第二章線性時(shí)不變系統(tǒng)

1、1本章內(nèi)容：本章內(nèi)容： 信號(hào)的時(shí)域分解信號(hào)的時(shí)域分解用用 表示離散時(shí)表示離散時(shí) 間信號(hào)；用間信號(hào)；用 表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)；表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)； LTILTI系統(tǒng)的時(shí)域分析系統(tǒng)的時(shí)域分析卷積運(yùn)算；卷積運(yùn)算； LTILTI系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示；系統(tǒng)的微分方程及差分方程表示； LTILTI系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示；系統(tǒng)的框圖結(jié)構(gòu)表示；)(t n第二章第二章 線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)2 由于由于LTILTI系統(tǒng)滿足系統(tǒng)滿足齊次性齊次性和和可加性可加性，并且具有，并且具有時(shí)時(shí)不變性不變性的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的的特點(diǎn)，因而為建立信號(hào)與系統(tǒng)分析的理論與方法奠定了基礎(chǔ)。理論與方法奠定了基礎(chǔ)。 基

2、本思想：基本思想：如果能夠把任意的輸入信號(hào)都分解如果能夠把任意的輸入信號(hào)都分解成基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到成基本信號(hào)的線性組合，那么只要得到LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)對(duì)對(duì)基本信號(hào)基本信號(hào)的響應(yīng)，就可以利用的響應(yīng)，就可以利用系統(tǒng)的線性特系統(tǒng)的線性特性性，將系統(tǒng)的輸出響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)，將系統(tǒng)的輸出響應(yīng)表示成系統(tǒng)對(duì)基本信號(hào)的響應(yīng)的線性組合。的響應(yīng)的線性組合。(Introduction)(Introduction)3問題的實(shí)質(zhì)：?jiǎn)栴}的實(shí)質(zhì)：1 1 研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為研究信號(hào)的分解：即以什么樣的信號(hào)作為 構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基本構(gòu)成任意信號(hào)的基本信號(hào)單元，如何用基

3、本 信號(hào)單元的線性組合來構(gòu)成任意信號(hào)；信號(hào)單元的線性組合來構(gòu)成任意信號(hào)； 2 2 如何得到如何得到LTILTI系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。系統(tǒng)對(duì)基本單元信號(hào)的響應(yīng)。 作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求：作為基本單元的信號(hào)應(yīng)滿足以下要求： 盡可能簡(jiǎn)單，并且用它的線性組合能夠表示盡可能簡(jiǎn)單，并且用它的線性組合能夠表示 （構(gòu)成）盡可能廣泛的其他信號(hào)；（構(gòu)成）盡可能廣泛的其他信號(hào)； 2 LTI2 LTI系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求的。系統(tǒng)對(duì)這種信號(hào)的響應(yīng)易于求的。如果解決了信號(hào)分解問題，即如果解決了信號(hào)分解問題，即 若若( )( )iiix ta x t( )( )iix ty t則則( )( )iiiy

4、ta y t4對(duì)信號(hào)分解可在時(shí)域進(jìn)行，也可在頻域或變換域?qū)π盘?hào)分解可在時(shí)域進(jìn)行，也可在頻域或變換域進(jìn)行，相應(yīng)地產(chǎn)生了對(duì)進(jìn)行，相應(yīng)地產(chǎn)生了對(duì)LTILTI系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻系統(tǒng)的時(shí)域分析法、頻域分析法和變換域分析法。域分析法和變換域分析法。分析方法分析方法：5 離散時(shí)間信號(hào)中離散時(shí)間信號(hào)中, ,最簡(jiǎn)單的是最簡(jiǎn)單的是 , ,可以由它可以由它 的線性組合構(gòu)成的線性組合構(gòu)成 ，即：，即：( )n( )u n0( )( )()nkku nknk 一一 用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)用單位脈沖表示離散時(shí)間信號(hào) 對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào)對(duì)任何離散時(shí)間信號(hào) , ,如果每次從其中取如果每次從其中取 出一個(gè)點(diǎn)，就可以將整個(gè)

5、信號(hào)拆開來，每次取出出一個(gè)點(diǎn)，就可以將整個(gè)信號(hào)拆開來，每次取出 的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單的一個(gè)點(diǎn)都可以表示為不同加權(quán)、不同位置的單 位脈沖。位脈沖。 ( )x n（Convolution sumConvolution sum） n nu nu nkn nx67 二二 卷積和卷積和（Convolution sum） 于是有于是有：表明：任何信號(hào)表明：任何信號(hào) 都可以被分解成都可以被分解成移位移位 加權(quán)加權(quán)的單位脈沖信號(hào)的單位脈沖信號(hào)的線性組合。的線性組合。( )x n( )( ) ()kx nx knkkn nx kx nx 如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)如果一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)是的響應(yīng)

