基于二胎政策影響的數學模型

1、精選文檔 基于二胎政策影響的數學模型 南京理工高校 2012級 張坤 華摶 曾小婉 摘要 本文通過對我國近年來人口數據，接受logistic模型與Leslie模型，建立了猜測將來中國在現(xiàn)有政策下，單獨二胎政策下，放開二胎政策下人口增長的模型，以及單獨二胎政策對江蘇人口、經濟、教育、住宅方面的影響，通過上述模型分析，來評估二胎政策的利弊，以及是否需要放開二胎，何時放開二胎的問題。 問題1:猜測2060年我國人口數及人口結構、以及老齡化程度.建立logistic人口阻滯增長模型，利用1954年到2012年總人口數進行擬合，再進行猜測， 將猜測值與國家統(tǒng)計局數據進行比較，發(fā)覺建立的模型猜測效果良好。

2、，運用該曲線猜測2060年總人口為1616599999。人口結構以及老齡化程度接受Leslie模型進行，使用國家統(tǒng)計局給出的2000年的有關數據，構造Leslie矩陣。以每5年為一個年齡段，首先猜測2001至2060年各年段人數，再用猜測得到數據進行分析，在以0至20為幼齡期，21至65為中青年期，65以上為老年期分別統(tǒng)計人數，然后對其人口數進展狀況進行分析，得出幼年期：85374879人，中青年期：403771512人，老年期：627862149人. 對于老齡化程度問題，由以上數據看出老年人所占比重為,格外驚人。還可得出老年人數增長曲線，通過猜測可以看出人口老齡化已經成為刻不容緩的問題，亟需

3、出臺相關政策調整人口結構，這也是開放二胎的重要緣由。 問題2：建立相應的數學模型闡明“單獨二胎”對江蘇（人口、經濟、住宅、教育等)的影響。 接受Leslie改進模型：。仍以國家統(tǒng)計局給出的2010年江蘇省的有關數據，構造Leslie，同樣以5年為一個年齡段建立矩陣A（t）。通過轉變把握變量（t）的值達到擬合單獨二胎政策的目的，從而求出之后60年江蘇人口變化，人口紅利的變化。在建立平均值模型，分別評估對教育、住宅的影響。即教育資源以在校人數多少來衡量，分別從教育網上查到2003年至2007年各階段教育的在校人數，求出平均值，以此為標準，即假設江蘇省教育資源穩(wěn)定在這一水平。在用改進的Leslie模

4、型計算出各個對應年齡層的人數，用上面的標準比上對應的人數，值越小，則這個階段的教育資源越緊急，也就需要更多投入，即對教育的影響。關于住宅，通過查找資料，得到江蘇2004年至2011年住宅總面積，依據這幾組數據，擬合出住宅面積變化的曲線，并對之后住房面積進行猜測，再用該面積比上對應年分的人數，即得那一年的人均住宅面積，比上小康水平30人，即得住宅影響因數。通過這個數據評估對住宅的影響。問題3:評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？假如有必要完全放開二胎政策，請猜測何時放開二胎政策比較合適。 照舊接受問題2的模型，依據國家統(tǒng)計局2010年給出的數據，構造Leslie矩陣，接受改進模型，使用單獨

5、二胎政策時，轉變的值進行猜測，然后從人口結構的角度進行評估，即考慮人口老齡化，人口紅利，以及撫養(yǎng)比，同時也猜測出完全放開二胎的狀況。將以上兩組數據進行比較，得出是否需要開放二胎，同時與標準值相比較，推想出何時開放比較合適。關鍵詞：logistic人口模型 Leslie人口模型 人口增長猜測 單獨二胎1. 問題重述隨著社會經濟的進一步進展，我國人口面臨新的問題：一方面，人口紅利消逝、接近超低生育率水平、人口老齡化、誕生性別比失調等等，要求我們需要放開方案生育的約束；另一方面，過快增長的人口對于住房、教育、環(huán)境資源等又來來更多的壓力。2011月15日，中共中心關于全面深化改革開放若干重大問題的打算

6、最終出臺了。打算中關于逐步放開二胎的政策引起了人們的熱議。目前，依據打算中的政策，很多省份已經漸漸放開了方案生育的約束，開頭實行“單獨二胎”政策，即夫妻雙方有一方為獨生子女，就允許生其次胎。 試請建立數學模型，解決以下問題：1、查閱相關數據，建立數學模型，猜測2060年我國人口數及人口結構、以及老齡化程度。 2、江蘇省單獨二胎政策于2014年3月28日起正式施行。查閱相關數據，依據江蘇的實際狀況，建立合理的評價體系，并建立相應的數學模型闡明“單獨二胎”對江蘇（人口、經濟、住宅、教育，醫(yī)療衛(wèi)生等）的影響。3、評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？假如有必要完全放開二胎政策，請猜測何

