動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件GeoGebra使用教程參考模板

1、GeoGebra 使用入門數(shù)字式的坐標(biāo)平面系統(tǒng)GeoGebra 使用入門11 / 50目錄 安裝 . 3 基本概念 . 5 跨系統(tǒng)、跨平臺(tái) . 5 使用者接口. 5 輸出. 6 重要的網(wǎng)絡(luò)資源 . 7 基礎(chǔ)操作 . 81- 新點(diǎn)、交點(diǎn)、中心點(diǎn) . 82- 直線、線段、向量 . 103- 垂直線、并行線、角平分線、切線、軌跡 . 134- 多邊形、正多邊形 . 205- 圓形、扇形、圓弧 . 226- 角、斜率. 267- 對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn) . 288- 數(shù)值滑桿、文字 . 349- 對(duì)象的屬性設(shè)定 . 37 進(jìn)階操作范例 . 381- 直線方程式、函數(shù) . 382- 動(dòng)態(tài)文字處理、代數(shù)式定義處

2、理：if 語(yǔ)法的應(yīng)用 . 393- 參數(shù)曲面(Curve) . 414- 序列物件(Sequence) . 425- 自訂工具列管理 . 45 附錄：以代數(shù)式建立對(duì)象之指令速查表 . 472GeoGebra 使用入門安裝Windows 接口下的安裝請(qǐng)先到 GeoGebra 的網(wǎng)站：http:/www.GeoG/cms/( 若要閱讀中文畫面，請(qǐng)將下拉式選單切換到 Chinese。)這畫面中包含大部分的資源，如Help、中文討論區(qū)等。從WebStart畫面中進(jìn)行安裝，可以保證安裝到目前最新的版本，而下載頁(yè)面，則列出目 前最穩(wěn)定的版本。本說(shuō)明建議讀者可以WebStart方式進(jìn)行安裝，

3、點(diǎn)選啟用 GeoGebra這個(gè)連結(jié)，畫面會(huì)導(dǎo)向到WebStart頁(yè)面，步驟如下頁(yè)：GeoGebra 使用入門3按下GeoGebra WebStart按鈕后，因?yàn)?GeoGebra 是在Java環(huán)境下執(zhí)行的軟件，若您的計(jì)算機(jī)沒有安裝Java環(huán)境，則畫面會(huì)自動(dòng)導(dǎo)向到Java安 裝網(wǎng)頁(yè)，若您的計(jì)算機(jī)沒有Java環(huán)境，且瀏覽器沒有導(dǎo)向到Java安裝網(wǎng)頁(yè)， 您可以自行輸入網(wǎng)址： 詳細(xì)的安裝說(shuō)明。結(jié)束Java的安裝后，若您是以GeoGebra WebStart按鈕進(jìn)行安裝，則 會(huì)自動(dòng)進(jìn)行 GeoGebra 的安裝，若瀏覽器沒有自動(dòng)進(jìn)行安裝，則您可以考慮切換到下載頁(yè)面下載 GeoGebra 的各系統(tǒng)版本進(jìn)行

4、安裝。4GeoGebra 使用入門基本概念跨系統(tǒng)、跨平臺(tái)GeoGebra 是一個(gè)在Java虛擬機(jī)器環(huán)境上執(zhí)行的解析幾何作圖程序，可以 說(shuō)是一個(gè)數(shù)字式的平面直角坐標(biāo)系統(tǒng)。所以用 GeoGebra 做出來(lái)的動(dòng)態(tài)圖文件，可以 輕易的在不同操作系統(tǒng)，如 Windows、Linux、FreeBSD、Mac 等不同的操作系統(tǒng)上 執(zhí)行?；蚩梢栽诓煌瑘?zhí)行平臺(tái)，如 Microsoft IE、Mozilla Firefox 等不同的網(wǎng) 際網(wǎng)絡(luò)瀏覽器上，完整而無(wú)礙的執(zhí)行。使用者接口GeoGebra 使用入門5我們大概可以把 GeoGebra 這樣的動(dòng)態(tài)幾何軟件，想成一個(gè)數(shù)字式的坐標(biāo)平面作圖程序。這樣的程序里，包含了

5、兩個(gè)主要區(qū)域，即代數(shù)區(qū)、幾何區(qū)。 幾何區(qū)負(fù)責(zé)顯示對(duì)象，如點(diǎn)、線、角、函數(shù)圖形、方程式圖形、參數(shù)曲面圖形、軌跡、文字、布爾值等，可以讓使用者以直覺的方式操作與體驗(yàn)。 代數(shù)區(qū)負(fù)責(zé)列出對(duì)象的數(shù)學(xué)式型態(tài)的定義，都是一般數(shù)學(xué)課本中所熟悉的描述形式。例如點(diǎn)是以P(2,3)、直線方程式以L：2x3y5的形態(tài)將其 顯示。對(duì)于每一個(gè)對(duì)象，可以用鼠標(biāo)在幾何區(qū)的移動(dòng)功能下選取或代數(shù)區(qū)中 直接選取，之后可以按鼠標(biāo)右鍵點(diǎn)選出它的屬性窗口，進(jìn)行此對(duì)象各個(gè)屬性的調(diào) 整編輯，如名稱、定義、樣式、大小、裝飾、顯示條件、顯示型式、在幾何區(qū)的 顯示狀態(tài)等，接口簡(jiǎn)單易懂，極易操作。另外此區(qū)將對(duì)象分成自變對(duì)象、應(yīng) 變對(duì)象兩類，例如直線