6、是 ， 由線性特性就有系統(tǒng)對(duì)任何輸入由線性特性就有系統(tǒng)對(duì)任何輸入 的響應(yīng)為：的響應(yīng)為：()n k( )kh n( )x n若系統(tǒng)具有時(shí)不變性，即若系統(tǒng)具有時(shí)不變性，即：( )( )nh n若若 ，則則:()()nkh nkkn nhk nx nhkxnykk nkn nhknh knhkxnyk8910因此，只要得到了因此，只要得到了LTILTI系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)的響應(yīng)( )n( )h n單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)(impulse response)(impulse response)，就可以得到就可以得到LTILTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)任何輸入信號(hào) 的的 響應(yīng)：響應(yīng)：( )x n這表明，

7、一個(gè)這表明，一個(gè)LTILTI系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖 響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為響應(yīng)來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為 卷積和（卷積和（The convolution sumThe convolution sum）。 n nh nhnxknhkxnyk* nx舉例舉例(下頁下頁)11解：解：12三三 卷積和的計(jì)算卷積和的計(jì)算計(jì)算方法計(jì)算方法：有圖解法、解析法（包括數(shù)值解法）有圖解法、解析法（包括數(shù)值解法）圖解法的運(yùn)算過程圖解法的運(yùn)算過程：（：（反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn), ,平移平移, ,相乘相乘, ,求和求和）1.1.以以 作為自變量作為自變量, ,畫出畫出 和

8、和 的信號(hào)波形的信號(hào)波形. .為了確為了確定定 , ,先將先將 相對(duì)于相對(duì)于 反轉(zhuǎn)得到反轉(zhuǎn)得到 , ,然后再平然后再平移移 。2.2.從從 等于負(fù)無窮開始等于負(fù)無窮開始, ,也就是將也就是將 向時(shí)間軸左端平移。向時(shí)間軸左端平移。3.3.寫出中間信號(hào)寫出中間信號(hào) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。4.4.增加時(shí)移量增加時(shí)移量 （也就是將（也就是將 向右移動(dòng)），直到向右移動(dòng)），直到 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的 值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)束以及下一個(gè)新區(qū)間的開始。束以及下一個(gè)新區(qū)間的開始。5.5.對(duì)新區(qū)間中的對(duì)新區(qū)間中的 ，重復(fù)步驟，重復(fù)

9、步驟3 3和和4 4，直到所有時(shí)間區(qū)間被劃分，直到所有時(shí)間區(qū)間被劃分，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定，這通常意味著將數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定，這通常意味著將 增加到正無窮。增加到正無窮。6.6.在每個(gè)時(shí)間區(qū)間，將相應(yīng)的在每個(gè)時(shí)間區(qū)間，將相應(yīng)的 對(duì)對(duì) 求和，得到該區(qū)間的輸求和，得到該區(qū)間的輸出出 。nkh kxknh nykknhkxkgknh kh0knkhnknhkgnnkgnkkg13例例2.4 0n6n 014kk()nkh nkknh kx104( )0nx notherwise1,06( )0nnh notherwise nx nh解：解：1401 2 3 4xn01 2 3 4 5 6hn

10、0 n-6 nhn-k n-6 n n-6 n n-6 n00. 1nynnkknanyn040. 2403.46046 n kknnny na即464.6064610 n kk nnnny na 即0yn10n:46. 5即n15 時(shí)，時(shí)，0n ( )0y n 時(shí)，時(shí)，04n00(1)11( )1111nnn knkkknnny n 時(shí)，時(shí)，46n5410411( )11n knknny n 時(shí)，時(shí)，610n4746( )1nn kk ny n 時(shí)，時(shí)，10n ( )0y n ny ny ny ny ny16 通過圖形正確確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表通過圖形正確確定反轉(zhuǎn)移位信號(hào)的區(qū)間表示，對(duì)于確

11、定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和示，對(duì)于確定卷積和計(jì)算的區(qū)段及各區(qū)段求和的上下限是很有用的。的上下限是很有用的。 17 對(duì)一般信號(hào)對(duì)一般信號(hào) ，可以分成很多，可以分成很多 寬度的區(qū)段，寬度的區(qū)段， 用一個(gè)階梯信號(hào)用一個(gè)階梯信號(hào) 近似表示近似表示 . .當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)，0( )( )d()dtu tt ( )x t一一 用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào)用沖激信號(hào)表示連續(xù)時(shí)間信號(hào) 與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間信號(hào)分解的思想相一致，連續(xù)時(shí)間 信號(hào)應(yīng)該可以分解成信號(hào)應(yīng)該可以分解成一系列移位加權(quán)的單位沖激信一系列移位加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合號(hào)的線性組合。至少單位階躍與單位沖激之間有這。至少

