RLC元件電壓電流關系的相量形式

1、23 RLC元件電壓電流關系的相量形式元件電壓電流關系的相量形式 一、一、電阻元件電阻元件電壓電流關系的電壓電流關系的相量形式相量形式)()(tRitu 線性電阻的電壓電流關系服從歐姆定律，在電壓電流線性電阻的電壓電流關系服從歐姆定律，在電壓電流采用關聯(lián)參考方向時，其電壓電流關系表示為采用關聯(lián)參考方向時，其電壓電流關系表示為 當其電流當其電流i(t)=Imcos( t+i)隨時間按正弦規(guī)律變化時，隨時間按正弦規(guī)律變化時，電阻上電壓電流關系如下：電阻上電壓電流關系如下： )cos()()cos()(imumtRItRitUtu 上式表明，線性電阻的電壓和電流是同一頻率的正弦上式表明，線性電阻的電

2、壓和電流是同一頻率的正弦時間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差時間函數(shù)。其振幅或有效值之間服從歐姆定律，其相位差為零為零(同相同相)，即，即 iumm RIURIU或 線性電阻元件的時域模型如圖線性電阻元件的時域模型如圖10-14(a)所示，反映電壓所示，反映電壓電流瞬時值關系的波形圖如圖電流瞬時值關系的波形圖如圖(b)所示。所示。圖 10-14 由上圖可見，在任一時刻，由上圖可見，在任一時刻，電阻電壓的瞬時值是電流電阻電壓的瞬時值是電流瞬時值的瞬時值的R倍倍，電壓的相位與電流的相位相同電壓的相位與電流的相位相同，即電壓電，即電壓電流波形同時達到最大值，同時經(jīng)過零點。流波形同時達到

3、最大值，同時經(jīng)過零點。 由于電阻元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時間函由于電阻元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時間函數(shù)，可以用相量分別表示如下：數(shù)，可以用相量分別表示如下： e2ReeRe)(e2ReeRe)( j jm j jmttttIItiUUtu 將以上兩式代入式將以上兩式代入式1018中，得到中，得到 e2Ree2Re( j jttIRUtu） 由此得到線性電阻電壓電流關系的相量形式為由此得到線性電阻電壓電流關系的相量形式為 IRU 這是一個復數(shù)方程，它同時提供振幅之間和相位之間這是一個復數(shù)方程，它同時提供振幅之間和相位之間的兩個關系，即的兩個關系，即 (1) 電阻電壓有效值等于電阻

4、乘以電流的有效值，即電阻電壓有效值等于電阻乘以電流的有效值，即 U=RI (2) 電阻電壓與其電流的相位相同，即電阻電壓與其電流的相位相同，即 u =i 線性電阻元件的相量模型如圖線性電阻元件的相量模型如圖(a)所示，反映電壓電流所示，反映電壓電流相量關系的相量圖如圖相量關系的相量圖如圖(b)所示，由此圖可以清楚地看出電所示，由此圖可以清楚地看出電阻電壓的相位與電阻電流的相位相同。阻電壓的相位與電阻電流的相位相同。 正弦電流電路中電阻元件的電壓電流相量關系正弦電流電路中電阻元件的電壓電流相量關系IRU二、電感二、電感元件元件電壓電流關系的電壓電流關系的相量形式相量形式 tiLtudd)( 當電

5、感電流當電感電流i(t)=Imcos( t+i)隨時間按正弦規(guī)律變化時，隨時間按正弦規(guī)律變化時，電感上電壓電流關系如下：電感上電壓電流關系如下： )90 cos() sin( ) cos(dd) cos()(imimimumtLItLItItLtUtu 線性電感的電壓電流關系采用關聯(lián)參考方向時，線性電感的電壓電流關系采用關聯(lián)參考方向時， 表明線性電感的電壓和電流是同一頻率的正弦時間函表明線性電感的電壓和電流是同一頻率的正弦時間函數(shù)。其振幅或有效值之間的關系以及電壓電流相位之間的數(shù)。其振幅或有效值之間的關系以及電壓電流相位之間的關系為關系為 90 iummLIULIU或 電感元件的時域模型如圖電

