matlab 函數(shù)的極值與優(yōu)化

1、 高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 上機(jī)教學(xué)（四）上機(jī)教學(xué)（四）函數(shù)的極值與優(yōu)化函數(shù)的極值與優(yōu)化上機(jī)目的上機(jī)目的上機(jī)內(nèi)容上機(jī)內(nèi)容MATLAB2、會使用、會使用Matlab解決無約束最優(yōu)化問題解決無約束最優(yōu)化問題.上機(jī)軟件上機(jī)軟件1、會使用、會使用Matlab求函數(shù)的極值；求函數(shù)的極值；1、 Matlab中函數(shù)的輸入與調(diào)用；中函數(shù)的輸入與調(diào)用；2、函數(shù)極值的求法；、函數(shù)極值的求法；3、無約束最優(yōu)化問題、無約束最優(yōu)化問題. 在在Matlab中，函數(shù)是采用中，函數(shù)是采用M文件的方式存儲的。文件的方式存儲的。具體步驟如下：具體步驟如下： 1、新建一個(gè)、新建一個(gè)M文件：文件：通過點(diǎn)擊主窗口左上的新建按鈕。通過點(diǎn)擊主窗口

2、左上的新建按鈕。 2、輸入函數(shù)內(nèi)容：、輸入函數(shù)內(nèi)容： 例：函數(shù)例：函數(shù) f(x1,x2)=exp(X12+X2) 應(yīng)在應(yīng)在M文件文件中輸入如下：中輸入如下：一、自變量為數(shù)量形式的函數(shù)的輸入一、自變量為數(shù)量形式的函數(shù)的輸入第一節(jié)第一節(jié) Matlab中函數(shù)的輸入與調(diào)用中函數(shù)的輸入與調(diào)用注意：注意：（1）、函數(shù)標(biāo)識關(guān)鍵字：）、函數(shù)標(biāo)識關(guān)鍵字：function（2）、函數(shù)名：）、函數(shù)名：f1=f1 自變量自變量: (x1,x2) （3）、函數(shù)表達(dá)式：）、函數(shù)表達(dá)式：a=exp(x12+x2) 函數(shù)表達(dá)式可以由多個(gè)式子組成。函數(shù)表達(dá)式可以由多個(gè)式子組成。（4）、給函數(shù)結(jié)果賦值：）、給函數(shù)結(jié)果賦值：f1=

3、a 3、存儲函數(shù)：、存儲函數(shù)：點(diǎn)擊編輯窗口的保存按鈕。點(diǎn)擊編輯窗口的保存按鈕。 注意注意:不要改變保存路徑，文件名稱必須和函數(shù)名稱一致。不要改變保存路徑，文件名稱必須和函數(shù)名稱一致。4、函數(shù)的調(diào)用：、函數(shù)的調(diào)用： 函數(shù)保存后，在命令窗口中即可調(diào)用該函數(shù)。函數(shù)保存后，在命令窗口中即可調(diào)用該函數(shù)。 如求上述函數(shù)在如求上述函數(shù)在x1=1,x2=2處的函數(shù)值，即可在命令處的函數(shù)值，即可在命令窗口中輸入：窗口中輸入：f1(1,2) 其中其中 f1 為剛才所輸入的函數(shù)名。為剛才所輸入的函數(shù)名。二、自變量為向量形式函數(shù)的輸入二、自變量為向量形式函數(shù)的輸入例：函數(shù)例：函數(shù)f(x)=exp(x(1)2+x(2)

4、.其中其中x=(x(1),x(2),即即x為一個(gè)二維向量。為一個(gè)二維向量。此時(shí)的輸入與調(diào)用方式與數(shù)量時(shí)不同此時(shí)的輸入與調(diào)用方式與數(shù)量時(shí)不同。1、輸入：、輸入：2、調(diào)用：、調(diào)用： 此時(shí)自變量為向量，調(diào)用格式為：此時(shí)自變量為向量，調(diào)用格式為：f2(1,2) 或或 x=1 2; f2(x) 即，自變量需采用向量形式輸入。即，自變量需采用向量形式輸入。3、實(shí)際運(yùn)行結(jié)果如下：、實(shí)際運(yùn)行結(jié)果如下： f2(1,2)ans = 20.0855 x=1,2; f2(x)ans = 20.0855Matlab中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為中，求一元函數(shù)極值的函數(shù)為 fminbnd 1、此函數(shù)最簡輸入格式為：、此函數(shù)最