6、可能就是兩個(gè)點(diǎn)的應(yīng)變對(duì)象。而不管是自變對(duì)象或應(yīng)變 對(duì)象皆可以被歸類于輔助對(duì)象，并可在菜單中設(shè)定是否在代數(shù)區(qū)中顯示出 來(lái)。對(duì)象的建立方式，可以用直覺的幾何方式或精確的代數(shù)定義方式來(lái)建立。幾 何建立方式，為先選取上方功能按鈕后，在窗口上方列右側(cè)即會(huì)出現(xiàn)其使用方式 說(shuō)明，使用者依照其規(guī)范操作即可，所以原則就是先選功能，再依規(guī)則操作。代數(shù)建立 方式則為在下方輸入列，直接以指令方 式輸入，例如建立一個(gè)點(diǎn)為 A=(3,2)，其余對(duì)象的輸入語(yǔ)法，可以查閱菜單中的說(shuō)明，或先以幾何 方式建立后，在其屬性窗口中，查閱其定義也可以，這是比較簡(jiǎn)易的方法。對(duì)于 已經(jīng)制作完成的 ggb 檔，也可以在播放按鈕區(qū)調(diào)整每個(gè)對(duì)象

7、播放的順序。輸出制作完成的檔案，將以.ggb的擴(kuò)展名儲(chǔ)存，此外也可以用圖檔、網(wǎng)頁(yè)等 形態(tài)另外匯出。或?qū)?ggb 文件直接內(nèi)嵌于動(dòng)態(tài)網(wǎng)頁(yè)中，并在網(wǎng)頁(yè)瀏覽器中直接操作。 另外 GeoGebra 也支持 LATEX 數(shù)學(xué)式標(biāo)示語(yǔ)言。6GeoGebra 使用入門基礎(chǔ)操作1. 新點(diǎn)、交點(diǎn)、中心點(diǎn)范例圖8GeoGebra 使用入門各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例新點(diǎn)點(diǎn)選新點(diǎn)，再以鼠標(biāo)點(diǎn)出位 置。A=(3,2)交點(diǎn)點(diǎn)選交點(diǎn)，再以鼠標(biāo)點(diǎn)出兩 個(gè)對(duì)象后建立。A=Intersecta, b 直線 a、b 的交點(diǎn)。中心點(diǎn)點(diǎn)選中心點(diǎn)，再以鼠標(biāo)點(diǎn)出 兩個(gè)點(diǎn)后建立，或點(diǎn)出一線段。C=MidpointA, B

8、點(diǎn) A、B 之中點(diǎn)。 C=Midpoints 線段 s 之中點(diǎn)。輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立新點(diǎn)，僅需先選擇工具按鈕中的新點(diǎn)，然后直接在 幾何顯示作圖區(qū)中之適當(dāng)位置按下鼠標(biāo)左鍵，即完成新點(diǎn)建立。若以代數(shù)式建立， 則使用一般在平面坐標(biāo)上點(diǎn)的表示法，鍵入 A=（3,2）這樣的指令，即完成一個(gè)名為 A 且坐標(biāo)為（3,2）的點(diǎn)。 以幾何操作方式建立交點(diǎn)的方式比較多元，凡是兩對(duì)象間有交點(diǎn)者，皆可以在選擇交點(diǎn)功能按鈕后，連續(xù)點(diǎn)選出二個(gè)對(duì)象來(lái)完成操作。而若以代數(shù)式建 立，原則是以 A=Intersect對(duì)象1,對(duì)象2，這樣的指令來(lái)完成。而其中的對(duì)象1、 對(duì)象2，可以是直線、圓錐曲線、函數(shù)等對(duì)象。而有些交點(diǎn)會(huì)出

9、現(xiàn)二個(gè)，系統(tǒng)會(huì)分 別以1、2在下標(biāo)標(biāo)示表示之，例如兩個(gè)相割圓的交點(diǎn)有二個(gè)，則上述指令會(huì)產(chǎn)生 兩點(diǎn) A1、A2。以幾何操作方式建立中點(diǎn)，需先選擇工具按鈕中的中心點(diǎn)后，再點(diǎn)選兩點(diǎn)或一線段對(duì)象，即完成中心點(diǎn)建立。代數(shù)式則以 M=midpoint 點(diǎn) , 點(diǎn) 或 M=midpoint線段s 這樣的指令來(lái)建立。GeoGebra 使用入門92. 直線、線段、向量范例圖10GeoGebra 使用入門各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）直線點(diǎn)選直線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出兩點(diǎn) 后建立。L=lineA,B線段點(diǎn)選線段，以鼠標(biāo)點(diǎn)出兩點(diǎn) 后建立，或點(diǎn)出起點(diǎn)，再指定長(zhǎng) 度。a=segment

10、A,B射線點(diǎn)選射線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出兩點(diǎn)。b=RayA,B起點(diǎn) A 通過(guò) B 點(diǎn)的射線。c=RayA,v起點(diǎn) A 且方向?yàn)?v 向量方向射線。向量點(diǎn)選向量，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知 兩點(diǎn)，或一點(diǎn)及一向量。u=VectorE,F從點(diǎn) E 到點(diǎn) F 的向量。a=VectorA點(diǎn) A 的位置向量(原點(diǎn)到 A 點(diǎn)的向量)輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立直線，僅需先選擇工具按鈕中的直線(過(guò)兩點(diǎn))按鈕， 然后直接在幾何顯示作圖區(qū)中之兩個(gè)適當(dāng)位置，分別按下鼠標(biāo)左鍵，即完成二個(gè) 新點(diǎn)及過(guò)此二點(diǎn)之直線?；蚩梢允髽?biāo)選取二個(gè)已知點(diǎn)后，建立通過(guò)此二點(diǎn)之直線。 而若以代數(shù)式建立，則鍵入 L=Line點(diǎn)對(duì)象1,點(diǎn)對(duì)象2 這樣的指令，即完成一個(gè)