7、時放開二胎政策比較合適。2、問題分析 問題1.猜測2060年我國人口數，人口結構以及老齡化程度。本文分別用logistic模型與Leslie模型進行猜測，然后與實際值相比較，同時兩組數據也相互比較。會發(fā)覺logistic模型對人口數目猜測較精確，而無法得出人口結構以及老齡化程度。Leslie對人口猜測偏差較大，而可以猜測人口結構，故可分別取其結果，進行猜測分析。問題2.建立相應的數學模型闡明“單獨二胎”對江蘇（人口、經濟、住宅、教育等)的影響。 首先是建立合理的模型來猜測“單獨二胎”政策后江蘇人口變化，本文接受Leslie的改進模型進行猜測，假設嚴格執(zhí)行生育政策，通過轉變其中的參數即可達到合理

8、猜測，且猜測結果與預期相符。然后依據人口結構，通過人口紅利可反映對經濟的影響。“單獨二胎”對住房、教育的影響本質上是人口變化帶來的影響。于是接受人均模型進行評估。其中教育資源接受在校人數描述，在用該在校人數除以對應年齡人數表示人均教育資源占有率，住宅接受人均住宅面積表示，并引入影響度概念，通過以上兩個影響度描述影響。問題3.評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？假如有必要完全放開二胎政策，請猜測何時放開二胎政策比較合適。 先假設沒必要，即接受問題2中的模型猜測全國將來50年的人口變化，得出人口結構分布，然后通過撫養(yǎng)比，老齡化人口比例，人口紅利進行評估，是否為有利于社會進展的人口結構。若有必

9、要在計算完全二胎狀況下，猜測全國將來50年的人口變化，人口結構分布，以及撫養(yǎng)比，老齡化人口比例，人口紅利，再選擇開放二胎的時間，計算以上比例并作出圖像，與合適的比例相比較，最終確定合適的開放時間，使各項指標穩(wěn)定在合適范圍內的時間更長。 三、問題假設1、在猜測人口模型中，假設不考慮與境外的遷入遷出問題。2、假設在猜測的過程中不發(fā)生人數驟減的狀況。3、假設生育率、死亡率和男女性別比例不隨人口流淌而變化。4、假設查得的數據真實有效。5、在構造Leslie矩陣，設置（t）時，假設嚴格執(zhí)行生育政策，且執(zhí)行二胎前，均滿足單獨二胎政策。即有一方為獨生子女。4、 名詞解釋及符號說明人口紅利：是指一個國家的勞動

10、年齡人口占總人口比重較大，撫養(yǎng)率比較低，為經濟進展制造了有利的人口條件，整個國家的經濟成高儲蓄、高投資和高增長的局面。生育率：指不同時期，不同地區(qū)婦女或育齡婦女的實際生育水平或生育子女的數量。人口撫養(yǎng)比：人口撫養(yǎng)比是指總人口中非勞動年齡人數與勞動年齡人數之比，以百分數表示。生育率：bi死亡率:：di生存率：si總和生育率：B 五、模型建立及求解一、問題1阻滯增長模型（Logistic模型） 阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻作用，對指數增長模型的基本假設進行修改后得到的。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數量x的增加而下降。表示為x

11、的函數r（x)。則它應是減函數。于是有 （1）對r(x)的一個最簡潔的假定是，設r(x)為x的線性函數，即 （2）設自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數量為時人口不再增長，即增長率，代入（2）式得 ，于是（2）式為 （3）將（3）代入方程（1）得： （4）解方程（4）得 （5）二、模型的建立為了對以后肯定時期內的人口數做出猜測，我們首先從中國經濟統(tǒng)計數據上查到我國從1954年到2005年全國總人口的數據如表1。表1 各年份全國總人口數（單位：千萬）年份195419551956195719581959196019611962總人口60.261.562.864.666.067.266.265.9

12、67.3年份196319641965196619671968196919701971總人口69.170.472.574.576.378.580.783.085.2年份197219731974197519761977197819791980總人口87.189.290.992.493.795.096.25997.598.705年份198119821983198419851986198719881989總人口100.1101.654103.008104.357105.851107.5109.3111.026112.704年份199019911992199319941995199619971998總人

13、口114.333115.823117.171118.517119.850121.121122.389123.626124.761年份1999200020012002200320042005總人口125.786126.743127.627128.453129.227129.988130.7561、將1954年看成初始時刻即，則1955為，以次類推，以2005年為作為終時刻。用函數（5）對表1中的數據進行非線性擬合，運用Matlab編程（程序見附錄1）得到相關的參數，：.所以得到中國各年份人口變化趨勢的擬合曲線：（上圖點為實際統(tǒng)計狀況,圖線為擬合曲線,由圖可得曲線擬合程度良好。）該公式計算得 （6