5、簡輸入格式為：x=fminbnd(f,a,b)含義為：含義為：求函數(shù)求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最小值點(diǎn)上的最小值點(diǎn)(自變量值自變量值).2、對于最大值問題，需轉(zhuǎn)化為最小值問題來處理。、對于最大值問題，需轉(zhuǎn)化為最小值問題來處理。 ( -f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的最小值就是上的最小值就是f(x)在在a,b的最大值）的最大值） 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的求法一、一元函數(shù)極值的求法一、一元函數(shù)極值的求法3、常用格式、常用格式x,fval=fminbnd(f,a,b). 結(jié)果中，結(jié)果中，fval為最小值，為最小值，x為取到最小值的點(diǎn)。為取到最小值的點(diǎn)。例：例：Matlab命令：命令：

6、x,fval=fminbnd(x.2+3*x+1,-2,3)含義是：含義是：求函數(shù)求函數(shù)f(x)=x2+3*x+1在在-2,3內(nèi)的最小值。內(nèi)的最小值。結(jié)果為結(jié)果為x = -1.5000 fval = -1.2500注注：此時(shí)函數(shù)很簡單，故沒有使用：此時(shí)函數(shù)很簡單，故沒有使用M文件。文件。 多元函數(shù)的最小值問題，在多元函數(shù)的最小值問題，在Matlab中有中有2個(gè)經(jīng)常個(gè)經(jīng)常使用的函數(shù)：使用的函數(shù)： 1、fminsearch 2、fminunc 注意注意： （1）、在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先用）、在使用這兩個(gè)函數(shù)時(shí)，必須首先用M文文件的形式存儲待求最值的函數(shù)，并且需以向量函數(shù)件的形式存儲待求最值的

7、函數(shù)，并且需以向量函數(shù)的形式表達(dá)；的形式表達(dá)； （ 2）、最大值問題需轉(zhuǎn)化為最小值問題。）、最大值問題需轉(zhuǎn)化為最小值問題。二、多元函數(shù)極值的求法二、多元函數(shù)極值的求法（1）、此函數(shù)使用單純型法搜索最值；）、此函數(shù)使用單純型法搜索最值；（2）、使用格式：）、使用格式： x,fval= fminsearch(f,x0) 其中其中f為待求最值的向量函數(shù)，為待求最值的向量函數(shù)，x0為搜索過程為搜索過程開始時(shí)自變量的初始值。開始時(shí)自變量的初始值。例：例：fminsearch(f,1,2) 含義為：在含義為：在x=1,2附近搜附近搜尋函數(shù)尋函數(shù)f的最小值。的最小值。 1、 fminsearch 例：例：求

8、函數(shù)求函數(shù)f(x,y)= -(x+y)+(x2+y2+1)在在x=1,y=2 附近的最小值點(diǎn)。附近的最小值點(diǎn)。解決步驟：解決步驟： 1、建立、建立M文件，保存函數(shù)文件，保存函數(shù)f； M文件內(nèi)容為：文件內(nèi)容為： function f1=f1(x) a=-(x(1)+x(2); b=(x(1)2+x(2)2+1); f1=a+b; 2、調(diào)用、調(diào)用fminsearch函數(shù)求最值函數(shù)求最值. 在命令窗口中，輸入：在命令窗口中，輸入： x0=1,2; x,fval=fminsearch(f1,x0) 3、輸出結(jié)果為：、輸出結(jié)果為： X = 0.5000 0.5000 fval =0.5000（1）、此函