11、 名為 L 且通過(guò)此二點(diǎn)對(duì)象之直線。GeoGebra 使用入門11以幾何操作方式建立線段，需先選擇工具按鈕中的線段(過(guò)兩點(diǎn))按鈕，其余程序與直線之建立大致相同，差別只是結(jié)果顯示為一個(gè)以兩個(gè)點(diǎn)對(duì)象為端點(diǎn) 之線段。以幾何操作方式建立射線，需先選擇工具按鈕中的射線(過(guò)兩點(diǎn))按鈕， 其余與直線之建立大致相同，差別只是結(jié)果顯示為一個(gè)以點(diǎn)對(duì)象 1 為起點(diǎn)，指向 點(diǎn)對(duì)象 2 之射線?；蛘呖梢赃x擇一個(gè)點(diǎn)對(duì)象與一個(gè)向量對(duì)象，建立出射線對(duì)象。 以幾何操作方式建立向量，需先選擇工具按鈕中的向量(過(guò)兩點(diǎn))按鈕， 其余與直線之建立大致相同，差別只是結(jié)果顯示為一個(gè)以點(diǎn)對(duì)象 1 為起點(diǎn)，指向點(diǎn)物件 2 之向量?；蛘呖梢灾贿x

12、擇一個(gè)點(diǎn)對(duì)象來(lái)建立出該點(diǎn)對(duì)象之位置向量。12GeoGebra 使用入門3. 垂直線、并行線、角平分線、切線、軌跡垂直線、并行線范例圖GeoGebra 使用入門13各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）垂直線點(diǎn)選垂直線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已 知一點(diǎn)及一直線或是一向量后建 立。L=PerpendicularC,a通過(guò)點(diǎn) C 且垂直于 a 的直線。 L=PerpendicularC,u通過(guò)點(diǎn) C 且垂直于向量 u 的直線。并行線點(diǎn)選并行線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已 知一點(diǎn)及一已知直線后建立。L=lineC,a通過(guò) C 點(diǎn)且平行于 a 直線的直線。輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立垂直線，需先

13、選擇工具按鈕中的垂直線按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，點(diǎn)選一直線及一點(diǎn)后，則建立通過(guò)此點(diǎn)且垂直于該直線之 垂線?；蚩牲c(diǎn)選一直線及一向量后，則建立通過(guò)此點(diǎn)且垂直于該向量之垂線。而 若以代數(shù)式建立，則鍵入 L=PerpendicularC,u， C 為點(diǎn)對(duì)象， u 為直線對(duì)象向 量對(duì)象，這樣的指令，即完成一個(gè)名為 L 且通過(guò) C 且垂直于u直線或向量對(duì)象之垂 線。以幾何操作方式建立并行線，需先選擇工具按鈕中的并行線按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，點(diǎn)選一直線及一點(diǎn)，建立通過(guò)此點(diǎn)且平行于該直線之平行 線。而若以代數(shù)式建立，則鍵入 L= Line點(diǎn)對(duì)象,直線對(duì)象這樣的指令，即完成 一個(gè)名為 L 且通過(guò)此

14、點(diǎn)且平行于該直線之并行線。14GeoGebra 使用入門中垂線、角平分線范例圖各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）中垂線點(diǎn)選中垂線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知 兩點(diǎn)，或一已知線段。L=LineBisectorA,B 線段 AB 的中垂線 L=LineBisectorss 線段的中垂線角平分線點(diǎn)選角平分線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已 知三點(diǎn)，或二直線。注意在點(diǎn)的選 取順序，是以有向角的觀念，以逆 時(shí)針方向順序選取之。L=AngularBisectorA,B,C以 B 為頂點(diǎn)的角 ABC 的角平分線 L=AngularBisectorg,h直線 g 和 h 的角平分線GeoGebra

15、使用入門15輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立中垂線，需先選擇工具按鈕中的中垂線按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知兩點(diǎn)，或一已知線段后，則建立通過(guò)此二點(diǎn)之線段之中垂線，或已知線段之中垂線。而若以代數(shù)式建立，則鍵 入 L=LineBisector點(diǎn)對(duì)象1,點(diǎn)對(duì)象2 或 L=LineBisector線段對(duì)象 這樣的指令， 即完成一個(gè)名為 L 且通過(guò)此二點(diǎn)或該線段之中垂線。以幾何操作方式建立角平分線，需先選擇工具按鈕中的角平分線按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知三點(diǎn)，或二直線。注意在點(diǎn)的選取順 序，是以有向角的觀念，以逆時(shí)針方向順序選取之后，則建立此三點(diǎn)所構(gòu)成角之角平分線，或二直線所構(gòu)

16、成角之角平分線。而若以代數(shù)式建立，則鍵 入 L=AngularBisector點(diǎn)對(duì)象1,點(diǎn)對(duì)象2,點(diǎn)對(duì)象3 這樣的指令，即完成一個(gè)名為L(zhǎng)且通過(guò)以此三點(diǎn)所構(gòu)成角且以點(diǎn)物件2為頂 點(diǎn)之角平分線?；?鍵 入 L=AngularBisector直線1,直線2 這樣的指令，即完成一個(gè)名為 L 且以二直線為 邊之角平分線。16GeoGebra 使用入門切線、軌跡范例圖各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）切線點(diǎn)選切線，以鼠標(biāo)點(diǎn)出一點(diǎn) 及一已知函數(shù)。(函數(shù)做法見進(jìn)階 操作范例，或參看右方代數(shù)式說(shuō) 明)f(x) 在點(diǎn) A 時(shí)的切線注意 f 為一函數(shù)，其中點(diǎn) A 的 x 坐標(biāo)

