高一數(shù)學(xué)必修3《概率》公式總結(jié)以及例題

1、 3. 概率事件：隨機(jī)事件(random event ),確定性事件： 必然事件(certain event )和不 可能事件(impossible event )?隨機(jī)事件的概率(統(tǒng)計(jì)定義)：一般的，如果隨機(jī)事件 A在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了 m次，當(dāng)實(shí)驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，我們稱事件 A發(fā)生的概率為p a mn說明：一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生于具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對立統(tǒng)一 不可能事件和確定事件可以看成隨機(jī)事件的極端情況隨機(jī)事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某

2、個(gè)常 數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來越小，而這個(gè)接近的某個(gè) 常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率 概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢，而頻率是具體的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果 概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值概率必須滿足三個(gè)基本要求：對任意的一個(gè)隨機(jī)事件 A ,有0 P A 1用和 分別表示必然事件和不 可能事件，則有P 1,P0如果事件A和B互斥，則有：P A B P A P B古典概率(Classical probability model): 所有基本事件有限個(gè) 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性都相等滿足這兩個(gè)條件的概率模型成為古典概型如果一次試驗(yàn)的等可能的

3、基本事件的個(gè)數(shù)為個(gè)n,則每一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是11,如果某個(gè)事件 A包含了其中的 m個(gè)等可能的基本事件，則事件A發(fā)生的概率為nP A m n幾何概型(geomegtric probability model ):一般地，一個(gè)幾何區(qū)域 D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“改點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件 A,則事件A發(fā)生的概率為-Ad 的側(cè)度P A(這里要求D的側(cè)度不為0,其中側(cè)度的意義由 D確定，一般地,D的側(cè)度線段的側(cè)度為該線段的長度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積)幾何概型的基本特點(diǎn)：基本事件等可性基本事件無限多顏老師說明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是

4、指的開區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取點(diǎn)，指的是該點(diǎn)落在區(qū)域D內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無關(guān)。互斥事件(exclusive events)：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件對立事件（complementary events ）：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)生，則稱兩個(gè)事件為對立事件，事件A的對立事件記為：A獨(dú)立事件的概率： 若A , B為相互獨(dú)立的事件事件 ，則P AB P A P B ,若Ai , A2,，An為兩兩獨(dú)立的事件，則P A1A2AnP Ai P A2P An顏老師說明： 若A , B為互斥事件，則A , B中最多有一個(gè)發(fā)

5、生，可能都不發(fā)生,但不可能同時(shí)發(fā)生，從集合的關(guān)來看兩個(gè)事件互斥，即指兩個(gè)事件的集合的交集是空集 對立事件是指的兩個(gè)事件，而且必須有一個(gè)發(fā)生， 而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個(gè)發(fā)生， 可能都不發(fā)生 對立事件一定是互斥事件 從集合論來看：表示互斥事件和對立事件的集合的交集都是空集，但兩個(gè)對立事件的并集是全集而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集兩個(gè)對立事件的概率之和一定是1 ,而兩個(gè)互斥事件的概率之和小于或者等于1 若事件A,B是互斥事件，則有P A B P A P B 一般地，如果 Ai,A2,，An兩兩互斥，則有P A1A2. An PA1PA2. PAn P A 1 PA在本教材中A A

6、2 . An指的是Ai,A2,., An中至少發(fā)生一個(gè) 在具體做題中，希望大家一定要注意書寫過程，設(shè)處事件來，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書寫格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來，具體的格式請參照我們課本上（新課標(biāo)試驗(yàn)教科書-蘇教版）的例題例題選講:例1.在大小相同的6個(gè)球中，4個(gè)是紅球，若從中任意選 2個(gè)，求所選的2個(gè)球至少有 一個(gè)是紅球的概率？【分析】 題目所給的6個(gè)球中有4個(gè)紅球，2個(gè)其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路 有不同的解法解法1:（互斥事件）設(shè)事件 A為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則其互斥事件為 A意義為“選取2個(gè)球都是其它顏色球”111 14PAP A 1 -PA

