第三章_MATLAB矩陣分析與處理

1、第3章 MATLAB矩陣分析與處理 特殊矩陣 矩陣結(jié)構(gòu)變換 矩陣求逆與線(xiàn)性方程組求解 矩陣求值3.1 特殊矩陣3.1.1 通用的特殊矩陣常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù)有：zeros：產(chǎn)生全0矩陣(零矩陣)。ones：產(chǎn)生全1矩陣(幺矩陣)。eye：產(chǎn)生單位矩陣。rand：產(chǎn)生01間均勻分布的隨機(jī)矩陣。randn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī) 矩陣。 這幾個(gè)函數(shù)的調(diào)用格式相似，下面以產(chǎn)生零矩陣的zeros函數(shù)為例進(jìn)行說(shuō)明。其調(diào)用格式為：zeros(m): 產(chǎn)生mm零矩陣zeros(m,n) 產(chǎn)生mn零矩陣zeros(size(A) 產(chǎn)生與矩陣A同樣大小的零矩陣。例3.1 分別建立33、

2、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣(1) 建立一個(gè)33零矩陣。zeros(3)ans= 0 0 0 0 0 0 0 0 0(2) 建立一個(gè)32零矩陣。 zeros(3,2) ans= 0 0 0 0 0 0 (3) 設(shè)A為23矩陣，則可以用zeros(size(A)建立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣。A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個(gè)23階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大小的零矩陣 ans= 0 0 0 0 0 0例3.2 建立隨機(jī)矩陣：(1) 在區(qū)間20,50內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。(2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。rand：產(chǎn)生01間均勻分

3、布的隨機(jī)矩陣。要得到a,b區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)，需用yi=a+(b-a)xirandn：產(chǎn)生均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)x = 48.5039 42.8629 38.4630 32.1712 21.7367 26.9342 33.6940 43.7581 48.0641 30.5860 38.2053 20.5551 47.6544 47.5071 44.3950 34.5795 44.6422 42.1462 32.3081 20.2958 46.7390 33.3411 25.2880 46.8095 24.1667y=0.

4、6+sqrt(0.1)*randn(5)y = 0.8713 0.4735 0.8114 0.0927 0.7672 0.9966 0.8182 0.9766 0.6814 0.6694 0.0960 0.8579 0.2197 0.2659 0.3085 0.1443 0.8251 0.5937 1.0475 -0.0864 0.7806 1.0080 0.5504 0.3454 0.58133.1.2 用于專(zhuān)門(mén)學(xué)科的特殊矩陣(1) 魔方矩陣 魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線(xiàn)上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方

5、矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。 magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2例3.3 將101-125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線(xiàn)的和均為565。 一個(gè)5姐魔方矩陣的每行、每列及對(duì)角線(xiàn)的和均為65，對(duì)其每個(gè)元素都加100后，這些和變成565.magic(5)magic(5)ans =ans = 17 24 1 8 15 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 10 12 19 21 3 11 18 25

6、2 9 11 18 25 2 9M=100+magic(5)M=100+magic(5)M =M = 117 124 101 108 115 117 124 101 108 115 123 105 107 114 116 123 105 107 114 116 104 106 113 120 122 104 106 113 120 122 110 112 119 121 103 110 112 119 121 103 111 118 125 102 109 111 118 125 102 109 (2) 范得蒙德矩陣 范得蒙德(Vandermonde)矩陣最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的

7、向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積?？梢杂靡粋€(gè)指定向量生成一個(gè)范得蒙矩陣。在MATLAB中，函數(shù)vander(V)生成以向量V為基礎(chǔ)向量的范得蒙矩陣。例如，A=vander(1;2;3;5)即可得到上述范得蒙矩陣。A =A = 1 1 1 1 1 1 1 1 8 4 2 1 8 4 2 1 27 9 3 1 27 9 3 1 125 25 5 1 125 25 5 1在MATLAB中，生成希爾伯特矩陣的函數(shù)是hilb(n).使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。MATLAB中，有一個(gè)專(zhuān)門(mén)求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求n階的希爾伯特矩陣

