2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修五學(xué)案：1疑難規(guī)律方法：第1章解三角形

1、正弦定理和余弦定理都是三角形中的重要定理，它們的證明方法比較多，除了教材上介紹的向量法外，還可以采用下面的方法.1.幾何法證明正弦定理設(shè) BDABC 外接圓OO 的直徑，則 BD = 2R,下面按/ A 為直角、銳角、鈍角三種情況加以證明.(1)若/ A 為直角，如圖，貝 U BC 經(jīng)過圓心 O , BC 為圓 0 的直徑，BC = 2R,若/ A 為銳角，如圖，連接 CD，則/ BAC=ZBDC,在 Rt BCD 中，一 BC = BC - sin/ BDCsin/ BAC即一 = 2R. sin A若/ A 為鈍角，如圖，連結(jié) CD ,1章解三角形重點深化4 4i 正弦定理和余弦定理的證明

2、方法的探究a = BCsin A sin 90BC= 2R.BCsin /=BD =2R,BCsin / BAC=2R.則/ BAC+ZCDB =n,/ sin/ BAC = sin/ CDB,BC在 Rt BCD 中，=BD = 2Rsin/CDBBC = BC sin / CDB = sin / BAC可證得：一 J = 2R.sin A同理可證：一生=2R,鼻=2R.sin Bsin C不論 ABC 是銳角三角形，直角三角形，還是鈍角三角形， 都有一土 =斗= 三;=2R(其sin A sin B sin C中 R ABC 的外接圓的半徑).正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦

3、的比相等，并且都等于其外接圓的直徑.2 .坐標(biāo)法證明余弦定理如圖所示，以 ABC 的頂點 A 為原點，射線 AC 為 x 軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，這時頂 點 B 可作角 A 終邊的一個點，它到原點的距離r = c.設(shè)點 B 的坐標(biāo)為(x, y)，由三角函數(shù)的定義可得：x= ccos A, y= csin A，即點 B 的坐標(biāo)為(ccos A, csin A),又點 C 的坐標(biāo)是(b,0). 由兩點間的距離公式，可得：a=BC= .bccos A2+csin A 2.兩邊平方得：a2= (b ccos A)2+ (cs in A)22 2=b + c 2bccos A.以厶 ABC 的頂點

4、B 或頂點 C 為原點，建立直角坐標(biāo)系，同樣可證b2= a2+ c2 2accos B, c2= a2+ b2 2abcos C.余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積 的兩倍 余弦定理的第二種形式是-2丄-2 J2丄J2b + c a a + c b cos A =, cos B =-,2bcBCsin / BAC=2R,即asin A=2R.2accos C =a2+ b2c22ab3.向量法證明正弦、余弦定理如圖，在 ABC 中，三個內(nèi)角/ A，/ B，/ C 所對的邊長分別是 a, b, c.以 A 為原點，AC 所在的直線為 x 軸建立平面直

5、角坐標(biāo)系， 則點 C 的坐標(biāo)是(b,0).由三角函數(shù)的定義， 得點 B 的坐標(biāo)是(ccos A, csinA).所以=(ccos A b, csin A).現(xiàn)將平移到起點為原點A,終點為點。，則=，且 a，/ DAC = 180 / C.根據(jù)三角函數(shù)的定義，知點D 的坐標(biāo)是(一 acos C, asin C).所以=(acos C, asin C).因為=，所以(一 acos C, asin C) = (ccos A b, csin A).asi n C = csin A,acos C= ccos A b.所以 sinA=盞=彘 由，得 acos C= b ccos A.兩邊平方，得 a2co

6、s2C= b2 2bccos A+ c2cos2A.所以 a2 a2sin2C = b2 2bccos A+ c2 c2sin2A.而由，得 a2sin2C = c2sin2A.所以 a2= b2+ c2 2bccos A.同理可證 b2= a2+ c2 2accos B, c2= a2+ b2 2abcos C.在初學(xué)正弦定理時，若問同學(xué)們這樣一個問題：在ABC 中，若 sin Asin B,則 A 與 B 的大小關(guān)系怎樣？那么近乎所有的同學(xué)都會認為 A 與 B 的大小關(guān)系不確定.若再問：在厶 ABC 中, 若 AB,則 sin A 與 sin B 的大小關(guān)系怎樣？仍然會有很多同學(xué)回答大小關(guān)

