高中數(shù)學(xué)必修4人教A2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義(教、學(xué)案)

1、2. 4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義一、教材分析 本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過概念辨析題加深學(xué)生對于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識.主要知識點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律.二教學(xué)目標(biāo)1了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；2體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算；3體會類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。三、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)： 1、平面向量數(shù)量積的

2、含義與物理意義，2、性質(zhì)與運(yùn)算律及其應(yīng)用。難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的概念四、學(xué)情分析我們的學(xué)生屬于平行分班，沒有實(shí)驗(yàn)班，學(xué)生已有的知識和實(shí)驗(yàn)水平有差距。有些學(xué)生對于基本概念不清楚，所以講解時需要詳細(xì)五、教學(xué)方法1實(shí)驗(yàn)法：多媒體、實(shí)物投影儀。2學(xué)案導(dǎo)學(xué)：見后面的學(xué)案。3新授課教學(xué)基本環(huán)節(jié)：預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑情境導(dǎo)入、展示目標(biāo)合作探究、精講點(diǎn)撥反思總結(jié)、當(dāng)堂檢測發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)六、課前準(zhǔn)備1學(xué)生的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)學(xué)案。2教師的教學(xué)準(zhǔn)備：多媒體課件制作，課前預(yù)習(xí)學(xué)案，課內(nèi)探究學(xué)案，課后延伸拓展學(xué)案。七、課時安排：1課時八、教學(xué)過程(一)預(yù)習(xí)檢查、總結(jié)疑惑檢查落實(shí)了學(xué)生的預(yù)習(xí)情況并了解了學(xué)生的疑惑，使教學(xué)

3、具有了針對性。（二）情景導(dǎo)入、展示目標(biāo)。創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課1、提出問題1：請同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？期望學(xué)生回答：向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算。 2、提出問題2：請同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？期望學(xué)生回答：物理模型概念性質(zhì)運(yùn)算律應(yīng)用3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 （三）合作探究，精講點(diǎn)撥探究一：數(shù)量積的概念SF1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W= |F|

4、|S| cos。 （2）這個公式的有什么特點(diǎn)？請完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?期望學(xué)生回答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積2、明晰數(shù)量積的定義（1） 數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 ·bcos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= ·cos（2）定義說明：記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同

5、？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ 期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)。（4）學(xué)生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號例1 ：已知，當(dāng)，與的夾角是60°時，分別求·.解：當(dāng)時，若與同向，則它們的夾角°，··cos0°3×6×118；若與反向，則它們的夾角180°，·cos180°3×6×（-1

6、）18；當(dāng)時，它們的夾角90°，·；當(dāng)與的夾角是60°時，有·cos60°3×6×9評述： 兩個向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是0°，180°，因此，當(dāng)時，有0°或180°兩種可能. 變式：對于兩個非零向量、，求使|+t|最小時的t值，并求此時與+t的夾角。探究二：研究數(shù)量積的意義1.給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=cos2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？期望學(xué)生回答：數(shù)量積·等于的長度與在的方向上

7、的投影cos 的乘積。 3. 研究數(shù)量積的物理意義 請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)：功是力與位移的數(shù)量積 。探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、提出問題6：比較·與×的大小，你有什么結(jié)論？ 設(shè)和b都是非零向量，則 1、 ·=0 2、當(dāng)與同向時，·=；當(dāng)與反向時，·= -， 特別地，·=2或= 3、·×2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì)3.數(shù)量積的運(yùn)算律 （1）、提出問題7：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對向量是否也適用？預(yù)測：學(xué)生可能會提出以下猜想： ·= · （·）= (·

8、) （ + ）· =· + · （2）、分析猜想：猜想的正確性是顯而易見的。關(guān)于猜想的正確性，請同學(xué)們先來討論：猜測的左右兩邊的結(jié)果各是什么？它們一定相等嗎？期望學(xué)生回答：左邊是與向量共線的向量，而右邊則是與向量共線的向量，顯然在向量與向量不共線的情況下猜測是不正確的。 （3）、明晰：數(shù)量積的運(yùn)算律：已知向量、 、和實(shí)數(shù)，則：（1）·= · （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·例2、（師生共同完成）已知=6，=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）

9、83;（-3），并思考此運(yùn)算過程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？解：（+2 ）·（-3）=.-3.+2.-6. =36-3×4×6×0.5-6×4×4 = -72評述：可以和實(shí)數(shù)做類比記憶數(shù)量積的運(yùn)算律變式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22（四）反思總結(jié)，當(dāng)堂檢測。教師組織學(xué)生反思總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容，并進(jìn)行當(dāng)堂檢測。設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行簡單的反饋糾正。（課堂實(shí)錄）（五）發(fā)導(dǎo)學(xué)案、布置預(yù)習(xí)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)平面向量數(shù)量積的物理背景及含義，那么，在下一節(jié)課我們一起來學(xué)習(xí)數(shù)量積的坐

