高中階段開展數(shù)學研究性學習活動的幾種途徑

1、高中階段開展數(shù)學研究性學習活動的幾種途徑廣東北江中學數(shù)學組 蔡自力作者姓名: 蔡自力性 別: 男年 齡: 43職 務(wù): 廣東北江中學教科室副主任職 稱: 中學數(shù)學高級教師工作單位: 廣東北江中學通訊地址: 廣東北江中學郵政編碼: 512026電子信箱: 內(nèi)容提要:新一輪的高中課程計劃中,研究性學習處于很重要的地位.但在實施過程中往往因為無現(xiàn)成的教材,選題不當?shù)仍驅(qū)е鲁晒伙@著,甚至難以結(jié)題. 如何在高中階段開展數(shù)學研究性學習活動?本文結(jié)合我校開展高中研究性學習的實際,通過幾個案例,談?wù)勛约旱捏w會.高中階段開展數(shù)學研究性學習活動的幾種途徑廣東北江中學數(shù)學組 蔡自力在新一輪的高中課程計劃中,研究

2、性學習處于很重要的地位.但在實施過程中往往因為無現(xiàn)成的教材,選題不當?shù)仍驅(qū)е鲁晒伙@著,甚至難以結(jié)題. 如何在高中階段開展數(shù)學研究性學習活動?本文結(jié)合我校開展高中研究性學習的實際,分析幾個案例,談?wù)勛约旱恼J識.數(shù)學研究性學習是以學生所學的數(shù)學知識和學生的自主性、探索性學習為基礎(chǔ)，研究內(nèi)容要密切結(jié)合生活和生產(chǎn)實際，即從生活中選擇和確定專題，建立數(shù)學模型解決實際問題。數(shù)學研究性學習的特點是一種開放性、參與式、合作型的教學模式，它不僅僅局限于一間課室和一間學校，也不局限于一門學科或幾本書。學生必須走出課室，走出校園，融入自然和社會中去，用自己的眼睛從不同的角度去認識自然，了解社會，用自己的頭腦去分

3、析，去鑒別，并形成自己的觀點和認識。高中數(shù)學研究性學習可以嘗試從以下四個方面開展活動:(一)將研究性學習與數(shù)學建模結(jié)合起來,培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決社會生活實際問題的能力。 我們在每一年高一年級的研究性學習活動中指導(dǎo)學生，關(guān)注社會熱點問題和身邊的數(shù)學和進行選題，然后根據(jù)所學數(shù)學知識，建立數(shù)學模型解決問題。如A小組的等比數(shù)列和分期付款；B小組的目前韶關(guān)市居民購樓方案的探討，C小組的韶關(guān)市區(qū)西河橋頭交通堵塞的問題解決方案；這些問題都是市民關(guān)注的社會問題，這些小組分別用數(shù)列，概率統(tǒng)計和線性規(guī)劃等知識獲得解決，并且將研究成果與有關(guān)部門進行了匯報建議，有的研究成果與有關(guān)部門的規(guī)劃實施不約而同，取得了良好的

4、社會效益。例如：在韶關(guān)市區(qū)西河橋頭交通堵塞的問題解決方案的研究報告中提出：撤除西河橋西側(cè)的轉(zhuǎn)盤，同時西河橋東側(cè)和平街、風采路實行車輛單行等，現(xiàn)在均已變?yōu)榱爽F(xiàn)實。案例1: A小組關(guān)于目前韶關(guān)市居民購樓方案的探討的研究韶關(guān)市購房群體的背景材料:(1)購房前的考慮:為了讓我們所購的房產(chǎn)物有所值，在作出具體的投資決策前，一定要制訂詳細的購房預(yù)算，根據(jù)您的經(jīng)濟能力、住房要求，結(jié)合當時房地產(chǎn)市場的行情，估算出實際購買能力，最終確定房價。買房要根據(jù)需要和支付能力綜合考慮，先買支付得起的樓宇，再買喜歡的樓宇.1、目前家庭資產(chǎn)總值 資產(chǎn)總值現(xiàn)金銀行存款變現(xiàn)能力較強的股票債券住房公積金其它 您還有一些不動產(chǎn)、家具