17、 值當(dāng)然必須為 f 函數(shù)之定義域中的 元素。例如，可透過(guò)下列代數(shù)式建立 一函數(shù)，及此函數(shù)上某一點(diǎn)之切線。 f(x)=3x2+1A=pointfGeoGebra 使用入門17L=tangentA,f軌跡點(diǎn)選軌跡，以鼠標(biāo)點(diǎn)出一已 知點(diǎn)，及其相關(guān)點(diǎn)各一。這個(gè)功 能在表面上，就是點(diǎn)選兩個(gè)點(diǎn)。 但是要注意的是這二個(gè)點(diǎn)的關(guān)系 為何，可詳參右方的代數(shù)式說(shuō)明。L_1=LocusB,A 依據(jù)在某對(duì)象上之一點(diǎn) A 所控制的 點(diǎn) B 的軌跡線。注意 B 應(yīng)定義為 A 的相關(guān)表達(dá)式，且 A 應(yīng)為某對(duì)象上的一點(diǎn)。例如，可透過(guò)下列一連串代數(shù)式，定 義出在 A 所在對(duì)象上方 3 單位的軌跡 圖形。f(x)=3x2+1A=p

18、ointf B=A+(0,3) L_1=locusB,A即可做出 L_1 為 f 向上平移 3 單位的拋物線圖形。輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立切線，需先選擇工具按鈕中的切線按鈕，然后在幾 何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出一點(diǎn)及一已知函數(shù)(函數(shù)做法見進(jìn)階操作范例，或參 看以下說(shuō)明)。注意 f 為一函數(shù)，其中點(diǎn) A 的 x 坐標(biāo)值當(dāng)然必須為 f 函數(shù)之定義域 中的元素。例如，可透過(guò)下列代數(shù)式建立一函 數(shù)，及在其上某一點(diǎn)之切線： f(x)=3x2+1、 A=pointf 、 L=tangentA,f 。則建立出函數(shù) f 在點(diǎn) A 之切線 L。 以幾何操作方式建立軌跡，需先選擇工具按鈕中的軌跡按鈕，然后在幾

19、何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出一已知點(diǎn)，及其相關(guān)點(diǎn)各一。這個(gè)功能在表面上， 就是點(diǎn)選兩個(gè)點(diǎn)，但是要注意的是這二個(gè)點(diǎn)的 關(guān)系為何。在代數(shù)式中下指令 L_1=LocusB,A，意指依據(jù)在某對(duì)象上之一點(diǎn) A 所控制的點(diǎn) B 的軌跡線。注意 B 應(yīng)定義為 A 的相關(guān)表達(dá)式，且 A 應(yīng)為某對(duì)象上的一點(diǎn)。例如，可透過(guò)下列一連串18GeoGebra 使用入門代數(shù)式，定義在 A 所在對(duì)象上方 3 單位的軌跡圖形， f(x)=3x2+1、 A=pointf、B=A+(0,3)、 L_1=locusB,A，可做出 L_1為 f 向上平移 3 單位的拋物線圖形（注： 像 L_1 這樣的標(biāo)記，底線后的第一個(gè)字符為下標(biāo)）。

20、4. 多邊形、正多邊形GeoGebra 使用入門19范例圖各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）多邊形點(diǎn)選多邊形，以鼠標(biāo)點(diǎn)出若 干點(diǎn)后建立。Poly1=PolygonA,B,C,. 由給定點(diǎn) A、B、C 所圍成的多邊形20GeoGebra 使用入門正多邊形點(diǎn)選正多邊形，以鼠標(biāo)點(diǎn)出兩點(diǎn)及輸入一數(shù)值 n 后建立。Poly1=PolygonA,B,n,n3包括點(diǎn) A、B 的正 n 邊形，注意用此 方法建立時(shí)，若 n 值本身又是由一滑 桿，或其它對(duì)象控制之值，則各邊及 頂點(diǎn)是以動(dòng)態(tài)出現(xiàn)的現(xiàn)象呈現(xiàn)。輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立多邊形，需先選擇工具按鈕中的多邊形或正多邊

21、形按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知或?qū)崟r(shí)新建的若干點(diǎn)，最 后再點(diǎn)選回第一個(gè)點(diǎn)之后建立。或點(diǎn)選正多邊形，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知兩點(diǎn)及輸 入一數(shù)值 n 后建立。注意此動(dòng)作其實(shí)只是建立了此多邊形之各頂點(diǎn)，然后順便建 立了依附在這些點(diǎn)上的邊及整個(gè)多邊形的物件。5. 圓形、扇形、圓弧GeoGebra 使用入門21圓形范例圖各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）圓點(diǎn)選圓()，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已 知二點(diǎn)、或已知一點(diǎn)及輸入一數(shù) 值為半徑、或點(diǎn)出已知三點(diǎn)后建 立。c=CircleM,r圓心 M 且半徑為 r 的圓。c=CircleM,s圓心 M 且半徑為 s 的長(zhǎng)度的圓，其中s

22、 為一已知線段。c=CircleM,A圓心 M 通過(guò)點(diǎn) A 的圓。 c=CircleA,B,C 通過(guò)三點(diǎn) A、B、C 的圓。22GeoGebra 使用入門輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立圓，需先選擇工具按鈕中的圓()按鈕，然后在幾 何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知二點(diǎn)或?qū)崟r(shí)新建的二點(diǎn)，或是點(diǎn)出已知三點(diǎn)及 或?qū)崟r(shí)新建的三點(diǎn)，或是點(diǎn)出已知一點(diǎn)及輸入一數(shù)值為半徑，皆可建立一圓。相 關(guān)的代數(shù)式為輸入 c=CircleM,r，則可建立圓心 M 且半徑為 r 的圓，其中 r 為一 已知數(shù)值。c=CircleM,s，可建立圓心 M 且半徑為 s 的長(zhǎng)度的圓，其中 s 為一已 知線段。c=CircleM,A，可建立圓

