線性代數(shù)B n行列式的性質(zhì)

1、 使用使用n n階行列式的定義階行列式的定義計(jì)算計(jì)算n n階行列式階行列式非常繁瑣。為了非常繁瑣。為了簡化簡化n n階行列式的計(jì)算，可以階行列式的計(jì)算，可以利用行列式的行或列的變換利用行列式的行或列的變換。例如，例如，如果能將行列式都能等價(jià)地轉(zhuǎn)化為三角形行列式就如果能將行列式都能等價(jià)地轉(zhuǎn)化為三角形行列式就好計(jì)算了。好計(jì)算了。 為了解決行列式的計(jì)算問題，應(yīng)先對(duì)為了解決行列式的計(jì)算問題，應(yīng)先對(duì)行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)進(jìn)進(jìn)行研究，本節(jié)將學(xué)習(xí)行列式的性質(zhì)。行研究，本節(jié)將學(xué)習(xí)行列式的性質(zhì)。課本課本1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)二、行列式的計(jì)算v性質(zhì)性質(zhì)1 行列式行列式D與它的與它的轉(zhuǎn)

2、置行列式轉(zhuǎn)置行列式DT相等相等 v行列式的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置 將行列式將行列式D的的行行變?yōu)樽優(yōu)橄嗤蛱?hào)的列相同序號(hào)的列后得到的行列式后得到的行列式,稱為稱為D的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置行列式 記為記為DT 或者或者 D a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D= = a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann 則則 DT= =即即一、一、行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)證明證明 detijDa= =記記的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置行行列列式式,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD= = ,1,2,ijjibai jn=即即按定義按定

3、義 1212121nnt p ppTppnpDbbb= 又因行列式又因行列式DD可表示為可表示為 1212121.nnt p ppppp nDaaa= 故故.TDD = =證畢證畢v性質(zhì)性質(zhì)1 行列式行列式D與它的與它的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式DT相等相等 1212121.nnt p ppppp naaa= 由此性質(zhì)可知由此性質(zhì)可知 行列式中行列式中的的行與列行與列具有同等的地位具有同等的地位 行行列式的性質(zhì)凡是列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)行成立的對(duì)對(duì)列也同樣成立列也同樣成立 反之亦然反之亦然 v性質(zhì)性質(zhì)2 交換交換行列式的行列式的兩行兩行(列列) 行列式行列式改變符號(hào)改變符號(hào) 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?把

4、這兩行把這兩行(列列)互換互換 有有D=D 故故D= =0 推論推論1 如果行列式有如果行列式有兩行兩行(列列)完全相同完全相同 則此行列式則此行列式等于等于零零 v性質(zhì)性質(zhì)3 用用數(shù)數(shù)k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用數(shù)數(shù)k乘此行列式乘此行列式 即即證明證明 因?yàn)樾辛惺揭驗(yàn)樾辛惺?的一般項(xiàng)為的一般項(xiàng)為 證畢。證畢。v性質(zhì)性質(zhì)3 用用數(shù)數(shù)k乘乘行列式的行列式的某一行某一行(列列)中中所有的元素所有的元素,等于用等于用數(shù)數(shù)k乘此行列式。乘此行列式。1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 推論推論2 行列式中某一行行列式中某一行(列列)的所有元素的的所有元

5、素的公因子公因子可可以以提提到行列到行列式符號(hào)的外面式符號(hào)的外面 例如：例如：12121144 28(2 1)84161412=1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)注：第注：第i行（列）乘以數(shù)行（列）乘以數(shù)k記為記為 .l推論推論3 行列式中有行列式中有兩行兩行(列列)元素成比例元素成比例 證明證明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211= =. 0= =則行列式等于則行列式等于零。零。1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)v性質(zhì)性質(zhì)4 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素