8、的逆矩陣。(3) (3) 希爾伯特矩陣希爾伯特矩陣1().1ijHilberthij希爾伯特矩陣的每個(gè)元素例3.4 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。命令如下：hilb(4)hilb(4)ans =ans = 1 1/2 1/3 1/4 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 1/4 1/5 1/6 1/7 invhilb(4)invhilb(4)ans =ans = 16 -120 240 -140 16 -120 240 -140 -120 120

9、0 -2700 1680 -120 1200 -2700 1680 240 -2700 6480 -4200 240 -2700 6480 -4200 -140 1680 -4200 2800 -140 1680 -4200 2800 (4) 托普利茲矩陣 托普利茲(Toeplitz)矩陣除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同。生成托普利茲矩陣的函數(shù)是toeplitz(x,y)，它生成一個(gè)以x為第一列，y為第一行的托普利茲矩陣。這里x, y均為向量，兩者不必等長(zhǎng),toeplitz(x)用向量x生成一個(gè)對(duì)稱(chēng)的托普利茲矩陣。如:T=toeplitz(1:6) T=toeplitz(1:

10、4) T = 1 2 3 4 2 1 2 3 3 2 1 2 4 3 2 1 (5) 伴隨矩陣111012301( )( )1000001000000100000010( )( )( )nnnnnnnnnnnnp xp xa xaxa xaaaaaaaaaaaAp xp xAp x設(shè)多項(xiàng)式為：稱(chēng)矩陣：為多項(xiàng)式的伴隨矩陣。成為 的特征多項(xiàng)式，方程的根成為A的特征值。 MATLAB生成伴隨矩陣的函數(shù)是compan(p)，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。例如，為了求多項(xiàng)式的x3-7x+6的伴隨矩陣，可使用命令： p=1,0,-7,6; p=1,0,-7,6; compa

11、n(p) compan(p)ans =ans = 0 7 -6 0 7 -6 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 (6) 帕斯卡矩陣 我們知道，二次項(xiàng)(x+y)n展開(kāi)后的系數(shù)隨n的增大組成一個(gè)三角形表，稱(chēng)為楊輝三角形。由楊輝三角形表組成的矩陣稱(chēng)為帕斯卡(Pascal)矩陣。函數(shù)pascal(n)生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣。例3.5 求(x+y)5的展開(kāi)式。在MATLAB命令窗口，輸入命令：pascal(6)pascal(6)ans = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 56 1 5 15 35 70 126 1 6

12、21 56 126 2矩陣次對(duì)角線(xiàn)上的元素1,5,10,10,5,1即為展開(kāi)式的系數(shù)。3.2 矩陣結(jié)構(gòu)變換3.2.1 對(duì)角陣與三角陣1對(duì)角陣 只有對(duì)角線(xiàn)上有非0元素的矩陣稱(chēng)為對(duì)角矩陣，對(duì)角線(xiàn)上的元素相等的對(duì)角矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣，對(duì)角線(xiàn)上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱(chēng)為單位矩陣。 矩陣對(duì)角線(xiàn)有很多性質(zhì)，如轉(zhuǎn)置矩陣時(shí)對(duì)角線(xiàn)元素不變，相似變換時(shí)對(duì)角線(xiàn)的和（稱(chēng)為矩陣的跡）不變等。(1) 提取矩陣的對(duì)角線(xiàn)元素 設(shè)A為mn矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線(xiàn)元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。 A=1 2 3;4 5 6; D=diag(A)D = 1 5 diag(A)函數(shù)還有一種形式d