23、心 M 且通過(guò)點(diǎn) A 的圓。c=CircleA,B,C，則 是可建立通過(guò)三點(diǎn) A、B、C 的圓。扇形、圓弧范例圖GeoGebra 使用入門23各編輯區(qū)方法列表扇形點(diǎn)選扇形()，以鼠標(biāo)點(diǎn)出 三點(diǎn)(第一點(diǎn)為圓心)后建立，或 任意三點(diǎn)來(lái)建立一通過(guò)此三點(diǎn)的 扇形。c=CircularSectorM,A,B圓心為 M，起點(diǎn)為 A、終點(diǎn)為 B 的扇 形，注意 A、B 兩點(diǎn)點(diǎn)選的順序，是 采用逆時(shí)針方向的有向角觀念。弧點(diǎn)選圓弧()，以鼠標(biāo)點(diǎn)出 三點(diǎn)(第一點(diǎn)為圓心)后建立，或 任意三點(diǎn)來(lái)建立一通過(guò)此三點(diǎn)的 弧。c=CircularArcM,A,B圓心為 M，起點(diǎn)為 A、終點(diǎn)為 B 的圓 弧，注意 A、B 兩點(diǎn)

24、點(diǎn)選的順序，是 采用逆時(shí)針方向的有向角觀念。 c=CircumcircularArcA,B,C 依序通過(guò) A、B、C 三點(diǎn)的圓弧。輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立扇形，需先選擇工具按鈕中的扇形()按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知一點(diǎn)為圓心及圓上兩個(gè)已知點(diǎn)或新建二 點(diǎn)，又或者是直接點(diǎn)出任意三點(diǎn)，皆可以建立 一扇形。相關(guān)的代數(shù)式輸入為 c=CircularSectorM,A,B，可建立圓心為 M ，起點(diǎn)為 A ，終點(diǎn)為 B 的扇形，注意 A、B 兩點(diǎn)點(diǎn)選的順序，是采用逆時(shí)針方向的有向角觀念?；〉慕⑴c扇形的建立方式大致相同，唯需注意通過(guò)三點(diǎn) A、B、C 的圓弧， 三點(diǎn)的點(diǎn)選順序，是采用逆時(shí)

25、針方向的有向角觀念。24GeoGebra 使用入門6. 角、斜率GeoGebra 使用入門25范例圖各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）角點(diǎn)選測(cè)量角度，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已 知三點(diǎn)后建立。=AngleA,B,C以 B 為頂點(diǎn)，線段 BA 和線段 BC 為兩 邊的夾角，注意 A、C 二點(diǎn)的點(diǎn)選順 序，是采用逆時(shí)針方向的有向角觀 念。斜率點(diǎn)選斜率，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知直m=slopeL26GeoGebra 使用入門線后建立。而斜率，其雖然為一數(shù)值，但在 幾何區(qū)中會(huì)以一小直角三角形呈 現(xiàn)其意像。已知直線 L 之斜率。輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立角，需先選擇工具按鈕中的測(cè)量角度按

26、鈕，雖然其 功能名為測(cè)量角度，但其為建立一角對(duì)象。然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn) 出已知一點(diǎn)或新建一點(diǎn) A 為起始點(diǎn)，及一已知點(diǎn)或新建點(diǎn) B 為頂點(diǎn)，再點(diǎn)出已知 一點(diǎn)或新建一點(diǎn) C 為末端點(diǎn)，則可建立一角對(duì)象。注意通過(guò) A,B,C 三點(diǎn)的角，三點(diǎn)的點(diǎn)選順序，是采用 逆時(shí)針方向 的有向角觀念。相關(guān)的代數(shù)式輸入為 c=AngleA,B,C，可建立起始點(diǎn)為 A，末端點(diǎn)為 C，頂點(diǎn)為 B 的角。 以幾何操作方式計(jì)算斜率，需先選擇工具按鈕中的斜率按鈕，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知直線后建立。而斜率其雖然為一數(shù)值，但在幾何區(qū)中會(huì)以一小直角三角形 呈現(xiàn)其意像。若以代數(shù)式建立，則鍵入 m=slopeL ，因其為一數(shù)值，終

27、究不是一 個(gè)圖形，所以通常斜率數(shù)值在幾何區(qū)中建議隱藏其圖示。7. 對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)GeoGebra 使用入門27范例圖對(duì)稱各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)選點(diǎn)對(duì)稱，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知 一點(diǎn)、或已知直線或已知多邊 形，及其對(duì)稱點(diǎn)后建立出該已知 點(diǎn)、直線或多邊形的點(diǎn)對(duì)稱圖形。C=MirrorA,B以 B 為對(duì)稱點(diǎn)，做出點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) C L=Mirrorg,B以 B 為對(duì)稱中心，作直線 g 之線對(duì)稱 圖形 LP=Mirrorp,B以 B 為對(duì)稱中心，將多邊形 p 作對(duì)稱。線對(duì)稱同上，但對(duì)稱中心改為直線。同上，但對(duì)稱中心改為對(duì)稱軸。28GeoGebra

28、 使用入門輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立對(duì)稱對(duì)象，需先選擇工具按鈕中的線對(duì)稱或點(diǎn)對(duì) 稱按鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知點(diǎn)或已知直線或已知多邊 形，及其對(duì)稱軸(點(diǎn))后建立出該已知點(diǎn)、直線或多邊形的線(點(diǎn))對(duì)稱圖形。相關(guān) 的代數(shù)式輸入為，對(duì)稱對(duì)象名稱 A'=Mirror原對(duì)象A ,線對(duì)象或點(diǎn)對(duì)象，可建立 以線對(duì)象或點(diǎn)對(duì)象為對(duì)稱中心，相對(duì)于原對(duì)象的新對(duì)稱對(duì)象。平移范例圖GeoGebra 使用入門29各編輯區(qū)方法列表方法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）平移點(diǎn)選平移，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知物 件，如點(diǎn)、線、多邊形等及一向 量后建立。A'= TranslateA,v