6、都是兩個(gè)數(shù)之和都是兩個(gè)數(shù)之和 則行列式等于兩個(gè)行列式之和則行列式等于兩個(gè)行列式之和 例如例如v性質(zhì)引申性質(zhì)引申:若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是都是n個(gè)數(shù)之和個(gè)數(shù)之和 則行列式等于則行列式等于n個(gè)行列式之和個(gè)行列式之和 注：上述結(jié)果可推廣到注：上述結(jié)果可推廣到有限個(gè)有限個(gè)數(shù)和數(shù)和的情形的情形. .njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111v性質(zhì)性質(zhì)5 把行列式的某一把行列式的某一行行(列列)的所有元素的所有元素乘以乘以數(shù)數(shù)k，然后然后加加到另一行到另一行 (列列)對(duì)應(yīng)位置的元素上去對(duì)應(yīng)位置的元素上去 行列式的值行列式的值不變不變 11111

7、12122221()()()ijjnijjjnninjnjnjaakaaaaakaaaaakaaa = = k例如例如證明思路：證明思路：由性質(zhì)由性質(zhì)4 4，右，右式可表達(dá)為兩個(gè)行列式式可表達(dá)為兩個(gè)行列式的和，其中一個(gè)行列式的和，其中一個(gè)行列式與原行列式相同，與原行列式相同，另一另一個(gè)行列式的兩列成比例個(gè)行列式的兩列成比例，根據(jù)性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)4 4的推論的推論3 3，故結(jié)論得證故結(jié)論得證. .& 行列式行列式D與它的與它的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式DT相等相等 & 某一行某一行(列列) 的的公因子公因子可提可提到行列式符號(hào)的外面到行列式符號(hào)的外面 交換交換行列式的行列式的兩行兩行(列

8、列) 行列式行列式變號(hào)變號(hào) l 行列式中有行列式中有兩行兩行(列列)完全相同完全相同 則此行列式則此行列式等于等于零零 &數(shù)數(shù)k乘乘 行列式行列式 等于等于數(shù)數(shù)k乘乘此行列式的此行列式的某一行某一行(列列) l 行列式中有行列式中有兩行兩行(列列)元素成比例元素成比例 則行列式則行列式等于等于零零.& 若行列式的若行列式的某一行某一行(列列)的元素的元素都是兩個(gè)數(shù)之和都是兩個(gè)數(shù)之和 則行列式等于兩個(gè)行列式之和則行列式等于兩個(gè)行列式之和 & 把行列式的某一行把行列式的某一行(列列)的的倍數(shù)倍數(shù)，加加到另一行到另一行 (列列)對(duì)對(duì)應(yīng)的元素上去應(yīng)的元素上去 行列式行列式不變不

9、變 行列式性質(zhì)歸納行列式性質(zhì)歸納 在計(jì)算行列式時(shí)在計(jì)算行列式時(shí), 可以使用如下記號(hào)以便檢查可以使用如下記號(hào)以便檢查:v符號(hào)規(guī)定符號(hào)規(guī)定 第第i行行(或列或列)提出公因子提出公因子k 記作記作ri k(或或ci k) 交換交換i j兩行兩行,記作記作rirj ; 交換交換i j兩列兩列,記作記作 cicj 第第 j 行行(列列)的的 k 倍加到第倍加到第 i 行行(列列)上上 記作記作ri krj (ci kcj) 第第i行行(或列或列)乘以數(shù)乘以數(shù)k 記作記作rik(或或cik) 最后改變的是最后改變的是第第 i i 行行( (列列) )行行: : row 列列: : column1 .3 行

10、列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法： 前面前面已經(jīng)介紹過已經(jīng)介紹過三角形行列式三角形行列式的計(jì)算方法，的計(jì)算方法，如果如果利用利用行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)把把行列式行列式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為三角等價(jià)地轉(zhuǎn)化為三角形行列式形行列式可以簡化計(jì)算可以簡化計(jì)算111212221122000nnnnnnaaaaaa aaa= = 二、行列式的計(jì)算二、行列式的計(jì)算1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)= = 2 1 4 3 1 1 3 3 1 3 2 1= 1 3 2 1 0 16 7 2= 0 1 2 3 1 2 1 1 0 0 10 8= 0 1 2 3 1 2 1 1 0 2 1 1 1