13、iag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線(xiàn)的元素。與主對(duì)角線(xiàn)平行，往上為第1條，第2條，第n條對(duì)角線(xiàn)，往下為第-1條，第-2條，第-n條對(duì)角線(xiàn)。主對(duì)角線(xiàn)為第0條對(duì)角線(xiàn)。例如對(duì)上面建立的A矩陣，提取主對(duì)角線(xiàn)兩側(cè)對(duì)角線(xiàn)的元素，命令如下：D1=diag(A,1)D1=diag(A,1)D1 =D1 = 2 2 6 6D2=diag(A,-1)D2=diag(A,-1)D2 =D2 = 4 4(2) (2) 構(gòu)造對(duì)角矩陣構(gòu)造對(duì)角矩陣 設(shè)設(shè)V V為具有為具有m m個(gè)元素的向量，個(gè)元素的向量，diag(V)diag(V)將產(chǎn)生一將產(chǎn)生一個(gè)個(gè)m mm m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線(xiàn)元素即為向量對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線(xiàn)元

14、素即為向量V V的元素的元素diag(1,2,-1,4)diag(1,2,-1,4)ans =ans = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 -1 0 0 0 -1 0 0 0 0 4 0 0 0 4 diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)nn(n=m+|k|)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線(xiàn)的元素即為向量V的元素。diag(1:3,-1)ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0例3.6 先建立55矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。A=17,0,1,0,15;23,5,7,1

15、4,16;4,0,13,0,22;10,12,19,21,3;. 1,18,25,2,19;D=diag(1:5);D*A %用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù)ans = 17 0 1 0 15 46 10 14 28 32 12 0 39 0 66 40 48 76 84 12 55 90 125 10 95對(duì)對(duì)A A的每列元素乘的每列元素乘以同一個(gè)數(shù)，可以同一個(gè)數(shù)，可以用一個(gè)對(duì)角陣以用一個(gè)對(duì)角陣右乘右乘A.A.2三角陣 三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線(xiàn)以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線(xiàn)以上的元素全為0的一種矩陣。 (1) 上三角矩陣 與矩

16、陣A對(duì)應(yīng)的上三角陣B是與A同型的一個(gè)矩陣，并且B的對(duì)角線(xiàn)以上（含對(duì)角線(xiàn)）和A對(duì)應(yīng)相等，而對(duì)角線(xiàn)以下的元素等于0。求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。例如，提取矩陣A的上三角元素，形成新的矩陣B。A=7,13,-28;2,-9,8;0,34,5;B=triu(A)B = 7 13 -28 0 -9 8 0 0 5 triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線(xiàn)以上的元素。例如，提取矩陣A的第2條對(duì)角線(xiàn)以上的元素，形成新的矩陣B。A=1,32,1,0,5;3,5,17,4,16;4,0,13,0,42;70,11,9,21,3;11,63,5,

17、2,99;B=triu(A,2)B = 0 0 1 0 5 0 0 0 4 16 0 0 0 0 42 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (2) 下三角矩陣 在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。3.2.2 矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)1矩陣的轉(zhuǎn)置 所謂轉(zhuǎn)置，即把源矩陣的第一行變成目標(biāo)矩陣的第一列，第二行變成第二列，依此類(lèi)推。顯然，一個(gè)m行n列的矩陣經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)置運(yùn)算后，變成一個(gè)n行m列的矩陣。轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)()。A=71,3,-8;2,-9,8;0,4,5;B=AB = 71 2 0

18、 3 -9 4 -8 8 52矩陣的旋轉(zhuǎn)在MATLAB中，可以很方便地以90。為單位對(duì)矩陣按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)：。利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。例如，將A按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，命令如下A=57,19,38;-2,31,8;0,84,5;A=57,19,38;-2,31,8;0,84,5;B=rot90(A)B=rot90(A)B =B = 38 8 5 38 8 5 19 31 84 19 31 84 57 -2 0 57 -2 0rot90(A,4)rot90(A,4)ans =ans = 57 19 38 57 19 38 -2 31 8 -2 31 8