9、數(shù)與）、此函數(shù)與fminsearch不同的地方在于使用的不同的地方在于使用的搜索方法不同，它使用牛頓法搜索最值，在效率上搜索方法不同，它使用牛頓法搜索最值，在效率上有所提高；有所提高；（2）、使用格式與）、使用格式與fminsearch類似：類似： x,fval= fminunc(f,x0) 其中其中f為待求最值的向量函數(shù)，為待求最值的向量函數(shù)，x0為搜索過程開為搜索過程開始時(shí)自變量的初始值。始時(shí)自變量的初始值。例例：fminunc(f,1,2) 含義為：在含義為：在x=1,2附近搜尋附近搜尋函數(shù)函數(shù)f的最小值。的最小值。 2、 fminunc 第三節(jié)第三節(jié) 無約束最優(yōu)化問題無約束最優(yōu)化問題求

10、解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想求解無約束最優(yōu)化問題的的基本思想* Matlab優(yōu)化工具箱簡介優(yōu)化工具箱簡介 XfnEXmin 其中 1:EEfn標(biāo)準(zhǔn)形式：標(biāo)準(zhǔn)形式：一、求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想一、求解無約束最優(yōu)化問題的基本思想求解的基本思想求解的基本思想 ( 以二元函數(shù)為例 )1x2x)(21xxf01x2x05310X1X2X)(0Xf)(1Xf)(2Xf連續(xù)可微 XfnEXmax = minXfnEX 多局部極小298.0f0f298.0f 唯一極小(全局極小)2122212121322)(xxxxxxxxf搜索過程搜索過程21221221)1 ()(100)(minxxxxxf最優(yōu)

11、點(diǎn) (1 1)初始點(diǎn) (-1 1)1x2xf-114.00-0.790.583.39-0.530.232.60-0.180.001.500.09-0.030.980.370.110.470.590.330.200.800.630.050.950.90 0.0030.990.991E-40.9990.9981E-50.9997 0.9998 1E-8二、用二、用Matlab解無約束優(yōu)化問題（舉例說明）解無約束優(yōu)化問題（舉例說明） 其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。 函數(shù)fminbnd的算法基于黃金分割法和二次插值法，它要求目標(biāo)函數(shù)必須是連續(xù)函數(shù)，并可能只給出局部

12、最優(yōu)解。常用格式如下：常用格式如下：（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)（3）x，fval= fminbnd（.）（4）x，fval，exitflag= fminbnd（.）（5）x，fval，exitflag，output= fminbnd（.）運(yùn)行結(jié)果： xmin = 3.9270 ymin = -0.0279 xmax = 0.7854 ymax = 0.6448 解解 在在matlab命令窗口中輸入：命令窗口中輸入： f=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作圖語句作圖語句

13、 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin(x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8)例例2 對邊長為對邊長為3米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以米的正方形鐵板，在四個(gè)角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？解解先編寫先編寫M文件文件fun0.m如下如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;主程序?yàn)椋褐鞒绦驗(yàn)椋?x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval運(yùn)算結(jié)果為運(yùn)

14、算結(jié)果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊即剪掉的正方形的邊長為長為0.5米時(shí)水槽的容積最大米時(shí)水槽的容積最大,最大容積為最大容積為2立方米立方米. 命令格式為命令格式為:（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或）；或x=fminsearch（fun,X0 ）（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；）； 或或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）x，fval= fminunc（.）；）； 或或x，fval= fminsearch（.）（4）x，fval，exitflag= fminunc（.）；）

15、； 或或x，fval，exitflag= fminsearch（5）x，fval，exitflag，output= fminunc（.）；）； 或或x，fval，exitflag，output= fminsearch（.） 2、多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題、多元函數(shù)無約束優(yōu)化問題標(biāo)準(zhǔn)型為：標(biāo)準(zhǔn)型為：min F(X)3 fminunc為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，由為中型優(yōu)化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，由options中參中參數(shù)數(shù)LineSearchType控制：控制： LineSearchType=quadcubic(缺省值缺省值)，混合的二次和三次多項(xiàng)式插值；，混合的二次和三次