5、、收藏、首飾等等，也計算一下他們的價值，在還款期中，一旦出現(xiàn)生病、失業(yè)等不可預(yù)見的風險時，也可以從容面對。2、家庭可動用資金額（每月） 家庭收入工資銀行存款利息債券利息其它固定收入家庭支出飲食穿著物業(yè)管理水電煤氣電話交通娛樂教育醫(yī)療其它可動用資金額家庭收入家庭支出根據(jù)以上的計算則可以對自己的經(jīng)濟能力進行評價,可以大約知道自己每月可用于供樓的數(shù)額.對于高收入的家庭，可以根據(jù)自己的情況適當增加月還款額，從而減少還款期；而對于普通家庭則要量力而行，以免影響正常生活。(二)購房群體的收入調(diào)查和貸款的建議無實據(jù)根據(jù)韶關(guān)城市社會經(jīng)濟調(diào)查隊調(diào)查，2002年韶關(guān)市區(qū)居民家庭人均可支配收入為8091.48元（按

6、家庭人口數(shù)平均），而韶關(guān)市家庭人口數(shù)約為3.4，則韶關(guān)市2002年家庭可支配收入為27511.032元，每月家庭可支配收入為2292.59元。 而經(jīng)過我們的了解，在韶關(guān)市一個家庭（設(shè)為一對夫婦和一個孩子）最低消費（包括一些變數(shù)資金）為750元。除此之外，還有其他的一些必要的消費。所以以下我們討論的可購樓的家庭的每月可支配收入為1000元以上。高收入家庭：每月可支配收入為5000元以上。（例如：高校教師,通訊行業(yè)的干部，銀行經(jīng)理）這種收入水平的家庭應(yīng)采用等額本金還款法,因為其經(jīng)濟負擔能力強,供樓年限還可以縮短,減免多余的支出;若采用等額本息還款法, ，其供樓年限最好在5至11年為宜。(2)較高收

7、入的家庭：月可支配收入約為3000到5000元（多包括銀行營業(yè)員，政府部門的干部，個體經(jīng)營戶）。這類收入的家庭,可以根據(jù)自己實際的經(jīng)濟能力選擇是否采用等額本金還款,處于這一范圍的人群采用本息還款的供樓年限一般都在10年至15年左右;(3)中等收入家庭，月可支配收入為2000至3000元。這一收入的人群在全市范圍內(nèi)所占的百分比較大.處于這一種家庭有收入的成員，多為普通的公務(wù)員，普通的工薪族。家中的資金在4萬元到10萬元不等。而且一般會做一些小的投資（炒股等）因此存款在2萬元到5萬元左右。當這一類的家買房時，經(jīng)濟上比較吃緊，所選擇的房屋，大都在90至105的范圍內(nèi)。售價在10萬元至16萬不等。從表

8、中可以看出,采用這種方式這類家庭在初期很難承擔這種經(jīng)濟壓力.這類收入的家庭應(yīng)采用等額本息還款,還款年限一般在百忙之14至25年.(4) 收入較低的家庭，每月可支配收入在800元至1900元。一般處于這一收入的家庭，生活條件本就較差，很少說要買房的。家中的經(jīng)濟條件較差，若省吃儉用來供樓，則很辛苦。但是也不能排除有這樣的家庭。(可以買經(jīng)濟適用房或二手房)在這一收入范圍內(nèi)的人，為了減少每月的負擔，選擇的年限會比較長（25到30年）。該小組歷時半年收集數(shù)據(jù),然后在本人的指導(dǎo)下,利用等比數(shù)列的知識進行建模,形成的成果獲第18屆廣東省青少年科技創(chuàng)新比賽二等獎.（2）將研究性學習與初等數(shù)學研究結(jié)合起來,培養(yǎng)

9、學生數(shù)學研究的能力。我們在高中各年級數(shù)學提高班專題活動中開展小課題研究，通過課題作業(yè)的方式進行研究性學習，提高了學生的數(shù)學思維能力。例如D小組淺談直三角形與“直三棱錐”的聯(lián)系,F小組三分角與等邊三角形研究都來自課題作業(yè)。 （3）將研究性學習與數(shù)學課堂教學結(jié)合起來,開拓學生數(shù)學學習的視野通過用研究性學習方法研究課本知識，達到了深化知識的目的。例如G小組和H小組關(guān)于楊輝三角性質(zhì)的探究,K小組不等式證明方法探究都源于課本知識加深。案例2.G小組關(guān)于楊輝三角性質(zhì)的探究1.問題的提出:高三課本介紹了“楊輝三角”的有關(guān)知識，它是由二項式展開式的系數(shù)按一定的規(guī)律排列而成的。我們對此產(chǎn)生了濃厚的興趣。但“楊輝