19、0 84 5 0 84 53矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，依次類(lèi)推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A) A=14,-9,8;-2,81,8;-2,4,0 A = 14 -9 8 -2 81 8 -2 4 0 B=fliplr(A) B = 8 -9 14 8 81 -2 0 4 -24矩陣的上下翻轉(zhuǎn) 與矩陣的左右翻轉(zhuǎn)類(lèi)似，矩陣的上下翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一行與最后一行調(diào)換，第二行與倒數(shù)第二行調(diào)換，依次類(lèi)推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。3.3 矩陣求逆與線(xiàn)性方程組求解3.3.1 矩陣

20、的逆與偽逆 對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得： AB=BA=I (I為單位矩陣)則稱(chēng)B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。 求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。例3.7 求方陣A的逆矩陣，且驗(yàn)證A與A-1是否是互逆的。A=1,-1,1;5,-4,3;2,1,1;B=inv(A);A*Bans = 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000B*Aans = 1.0000 0.0000 -0.0000

21、 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000上述計(jì)算中可上述計(jì)算中可見(jiàn)：見(jiàn)：AB=BAAB=BA即：即：AAAA-1-1=A=A-1-1A,A,故故A A與與A-1A-1是互是互逆的。逆的。 如果矩陣A不是一個(gè)方陣，或者A是一個(gè)非滿(mǎn)秩的方陣時(shí)，矩陣A沒(méi)有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣A同型的矩陣B，使得： ABA=A BAB=B 此時(shí)稱(chēng)矩陣B為矩陣A的偽逆，也稱(chēng)為廣義逆矩陣。在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是： pinv(A)A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1;B=pinv(A)B = 0.3929 -0.1071 -0.

22、1071 -0.1071 0.3929 -0.1071 -0.1071 -0.1071 0.3929 0.0357 0.0357 0.0357 若A是一個(gè)奇異矩陣，無(wú)一般意義上的逆矩陣，但可以求A的偽逆矩陣。例如： A=0,0,0;0,1,0;0,0,1; pinv(A) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 1 本例中，A的偽逆矩陣和A相等，這是一個(gè)巧合。一般說(shuō)來(lái)，矩陣的偽逆矩陣和自身是不同的。 將包含n個(gè)未知數(shù)，由n個(gè)方程構(gòu)成的線(xiàn)性方程組表示成：3.2.2 用矩陣求逆方法求解線(xiàn)性方程組111122112112222111221nnnnnnnnna xa xa xba xa xa xb

23、a xa xa xb1112111212222212,nnnnnnnnaaaxbaaaxbAxbaAxbaaxb其矩陣表示為： 其： 中 在線(xiàn)性方程組Ax=b兩邊各左乘A-1,有： A-1 Ax= A-1 b由于A-1 A=I，故得： x= A-1 b 所以，利用系數(shù)矩陣A的逆矩陣，可以求解線(xiàn)性方程組。3.82354928276xyzxyzxyz 例用求逆矩陣的方法解線(xiàn)性方程組。 命令如下：命令如下：A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,6b=5,-2,6; ;x=inv(A)x=inv(A)* *b bx =x = 23.0000

24、23.0000 -14.5000 -14.5000 3.6667 3.6667 也可以運(yùn)用左除運(yùn)算也可以運(yùn)用左除運(yùn)算符符“ ”求解線(xiàn)性代數(shù)方程求解線(xiàn)性代數(shù)方程組。組。A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;A=1,2,3;1,4,9;1,8,27;b=5,-2,6b=5,-2,6; ;x=Abx=Ab3.4 矩陣求值3.4.1方陣的行列式 把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱(chēng)為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。A=rand(5)A = 0.9501 0.7621 0.6154 0.4057 0.0579 0.2

