高等數學2.3 連續(xù)型隨機變量及其概率密度

1、2. 3 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度第二章第二章 隨機變量及其概率分布隨機變量及其概率分布一一、定義、定義2.8: :使對任意實數使對任意實數 a, b (ab) , 有有Pa Xb則稱則稱X是是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量, f (x) 稱為稱為概率密度函數概率密度函數,baf x dx=( ) ,abxf (x)O簡稱簡稱概率密度函數概率密度函數, 下圖為其幾何解釋下圖為其幾何解釋 A陰影面積陰影面積A = PaXb二、密度函數性質二、密度函數性質:f x dx(2) ( )= 1 . 設設X是隨機變量是隨機變量, , 若存在一個非負可積函數若存在一個非負可積函數

2、 f (x) , , (1) f (x)0 是可積的是可積的 ;注注 (1)若一個函數滿足上述兩條性質，則它一定是某若一個函數滿足上述兩條性質，則它一定是某個隨機變量的密度函數個隨機變量的密度函數 . .(2)連續(xù)性隨機變量與離散型隨機變量的一個重要連續(xù)性隨機變量與離散型隨機變量的一個重要區(qū)別是區(qū)別是: :連續(xù)型隨機變量取連續(xù)型隨機變量取單個值的概率單個值的概率為為0 ,于是有于是有 P a X b = P aX b =P a X b = P aXb baf x dx=( )三、定理三、定理2.4:若隨機變量若隨機變量X是連續(xù)型的是連續(xù)型的, , 其密度函數為其密度函數為 f (x) , ,

3、則有則有 GP XGf x dx=( ),其中其中 G 表示一個區(qū)域表示一個區(qū)域 , , 且設且設 f (x) 在在G上可積上可積 .xf (x)O陰影面積為陰影面積為F(x)x四、連續(xù)型隨機變量的分布函數：四、連續(xù)型隨機變量的分布函數：F(x) = P X x xf t dt x=( ) , 對于連續(xù)型隨機變量對于連續(xù)型隨機變量 X ，其密度，其密度函數為函數為 f (x) ,則則 X 的分布函數為的分布函數為注注 (1)F(x)與密度函數與密度函數 f (x) 關系的幾何解釋如圖所示關系的幾何解釋如圖所示:(2)由積分上限函數的由積分上限函數的性質可知性質可知dF xf xdx( ) =(

4、 ) .例例2.9設隨機變量設隨機變量 X X 的密度函數為的密度函數為(1) 確定常數確定常數 k ; f (x) =kx , 0 x 33 x 4 0 , 其它其它(2) 求求 X 的分布函數的分布函數 F(x) ;x2 ,2 (3) 求求 P 1 X 7/2 . F (x) =1 , x 40 x 3 0 , x 0(2) X 的分布函數為的分布函數為xt dt0,6f x dx 由由 解解得得 (1) ( )=1 , xkx dx + dx k 解解得得34031(2)=1 , =26 3 x 4xxx dx +dx303(2) ,62 即即 F (x) =1 , x 40 x 3 0

5、 , x 0 x2,123 x 4xx23 + 2,4PFF 7741(3) 1 X =( )(1) =2248 axbf xba 其其它它1,( ) =0, 五、幾種常見的連續(xù)型隨機變量五、幾種常見的連續(xù)型隨機變量:(1) 定義定義2.9:1、均勻分布、均勻分布:若隨機變量若隨機變量 X 的密度函數為的密度函數為則稱隨機變量則稱隨機變量 X 在區(qū)間在區(qū)間 a , , b 上服從均勻分布上服從均勻分布, ,記為記為 X U a , , b , ,其中其中 a , , b 為參數為參數, , a b .ddccdcf x dxdxbaba1( )= 注注 若隨機變量若隨機變量 X 服從服從 a

6、, , b 上的均勻分布上的均勻分布, , 則則 X 落入落入 a , , b 的任何子區(qū)間的概率僅與該區(qū)間的長的任何子區(qū)間的概率僅與該區(qū)間的長度有關度有關, , 而與子區(qū)間的位置無關而與子區(qū)間的位置無關, , 這是均勻分布的這是均勻分布的一個特點一個特點 . . c d a b , , , , 事事實實上上 對對于于有有, xax b 0 , ( ) =,0, (2) 均勻分布的分布函數均勻分布的分布函數:例例2.10設電阻設電阻(單位單位 )值值R 是一個隨機變量是一個隨機變量, , 均勻分布均勻分布在在9001100 . 求求R 的概率密度函數及的概率密度函數及R 落在落在 950105

7、0 的概率的概率 . .解解 由題意知由題意知, , R 的概率密度為的概率密度為 xf x 其其它它1,9001100( ) =2000, Pdx10509501 950 + = s t 即即對對任任意意 有有, 0 , 事實上，有事實上，有P Xst Xs + PXstXsP XstP XsP Xs (+ )( ) + = s tssF steeP XF se( + )1( + )= 1( ) xf xex,22()21( ) =2 (1) 定義定義2.11:3、正態(tài)分布、正態(tài)分布:若隨機變量若隨機變量 X 的密度函數為的密度函數為XXN 稱稱 服服從從, , 記記作作正正分分布布 態(tài)態(tài)2