29、以向量 v 平移點(diǎn) A a'= Translatea,v 以向量 v 平移直線 apoly'= Translatepoly,v以向量 v 平移多邊形 poly輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立平移對(duì)象，需先選擇工具按鈕中的平移按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知點(diǎn)或已知直線或已知多邊形，及其平移向 量后，建立出該已知點(diǎn)、直線或多邊形的平移圖形。相關(guān)的代數(shù)式輸入為平移后 對(duì)象名稱 A'= Translate 原對(duì)象A,向量v，可建立將原對(duì)象以向量 v 為基準(zhǔn)，所 建立的新平移后對(duì)象。30GeoGebra 使用入門旋轉(zhuǎn)范例圖GeoGebra 使用入門31各編輯區(qū)方法列表方

30、法物件幾何建立代數(shù)建立范例（建立時(shí)最好包含自訂對(duì)象名稱）旋轉(zhuǎn)點(diǎn)選旋轉(zhuǎn)，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知 對(duì)象如點(diǎn)、線、多邊形等，再 點(diǎn)選一旋轉(zhuǎn)中心，并輸入角度 建立旋轉(zhuǎn)后的對(duì)象。A'= rotateA,B以 B 為旋轉(zhuǎn)中心，將 A 旋轉(zhuǎn)角度 a'= rotatea,B以 B 為旋轉(zhuǎn)中心，將線段 a 旋轉(zhuǎn)角度 poly'= rotatepoly,B以 B 為旋轉(zhuǎn)中心，將多邊形 poly 旋轉(zhuǎn)角度 輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立旋轉(zhuǎn)對(duì)象，需先選擇工具按鈕中的旋轉(zhuǎn)按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中，以鼠標(biāo)點(diǎn)出已知點(diǎn)或已知直線或已知多邊形，及其旋轉(zhuǎn)中 心點(diǎn)，再輸入一旋轉(zhuǎn)角度后，建立出該已知點(diǎn)、直線或多邊

31、形之旋轉(zhuǎn)后的圖形。 相關(guān)的代數(shù)式輸入為，旋轉(zhuǎn)后對(duì)象名稱 A'= rotate 原對(duì)象A,旋轉(zhuǎn)角度,旋轉(zhuǎn)中 心點(diǎn) B ，可建立將原對(duì)象以旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn) B 為基準(zhǔn)，旋轉(zhuǎn)角度后，所建立之新的 旋轉(zhuǎn)后對(duì)象。注意其旋轉(zhuǎn)角度是以逆時(shí)針有向角度量的。32GeoGebra 使用入門8. 數(shù)值滑桿、文字GeoGebra 使用入門33范例圖各編輯區(qū)方法列表方法 對(duì)象幾何建立代數(shù)建立范例數(shù)值滑桿點(diǎn)選數(shù)值滑桿，設(shè) 定起始值、終值及增 量后建立。無(wú)法由代數(shù)式建立。文字點(diǎn)選插入文字，輸 入文字后建立。點(diǎn)選插入文字后會(huì)出現(xiàn)一文字編輯視 窗，在其中可運(yùn)用各式的代數(shù)對(duì)象，及以 類程序語(yǔ)法組成一文字字符串，并可選擇是 否搭

32、配 Latex 表示式來(lái)呈現(xiàn)。有關(guān) Latex 表示式可參閱教學(xué)網(wǎng)頁(yè)。網(wǎng)址為 /tex/latex123/latex123.html34GeoGebra 使用入門輸入可能的輸出結(jié)果"第一句，這是靜態(tài)文字"這是靜態(tài)文字"第二句，參用 A 點(diǎn)坐標(biāo) = " + AA 點(diǎn)坐標(biāo)= (3.05, 2.54 )"第三句，參用線段 a = " + a + " cm "線段 a = 5.87 cm1. 若全句皆沒有雙引號(hào)，則全句以純字符串視之。2. 與雙引號(hào)一起運(yùn)用時(shí)，可加入如 ifex

33、pression,"文字A","文字B"， 這樣的式子，增加其動(dòng)態(tài)顯示的效果，且字符串的連接以加號(hào)串接之。3. 在文字輸入窗口中，要使用 Latex 表示式，要點(diǎn)選 Latex 勾選框。GeoGebra 使用入門35輔助說(shuō)明以幾何操作方式建立數(shù)值滑桿對(duì)象，需先選擇工具按鈕中的數(shù)值滑桿按 鈕，然后在幾何顯示作圖區(qū)中任意位置點(diǎn)擊后，會(huì)出現(xiàn)一數(shù)值滑桿設(shè)定窗口，其 中要填入者，有起始值、終值、增量及數(shù)值角度選擇鈕。其余屬性如大小顏色等， 可隨個(gè)人喜好設(shè)定，填妥后按確定，即建立一數(shù)值滑桿對(duì)象。此對(duì)象目前無(wú)法由 代數(shù)式建立。注意數(shù)值滑桿內(nèi)之起始值、終值、增量等，皆無(wú)

34、法以變量設(shè)定，須 以明確的數(shù)字設(shè)定之。這通常是給使用者控制各項(xiàng)數(shù)值大小的工具，以便能做出 各種動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)的圖形。以幾何操作方式建立文字對(duì)象，需先選擇工具按鈕中的文字按鈕，然后 在幾何顯示作圖區(qū)中任意位置點(diǎn)擊后，會(huì)出現(xiàn)一文字編輯窗口，在其中可運(yùn)用各 式的代數(shù)式對(duì)象，及類程序語(yǔ)法組成一文字字符串，并可選擇是否搭配 Latex 表示 式來(lái)呈現(xiàn)(有關(guān) Latex 表示式請(qǐng)參閱相關(guān)教學(xué)網(wǎng)頁(yè))。注意，若全句皆沒有雙引號(hào)， 則視為純字符串。若與雙引號(hào)一起運(yùn)用時(shí)，可加入如 ifexpression,"文字A","文字B"，這樣的式子，增加其動(dòng)態(tài)顯示的效果，且字符串的連接須

