matlab第5章時(shí)域與根軌跡

1、第五章第五章 時(shí)域分析、零極點(diǎn)分析和根軌跡法時(shí)域分析、零極點(diǎn)分析和根軌跡法 獲得控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能分析 根軌跡繪制和分析產(chǎn)生信號(hào)gensig()nu,t=gensig(type,Ta)nu,t=gensig(type,Ta,Tf,T)nType：信號(hào)序列sin正弦；square方波；pulse脈沖nTa：信號(hào)周期nTf：信號(hào)的持續(xù)時(shí)間nT：采樣時(shí)間例子：n產(chǎn)生一個(gè)周期為秒，持續(xù)時(shí)間為秒，采樣為.1秒的方波.nu,t=gensig(square,5,30,0.1);nplot(t,u)nAxis(0,30,-0.5,1.5)產(chǎn)生正弦波：nu,t=gensig(s

2、in,5,30,0.1);nplot(t,u)nAxis(0,30,-1.5,1.5)5.1 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)及穩(wěn)態(tài)性能的時(shí)域分析1. 穩(wěn)定性分析MATLAB實(shí)現(xiàn)的方法 MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點(diǎn)的函數(shù)，因此可以直接根據(jù)零極點(diǎn)的分布情況對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)進(jìn)行判斷。 roots()、 pzmap()已知開(kāi)環(huán)傳函k=100;z=-2;p=0,-1,-20;n1,d1=zp2tf(z,p,k)n1 = 0 0 100 200d1 = 1 21 20 0 P=n1+d1P = 1 21 120 200)20)(1()2(100)(sssssG對(duì)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性判別 roots(P)

3、ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010G=tf(n1,d1)sys=feedback(G,1) Transfer function: 100 s + 200-s3 + 21 s2 + 120 s + 200 roots(sys.den1)ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010 sys1=zpk(sys) Zero/pole/gain: 100 (s+2)-(s+12.9) (s+5) (s+3.101) sys1.p1ans = -12.8990 -5.0000 -3.1010 G=ss(sys) eig(G.a)2. 穩(wěn)態(tài)值nmsabGsssGy)

4、0(1)(lim)(0DBCADBAsICsssGyss1100)(lim1)(lim)(K=dcgain(num,den)%k為穩(wěn)態(tài)增益，即：當(dāng)s趨近于零時(shí)num(s)/den(s)=k對(duì)于狀態(tài)空間K=dcgain(a,b,c,d)3. 穩(wěn)態(tài)誤差目標(biāo)值與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之差，稱為穩(wěn)態(tài)誤差。)()(limlim0ssEteestss)(1hess單位階躍響應(yīng)ytess單位斜坡響應(yīng)4. 峰值時(shí)間Tp和超調(diào)量%100)()(%yyymmp,tf=max(y);cs=length(t);yss=y(cs);sigma=100*(mp-yss)/ysstp=t(tf)Tp：0到階躍響應(yīng)曲線h（t）超過(guò)穩(wěn)態(tài)值而

5、達(dá)第一個(gè)峰值之間的時(shí)間sys=tf(1.25,1 1 0)Gc=feedback(sys,1)y,t=step(Gc)sigma = 20.9121tp = 3.0920 yssyss = 0.9987sssG225. 1)(5. 調(diào)節(jié)時(shí)間TsTs：進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值附近5%或2%的誤差帶而不再超出的最小時(shí)間if t2t2 ts=t1 endelseif t2tp if t2t1 ts=t2 else ts=t1 endendj=cs+1;n=0;while n=0,j=j-1; if j=1,n=1; elseif y(j)1.05*yss n=1; endendt1=t(i);sssG225.1)

6、(sigma = 20.9121tp = 3.0920ts = 4.63805.3 系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的解析解算法n部分分式展開(kāi)方法n傳遞函數(shù)G(s)含有n個(gè)互異極點(diǎn)，可展開(kāi)為部分分式：n將其Laplace逆變換，得輸出：nnpsrpsrpsrsG2211)(tpntptpnererertg2121)(n因此，可以通過(guò)G(s)*R(s)的部分分式展開(kāi)而求出系統(tǒng)的解析解。n求留數(shù)函數(shù)r,p,k=residue(num,den)可以得出各系數(shù)。n請(qǐng)注意，此解法得出的是解析解，而不是數(shù)值解。n傳遞函數(shù)G(s)的第j個(gè)極點(diǎn)Pj是m重的，則展開(kāi)中含有下面各項(xiàng)：n對(duì)應(yīng)的Laplace逆變換為：系統(tǒng)有重極點(diǎn)的計(jì)算

