2019-2020學(xué)年人教B版必修第四冊(cè)11.1.3多面體與棱柱學(xué)案

1、關(guān)鍵能力-素養(yǎng)形成類型一與多面體有關(guān)的概念【典例】1.如圖所示的幾何體，關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征，下列說(shuō)法不正確的是()A.該幾何體是由兩個(gè)同底的四棱錐組成的幾何體B.該幾何體有12條棱、6個(gè)頂點(diǎn)C.該幾何體有8個(gè)面，并且各面均為三角形D.該幾何體有9個(gè)面，其中一個(gè)面是四邊形，其余均為三角形2.畫出如圖所示的幾何體的表面展開(kāi)圖.【思維弓I】1.依據(jù)多面體的棱、頂點(diǎn)、面的定義判斷.2.表面展開(kāi)圖是將其表面的平面圖形放在一個(gè)平面內(nèi).【解析】1.選D.該幾何體用平面ABC回分割成兩個(gè)四棱錐，因此它 是這兩個(gè)四棱錐的組合體，故四邊形ABCD是它的一個(gè)截面而不是一 個(gè)面.2.表面展開(kāi)圖如圖所示Cl(I)Q)【內(nèi)化

2、悟1如何解決與多面體結(jié)構(gòu)有關(guān)的問(wèn)題？提示：解決與多面體結(jié)構(gòu)有關(guān)問(wèn)題的方法：從與多面體有關(guān)的概念出 發(fā)，結(jié)合題設(shè)條件逐個(gè)判斷即可.【類題通】繪制展開(kāi)圖繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征 ，發(fā)揮空間想象能 力或者是親手制作多面體模型.在解題過(guò)程中，常常給多面體的頂點(diǎn) 標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來(lái)，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到 其表面展開(kāi)圖.【習(xí)練破】下列說(shuō)法：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；棱長(zhǎng)相等的直四棱柱是正方體；有兩條側(cè)棱垂直于底面一邊的平行六面體是直平行六面體；對(duì)角線相等的平行六面體是直平行六面體.其中正確的個(gè)數(shù)是 （）A.1B.2C.3D.4【解析】選A.不正確，除底面是矩

3、形外還應(yīng)滿足側(cè)棱與底面垂直才是長(zhǎng)方體;不正確，當(dāng)?shù)酌媸橇庑螘r(shí)就不是正方體；不正確，兩條側(cè)棱垂直于底面一邊不一定垂直于底面，故不一定是直平行六面體；正確，因?yàn)閷?duì)角線相等的平行四邊形是矩形，由此可以推斷此時(shí)的平行六面體是直平行六面體.類型二棱柱的結(jié)構(gòu)特征【典例】1.下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法：(1)所有的面都是平行四邊形.(2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形.(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行.(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.其中正確說(shuō)法的序號(hào)是.2.判斷下列四個(gè)多面體是否為棱柱？若是棱柱，如何用符號(hào)表示？【思維弓I】1.依據(jù)棱柱及其有關(guān)的概念逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.2.利用棱柱定義逐個(gè)判斷，若是棱柱根據(jù)底面多邊

4、形的邊數(shù)用恰當(dāng)?shù)?符號(hào)表示.【解析】1.(1)錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形.(2)錯(cuò)誤，棱柱的底面可以是三角形.(3)正確，由棱柱的定義易知.(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，所以說(shuō)法正確的序號(hào)是(3)(4).答案:(4)2.(1)是棱柱，可記為五棱柱 ABCDE-A iBiCiDiEi.(2)不是棱柱，不滿足棱柱的定義.(3)是棱柱，可記為三棱柱 ABC-A iBiCi.(4)是棱柱，可記為四棱柱 ABCD-A iBiCiDi.【內(nèi)化悟】棱柱定義中的三個(gè)要點(diǎn)是什么？提示：(i)有兩個(gè)平面(底面)互相平行.(2)其余各面都是平行四邊形.(3)每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊

5、互相平行.【類題通】棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析技巧(i)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否是棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義 .看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都 是平行四邊形；看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平 行.(2)舉反例：通過(guò)舉反例，如與常見(jiàn)幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合, 給予排除.【習(xí)練破】下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.所有的棱柱兩個(gè)底面都平行B.所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面每相鄰面的公共邊互 相平行C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱D.棱柱至少有五個(gè)面【解析】選C.對(duì)于A,B,D,顯然是正確的；對(duì)于C,棱柱的定義是這樣 的

6、：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四 邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，顯然題 中漏掉了 “并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體就不是棱柱.所以C錯(cuò)誤.【加練固】如圖所示的是由18個(gè)棱長(zhǎng)為1 cm的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少【解析】從題干圖中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9,所以第三層擺了 9個(gè).另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后、左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的.因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1 cm,所以上面的

7、表面積為12 x 9=9(cm2)；正面的表面積為12x8=8(cm 2)；左面的表面積為12X7=7(cm 2),幾何體的表面積為9X2+8 X2+7X2=48(cm 2).類型三多面體的展開(kāi)圖問(wèn)題 角度1由展開(kāi)圖復(fù)原多面體【典例】如圖，這是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，若把它再折回成正方體后，有下列命題:點(diǎn)H與點(diǎn)C重合;點(diǎn)D與點(diǎn)M點(diǎn)R重合;點(diǎn)B與點(diǎn)Q重合;點(diǎn)A與點(diǎn)S重合.其中正確命題的序號(hào)是【思維弓I】固定一個(gè)正方形(如FGPN的位置，將其他正方形折起先確定各正方形的位置，然后定頂點(diǎn)用什么字母表示【解析】將其還原成正方體，如圖.答案：在與由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體有關(guān)的問(wèn)題中，經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的直觀想

8、象，通過(guò)研究空間幾何體與展開(kāi)圖之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生空間想 象思考問(wèn)題的習(xí)慣，提高學(xué)生借助空間圖形分析、推理、論證的能力.若將一個(gè)正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北，并沿該正方體的一條棱將正方體剪開(kāi)，朝上展平得到如圖所示的 平面圖形，試確定標(biāo)“”的面的方位.【解析】將三個(gè)空白正方形分別標(biāo)為1,2,3,如圖所示,易知1處標(biāo)下,2處標(biāo)西，和3處應(yīng)標(biāo)南北，進(jìn)一步根據(jù)“上北下南左西右東”可知，處標(biāo)北角度2求最大值、最小值問(wèn)題【典例】如圖，幾何體ABCD-A B' C D是一個(gè)紙皮箱,AB=a,BC=b,BB' =c,且a>b>c,如果一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)爬

9、行到點(diǎn)C',那么它走過(guò)的最短路程是多少？【思維弓I】本題中由于長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)不相等，所以有三種展開(kāi) 方式，把這三種情況的最后結(jié)果求出來(lái)，再比較它們的大小，就可得出 最小值.【解析】將長(zhǎng)方體表面沿棱展開(kāi)，由于長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)不一樣，因此展開(kāi)有三種可能，如圖三個(gè)圖形(1),(2),(3) 中AC的長(zhǎng)分別為：fl C A « B 4 a 88'(I)(2)0)v : l1 J - ，=.,"一 一； 一 .二",；r ：I =: ",=. T7T ；u -一/ - ；：；、.因?yàn)?a>b>c>0,所以 ab>ac>bc>0.所以螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)爬行到點(diǎn)C'走過(guò)的最短路程為【類題通】多面體展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略(1)由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：首先想象出復(fù)原后的幾何體，再將展開(kāi)圖中 的面、點(diǎn)標(biāo)注到該幾何體上.(2)多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離問(wèn)題常常要?dú)w納為求平面上兩點(diǎn) 間的最短距離問(wèn)題.常見(jiàn)的解法是先把多面體的表面展開(kāi)成平面圖形 再用平面幾何知識(shí)求有關(guān)線段的長(zhǎng)度.