8、( , ) ,其其中中,0 . xf (x)OXN 的的密密度度函函數數2( , )f x 的的圖圖形形: :( )txF xedt ,22()21( ) =2 (2) 正態(tài)分布的分布函數正態(tài)分布的分布函數:xF (x)OS 其其圖圖形形為為一一條條光光滑滑上上升升的的 形形曲曲線線: :221( ) =2,t xxedtx (2) 定義定義2.12:01(0,1) N稱稱 = , = = , = 時時的的正正態(tài)態(tài)分分布布 為為標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布. .( )x標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布的的密密度度函函數數: :221( ) =2,xxex ( )x標標準準正正態(tài)態(tài)分分布布的的分分布布函函數

9、數: :(1) () = 1( )xx注注(2) ( )x 中中不不含含任任何何未未知知參參數數. .(i) = 1( ) ;P X xx (3) 定理定理2.5: 設設XN(0 , 1) , 則有則有(ii) =( )( ) ;P a X bba (iii) = 2 ( )1 .PX cc 注注 可用可用 (x) 的定義證明定理的定義證明定理. 2 ( , ) , (0,1) .XXNY =N若若則則 (4) 定理定理2.6: ( ) ( ) ,XYX Y FxFy 設設與與的的分分布布函函數數分分別別為為和和證證則則由由分分布布函函數數定定義義知知( ) = =YXFyP YyPy ( )

10、X= P Xy= Fy 由由于于正正態(tài)態(tài)分分布布函函數數嚴嚴格格單單調調且且處處處處可可導導, , 所所以以若若( ) ( ) , XYX Y fxfy設設 與與的的密密度度函函數數分分別別為為和和則則有有(0,1) .XY =N故故 ( ) =( ) = ()YYXddfyFyFydydy 221= ()=2yXfye (5) 相關結論相關結論: 2 ( , ) , (), XNa b c ab設設對對于于任任意意實實數數 , , , ,有有 =() ,cP Xc =() () .baP a Xb例例2.11設隨機變量設隨機變量 XN( 108 , 32) , 試求試求解解 (1) P 10

11、2 X 117 117108102108=()()33 (1) P 102 X 117 ; (2) 求常數求常數a , 使使 P X a =0.95 . =(3)( 2) =(3) +(2)1 = 0.9987 + 0.97721 = 0.9759 由正態(tài)分布表反查得由正態(tài)分布表反查得108(2) =() = 0.95 .3aP X a (1.64) = 0.9495 , (1.65) = 0.9505 ,108 = 1.645 ,3a故故 = 112.935 .a得得例例2.12設隨機變量設隨機變量 XN ( 0 , 1 ) , 則則解解 (1) 直接查表知直接查表知(1) 求求 P X 1

12、.96 ; P X 1.96 ; P | X | 1.96 ; P 1 X 2 . (2) 已知已知 P X a =0.7019 ; P | X |b =0.9242P X c =0.2981 , 求求 a , b , c .P X 1. 96 = (1. 96) =0.975 , 利用利用 (x)的對稱性知的對稱性知P X 1. 96 = ( 1. 96) =1 (1. 96)=0.025 ; P | X |1. 96 = P 1. 96 X 1. 96 = (1. 96) ( 1. 96)=P X 1. 96 P X 1. 96 = (1. 96) 1 + (1. 96)= 2 (1. 9

13、6) 1 =0.95 ;P 1 X 2 = P X 2 P X 1 = (2) ( 1)= (2) 1 + (1)= 0.97725 + 0.8413 1= 0.81855(2) 由于由于 P X a = (a) = 0.7019查表知查表知 a = 0.53由由 P | X | b = P b X b = 0.9242有有 (b) ( b) = 2 (b) 1 = 0. 9242故故 (b) = 0. 9621查表知查表知 b 1. 78由由 P X c = 0.2981 , 而而 (0) = 0. 51 , 故知故知 c 0 .由于由于 ( c ) = 0.2981所以所以 ( c ) =

14、 1 ( c )查表知查表知 c = 0.53 , = 1 0.2981= 0. 7019即即 c = 0.53 例例2.13已知已知 XN ( 8 , 0.5 2 ) , 求求(1) P X 9 ; (2) P 7.5 X 10 ; (3) P | X 8 |1 =0.9242(4) P | X 9 | P X 由由于于 解解350250 300 .2+= =已知其壽命在已知其壽命在250 h的概率均為的概率均為92.36%, 為使其壽命在為使其壽命在 x 和和 x 之間的概率不小于之間的概率不小于 0.9 , x 至少為多大至少為多大?由正態(tài)分布的密度函數關于由正態(tài)分布的密度函數關于 x = 對稱知對稱知, 300350300350X P X = P 由由50() = 0.9236 .= 501.43 . 查查表表知知 35 . 于于是是故故 XN ( 300 , 35 2 ) . =P xXx P xXx 由由=XxP Xx P 2 ()12 ()1 0.9 ,35xx= = ()0.95 ,35x知知 1.645 , 57.5835xx查查表表得得 即即 (0,1) , XN設設若若 滿滿足足條條件件z