14、）模型：按年齡分布的Leslie模型21、 模型的預備將人口按年齡大小等間隔地劃分成個年齡組（譬如每10歲一組），模型要爭辯在不同時間人口的年齡分布，對時間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時間離散化為.設在時間段第年齡組的人口總數為，定義向量，模型要爭辯的是女性的人口分布隨的變化規(guī)律，從而進一步爭辯總人口數等指標的變化規(guī)律。 設第年齡組的生育率為，即是單位時間第年齡組的每個女性平均生育女兒的人數；第年齡組的死亡率為，即是單位時間第年齡組女性死亡人數與總人數之比，稱為存活率。設、不隨時間變化，依據、和的定義寫出與應滿足關系：在（9）式中我們假設中已經扣除嬰兒死亡率，即扣除了在時段以后誕生

15、而活不到的那些嬰兒。若記矩陣 （10）則（9）式可寫作     （11）當、已知時，對任意的有 （12） 只要我們求出Leslie矩陣并依據人口分布的初始向量，我們就可以求出時段的人口分布向量。2 模型建立 以2000年為初始年份對以后各年的女性總數及總人口數進行猜測，依據國家統(tǒng)計局所給數據，以5歲為間距對女性分組，這樣0至99歲就分了20個組。從附錄(1)中可以的得到每組的生育率b1、b2、b3.b20，通過每組的死亡率di計算存活率s1、s2、s3.s19.即si=1-di。 得到每組女性的生育率與死亡率后，就可以得到Leslie矩陣。在用2000年的數據構建

16、初始矩陣n(2000)見附錄1由即可算出2060年總人數，以及人口結構分布。得n(2060)=15825603，19204454，23651667，26693155，27002566，27479799，32050907，41839312，53174783，55446271，50946852，52921417，62909605，96557588，117806898，95063083，83511245，92788697，85706791，5642784其中65歲以上的為老年人，則老年人比例為：38.8% 由該比例可知2060年人口老齡化將會格外嚴峻。2、 問題二關于單獨二胎影響，將先建立模型猜測出

17、江蘇人口變化，人口結構，在建立模型來評估人口變化對江蘇教育，住宅的影響。按年齡分布的Leslie改進模型。（1）人口猜測1模型預備與Leslie模型主體部分相同，不在贅述，引入參數（K），來說明單獨二胎政策與完全二胎政策帶來的生育率變化。定義，通過（k）來體現(xiàn)單獨二胎政策。2. 模型建立 因2014年未有可信的數據，故以最近的一次人口普查數據為準，依據國家統(tǒng)計局網站第六次人口普查2010年數據，以該年為初始年份對以后各年女性總數及總人口數進行猜測，仍以5年為間距對女性分組，將其分為20組，從附錄2中得到每組生育率b1,b2,b3.b19,計算出每組存活率s1,s2,s3.s19。其中，以15至

18、49周歲為女性的育齡，故i=4，到第10組為止，通過把握（k）的值，來調控人口數量，實現(xiàn)單獨二胎模型的建立。假設嚴格執(zhí)行生育政策，獨立二胎開放時，全部家庭均滿足生二胎的條件，則（k)的值較之前嚴格一胎制應翻倍。即b4,b5.b10均翻倍。這樣持續(xù)15年，在該生育率下計算完前3組人口，即得到2015,2020,2025年的人口后，（k）的值便會發(fā)生轉變。由于開放二胎后的第一代進入育齡期，而這批后代不再是獨生子女，即只能生一個。這也是在嚴格執(zhí)行政策下得出的。則可得，同理可得下一個5年 依次類推，可得出（2040），（2045）、（2050）、（2055）、（2060）的值，可發(fā)覺2060年又回到了

19、嚴格執(zhí)行一胎制時的狀況。接著2065年又會與2030年相同，如此循環(huán)。運用matlab程序，代入2010年數據，這樣得到從2015年至2060的人口變化以及人口結構分布，見附錄2。以下為江蘇依照該模型，執(zhí)行嚴格二胎后的人數變化曲線。具體數據（見附錄） 由圖像和數據可知，執(zhí)行二胎在2010至2020后人口數增長明顯，從2020年至2040增長緩慢，到2040年達到峰值，在從2040年開頭下降。分析認為是單獨二胎政策帶來了人口增長率的削減，從2060后人口增長率變?yōu)榱?010年的初始狀態(tài)。 由圖像與數據可知，單獨二胎后，幼年期比例先增大后削減，中青年比例持續(xù)削減，老齡人比例持續(xù)上升，說明江蘇省在單