7、系不確定.鑒于此，F(xiàn) 面我們講講這個問題.-、結(jié)論 在厶 ABC 中，sin Asin B? AB.所以彳由，得asin Acsin C同理可證asin Absin B學(xué)海拾貝4 42 正弦定理的一個推論及應(yīng)用難點突破3 細說三角形中解的個數(shù)分析 題中條件簡單，不易入手但既在三角形中，何不嘗試用聯(lián)系邊角的正弦定理?證明 因為 sin Asin B? 2Rsin A2Rsin B（其中 R 為ABC 外接圓的半徑），根據(jù)正弦定理變式 a= 2Rsin A, b= 2Rsin B（其中 a, b 分別為 A, B 的對邊），可得 sin Asin B? ab,再由平面幾何定理 “大角對大邊，小角對

8、小邊 ”，可得 ab? AB.所以 sin Asin B? AB.二、結(jié)論的應(yīng)用例 1 在厶 ABC 中，A = 45 a= 4, b= 2溟，求 B.分析 在遇到這樣的問題時，有的同學(xué)一看，這不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得 B= 30。或 B= 150其實這是錯誤的！錯在哪兒？我們只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn).sin 45 sin B _1解由正弦定理得=- ,sin B=:42p22又 sin Bsin A,所以 Bsin B,所以 CB，所以 C 有兩解.（1）當(dāng) C = 60 寸，有 A= 90 當(dāng) C = 120 時有 A= 30 點評除此之外，本題也可以利用余弦定理來求解si

9、n C =csin B 3b=2解三角形時，處理“已知兩邊及其一邊的對角，求第三邊和其他兩角” 問題需判斷解的個數(shù),這是一個比較棘手的問題.下面對這一問題進行深入探討.一、出現(xiàn)問題的根源我們作圖來直觀地觀察一下.不妨設(shè)已知ABC 的兩邊 a, b 和角 A，作圖步驟如下：1先做出已知角 A，把未知邊 c 畫為水平的，角 A 的另一條邊為已知邊 b;2以 b 邊的不是 A 點的另外一個端點為圓心，邊 a 為半徑作圓 C;3觀察圓 C 與邊 c 交點的個數(shù)，便可得此三角形解的個數(shù).顯然，當(dāng) A 為銳角時，有如圖所示的四種情況：當(dāng) A 為鈍角或直角時，有如圖所示的兩種情況:根據(jù)上面的分析可知，由于

10、a, b 長度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個數(shù)的解若A 為銳角，只有當(dāng) a 不小于 bsin A 時才有解，隨著 a 的增大得到的解的個數(shù)也是不相同的當(dāng)A 為鈍角時，只有當(dāng) a 大于 b 時才有解.、解決問題的策略1.正弦定理法已知 ABC 的兩邊 a, b 和角 A，求 B.可得 sin B=血 a若 sin B1，三角形無解；若 sin B= 1,三角形有且只有一解；若 0sin B1, B 有兩解，再根 據(jù) a, b根據(jù)正弦定理asin Absin BaCH=l) )f.inACrW|H BiCH-bsin Aah_解nW方的大小關(guān)系確定 A, B 的大小關(guān)系（利用大邊對大角），從而確定

11、 B 的兩個解的取舍.2.余弦定理法已知 ABC 的兩邊 a, b 和角 A，求 c.利用余弦定理可得 a2= b2+ c2 2bccos A,整理得 c2 2bccos A a2+ b2= 0.適合上述一元二次方程的解c 便為此三角形的解.3.公式法當(dāng)已知 ABC 的兩邊 a, b 和角 A 時，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個數(shù)的判斷公式如下表：A 90；a babawbabs in Aa= bsin Aabs in A一解兩解一解無解一解無解三、實例分析例 在厶 ABC 中，已知 A = 45 a= 2, b =羽(其中角 A, B, C 的對邊分別為 a, b, c)，試 判斷符合上述

12、條件的 ABC 有多少個？分析此題為“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，可以利用上述方法來判斷ABC 解的情況.ab解 方法一由正弦定理 先=一七,sin A sin B2i可得 sin B=芬 sin 45 =b，所以 AB，故 B= 30符合條件的 ABC 只有一個.方法二由余弦定理得22=c2+( ,2)22X2Xccos 45；即 c2 2c 2= 0，解得 c= 1 3.而 1 3b，故符合條件的厶 ABC 只有一個.易錯警示4 挖掘三角形中的隱含條件解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點由于我們對三角公式比較熟悉，做 題時比較容易入手. 但是公式較多且性質(zhì)靈活，解