10、三角”僅僅是展開式的系數(shù)的排列？它還有其它性質(zhì)嗎？2.研究結(jié)論整數(shù)性質(zhì)（注：n等于幾既是“楊輝三角”的第幾行）1、第2k1(kN+)行的各數(shù)字均為奇數(shù)。例如，第三行（32×21）的數(shù)為1,3，3,1；第七行（72×41）的數(shù)為1,7，21,35,21,7，1，它們?nèi)瞧鏀?shù)。而在不符合2k1的其余各行中，奇數(shù)、偶數(shù)則都存在。2、當n為質(zhì)數(shù)（即素數(shù)）時，該行的各數(shù)字（除去兩邊的“1”）均能被n整除。例如，在第五行中，除去兩邊的“1”后，5，10，10，5均是“5”的倍數(shù)；又如第十一行中，11，55，165，330，462，462，330，165，55，11，也都是“11”的倍數(shù)

11、。3、 認真觀察了楊輝三角后,我們還發(fā)現(xiàn)了這樣一個規(guī)律:第0行中，數(shù)字1=110,第1行中，數(shù)字11=111第2行中，數(shù)字121=112 第3行中，數(shù)字1331113那么，是否第n行的數(shù)字排列起來，就是11的n次方呢？答案是肯定的值得注意的是，凡大于10的數(shù),必須逢10進1 （三）、隱含的組合數(shù)恒等式1、在“楊輝三角”中，每行兩邊的數(shù)字均為“1”，而且除“1”外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和。例如，第三行的前兩個數(shù)1 和3相加得到第四行的第二個數(shù)4。事實上，假設(shè)表中任意一不為“1”的數(shù)為，那么它肩上的兩個數(shù)分別為及，則有這就是組合數(shù)的性質(zhì)2。2、在“楊輝三角”中每行數(shù)字之和等于2n。如第四行

12、各數(shù)字之和為146411624；第六行各數(shù)字之和為16152015616426。我們可以證明這一性質(zhì)：給二項式賦值，令x=1，則也就是說，的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于。3、在“楊輝三角”中，每行奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和相等。例如在第四行中，奇數(shù)位的數(shù)有1，6，1，偶數(shù)位的數(shù)有4，4，相加后有1+6+1=4+48。寫成組合數(shù)的形式為證明如下：4、在“楊輝三角”中作左斜邊的平行線，這些平行直線上的數(shù)字依次構(gòu)成n階等差數(shù)列，設(shè)平行直線上的數(shù)字為每行的第r個數(shù)，則這些數(shù)之和為下一行的第r+1個數(shù)，即如下圖，框內(nèi)的數(shù)1，2，3，4，5的和等于小括號內(nèi)的15。11，11, 2 ,1 1，3

13、,3 ,11, 4 ,6, 4 ,11, 5, 10 ,10 ,5 ,1這個性質(zhì)可以用組合數(shù)的知識證明：（組合數(shù)性質(zhì)2） 5、我們把楊輝三角中每一行各數(shù)字的平方和相加:n=0,12=1n=1,12+12=2n=2,12+22+12=6n=3,12+32+32+12=20n=4,12+42+62+42+12=70n=5,12+52+102+102+52+12=252n=6,12+62+152+202+152+62+12=924我們發(fā)現(xiàn),第n行的平方和恰好是第2n行的確中間一項(即第2n行的最值).用數(shù)學語言可表示為:6、在楊輝三角中，每一行第一個數(shù)乘，第二個數(shù)乘，第三個數(shù)乘，第+1個數(shù)乘+1，再