7、mjmjjjjjpsrpsrpsr)()(121tpmmjjjtpmmjtpjtpjjjjjetrtrretrterer)(1111115.4 根軌跡分析法 根軌跡：開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在s平面的軌跡。應(yīng)用MATLAB可以繪制精確的根軌跡圖，我們可以采用根軌跡法對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)和校正。n繪制根軌跡圖n根軌跡分析n校正裝置1. 繪制根軌跡圖nrlocus()n調(diào)用之前必須將特征方程寫(xiě)成下面的形式：0dennumK1rlocus()nrlocus(num,den), rlocus(sys)nrlocus(num,den,K), rlocus(sys,K)nr,

8、K=rlocus(num,den), r,K=rlocus(sys)nr=rlocus(num,den), r=rlocus(sys)nr=rlocus(num,den,K), r=rlocus(sys,K)r,K=rlocus(num,den)r=復(fù)根向量K=增益向量1+K*(num/den)=0例5-5 num=1 1;den=1 5 6 0;rlocus(num,den) r=rlocus(num,den,10)r = -2.1056 + 2.8714i -2.1056 - 2.8714i -0.7887K(s+1)s(s+2)1(s+3)-R(s)C(s)0s6s5s1sK123 r,

9、k=rlocus(num,den)2. rlocfind()n了解特定的復(fù)根對(duì)應(yīng)的增益K的取值n只有運(yùn)行了rlocus函數(shù)并得到根軌跡后，才能合法調(diào)用n運(yùn)行rlocfind函數(shù)后，MATLAB會(huì)在根軌跡圖上產(chǎn)生+提示符，通過(guò)鼠標(biāo)將提示符移動(dòng)到根軌跡相應(yīng)的位置確定，所選的K值就會(huì)在命令窗口顯示selected_point = -0.3212 + 0.0000ik = 2.1281poles = -2.3394 + 1.0735i -2.3394 - 1.0735i -0.3212 例5-6 特定的根對(duì)應(yīng)的增益K rlocus(num,den) k,poles=rlocfind(num,den)S

10、elect a point in thegraphics window計(jì)算不同K值時(shí)的單位階躍響應(yīng)num=1 1;den=1 5 6 0;rlocus(num,den)n=0;while n sgrid gridn在根軌跡GH平面繪制阻尼比和等固有頻率網(wǎng)格，n阻尼比從0.1到1;固有頻率從0到10rad/s。 sgrid(new)：是先清屏，再畫(huà)格線。 sgrid(z,wn)：則繪制由用戶指定的阻尼比矢量z、自然振蕩頻率wn的格線。例5-9num=1;den=conv(0.01 1 0,0.02 1);rlocus(num,den)sgrid同樣可以rlocus(num,den),grid4.

11、 基于根軌跡的系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具nrltoolnrltool(g) g為系統(tǒng),例如 g=tf(num.den) 圖形用戶界面系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具圖形用戶界面系統(tǒng)設(shè)計(jì)工具(SISO Design for System FeedbackConfig)toolviewer.htmln利用根軌跡設(shè)計(jì)工具可查看某個(gè)K值的階躍響應(yīng)曲線，BODE圖，NYQUIST圖，脈沖響應(yīng)曲線等n根軌跡表明參數(shù)（增益）變化的影響。實(shí)際中，只調(diào)整增益不能獲得所希望的性能。因此必須通過(guò)引入適當(dāng)?shù)男Ｕh(huán)節(jié)，來(lái)改造原來(lái)的根軌跡。n增加零極點(diǎn)，對(duì)根軌跡的影響，由此構(gòu)成校正環(huán)節(jié)。n應(yīng)用的實(shí)質(zhì)是通過(guò)采用校正環(huán)節(jié)改變根軌跡，從而將一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)配置