20、獨二胎的狀況下老齡化程度會持續(xù)加深。而其他年齡層人數比例持續(xù)削減。（2）對江蘇經濟的影響經濟增長源于多種因素，少兒撫養(yǎng)比例下降，總人口中適齡勞動人口比重上升，而老年人口比例達到較高水平之前形成的一個勞動力資源相對豐富的時期。，依據人口紅利的定義，就通過用江蘇省勞動人口占總人口比例的變化表示人口紅利的變化，確定人口紅利的變化趨勢。由以上猜測，得出江蘇省人口紅利變化圖： 由上圖可知人口紅利呈下降趨勢，在50年后穩(wěn)定，勢必會對江蘇經濟帶來負面影響。（3）對關于教育住宅的影響評估1.模型預備本文認為人口對社會資源的影響主要靠人均水平來衡量，同時人均水平會有一個標準值來衡量是否處于合適范圍。基于上述思考

21、建立平均值模型。設總資源為（），人均量為（），人數為（），標準為，其中定義為該資源的影響度。通過值來反映人口對該社會資源的影響。2.模型建立 通過查閱資料，分別從教育網上查到2003年至2007年各階段教育的在校人數，求出平均值，即假設江蘇省教育資源穩(wěn)定在這一水平。在用該平均值比上2010年的對應人口（見附錄3），設該比值為k0，定義ki為教育資源平均占有率。同樣用猜測出的數據計算其他年份的K值，比上k0，設比值為，定義為教育影響度。比較與1的大小，若小于1則說明二胎使該教育資源相對緊急，大于1說明教育資源相對富有。其中我們將江蘇教育資源劃分為學前教育，義務教育，中等教育，高等教育，對應的年齡

22、段分別為0至4歲、5至14歲、15至19歲、20至30歲。.然后使用matlab進行矩陣運算，分別計算出2015年、2020年、2025年、2030年直至2060年各教育階段的m值，m值表見附錄，并畫出四條值曲線。 由上圖可以看出執(zhí)行二胎后，高等教育，中等教育在2010年至2025年n值上升且大于1，在25年達到峰值。則說明中高等教育資源相對較富有，對該階段教育資源壓力持續(xù)削減。而義務教育與學前教育n值下降且小于1，在25年達到最低值。則該兩個階段資源相對緊急，對該階段教育資源的壓力持續(xù)增大，在25那年達到最大。從2025年起，高等教育與中等教育n值下降，分別在35年與40年達到最低值，在上升

23、。義務教育與學前教育持續(xù)上升，雖然其中稍有波動。這些變化均來自人口結構的轉變，人口峰值流淌的影響。關于住宅也用相同的方法引入人均住宅面積，住房影響度n，n=人均住宅面積，其中人為小康水平，值越大則說明住房需求相對富有，越小則相對緊急。通過查找資料，得到江蘇2004年至2011年住宅總面積（附錄），依據這幾組數據，擬合出住宅面積變化的曲線，并對之后住房面積進行猜測，再用該面積比上對應年分的人數，即得那一年的人均住宅面積。用相同方法計算出歷年的值，如n值表見附錄，并作出值曲線。問題評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？假如有必要完全放開二胎政策，請猜測何時放開二胎政策比較合適。，先假設沒有完全

24、放開的必要，即執(zhí)行單獨二胎政策，猜測將來年后人口變化，人口老齡化，人口紅利，以及撫養(yǎng)比的狀況，通過評估，與標準相比較，看是否需要完全放開二胎。若需要，則在完全放開二胎的狀況下，選擇不同時間放開，在進行評估比較，得出在何年放開比較合適。、 模型預備與問題二接受相同模型，即改進模型，故此處省略。、 模型建立單獨二胎政策接受與問題相同的方法進行建模，以年為初始年份，對之后年人口進行猜測，以年為一個年齡段，共分組，從附錄中得到每組的生育率、.。每組死亡率、其中，以15至49周歲為女性的育齡，故i=4，到第10組為止，通過把握（k）的值，來調控人口數量，實現(xiàn)單獨二胎模型的建立。（）的值的確定與問題相同，

25、不在贅述猜測出從年至年全國人口變化及人口結構變化，在計算勞動人口比例，老齡化人口所占百分比，撫養(yǎng)比，各值見附錄，同時做出各比例曲線圖。為了更能說明狀況，本文也猜測出了在完全二胎政策下，老齡化人口所占百分比，勞動人口比例變化，撫養(yǎng)比變化，照舊以2010年為初始年份，按上述過程建立Leslie矩陣，由于完全開放二胎，假定滿足條件的夫妻都會生二胎，則認為生育率會翻倍，即（t）變?yōu)?倍，即b1、b2、b3.b20變?yōu)?倍。下面將所得各個數據放在一起進行比較。上圖為總人口變化圖線，可以看出到前25年兩組總人口均增大，2025年單獨二胎達到最大值，然后下降。2030年完全二胎下總人口數達到最大值，然后開頭下降。單獨二胎