14、把它們相加，會得到什么樣的結(jié)果呢？我們設(shè)Sn+1= ,即 Sn+1= 根據(jù)等差數(shù)列求和中倒序相加的方法及,得由,得即由上面的結(jié)論我們還可以得到兩個推論:(1)在楊輝三角中,每一行第一個數(shù)除以1,第二個數(shù)除以2,第三個數(shù)除以3第+1個數(shù)除以+1，結(jié)果是：事實上:故:=(2)設(shè)數(shù)列an是等差數(shù)列,則分析:Sn1是等差數(shù)列an前n+1項的和，要求等差數(shù)列前和，很自然想到運用倒序相加。證明：設(shè)又即: （四）、斐波那契數(shù)列假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就有生殖能力問從一對大兔子開始，一年后能繁殖成多少對兔子？這就產(chǎn)生斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34我們

15、發(fā)現(xiàn)，這串數(shù)字正是楊輝三角各斜線上數(shù)字的和： 在這個數(shù)列中,，則它的通項公式是：   下用特征根法進行推導(dǎo): 遞推數(shù)列對應(yīng)的特征方程是:它的兩個實根為:故可設(shè):,將分別代入得所以: 該成果獲04年韶關(guān)市中學生科技論文評比一等獎.（4）將研究性學習與信息技術(shù)結(jié)合起來，促進了信息技術(shù)與數(shù)學課程的整合，豐富了研究性學習的內(nèi)涵。M小組等差等比數(shù)列數(shù)陣的研究和推廣都是利用設(shè)計電腦程序獲得研究成果的。案例3. M小組等差等比數(shù)列數(shù)陣的研究和推廣都是利用設(shè)計電腦程序獲得研究成果的。問題的提出學習完等差、等比數(shù)列后，我們試著將一些等差等比數(shù)列排成一個數(shù)陣（如圖）。經(jīng)過觀察與歸納，我們發(fā)現(xiàn)了

16、一些簡單的規(guī)律。而且我們還發(fā)現(xiàn)似乎所有正整數(shù)都在數(shù)陣中，且不重復(fù)，我們的發(fā)現(xiàn)或猜想是否正確？124836122451020407142856等差、等比數(shù)列通項公式的猜測:觀察數(shù)陣：每行都是以2為公比的等比數(shù)列 ，每列都是等差數(shù)列。由此我們想求出這些數(shù)列的通項公式。為了便于研究，我們規(guī)定用i表示列，用j表示列（如右圖），而用ai，j表示第i列、第j行的數(shù)（本文中的代數(shù)如果沒有特別說明均為正整數(shù)）。j i123112423612351020由數(shù)陣可得第一列(即j=1時)為奇數(shù)從小到大的排列,故其通項公式為aj12（j1）2j1第i列的公差為2i每行都以第一列里的數(shù)為首項，以2為公比的等比數(shù)列，故第

17、j行的通項公式為ai（2j1）×2i1每列都以第一行里的數(shù)為首項，以2i為公差的等差數(shù)列故第i列的通項公式為aj2i12i×（j1）求出通項公式后我們又想求出任一個方格ai，j里的數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)其實這只要利用第j行的通項公式就可以求出ai，j（2j1）×2i1矩形對角線上的數(shù)的規(guī)律從數(shù)陣上去看這個式子，其意義為：數(shù)陣里的每一個數(shù)都等于該數(shù)所在行的第一個數(shù)與其所在列的第一個數(shù)的乘積124816361224485102040807142856112如112=7×16。這時我們又發(fā)現(xiàn)112=14×8=28×4=2×56 寫成一般式即

18、ai，j= a1+n，j× ai-n，1 0ni進行了理論上的猜測后.設(shè)計的電腦程序:附件：程序1計算數(shù)陣Program shuzheng;Var i,j,m,n :integer; a :array1.50,1.50 of integer;Begin a1,1:=1; write('Input The Lines:'); readln(m); write('Inptu The Row:'); readln(n); for i:=1 to m do begin ai+1,1:=ai,1+2; for j:=1 to n do ai,j+1:=2*ai,j; end; for i:=1 to m do begin for j:=1 to n do write(ai,j:5); writeln; end; readln;end.程序2求已知正整數(shù)對應(yīng)的點（i, j）Program shuzheng;Var i,j,a,b :integer; Begin i:=1; j:=1; write('Input a num a='); readln(a); b:=a; while