12、單位階躍與單位沖激之間有這種關(guān)系：種關(guān)系：( )xt0 ( )( )xtx t( )x t2.2 2.2 連續(xù)時(shí)間連續(xù)時(shí)間LTILTI系統(tǒng)：卷積積分系統(tǒng)：卷積積分18( )( ) ()dx txt 表明：表明：任何連續(xù)時(shí)間信號(hào)任何連續(xù)時(shí)間信號(hào) 都可以被分解為移位都可以被分解為移位 加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。加權(quán)的單位沖激信號(hào)的線性組合。 ( )x t于是：于是：19與離散時(shí)間系統(tǒng)的分析類似，如果一個(gè)與離散時(shí)間系統(tǒng)的分析類似，如果一個(gè)線性系線性系統(tǒng)對(duì)統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)為的響應(yīng)為 ，則該系統(tǒng)對(duì)，則該系統(tǒng)對(duì) 的響應(yīng)可表示為：的響應(yīng)可表示為： 若系統(tǒng)是若系統(tǒng)是時(shí)不變時(shí)不變的，即：的，即： 若若 ，則，則

13、 于是系統(tǒng)對(duì)任意輸入于是系統(tǒng)對(duì)任意輸入 的響應(yīng)可表示為：的響應(yīng)可表示為： ()t( )h t( )x t( )( )( )dy txh t( )( )th t()()th t( )x t表明，表明，LTILTI系統(tǒng)可以完全由它的系統(tǒng)可以完全由它的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng) 來來表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為表征。這種求得系統(tǒng)響應(yīng)的運(yùn)算關(guān)系稱為 卷積積分（卷積積分（The convolution integralThe convolution integral）。二二 卷積積分（卷積積分（The convolution integral）( )( ) ()d( )( )y txh tx th

14、 t( )h t20三三 卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算 卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也有卷積積分的計(jì)算與卷積和很類似，也有圖解法圖解法、解析法解析法和和數(shù)值解法數(shù)值解法。 運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，運(yùn)算過程的實(shí)質(zhì)也是：參與卷積的兩個(gè)信號(hào)中，一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量一個(gè)不動(dòng)，另一個(gè)反轉(zhuǎn)后隨參變量 移動(dòng)。對(duì)移動(dòng)。對(duì) 每每一個(gè)一個(gè) 的值，的值， 將將 和和 對(duì)應(yīng)相乘，再對(duì)應(yīng)相乘，再計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。計(jì)算相乘后曲線所包圍的面積。 通過通過圖形圖形幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很幫助確定積分區(qū)間和積分上下限是很有用的。有用的。tt( )x()h t21圖解法的運(yùn)算過程圖

15、解法的運(yùn)算過程：（：（反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn), ,平移平移, ,相乘相乘, ,求和求和）1.1.以以 作為自變量作為自變量, ,畫出畫出 和和 的信號(hào)波形的信號(hào)波形. .為了確為了確定定 , ,先將先將 相對(duì)于相對(duì)于 反轉(zhuǎn)得到反轉(zhuǎn)得到 , ,然后再平然后再平移移 。2.2.從從 等于負(fù)無窮開始等于負(fù)無窮開始, ,也就是將也就是將 向時(shí)間軸左端平移。向時(shí)間軸左端平移。3.3.寫出中間信號(hào)寫出中間信號(hào) 的數(shù)學(xué)表達(dá)式。的數(shù)學(xué)表達(dá)式。4.4.增加時(shí)移量增加時(shí)移量 （也就是將（也就是將 向右移動(dòng)），直到向右移動(dòng)），直到 的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的表達(dá)式出現(xiàn)變化。出現(xiàn)變化時(shí)所對(duì)應(yīng)的 值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間

16、的結(jié)值標(biāo)志著現(xiàn)在區(qū)間的結(jié)束以及下一個(gè)新區(qū)間的開始。束以及下一個(gè)新區(qū)間的開始。5.5.對(duì)新區(qū)間中的對(duì)新區(qū)間中的 ，重復(fù)步驟，重復(fù)步驟3 3和和4 4，直到所有時(shí)間區(qū)間被劃分，直到所有時(shí)間區(qū)間被劃分，對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定，這通常意味著將數(shù)學(xué)表達(dá)式被確定，這通常意味著將 增加到正無窮。增加到正無窮。6.6.在每個(gè)時(shí)間區(qū)間，將相應(yīng)的在每個(gè)時(shí)間區(qū)間，將相應(yīng)的 對(duì)對(duì) 從負(fù)無窮到正無窮進(jìn)行積分，從負(fù)無窮到正無窮進(jìn)行積分，得到該區(qū)間的輸出得到該區(qū)間的輸出 。)(h)(x)(th)(ty)()()(thxg)(th)(h0t)(h)(gtt)(thtt)(gt)(gt220( )( )( )( ) (