6、感元件的時域模型如圖(a)所示，反映電壓電流瞬時所示，反映電壓電流瞬時值關系的波形圖如圖值關系的波形圖如圖(b)所示。由此可以看出所示。由此可以看出電感電壓超前電感電壓超前于電感電流于電感電流90，當電感電流由負值增加經(jīng)過零點時，其，當電感電流由負值增加經(jīng)過零點時，其電壓達到正最大值。電壓達到正最大值。 由于電感元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時間函由于電感元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時間函數(shù)，可以用相量分別表示，將它們代入式數(shù)，可以用相量分別表示，將它們代入式1024中得到中得到 e2 jRe)e2Re(dde2Re(jjjtttILItLUtu） 由此得到電感元件電壓相量和電流相量的關

7、系式由此得到電感元件電壓相量和電流相量的關系式 ILUj 電感元件的相量模型如圖電感元件的相量模型如圖(a)所示，電壓電流的相量圖所示，電壓電流的相量圖如如(b)所示。由此可以清楚看出所示。由此可以清楚看出電感電壓的相位超前于電感電感電壓的相位超前于電感電流的相位電流的相位90。 j 90sinj90cose90j圖圖 10-17三、電容三、電容元件元件電壓電流關系的電壓電流關系的相量形式相量形式 tuCtidd)( 線性電容在電壓電流采用關聯(lián)參考方向時線性電容在電壓電流采用關聯(lián)參考方向時 線性電容的電壓和電流是同一頻率的正弦時間函數(shù)。線性電容的電壓和電流是同一頻率的正弦時間函數(shù)。其振幅或有效

8、值之間的關系。以及電壓電流相位之間的關其振幅或有效值之間的關系。以及電壓電流相位之間的關系為系為 90 uimmCUICUI或 當電容電壓當電容電壓u(t)=Umcos( t+u)隨時間按正弦規(guī)律變化隨時間按正弦規(guī)律變化時時)90 cos() sin( ) cos(dd) cos()(umumumimtCUtCUtUtCtIti 電容元件的時域模型如圖電容元件的時域模型如圖(a)所示，反映電壓電流瞬時所示，反映電壓電流瞬時值關系的波形圖如圖值關系的波形圖如圖(b)所示。由此圖可以看出所示。由此圖可以看出電容電流超電容電流超前于電容電壓前于電容電壓90，當電容電壓由負值增加經(jīng)過零點時，當電容電壓

9、由負值增加經(jīng)過零點時，其電流達到正最大值。其電流達到正最大值。 由于電容元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時間函由于電容元件的電壓電流都是頻率相同的正弦時間函數(shù)，可以用相量分別表示，代入式中得到數(shù)，可以用相量分別表示，代入式中得到 由此得到電容元件電壓相量和電流相量的關系式由此得到電容元件電壓相量和電流相量的關系式 UCIje2jRe)e2Re(dde2Re(jjjtttUCUtCIti） 電容元件的相量模型如圖電容元件的相量模型如圖(a)所示，其相量關系如圖所示，其相量關系如圖(b)所示。所示。 例例 電路如圖電路如圖 (a)所示，已知所示，已知 2rad/s ,A cos2)(,H2,3St

10、tiLR 試求電壓試求電壓u1(t), u2(t), u(t)及其有效值相量及其有效值相量。 解：根據(jù)圖解：根據(jù)圖(a)所示電路的時域模型，畫出圖所示電路的時域模型，畫出圖(b)所示的相量所示的相量 模型，圖中各電壓電流參考方向均與時域模型相同，模型，圖中各電壓電流參考方向均與時域模型相同， 僅將時域模型中各電壓電流符號僅將時域模型中各電壓電流符號 用相應的相量符號用相應的相量符號 表示，根據(jù)相表示，根據(jù)相 量形式的量形式的KCL求出電流相量求出電流相量 uuuii、21SUUUII、21S1A A01SII 由相量形式的由相量形式的VCR方程求出電壓方程求出電壓 V904V4 j 0122

11、jjjV03013S2S1ILILUIRIRU(b) 根據(jù)相量形式的根據(jù)相量形式的KVL方程式得到方程式得到 V1 .5354 j321UUU 得到相應電壓的瞬時值表達式得到相應電壓的瞬時值表達式 V )1 .532cos(25)(V )902cos(24)(V 2cos23)(21ttuttuttu 相量圖如圖相量圖如圖(c)所示。由此圖可以看出電壓所示。由此圖可以看出電壓u(t)超前于超前于電流電流i(t)的角度為的角度為53.1。此例中，。此例中，U=5 U1+U2=3+4=7(c)例例 電路如圖電路如圖(a)所示所示,已知已知5rad/s , Vcos210)(, F1 . 0,4St