16、多項(xiàng)式插值； LineSearchType=cubicpoly，三次多項(xiàng)式插，三次多項(xiàng)式插使用使用fminunc和和 fminsearch可能會得到局部最優(yōu)解可能會得到局部最優(yōu)解.說明說明:fminsearch是用單純形法尋優(yōu)是用單純形法尋優(yōu). fminunc的算法見以下幾點(diǎn)說明：的算法見以下幾點(diǎn)說明：1 fminunc為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由為無約束優(yōu)化提供了大型優(yōu)化和中型優(yōu)化算法。由options中中 的參數(shù)的參數(shù)LargeScale控制：控制：LargeScale=on(默認(rèn)值默認(rèn)值),使用大型算法使用大型算法LargeScale=off(默認(rèn)值默認(rèn)值),使用中型算法

17、使用中型算法2 fminunc為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了為中型優(yōu)化算法的搜索方向提供了4種算法，由種算法，由 options中的參中的參數(shù)數(shù)HessUpdate控制：控制：HessUpdate=bfgs（默認(rèn)值），擬牛頓法的（默認(rèn)值），擬牛頓法的BFGS公式；公式；HessUpdate=dfp，擬牛頓法的，擬牛頓法的DFP公式；公式；HessUpdate=steepdesc，最速下降法，最速下降法例例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1) 1、編寫、編寫M-文件文件 fun1.m: function f = fun1 (x) f = exp(x

18、(1)*(4*x(1)2+2*x(2)2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1); 2、輸入命令窗口中輸入、輸入命令窗口中輸入: x0 = -1, 1; x=fminunc(fun1,x0); y=fun1(x) 3、運(yùn)行結(jié)果、運(yùn)行結(jié)果: x= 0.5000 -1.0000 y = 1.3029e-10例例4 產(chǎn)銷量的最佳安排產(chǎn)銷量的最佳安排 某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號，討論在產(chǎn)銷平某廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品有甲、乙兩個(gè)牌號，討論在產(chǎn)銷平衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大衡的情況下如何確定各自的產(chǎn)量，使總利潤最大. 所謂產(chǎn)所謂產(chǎn)銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市場上的銷量銷平衡指工廠的產(chǎn)量等于市

19、場上的銷量.2、基本假設(shè)、基本假設(shè)（1）價(jià)格與銷量成線性關(guān)系）價(jià)格與銷量成線性關(guān)系利潤既取決于銷量和價(jià)格，也依賴于產(chǎn)量和成本。按照市場規(guī)律，甲的價(jià)格 p1會隨其銷量 x1的增長而降低，同時(shí)乙的銷量 x2的增長也會使甲的價(jià)格有稍微的下降，可以簡單地假設(shè)價(jià)格與銷量成線性關(guān)系，即： p1 = b1 - a11 x1 - a12 x2 ，b1，a11，a12 0，且a11 a12；同理， p2 = b2 - a21 x1- a22 x2 ，b2，a21，a22 0，且a22 a21 .（2）成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系）成本與產(chǎn)量成負(fù)指數(shù)關(guān)系甲的成本隨其產(chǎn)量的增長而降低,且有一個(gè)漸進(jìn)值,可以假設(shè)為負(fù)指數(shù)關(guān)系

20、,即: 0,11111111crcerqx 同理， 0,22222222crcerqx 3、模型建立、模型建立 若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)若根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),求出系數(shù)求出系數(shù)b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,1=0.015,c1=20, r2=100,2=0.02,c2=30,則則問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題：求甲,乙兩個(gè)牌號的產(chǎn)量乙兩個(gè)牌號的產(chǎn)量x1，x2，使，使總利潤總利潤z最大最大. 為簡化模型為簡化模型,先忽略成本先忽略成本,并令并令a12=0,a21=0,問題轉(zhuǎn)化為求問題轉(zhuǎn)化為求: z1 = ( b1

21、 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2 的極值的極值. 顯然其解為顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,我們把它作為原問題的初始值我們把它作為原問題的初始值.總利潤為：總利潤為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2 4、模型求解、模型求解 （1）. 建立建立M-文件文件fun.m: function f = fun(x) y1=(100-x(1)- 0.1*x(2)-(30*exp(-0.015*x(1)+20)*x(1); y2=(280-0.2*x(1)- 2*x(2)-(100*exp(-0.02*x(2)+30)*x(2); f=-y1-y2; （2）. 輸入命令輸入命令: x0=50,70; x=fminunc(fun,x0), z=fun(x) （3）. 計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果