12、在需要的位置。 Anysis,other loop response系統(tǒng)性能的分析n穩(wěn)定性：根軌跡在s的左半平面，穩(wěn)定n穩(wěn)態(tài)誤差：由原點(diǎn)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)決定n動(dòng)態(tài)性能：運(yùn)動(dòng)形式：閉環(huán)極點(diǎn)均為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，單調(diào)， 閉環(huán)極點(diǎn)均為復(fù)數(shù)極點(diǎn)，振蕩超調(diào)量：取決于閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的衰減率arccos10jnn2n11n1閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)調(diào)節(jié)時(shí)間：取決于最靠近虛軸的閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的實(shí)部絕對(duì)值 或?qū)崝?shù)極點(diǎn)的模值nsT3k,poles=rlocfind(sys),可以求得系統(tǒng)所有極點(diǎn)n輸入?yún)⒘靠梢允荓TI模型對(duì)象，函數(shù)命令執(zhí)行后，可以在圖形窗口根軌跡圖中顯示十字形光標(biāo)，當(dāng)選擇根軌跡上某一點(diǎn)時(shí)，其相應(yīng)的增益由變量K記錄，與此增益

13、相關(guān)的所有極點(diǎn)記錄在變量poles中，從顯示的所有極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。n看個(gè)例子：例子：已知一個(gè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，試在系統(tǒng)閉環(huán)的根軌跡圖上選擇一點(diǎn)，求出該點(diǎn)的增益及系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，并判斷在該點(diǎn)系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。num=1 3;den=conv(conv(conv(1 0,1 5),1 6),1 2 3);sys=tf(num,den);rlocus(sys)k,poles=rlocfind(sys)title(根軌跡圖)xlabel(實(shí)軸 )ylabel(虛軸 )32)(6)(5()3()(2ssssssksGnselected_point =n -5.4325 +

14、0.8385ink =n 45.3550npoles =n -5.5915 + 0.8178in -5.5915 - 0.8178in -1.6865 n -0.0653 + 1.5881in -0.0653 - 1.5881ik =45.3550時(shí)，根的實(shí)部都小于零，穩(wěn)定n原理：類似微分環(huán)節(jié) 作用：使校正的根軌跡向左移動(dòng)，增加阻尼或保持阻尼不變，增加無(wú)阻尼振蕩頻率1011)(TsTsKsGccj0n原理：在s平面十分接近原點(diǎn)的地方配置，極點(diǎn)更接近原點(diǎn)，類似積分環(huán)節(jié) 作用：在基本上不改變穩(wěn)定性的前提下，提高開(kāi)環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差111)(TsTsKsGcc01, 1111)(2211TsTs

15、TsTsKsGccj0串聯(lián)超前校正串聯(lián)滯后校正串聯(lián)滯后-超前校正n原理：綜合兩者 低頻相位滯后，高頻相位超前j根軌跡超前校正的解析公式n未校正前傳遞函數(shù)為G0(s)，校正器的傳遞函數(shù)：n根據(jù)系統(tǒng)性能的要求，確定Kc 與期望極點(diǎn)s1在平面的位置校正后系統(tǒng)的根軌跡為：n其中 是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在的幅值， 是開(kāi)環(huán)在S1的相位角Kc已經(jīng)確定，需要求解Tz,Tp以確定期望極點(diǎn)S1在平面的位置已經(jīng)確定對(duì)于復(fù)變量可以用模幅式表示為11)(TpsTzsKsGccjjGcceeMTpsTzsKsGsGG111)()(11110sjseMs1GMG將代入上面第二個(gè)方程，根據(jù)實(shí)部與虛部分別相等，求解Tz,Tp,可得：GsG

16、csGGcszMMKMKTsin)sin(sinGssGsGcpMMKTsin)sin(sin例子：已知燃油調(diào)節(jié)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：)1.01(25.01(2)(ssssGp）%30sts8.0試設(shè)計(jì)超前校正環(huán)節(jié)，使其校正后的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)滿足：（）階躍響應(yīng)的超調(diào)量（）階躍響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間（）系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差%10ssve11)1 .01 (25.01 (2)()(0sTsTKssssGsGpzcp）%101vvssvKKve10vK10) 1)(1 . 01 (25. 01 () 1(2000spzcscvsTssssTKGsGK）5cK8.03%)5(nstsradn/48.109.