13、題時稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)象,其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r，題目中隱含條 件的挖掘.1 兩邊之和大于第三邊例 1 已知鈍角三角形的三邊 a = k, b = k+ 2, c= k+ 4,求 k 的取值范圍.錯解cba 且ABC 為鈍角三角形，C 為鈍角.2 ,2 2a + b c由余弦定理得 cos C =2abk1 2+ k+ 22 k + 422k(k+ 2)k2 4k12= 0.2k k+ 22k2 4k120,解得2k0.綜上所述，0kk + 4.即 k2 而不是 k0.正解cba，且 ABC 為鈍角三角形，C 為鈍角.2 2 2 2a2+

14、b2 c2k2 4k 12由余弦定理得 cos C =0.2ab2k(k+ 2)2k2 4k120,解得2kk+ 4, k2，綜上所述，k 的取值范圍為 2k6.正解由正弦定理，得sin C =ABs in BACsin Acos A= sin Bcos B ? sin 2A = sin 2B ,A= B.BC 是等腰三角形.點撥上述錯解忽視了滿足 sin 2A= sin 2B 的另一個角之間的關(guān)系：2A+ 2B= 180 :2 2. tan A a sin Acos B sin A正牛tan Bb2? cos Asin Bsin2B? cos B_ sin Acos A sin B? sin

15、 Acos A= sin Bcos B? sin 2A = sin 2B? 2A= 2B 或 2A + 2B= 180.A= B 或 A + B = 90. BC 是等腰三角形或直角三角形.溫馨點評在ABC 中，sin A= sin B? A = B 是成立的，但 sin 2A = sin 2B? 2A= 2B 或 2A+ 2B=180例4在 ABC 中，B_ 3A,求 b 的取值范圍.錯解由正弦定理得 a _囂 Bsin 3A sin Asin A+2Asin Asin Acos 2A+cos Asin 2Asin A2 2=cos 2A+2cos A=4cos A-1.2-0cos Aw1

16、,21w4cos A1w3,bb/qw3.a a點撥忽略了三角形內(nèi)角和為180，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致；取值范圍求錯.sin A + 2A sin Acos 2A + cos As in 2A sin A sin A2 2=cos 2A+ 2cos A = 4cos A- 1.A+ B+ C= 180 B= 3A,.A+ B= 4A180 OA45cos A1214cos A- 13,溫馨點評 解三角問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條 件中，若不仔細審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗有些題目，表面上看不能利用正弦、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當(dāng)?shù)娜切危?/p>

17、能利用兩 定理，題目顯得非常容易，本文剖析幾例.、平面幾何中的長度問題例 1 如圖，在梯形 ABCD 中，CD = 2, AC =屮 9,/ BAD = 60求梯形的高.分析 如圖，過點 D 作 DE AAB 于點 E,貝 U DE 為所求的高.由/ BAD = 60知/ADC = 120又邊 CD 與 AC 的長已知，故ACD 為已知兩邊和其中一邊的對角，可解三角形.解 RtAADE,需先求 AD 的長，這只需在 ACD 中應(yīng)用余弦定理即可.解 由 /BAD = 60 得/ADC = 120在ACD 中，由余弦定理得正解由正弦定理得b_ sin Ba sin Asin 3Asin A1 一3

18、.重點深化4 45 正弦、余弦定理的應(yīng)用AC2=AD2+CD22AD CDcos/ADC,即 19=AD2+42ADX2X |,解得 AD = 3 或 AD = 5（舍去）.在ADE 中,DE = AD sin 60 =3.點評依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用，也是函數(shù)與方程思想在解三角形中的體現(xiàn).二、求范圍例 2 如圖，等腰 ABC 中，底邊 BC = 1,ZABC 的平分線 BD 交 AC 于點 D，求 BD 的取值1范圍（注：0VXV1 時，f（x）= x -為增函數(shù)）.X分析 把 BD 的長表示為ZABC 的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域.解設(shè) ZABC= a因為ZABC=ZC，所以

19、ZA= 180 2 a, ZBDC =ZA+/ABD = 180 2a+a= 180 寧，因為 BC = 1，在ABCD 中，由正弦定理得ai4Cos2aBD =2sin 2 cos 2sin a _ 222cos 2sin sinacos ?十 cos sin ? 4cos ?1coscos 21而當(dāng) cosa增大時，BD 減小，且當(dāng) COSa=-22時，BD=.2;當(dāng) cos 扌=1 時，BD=3,故 BD 的取值范圍是 2, 2 .點評本題考查：(1)三角知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想.三、判斷三角形的形狀例 3 在厶 ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a, b，6 若=k(k R).(1)判斷 ABC 的形狀；若 c= .2，求 k 的值.解cbcos A, = cacos B,又=;bccos A= accos B,bcos A=