35、以加號(hào)串接。 在文字輸入窗口中，要使用 Latex 表示式，記得一定要點(diǎn)選 Latex 勾選框，系統(tǒng) 才會(huì)將字符串轉(zhuǎn)譯成正確的數(shù)學(xué)式，以增加可讀性，這對(duì)閱讀者來(lái)說(shuō)，是一個(gè)很方 便的界面。36GeoGebra 使用入門9. 對(duì)象的屬性設(shè)定對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都有其相對(duì)應(yīng)的屬性。這些屬性大致包含有以下四類：1.一般：包含對(duì)象名稱、對(duì)象的代數(shù)式定義、顯示與否、名稱或數(shù)值的顯示方式、 是否設(shè)定為輔助對(duì)象等。其中名稱、代數(shù)式定義這二項(xiàng)在造出對(duì)象時(shí)，大概 就已經(jīng)被使用者所指定好。例如圓 c=circle(A,2)，其中 c 就是這個(gè)圓的名稱， circle(A,2)是這個(gè)圓 c 的定義。其余關(guān)于顯示與否、名

36、稱或數(shù)值的顯示方式、 是否設(shè)定為輔助對(duì)象等，則可隨使用者設(shè)定勾選。(如下圖一)2.顏色：顧名思義，此即為對(duì)象顏色的設(shè)定。(如下圖二)3.樣式：包含線寬等級(jí)及填色的比例設(shè)定。(如下圖三)4.進(jìn)階：通常是伴隨一個(gè)布爾變量或布爾表達(dá)式，去設(shè)定此對(duì)象要顯示與否的條 件，若此條件被設(shè)定，則在前面一般設(shè)定中顯示對(duì)象與否的勾選框便自動(dòng)失 效。另外有隨著不同對(duì)象會(huì)出現(xiàn)的不同屬性，如代數(shù)式顯示方式、數(shù)值滑桿 設(shè)定、文字字號(hào)等，使用者可逐一實(shí)驗(yàn)。(如下圖四)圖一圖二圖三圖四GeoGebra 使用入門37進(jìn)階操作范例1. 直線方程式、函數(shù)有些對(duì)象，無(wú)法由幾何編輯接口建立，這時(shí)以代數(shù)式直接在 GeoGebra 下方輸

37、 入列中建立，是一個(gè)很方便的方法。例如指定系數(shù)的直線方程式、或一些自訂函 數(shù)，如 L:2x-5y=-2，其中 L 為此直線方程式的名稱，注意以冒號(hào)區(qū)隔式子。其中 系數(shù)與代數(shù)項(xiàng) x 或 y 之間，須填入一空格，以代表不同的對(duì)象相乘，若沒有以空 格隔開，系統(tǒng)會(huì)將其錯(cuò)認(rèn)為另一代數(shù)變量對(duì)象。函數(shù)的建立，通常遵循一般常用的表示法，例 如可在代數(shù)輸入列中鍵入 f(x)=x2+3x-1，其為一個(gè)二次拋物線函數(shù)，建立完成后，系統(tǒng)便直接將此函數(shù)在 幾何區(qū)中繪出。其中為次方的連接符號(hào)，例如在本例中，x2就代表 x 的 2 次 方。38GeoGebra 使用入門2. 動(dòng)態(tài)文字處理、代數(shù)式定義處理：if 語(yǔ)法的應(yīng)用范

38、例：四邊形的種類在文字的呈現(xiàn)處理中，可以搭配一些控制語(yǔ)法如 if 敘述，來(lái)強(qiáng)化其動(dòng)態(tài)顯示 的效果，例如在上例中，除了點(diǎn) A 為唯一自由點(diǎn)以外，其余三個(gè)頂點(diǎn)分別以 z 數(shù) 值滑桿來(lái)決定四邊形的長(zhǎng)寬，用 角度數(shù)值滑桿來(lái)決定 A 點(diǎn)傾斜的角度。其定義 語(yǔ)法如下B=Ifz < 3.5, (x(A) + z cos(), y(A) + z sin(), (x(A) + 3.5 cos(), y(A) + 3.5 sin()表示點(diǎn) B 位置為距 A 點(diǎn) z 單位，且傾斜角度的上方位置。當(dāng) z 值小于 3.5 時(shí)，AB 長(zhǎng)度隨 z 值大小改變，若 z 值大于 3.5，則 AB 長(zhǎng)度停留在3.5，不隨

39、z 值大小而改變。C=Ifz < 6, (x(B) + z, y(B), (x(B) + 6, y(B)表示點(diǎn) C 位置為距 B 點(diǎn) z 單位的右方位置。當(dāng) z 值小于 6 時(shí)，BC 長(zhǎng)度隨 z 值大小改變，若 z 值大于 6，則 AB 長(zhǎng)度停留在 6， 不隨 z 值大小而改變。D=(x(A) + z, y(A)表示 D 點(diǎn)在點(diǎn) A 的右邊 z 單位遠(yuǎn)。GeoGebra 使用入門39這樣的設(shè)定，可以讓二個(gè)數(shù)值滑桿就變化出正方形、長(zhǎng)方形、菱形、梯形、平行四邊形等不同的四邊形類型。而在文字說(shuō)明的呈現(xiàn)上，若搭配 if布爾值,真 值的字符串,偽值時(shí)的字符串 的語(yǔ)法，可顯示出相對(duì)應(yīng)的四邊形類型名稱

40、。其中上圖 紅框中的語(yǔ)法為"目前這個(gè)四邊形是一個(gè) " + (If 90°, Ifz < 3.5, "正四邊形(即正方形)", Ifz > 6, "梯形", "矩形(即長(zhǎng)方形)", Ifz < 3.5, "菱形", Ifz < 6, " 平行四邊形", "梯形") + ""如此便能造出動(dòng)態(tài)的文字呈現(xiàn)效果。40GeoGebra 使用入門3. 參數(shù)曲面 (Curve)這個(gè)范例是另一個(gè)比較簡(jiǎn)單的連續(xù)參數(shù)曲面，在