12、tuCR解：畫出圖解：畫出圖(a)相量模型如圖相量模型如圖(b)所示。根據(jù)所示。根據(jù)RLC元件相量形元件相量形 式的式的VCR方程計算出電流相量。方程計算出電流相量。 A5 . 205 . 24010S1RUI 試求電流試求電流i1(t), i2(t), i(t)及其有效值相量。及其有效值相量。A905j5Aj20100.151j010j12CUIs 根據(jù)相量形式的根據(jù)相量形式的KCL方程得到方程得到 A4 .6359. 5j55 . 221III 得到電流的瞬時值表達式得到電流的瞬時值表達式 A 5cos25 . 2)(1ttiA )905cos(25)(2ttiA )4 .635cos(2

13、59. 5)(tti 根據(jù)所求得的各電壓電流相量畫出相量圖。根據(jù)所求得的各電壓電流相量畫出相量圖。 由此圖可以看出電流由此圖可以看出電流i(t)超前于電壓超前于電壓uS(t)的角度為的角度為63.4。 此例中，此例中，I=5.59 I1+I2=2.5+5=7.5,再次說明正弦電流電再次說明正弦電流電路中流出任一結點的全部電流有效值的代數(shù)和并不一定等路中流出任一結點的全部電流有效值的代數(shù)和并不一定等于零。于零。 四、阻抗與導納四、阻抗與導納 歐姆定律的相量形式歐姆定律的相量形式為容抗稱為電容的電抗，簡稱為感抗稱為電感的電抗，簡稱稱為電阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICUL

14、IUILURIUIRU 現(xiàn)將現(xiàn)將RLC元件電壓電流的相量關系列寫如下：元件電壓電流的相量關系列寫如下： 我們注意到，我們注意到，RLC元件電壓相量與電流相量之間的關元件電壓相量與電流相量之間的關系類似歐姆定律，電壓相量與電流相量之比是一個與時間系類似歐姆定律，電壓相量與電流相量之比是一個與時間無關的量，其中無關的量，其中R，稱為電阻；，稱為電阻；j L，稱為電感的電抗，簡，稱為電感的電抗，簡稱為感抗；稱為感抗；1/j C，稱為電容的電抗，簡稱為容抗。，稱為電容的電抗，簡稱為容抗。為了使為了使用方便，我們用大寫字母用方便，我們用大寫字母Z來表示這個量，它是一個復數(shù)，來表示這個量，它是一個復數(shù)，稱

15、為阻抗稱為阻抗。為容抗稱為電容的電抗，簡稱為感抗稱為電感的電抗，簡稱稱為電阻 j1 j1 j j CCCCLLLLRRRRCIUICULIUILURIUIRUCj1jLRIUZ 引入引入阻抗阻抗后，我們可以將以上三個關系式用一個式子后，我們可以將以上三個關系式用一個式子來表示。來表示。 ZIUIZU 式式1032稱為稱為歐姆定律的相量形式歐姆定律的相量形式。 阻抗定義為電壓相量與電流相量之比阻抗定義為電壓相量與電流相量之比，即，即 與上相似，與上相似，RLC元件電壓電流的相量關系也可以寫成元件電壓電流的相量關系也可以寫成以下形式以下形式 j j j1 j1 CCCCLLLLRRRR為容納稱為電

16、容的電納，簡稱為感納稱為電感的電納，簡稱稱為電導CUIUCILUIULIGUIUGI 我們注意到，我們注意到，RLC元件電流相量與電壓相量之比是一元件電流相量與電壓相量之比是一個與時間無關的量，其中個與時間無關的量，其中G，稱為電導；，稱為電導；1/j L，稱為電感，稱為電感的電納，簡稱為感納；的電納，簡稱為感納；j C，稱為電容的電納，簡稱為容，稱為電容的電納，簡稱為容納。我們用大寫字母納。我們用大寫字母Y來表示這個量，它是一個復數(shù)，稱來表示這個量，它是一個復數(shù)，稱為導納。為導納。LCGUIYj1j 引入引入導納導納后，可以將以上關系式用一個式子來表示。后，可以將以上關系式用一個式子來表示。 YUIUYI 顯然，同一個二端元件的顯然，同一個二端元件的阻抗與導納互為倒數(shù)關系阻抗與導納互為倒數(shù)關系，即，即 ZYYZ11 導納導納Y定義為電流相量與電壓相量之比定義為電流相量與電壓相量之比，即，即 現(xiàn)將