自動(dòng)控制理論_09欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析

1、第第3 3章章 時(shí)域分析法時(shí)域分析法* *欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析 二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)分量和暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于暫態(tài)分量組成。穩(wěn)態(tài)分量值等于1 1，暫態(tài)分量為，暫態(tài)分量為衰減過程，振蕩頻率為衰減過程，振蕩頻率為d d。 穩(wěn)定性（穩(wěn)定性（ ）21nteA暫態(tài)分量的振幅為：21dn振蕩角頻率為：結(jié)論：結(jié)論：越大，越大，d d越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，越小，越小，d d 越大，越大，振蕩越嚴(yán)重，平穩(wěn)性

2、越差。振蕩越嚴(yán)重，平穩(wěn)性越差。當(dāng)當(dāng) 0 0時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為時(shí)，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為n n的不衰減的不衰減（等幅）振蕩。（等幅）振蕩。 準(zhǔn)確性準(zhǔn)確性從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時(shí)間t的增長衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。)sin(111)(2tethdtn 快速性快速性從圖中看出，對于5誤差帶，當(dāng) 時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間最短，即快速性最好。同時(shí)，其超調(diào)量 i 0 i t0)(tciA* *特征根的性質(zhì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響特征根的性質(zhì)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響 當(dāng)當(dāng)s si i為實(shí)根時(shí)，即為實(shí)根時(shí)，即s si i i i，時(shí)時(shí)：0 i tsitieAlim0

3、時(shí)時(shí)：0 i tsitieAlimiA時(shí)時(shí)：0 i tsitieAlim 當(dāng)當(dāng)s si i為共軛復(fù)根時(shí)為共軛復(fù)根時(shí) 如果特征方程中有一個(gè)零根，它對應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，系如果特征方程中有一個(gè)零根，它對應(yīng)于一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，系統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為統(tǒng)可在任何狀態(tài)下平衡，稱為隨遇平衡狀態(tài)隨遇平衡狀態(tài)； 如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應(yīng)于等幅的如果特征方程中有一對共軛虛根，它的對應(yīng)于等幅的周期振蕩，稱為周期振蕩，稱為臨界平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài)（或（或臨界穩(wěn)定狀態(tài)臨界穩(wěn)定狀態(tài)）。）。 從控制工程的角度認(rèn)為從控制工程的角度認(rèn)為臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)臨界穩(wěn)定狀態(tài)和隨遇平衡狀態(tài)屬于不穩(wěn)定。屬于不穩(wěn)定。 對于

4、一階系統(tǒng)，對于一階系統(tǒng)， 只要只要 都都大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。大于零，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。, 00110aasasa10,aa 對于二階系統(tǒng)，對于二階系統(tǒng)，0202112, 1212024, 0aaaaasasasa只有只有 都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）都大于零，系統(tǒng)才穩(wěn)定。（負(fù)實(shí)根或?qū)嵅繛樨?fù)）210,aaa 對于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有對于三階或以上系統(tǒng)，求根是很煩瑣的。于是就有了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。了以下描述的代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)。 注意：注意：穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只穩(wěn)定性是線性定常系統(tǒng)的一個(gè)屬性，只與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無與系統(tǒng)本身的

5、結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入輸出信號無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)，與初始條件無關(guān)；只與極點(diǎn)有關(guān)，與零點(diǎn)無關(guān)。關(guān)。三三. .穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù) 1.1.赫爾維茨（赫爾維茨（Hurwitz)Hurwitz)判據(jù)判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正，且赫爾維茨行列式各項(xiàng)系數(shù)均為正，且赫爾維茨行列式k k（k k1,2,3,1,2,3,，n n）全部大于）全部大于0 0。赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程的一般形式為：系統(tǒng)特征方程的一般形式為：0)(1110 nnnnasasasasD各階赫爾維茨行列式為：各階赫爾維茨行列式為

6、：00aD 11aD 20312aaaaD 3142053130aaaaaaaaD nnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaD0000042203231224201253100a 例1：系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為：010532234 ssss試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用赫爾維茨判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：第一步：由特征方程得到各項(xiàng)系數(shù)第一步：由特征方程得到各項(xiàng)系數(shù) 0a 1a 2a 3a 4a第二步：計(jì)算各階赫爾維茨行列式第二步：計(jì)算各階赫爾維茨行列式200 aD111 aD20312aaaaD 3251 75231 0 結(jié)論：結(jié)論： 系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。1010010

7、532)(234 sssssD2.2.林納德奇帕特（林納德奇帕特（Lienard-Chipard)Lienard-Chipard)判據(jù)判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，即系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)大于零，即), 2, 1, 0(0niai .奇數(shù)或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零。即奇數(shù)或偶數(shù)階的赫爾維茨行列式大于零。即0 偶偶D0 奇奇D或或必要條件必要條件例例2 2 單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)125. 0)(11 . 0()( sssKsG試求開環(huán)增益的穩(wěn)定域。試求開環(huán)增益的穩(wěn)定域。解：解：第一步：求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程第一步：求系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程0)125. 0)(11 . 0()( KssssD035. 0025. 023 Ksss第二步：列出特征方程的各項(xiàng)系數(shù)。第二步：列出特征方程的各項(xiàng)系數(shù)。025. 00 a35. 01 a12 aKa 3第三步：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。第三步：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。, 0)1( ia0 K要要求求0)2(2D20312aaaaD 即：1025. 035. 0K 0025. 035. 0 K解得：解得：的穩(wěn)定域?yàn)椋旱姆€(wěn)定域?yàn)椋?40 K由此例可見，由此例可見，K K越大，