25、311 0.4565 0.7919 0.9355 0.3529 0.6068 0.0185 0.9218 0.9169 0.8132 0.4860 0.8214 0.7382 0.4103 0.0099 0.8913 0.4447 0.1763 0.8936 0.1389B=det(A)B = -0.00711矩陣的秩 矩陣線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱(chēng)為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。3.4.2 矩陣的秩與跡112221,(1,2,0)pppik xkx xxkpxk xip 對(duì)于一組向量若存在一組不全為零，使： 成立，則稱(chēng) 個(gè)向量線(xiàn)性相關(guān)，否則稱(chēng)線(xiàn)性相關(guān)。 A=2,2,

26、-1,1;4,3,-1,2;8,5,-3,5;3,3,-2,2; r=rank(A) r = 4這說(shuō)明A是一個(gè)滿(mǎn)秩矩陣。2矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線(xiàn)元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。 A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9; trace(A) ans = 16 矩陣或向量的范數(shù)用來(lái)度量矩陣或向量在某種意義下的長(zhǎng)度。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。3.4.3 向量和矩陣的范數(shù) 12221111,3(1)2(2)1(3)m1x3anniiniiii nVv vvVvVvVv 設(shè)向量下面討論向量的 種范數(shù)： 范數(shù) 范數(shù)

27、、向量的 種常見(jiàn)范數(shù)及其 范數(shù) 計(jì) 算函數(shù)在MATLAB中，求這3種向量范數(shù)的函數(shù)分別為：(1) norm(V)或norm(V,2)：計(jì)算向量V的2-范數(shù)(2) norm(V,1)：計(jì)算向量V的1-范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計(jì)算向量V的-范數(shù)。 例如：V=-1,1/2,1; V1=norm(V,1) %求V的1-范數(shù) V1 = 2.5000 V2=norm(V) %求V的2-范數(shù) V2 = 1.5000 Vinf=norm(V,inf) %求V的-范數(shù) Vinf = 12矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) 設(shè)A是一個(gè)mn的矩陣，V是一個(gè)含有n個(gè)元素的列向量，定義：因?yàn)锳是一個(gè)mn的矩陣，而V是

28、一個(gè)含有n個(gè)元素的列向量。在前面已經(jīng)定義了3種不同的向量范數(shù)，按照上式也可以定義3種矩陣范數(shù)，這樣定義的矩陣范數(shù)A稱(chēng)為A從屬于向量的范數(shù)。max|,|,| | 1|A|=A Vv MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。11111121211113()maxmax()maxmaxmax()ijmijVj niVnijVi njaAA VaA VA AA VAAaA 從屬于 種向量范數(shù)的矩陣范數(shù)計(jì)算公式是是矩陣 的元素 ： 按列加 ，其中 為最大特征值 按行加 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,22;10,12,1

29、9,21,3;11,18,25,2,19;a1=norm(A,1) %求A的1-范數(shù)a1 = 75a2=norm(A,2) %求A的2-范數(shù)a2 = 59.3617ainf=norm(A,inf) %求A的-范數(shù)ainf = 753.4.4 矩陣的條件數(shù) 在求解線(xiàn)性方程組Ax=b時(shí)，一般認(rèn)為：系數(shù)矩陣A中個(gè)別元素的微小擾動(dòng)不會(huì)引起解向量的很大變化。這樣的假設(shè)在工程應(yīng)用中非常重要，因?yàn)橐话阆禂?shù)矩陣是由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得的，并非精確解，但與精確解誤差不大。基于上述假設(shè)可以得到如下結(jié)論：當(dāng)參與運(yùn)算的系數(shù)與實(shí)際精確解誤差很小時(shí)，所獲得的解與問(wèn)題的精確解誤差也很小。 對(duì)于有的系數(shù)矩陣，個(gè)別元素的微小擾動(dòng)會(huì)引起