7、1-（6 5）1515 152答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為14 .15.,一， 6 5 ，一 ,，解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有 6 15種情況，設(shè)事件 A為“選4 3取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有 4 2 土、 14213 / 8所以P A1415A為“選取2個(gè)球至答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為1415解法3:（獨(dú)立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件少有1個(gè)是紅球”，事件A有三種可能的情況：4 2 2 4 4 3別為：4 2,2 4, ,工則有 P A6 5 6 5 6 5答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為 評

8、價(jià)：本題重點(diǎn)考察我們對于概率基本知識的理解,1紅1白；1白1紅；2紅，對應(yīng)的概率分422 44314656 5651514.15綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少！變式訓(xùn)練1 :在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4個(gè)是白球，若從中任意選取 3個(gè)，求 至少有1個(gè)是紅球的概率？解法1:（互斥事件）設(shè)事件 A為“選取3個(gè)球至少有意義為“選取3個(gè)球都是白球”PA C34 3 23 214321C63（6 5 4）65453 2 11個(gè)是紅球”，則其互斥事件為 A ,14PA 1 -PA 1-5 5答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為一5解法2：（古典概型）由題意知

9、，所有的基本事件有c636 5 420種情況，設(shè)事件 A3 2 1為“選取 3個(gè)球至少有 1個(gè)是紅 球”，而事 件A所含有的基本 事件數(shù) 有24 32 C： 1 4 2 16,所以 2答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為解法3:（獨(dú)立事件概率）設(shè)事件 A為“選取 況如下：16 P A20 453個(gè)球至少有451個(gè)是紅球”,則事件A的情紅白白11紅2白 白白紅白紅白（紅紅白一紅1白j 紅白紅I白紅紅115115115114所以 P A 3 - 3 -515 554只正品，有放回的從中任抽 2次，每次答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為變式訓(xùn)練2:盒中有6只燈泡，其中2只次品, 抽取1只，

10、試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品（2）抽到的2次中, 解：設(shè)事件A為“第121則 P A 216 3正品、次品各一次次抽到的是次品”，事件B為“抽到的2次中，正品、次品各一次”4(或者P B91答：第1次抽到的是次品的概率為 1 , 3變式訓(xùn)練3:甲乙兩人參加一次考試共有，事件B為“至少1人抽到選擇題” 1，4抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為一93道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率?【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨(dú)立的， 所以可以用獨(dú)立事件的概

11、率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題時(shí)互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來解：設(shè)事件A為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題為“兩人都抽到填空題”(1) P A3一 或者P A10P31P31P62310(2) P B1- 或者PB5P32P62, 3,答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為士，少104人抽到選擇題的概率為-5變式訓(xùn)練4: 一只口袋里裝有5個(gè)大小形狀相同的球，其中 3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從中不放 回摸出2個(gè)球，球兩個(gè)球顏色不同的概率？【分析】先后抽出兩個(gè)球顏色相同要么是1紅1球，要么是1黃1球3 2 2 3 3略解：P A -5 4 5 4 5或者P AC52變式訓(xùn)

12、練5:設(shè)盒子中有6個(gè)球,若連續(xù)抽兩次，則抽到4 2略解：P A -6 61個(gè)紅球1例2.急救飛機(jī)向一個(gè)邊長為寬分別為80米和50米的水池,其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次人抽一個(gè)，然后放回, 個(gè)白球的概率是多少？4 2 2 4 46 6 6 6 9千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個(gè)長當(dāng)急救物品落在水池及距離水池失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)是隨機(jī)的 外的），求發(fā)放急救物品無效的概率？【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測度用面積來衡量10米的范圍內(nèi)時(shí)，物品會(huì) （不考慮落在正方形區(qū)域范圍之解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長為1千米的正方形為區(qū)域 D

13、,事件1000 1000變式訓(xùn)練1：在地上畫一正方形線框，其邊長等于一枚略解：P Ad測度D測度22442 4 1 41232“發(fā)放急救物品無效”為 A ,距離水池10米范圍為區(qū)域 d ,即為圖中的陰影部分，則d測度D測度80 50 2 80 10 2 50 10 4 工4答：略顏老師說明：這種題目要看清題目意思，為了利用 幾何概率，題目中一般都會(huì)有落在所給的大的區(qū)域 之外的不計(jì)的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一 般則不需要這個(gè)條件，因?yàn)槌鲆粋€(gè)網(wǎng)格，就會(huì)進(jìn)入 另外一個(gè)網(wǎng)格，分析是同樣的硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計(jì)，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？變式訓(xùn)練2：如圖

