮小縮小回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學5數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟數(shù)學歸納法證明不等式的一般步驟(1)驗證：當驗證：當n取取 時結論正確；時結論正確；(2)假設當假設當 時結論正確，證明當時結論正確，證明當 時結論時結論也正確也正確綜合綜合(1)(2)可知，結論對于任意可知，結論對于任意nn0，且，且n0，n N*都成都成立立6柯西不等式柯西不等式設設a，b，c，d均為實數(shù)，則均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號等號當且

27、僅當當且僅當adbc時成立時成立第一個值第一個值n0(例如例如n01,2等等)nknk1回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學自測自測牛刀小試牛刀小試回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學4設設ab0，求證：，求證：3a32b

28、33a2b2ab2.證明：證明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因為因為ab0，所以，所以ab0,3a22b20.從而從而(3a22b2)(ab)0.故故3a32b33a2b2ab2成立成立回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學比較法證明不等式比較法證明不等式回回扣扣主主干干知知識識突

29、突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學作差比較法證明不等式的步驟作差比較法證明不等式的步驟 (1)作差；作差；(2)變形；變形；(3)判斷差的符號；判斷差的符號；(4)下結下結論其中論其中“變形變形”是關鍵，通常將差變形成因式連乘積是關鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結合不等式的性質判斷出的形式或平方和的形式，再結合不等式的性質判斷出差的正負差的正負 回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版

30、數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學用分析法和綜合法證明不等式用分析法和綜合法證明不等式回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科

31、素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學分析綜合法分析綜合法 分析法與綜合法常常結合起來使用，稱為分析綜合分析法與綜合法常常結合起來使用，稱為分析綜合法，其實質是既充分利用已知條件，又時刻瞄準解題目法，其實質是既充分利用已知條件，又時刻瞄準解題目標，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用標，即不僅要搞清已知什么，還要明確干什么，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書寫證題過程分析法找到解題思路，用綜合法書寫證題過程回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣

32、扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學用反證法證明不等式用反證法證明不等式回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學若本例已知中的若本例已知中的q1，求證：，求證：f(1)與與f(1)中至少有一個不小于中至少有一個不小于2.證明：證明：q1，f(x)x2px1假設假設f(1)與與f(1)都小于都小于2，則，則f(1)f(1)4.而而f(1)f(1)(2p)(2p)4，出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)矛

33、盾，f(1)與與f(1)中至少有一個不小于中至少有一個不小于2.回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 反證法的適用情形反證法的適用情形 (1)當要證明的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直當要證明的結論與條件之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結論很困難時，常用反證法接由條件推出結論很困難時，常用反證法 (2)如果從正面入手證明需分多種情況進行分類討如果從正面入手證明需分多種情況進行分類討論，則從反面進行證明，即論，則從反面進行證明，即“正難則反正難則反”的思想的思想回回扣扣主主干干知知識識

34、突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A

35、版數(shù)學版數(shù)學 用放縮法證明不等式的基本方法及常用技巧用放縮法證明不等式的基本方法及常用技巧 (1)用放縮法證明不等式的基本方法是：欲證用放縮法證明不等式的基本方法是：欲證AB，可，可通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間變量，使得通過適當放大或縮小，借助一個或多個中間變量，使得BB1，B1B2，BiA，或，或AA1，A1A2，AiB，再利用傳遞性，達到目的再利用傳遞性，達到目的回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測

36、測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學柯西不等式的應用柯西不等式的應用例例5若若3x4y2，試求，試求x2y2的最小值的最小值回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 使用柯西不等式的一般形式求最值時，關鍵是使用柯西不等式的一般形式求最值時，關鍵是結合已知條件構造兩個適當?shù)臄?shù)值，變形為柯西不結合已

37、知條件構造兩個適當?shù)臄?shù)值，變形為柯西不等式的形式等式的形式回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 (1)如果已知條件與待證明的結論直接聯(lián)系不明顯，如果已知條件與待證明的結論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少至少”“至多至多”等方式等方式給出或否定性命題、惟一性命題，則考慮用反證法；如果

38、給出或否定性命題、惟一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關，則考慮用數(shù)學歸納法等待證不等式與自然數(shù)有關，則考慮用數(shù)學歸納法等回回扣扣主主干干知知識識突突破破熱熱點點題題型型演演練練知知能能檢檢測測提提升升學學科科素素養(yǎng)養(yǎng)第二節(jié) 不等式證明的基本方法人教人教A A版數(shù)學版數(shù)學 (2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構造法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值法等技巧簡化對問題的表述和證明尤其是對含絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是化去絕對值不等式的解法或證明，其簡化的基本思路是化去絕對值號，轉化為常見的不等式號，轉化為常見的不等式(組組)求解多以絕對值的幾何意求解多以絕對值的幾何意義或義或“找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來找零點、分區(qū)間、逐個解、并起來”為簡化策略，為簡化策略，而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù)而絕對值三角不等式，往往作為不等式放縮的依