10、標(biāo)運(yùn)算。模。夾角。這節(jié)課后大家可以先預(yù)習(xí)這一部分，著重分析坐標(biāo)的作用設(shè)計意圖：布置下節(jié)課的預(yù)習(xí)作業(yè)，并對本節(jié)課鞏固提高。教師課后及時批閱本節(jié)的延伸拓展訓(xùn)練。九、板書設(shè)計平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義一、 數(shù)量積的概念 二、數(shù)量積的性質(zhì) 四、應(yīng)用與提高1、 概念： 例1：2、 概念強(qiáng)調(diào) （1）記法 例2：（2）“規(guī)定” 三、數(shù)量積的運(yùn)算律 3、幾何意義：4、物理意義：十、教學(xué)反思本課的設(shè)計采用了課前下發(fā)預(yù)習(xí)學(xué)案，學(xué)生預(yù)習(xí)本節(jié)內(nèi)容，找出自己迷惑的地方。課堂上師生主要解決重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)、考點(diǎn)、探究點(diǎn)以及學(xué)生學(xué)習(xí)過程中易忘、易混點(diǎn)等，最后進(jìn)行當(dāng)堂檢測，課后進(jìn)行延伸拓展，以達(dá)到提高課堂效率的目的。我

11、首先安排讓學(xué)生討論影響數(shù)量積結(jié)果的因素并完成表格，其次將數(shù)量積的幾何意義提前，這樣使學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個方面對數(shù)量積的“質(zhì)變”特征有了更加充分的認(rèn)識。通過嘗試練習(xí)，一方面使學(xué)生嘗試計算數(shù)量積，另一方面使學(xué)生理解數(shù)量積的物理意義，同時也為數(shù)量積的性質(zhì)埋下伏筆。數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律是數(shù)量積概念的延伸，教材中這兩方面的內(nèi)容都是以探究的形式出現(xiàn)，為了讓學(xué)生很好的完成這兩個探究活動，我始終按照先創(chuàng)設(shè)一定的情景，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，教師明晰后，再由學(xué)生或師生共同完成證明。比如數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)是將嘗試練習(xí)的結(jié)論推廣得到，數(shù)量積的運(yùn)算律則是通過和實(shí)數(shù)乘法相類比得到，這樣不僅使學(xué)生感到親切自然，同時也培養(yǎng)了學(xué)生由

12、特殊到一般的思維品質(zhì)和類比創(chuàng)新的意識。2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)：預(yù)習(xí)平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；二、預(yù)習(xí)內(nèi)容：1.平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 2.兩個向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別 3“投影”的概念：作圖4.向量的數(shù)量積的幾何意義： 5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、為兩個非零向量，e是與同向的單位向量.1° e×= e = 2° Û× = 設(shè)、為兩個非零向量，e是與同向的單位向量.e× =×e = 3° 當(dāng)與同向時，×

13、= 當(dāng)與反向時，× = 特別的×= |2或4° cosq = 5° |×| |三、提出疑惑：同學(xué)們，通過你的自主學(xué)習(xí)，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點(diǎn)疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1說出平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.學(xué)會用平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題；學(xué)習(xí)重難點(diǎn)：。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義二、學(xué)習(xí)過程創(chuàng)設(shè)問題情景，引出新課1、提出問題1：請同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？2、提出問題2：請同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量

14、的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？3、新課引入：本節(jié)課我們?nèi)匀话凑者@種研究思路來研究向量的另外一種運(yùn)算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 探究一：數(shù)量積的概念SF1、給出有關(guān)材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W= （2）這個公式的有什么特點(diǎn)？請完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?2、明晰數(shù)量積的定義（1）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 ·cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即：·= &

15、#183;cos（2）定義說明：記法“·”中間的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ （4）學(xué)生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號例1 ：已知，當(dāng)，與的夾角是60°時，分別求·.解： 變式：. 對于兩個非零向量、，求使|+t|最小時的t值，并求此時與+t的夾角.探究二：研究數(shù)量積的意義1.給出向量投影的概念：如圖，我

16、們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：OB1=cos2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？ 3. 研究數(shù)量積的物理意義 請同學(xué)們用一句話來概括功的數(shù)學(xué)本質(zhì)： 探究三：探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)1、提出問題6：比較·與×的大小，你有什么結(jié)論？2、明晰：數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)和b都是非零向量，則 1、 ·=0 2、當(dāng)與同向時，·=；當(dāng)與反向時，·= -， 特別地，·=2或= 3、·×3.數(shù)量積的運(yùn)算律 （1）、提出問題7：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？這些運(yùn)算律對向量是否也用？ （2）、明晰：數(shù)量積的運(yùn)

17、算律：已知向量、 、和實(shí)數(shù)，則：（1）·= · （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·例2、（師生共同完成）已知=6，=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）·（-3），并思考此運(yùn)算過程類似于實(shí)數(shù)哪種運(yùn)算？解：變式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22（三）反思總結(jié) (四)當(dāng)堂檢測1 .已知|=5， |=4， 與的夾角=120o，求·.2. 已知|=6， |=4，與的夾角為60o求(+2)·(-3).3 .已知|=3， |=4， 且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直. 4.已知，當(dāng)，與的夾角是60°時，分別求·.5.已知|=1，|=，(1)若，求·；(2)若、的夾角為°，求|+|；(3)若-與垂直，求與的夾角.6.設(shè)m、n是兩個單位向量，其夾角為°，求向量=2m+n與=2n-3m的夾角.課后練習(xí)與提高1.已知|=1，|=，且(-)與垂直，則與的夾角是（ ）A.60° B.30° C