14、，設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格， 其中每個(gè)小正三角形的邊長都是a ,現(xiàn)有一直徑等于 %的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率?【分析】因?yàn)閳A的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點(diǎn) 只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑解：如圖，正三角形ABC內(nèi)有正三角形AB1C1AB a , A1D B1E A1F,AD BEA1Dtan30,其中， A1B當(dāng)圓心落在三角形有公共點(diǎn)的概率,03 2一 a40.82答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率為0.82 .變式訓(xùn)練3 ：如圖，已知矩形ABCD中，AB 5AC 7 ,在正方形內(nèi)任取一點(diǎn)P ,求 APB 90的概率?略解：P A2255 756變式訓(xùn)練4：平

15、面上畫了彼此相距 2a的平行線把一枚半徑 r a的 硬幣，任意的拋在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相 碰的概率？解：設(shè)事件A為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線OM ,垂足為M ,線段OM的長度的取值范圍為 0, a ,其長度就是幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域D的幾何測度，只有當(dāng)0 OM a時(shí)，硬幣不與平行線相碰，其長度就是滿足事件A的區(qū)域d的幾何測度，所以P a r, a的長度 a r0, a的長度 工答：硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為上a【評價(jià)與鏈接】該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認(rèn)區(qū)域們的關(guān)系以及它們的測度如何來刻畫

16、。蒲豐投針問題：平面上畫有等距離的一系列的平行線，平行線間距離為D和區(qū)域d ,理解它2a ( a 0 ),向平面內(nèi)任意的投擲一枚長為 l l 2a 的針，求針與平行線相交的概率?解：以x表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線的距離，又以表示針與此直線的交角，如圖易知0 x a , 0,有這兩式可以確定x -平面上的一個(gè)矩形，這是為了針與平行線相交，其充要條件為x -Sin ,有這個(gè)不等式表示的區(qū)域A為圖中的2陰影部分，由等可能性知Sa如果l , a已知，則以 值代入上式即可計(jì)算 P A的值，反過來，如果已知P A的值,則也可以利用上式來求,而關(guān)于P A的值，則可以用實(shí)驗(yàn)的方法，用頻率去近似它,如果投針

17、N次，其中平行線相交的次數(shù)為n次，則頻率為。N注釋： 概率， 來計(jì)算這也是歷史上有名的問題之一,再用頻率近似概率來建立等式,如中國的祖沖之父子倆,用試驗(yàn)的方法先用數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合幾何概型求出進(jìn)而求出.在歷史上有好多的數(shù)學(xué)家用不同的方法還有撒豆試驗(yàn)，也是可以用來求的.會(huì)面問題：甲乙兩人約定在 6時(shí)到7時(shí)在某地會(huì)面，并約定先到者等候另一人一刻鐘，過時(shí)即可離去，求兩人能會(huì)面的概率？解：設(shè)“兩人能會(huì)面”為事件 A,以x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充CO要條件為:x y 15在平面上建立如圖所示的坐標(biāo)系，則 x, y的所有可能的結(jié)果是邊長為 60的正方形，而可能會(huì)面的時(shí)間

18、由圖中陰影部分所表示,由幾何概型知，P ASa260260452716151560答：兩人能會(huì)面的概率.16課本上一道例題的變式訓(xùn)練:ABC中，在斜邊AB上任取一在等腰直角三角形如圖,P(AM AC) P AMACAB AB答：AM AC的概率為【變式訓(xùn)練】如圖，在等腰直角三角形ABC中，在 ACB內(nèi)部任意作一條射線 CM ,與線段AB交于點(diǎn)M ,求AM AC的概率?. . . . . . . . . . . , .錯(cuò)解：在AB上截取AC AC ,在 ACB內(nèi)部任意作一條射線 CM ,滿足條件的M看作是在線段AC上任取一點(diǎn)M ,則有P(AM AC) PAM ACAC AC 2AB AB 2【分析】這種解法看似很有道理,但仔細(xì)一看值得深思,我們再看看題目的條件已經(jīng)發(fā)生了改變