41、上圖中，我們用了二個(gè)數(shù)值滑桿 r、t，及一個(gè)角度數(shù)值滑桿、分別控制這個(gè)圓的半徑，及畫出多少角度的 弧，t 滑桿則是為了突顯參數(shù)曲面的函數(shù)性格。即當(dāng)作是 L 參數(shù)區(qū)面中的定義域的 角度值，以計(jì)算出相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)象值，在本例中， A=L(t) ，會(huì)隨 t 值變化計(jì) 算出在圓上的一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)。其中紅色的參數(shù)區(qū)面(圓弧)定義為：L=Curver cos(t), r sin(t), t, 0, 表示 L 為由半徑為 r，且角度為 t 的極坐標(biāo)點(diǎn) (r,t) 所構(gòu)成的無(wú)限點(diǎn)集合。 其中 t 是由 0 到 的動(dòng)態(tài)變量值。此圖形可隨著不同的終值 ( 0 < < 2 pi ) 之變化，繪出不同大小的

42、圓弧。GeoGebra 使用入門414. 序列物件 (Sequence)范例 多邊形內(nèi)角和公式序列對(duì)象，對(duì)繪制離散形集合對(duì)象，是一個(gè)好用的代數(shù)定義方法。圖中以正 多邊形為講解范例，意圖將正多邊形內(nèi)角和公式，用內(nèi)部三角形切割方式拼湊出 來(lái)，圖中我們用了二個(gè)數(shù)值滑桿 r、n，分別去控制這個(gè)正多邊形半徑的大小，及 正多邊形的邊數(shù)。一組控制觀察角度的旋轉(zhuǎn)對(duì)象、三個(gè)序列對(duì)象：n 個(gè)頂點(diǎn)、n 條 邊、n 3條切割線，及一組靜態(tài)文字，一組動(dòng)態(tài)文字，除靜態(tài)文字較簡(jiǎn)單外，其 余對(duì)象之定義方法分別說(shuō)明如下：42GeoGebra 使用入門一、n 數(shù)值滑桿為了方便學(xué)生觀察各種多邊形的內(nèi)角切割情形，可定義一個(gè)名為 n

43、的數(shù)值滑桿，以控制多邊 形邊數(shù)。二、r 數(shù)值滑桿 為了視覺效果是否清晰與觀察單純化的考慮，我們用正多邊形為觀察對(duì)象。定義一個(gè)名為 r 之?dāng)?shù)值滑桿，控制這個(gè)正多邊形中心到頂點(diǎn)的長(zhǎng)度，亦即此正多邊形外接圓的半徑。三、一組旋轉(zhuǎn)控制對(duì)象是為了要能從各種角度觀察出此正多邊形切割后的情形，所設(shè)計(jì)的一組對(duì)象。3.1 一個(gè)基于圓心 B，半徑為 1 的應(yīng)變控制圓 c=circleB,1，其中 B 為一自變點(diǎn)對(duì)象。3.2 一個(gè)在圓 c 上，圓心 B 的 x 坐標(biāo)加一單位的觀察角度基準(zhǔn)點(diǎn)，應(yīng)變對(duì)象 CB(1,0)。3.3 在圓 c 上建立一自由點(diǎn) D=pointc。雖然他被限制在圓 c 的圓周上游移，但其值并未被限

44、 制死，仍應(yīng)視為一依附于圓 c 的自變對(duì)象。3.4 建立一個(gè)應(yīng)變角度對(duì)象 =AngleC,B,D，以 B 為頂點(diǎn)，由基準(zhǔn)點(diǎn) C 轉(zhuǎn)到 D 的有向角。四、建立此正多邊形的動(dòng)態(tài)切割圖4.1 一個(gè)自變自由點(diǎn)對(duì)象 O，當(dāng)作此正多邊形的中心。4.2 一組基于點(diǎn) O、半徑 r、觀察角度 ，所動(dòng)態(tài)產(chǎn)生的 n 個(gè)應(yīng)變頂點(diǎn)對(duì)象，可用序列集合對(duì)象， 命名為 Pset，定義為 SequenceO+(rcos(+(i-1)360°/n),r sin(+(i-1)360°/n),i,1,n 由于這部分比較復(fù)雜，說(shuō)明如下：我們希望建立的 n 數(shù)值滑桿在變動(dòng)時(shí)，頂點(diǎn)數(shù)及相關(guān)位置也會(huì)跟著變動(dòng)。例如當(dāng) n

45、變成 5，則圖形就出現(xiàn)正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)，可以讓我們藉此做出正五邊形及切割線。而這五 個(gè)頂點(diǎn)我們將它視為一個(gè)對(duì)象。如此設(shè)計(jì)，使得不管 n 值滑到多少，這 n 個(gè)頂點(diǎn)都只算是 一個(gè)對(duì)象，這樣就可以很方便的控制它。而要達(dá)成這個(gè)目的，可以使用 sequence。它包含 4 或 5 個(gè)參數(shù)，一是對(duì)象代數(shù)式 定義，二是變動(dòng)指標(biāo)，三是起始值，四是終值，五是增量，若 是第五個(gè)參數(shù)沒寫，則內(nèi)定為 1。GeoGebra 使用入門43例如：sequence(i,i+1),i,1,5，這個(gè)指令可以造出一個(gè)包含 5 個(gè)點(diǎn)的集合對(duì)象(1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)，如上頁(yè)圖中的點(diǎn)。若將第一個(gè)參數(shù)改成線段對(duì)象，則會(huì) 造出一個(gè)包含 5 條線段的集合，指令可改成 sequencesegment(i,i),(i,i+1),i,1,5， 如上頁(yè)圖中的線段。在本文中，第一個(gè)參數(shù)是點(diǎn)的代數(shù)定義式，其中 x 坐標(biāo)為 rcos(+(i-1)360°/n)，y坐標(biāo)為 r sin(+(i-1)360°/n)。將這二個(gè)式子用小括號(hào)包起來(lái)，則形成