11、 1 0 5 =D 3 1 2 1 5 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 例例2 計(jì)算計(jì)算 解解 =D 3 1 2 1 5 1 4 3 2 0 1 1 1 5 3 3 3 5 2 1= c1c2 r2 r1r4 5r1 0 0 816 6 4 0 2 1 1 7 2 0 8 6 4= r2r3 0 0 10 8 0 015 10 r3 4r2r4 8r2 0 05/2 03445rr = =40 方法：方法：化三角形化三角形行列式行列式11121222000nnnnaaaaaa 例例3 計(jì)算計(jì)算 特點(diǎn)特點(diǎn)： 行和是定值行和是定值 或或 列和是定值列和是定值 解解 例例 計(jì)算計(jì)算 n

12、階行列式階行列式.abbbbabbDbbabbbba= =解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 = =D將第將第2,3, ,n 列都加到第列都加到第1 1列得列得仿照例仿照例3的特點(diǎn)的特點(diǎn)： 行和是定值行和是定值或或列和是定值列和是定值(1)000000000anbbbba ba ba b = = .)() 1(1 = =nbabna 1111anbbbbanbabbanbbabanbbba = = 第第2 2行至行至n n行每行行每行都減去第都減去第1 1行行abbbbabbbbabbbbaD= =方法總結(jié)：方法總結(jié)： 行和為定值行和為定值，各列加到第一列上；，各列

13、加到第一列上； 列和為定值列和為定值，各行加到第一行上，各行加到第一行上1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 例例4 計(jì)算計(jì)算D= 1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)解：解：根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可將第根據(jù)行列式的特點(diǎn)，可將第1 1列加至第列加至第2 2列，然后將第列，然后將第2 2列加列加至第至第3 3列，再將第列，再將第3 3列加至第列加至第4 4列，列，目的是使目的是使D D中的零元素增多中的零元素增多. .1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì) 例例5 計(jì)算計(jì)算 dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD=3610363234232= Dr2 r1r3 r1r4 r1

14、a bcd0 aa ba b c0 2a3a 2b4a 3b 2c0 3a 6a 3b10a 6b 3ca bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 03a7a 3b= r3 2r2r4 3r2a bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 00 a= r4 3r3= =a4 = Dr4 r3r3 r2r2 r1a bcd0 aa ba b c0 a 2a b 3a 2b c0 a 3a b 6a 3b ca bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 0a3a b= r4 r3r3 r2a bcd0 a a b a b c0 0a2a b0 00 a= r4 r3=

15、 =a4 解：解：法一法一法二法二1 .3 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)例例6 解方程解方程解：解： 從第二行開始每一行都減去第一行得從第二行開始每一行都減去第一行得由于由于所以解得方程的所以解得方程的n-1n-1個(gè)根為：個(gè)根為： 對(duì)對(duì)D1作運(yùn)算作運(yùn)算ri krj 把把D1化為化為下三角形行列式下三角形行列式 設(shè)為設(shè)為 證證 nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD =1111111111110000 kkkkaaaaD =11111nnnnbbbbD =11112 例例 證明證明D= =D1 D2 其中其中 對(duì)對(duì)D2作運(yùn)算作運(yùn)算ci kcj 把把D2化為化為下三角形行列式下三角形行列式 設(shè)為設(shè)為 kkkkkpppppD = = 0111111 nnnnnqqqqqD = = 0111112 于是于是 對(duì)對(duì)D的前的前k行作運(yùn)算行作運(yùn)算ri krj 再對(duì)后再對(duì)后n列作運(yùn)算列作運(yùn)算ci kcj 把把D化為下三角形行列式化為下三角形行列式 nnnnknkkkkqqqccccpppD =11111111110000 00 故故D= =p11 pkk q11 qnn= =D1 D2 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)共共8 8條條( (行列式中行列式中行與列具有同等的地位行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立凡是對(duì)行