30、解的很大變化，在計(jì)算數(shù)學(xué)中，稱(chēng)這種矩陣是病態(tài)矩陣。 而稱(chēng)解不因系數(shù)矩陣的微小擾動(dòng)而發(fā)生的大的變化的矩陣為良性矩陣。 當(dāng)然良性與病態(tài)也是相對(duì)的，需要一個(gè)參數(shù)來(lái)描述，條件數(shù)就是用來(lái)描述矩陣的這種性能的一個(gè)參數(shù)。 矩陣A的條件數(shù)等于A的范數(shù)與A的逆矩陣的范數(shù)的乘積，即cond(A)=AA-1。這樣定義的條件數(shù)總是大于1的。條件數(shù)越接近于1，矩陣的性能越好，反之，矩陣的性能越差。在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計(jì)算A的1-范數(shù)下的條件數(shù)。即：cond(A,1)=A1A-11(2) cond(A)或cond(A,2) 計(jì)算A的2-范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。即： co

31、nd(A)=A2A-12(3) cond(A,inf) 計(jì)算A的-范數(shù)下的條件數(shù)。即：cond(A,inf)=cond(A)=AA-1例如 : A=2,2,3;4,5,-6;7,8,9; C1=cond(A) C1 = 87.9754 B=2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4; C2=cond(B) C2 = 3.7515 矩陣B的條件數(shù)比矩陣A的條件數(shù)更接近于1，因此，矩陣B的性能要好于矩陣A。3.5 矩陣的特征值與特征向量nAAAA 對(duì)于 階方陣 ，求數(shù) 和向量 ，使得等式成立。滿(mǎn)足等式的數(shù) 稱(chēng)為矩陣 的，而特向量 稱(chēng)為 的征值特征向量。000AAAIIAI 方程和是兩個(gè)等價(jià)方程，要使

32、方程有非零解 ，必須使其系數(shù)行列式為零，即。0AInAInnAn 行列式是一個(gè)關(guān)于 的 階多項(xiàng)式，因而方程是一個(gè)次方程，有 個(gè)根（含重根），就是矩陣 的 個(gè)特征值，每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)無(wú)窮多個(gè)特征向量。矩陣的特征值問(wèn)題有確定解，但特征向量沒(méi)有確定解。 在在MATLABMATLAB中，計(jì)算矩陣中，計(jì)算矩陣A A的特征值和特征向量的的特征值和特征向量的函數(shù)是函數(shù)是eig(A)eig(A)，常用的調(diào)用格式有，常用的調(diào)用格式有3 3種：種：(1)E=eig(A)(1)E=eig(A)：求矩陣求矩陣A A的全部特征值，構(gòu)成向量的全部特征值，構(gòu)成向量E E。(2) V,D=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，

33、構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。(3) V,D=eig(A,nobalance):與第二種格式類(lèi)似，但第二種格式中先對(duì)A做相似變換后，求矩陣A的特征值和特征向量，而格式3直接求矩陣A的特征值和特征向量。 一個(gè)矩陣的特征向量有無(wú)窮多個(gè)，eig函數(shù)只找出其中的n個(gè)，A的其他特征向量均可由n個(gè)特征向量的線(xiàn)性組合表示。A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2;V,D=eig(A)V = 0.7212 0.4443 0.5315 -0.6863 0.5621 0.4615 -0.0937 -0.6976 0.7103D = -0.0166 0 0 0 1.4801 0 0

34、 0 2.5365 求得的3個(gè)特征值是-0.0166，1.4801，2.5365各特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為V的各列的向量。驗(yàn)證結(jié)果，AV和VD的值均為： -0.0120 0.6576 1.3481 0.0114 0.8320 1.1705 0.0016 -1.0325 1.8018例3.9 用求特征值的方法解方程。 3x5-7x4+5x2+2x-18=0先構(gòu)造與方程對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的伴隨矩陣A，再求A的特征值。A的特征值即為方程的根。命令如下： p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A的伴隨矩陣 x1=eig(A) %求A的特征值 x1 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i x2=roots(p) %直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn) x2 = 2.1837 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -0.9252 + 0.7197i -0.9252 - 0.7197i 可以看出，兩種方法求得的方程的根是完全一致的，實(shí)