17、)de( ) ()d1ed(1 e) ( )ataaty tx th txh tuu tu ta例例2.6： ( )e( )0atx tu ta( )( )h tu t01( )xt01()u t解法一：解析法解法一：解析法解法二：圖解法解法二：圖解法23例例 2.7： 10( )0tTx totherwise 02( )0ttTh totherwise ( )( )( )( ) ()d() ( )dy tx th txh tx th02T2T( )h()x t01tTt解：解：24 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0t ( )0y t 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，0tT 201( )d2ty tt 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2TtT

18、21( )d2tt Ty tTtT 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，23TtT 2221( )d2()2Tt Ty tTtT 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，3tT( )0y t 212T232TT3T2T0t( )y t25 2.22（b）26( )( )( )( ) ()() ( )( )( )kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n一一 、卷積積分與卷積和的性質(zhì)、卷積積分與卷積和的性質(zhì)1 1 、交換律：、交換律：( )( )( )( ) ()d() ( )d( )( )y tx th txh tx thh tx t27()xt()yt()ht( )xn( )y n( )hn()ht()yt()xt

19、( )hn( )xn( )y n結(jié)論：結(jié)論：一個(gè)單位沖激響應(yīng)是一個(gè)單位沖激響應(yīng)是 的的LTILTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào) 所產(chǎn)生的響應(yīng)，所產(chǎn)生的響應(yīng)，與與一個(gè)單位沖激響應(yīng)是一個(gè)單位沖激響應(yīng)是 的的LTILTI系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào) 所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。所產(chǎn)生的響應(yīng)相同。( )h t( )x t( )h t( )x t28( )x n12( )( )h nh n12( )( ) ( )( )y nx nh nh n( )x t12( )( )h th t12( )( ) ( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n1( )( )x nh n2( )( )

20、x nh n( )y n( )x t1( )h t2( )h t( )y t結(jié)論：結(jié)論：兩個(gè)兩個(gè)LTILTI系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)并聯(lián)，其總的單位脈沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)之和。系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)之和。2 2、分配律：、分配律：12121212( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t29303 結(jié)合律結(jié)合律:12121212 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )x nh nh nx nh nh nx

21、th th tx th th t( )x t1( )h t2( )h t1( )( )x th t12( ) ( )( )( )y tx th th t( )x n1( )h n2( )h n12( ) ( )( )( )y nx nh nh n12( )( )h th t( )x t( )x n12( )( ) ( )( )y tx th th t12( )( ) ( )( )y nx nh nh n12( )( )h nh n結(jié)論：結(jié)論：兩個(gè)兩個(gè)LTILTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激脈系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，系統(tǒng)總的單位沖激脈沖響應(yīng)等于沖響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應(yīng)的卷積各子系統(tǒng)單位沖激脈沖響應(yīng)

22、的卷積。31 由于卷積滿足交換律，因此，由于卷積滿足交換律，因此，系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的先后次序次序可以可以調(diào)換調(diào)換。12211221( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t( )x n( )x n( )y n( )y n1( )h n2( )h n2( )h n1( )h n( )x t( )x t( )y t( )y t1( )h t1( )h t2( )h t2( )h t32產(chǎn)生以上結(jié)論的產(chǎn)生以上結(jié)論的前提條件：前提條件：系統(tǒng)必須是系統(tǒng)必須是LTILTI系統(tǒng)系統(tǒng)； 所有涉及到的所有

23、涉及到的卷積運(yùn)算必須收斂卷積運(yùn)算必須收斂。如如：( )x t平方平方乘乘22( )2( )y tx t( )x t乘乘2平方平方2( )4( )y tx t若交換級(jí)聯(lián)次序，即：若交換級(jí)聯(lián)次序，即：顯然是不等價(jià)的。顯然是不等價(jià)的。又如：又如：若若 ，系統(tǒng)都是，系統(tǒng)都是LTILTI系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)。當(dāng) 時(shí)，時(shí)，12( )( )(1),( )( )h nnnh nu n( )1x n 由于由于 不收斂，因而也不能交換其級(jí)聯(lián)次序。不收斂，因而也不能交換其級(jí)聯(lián)次序。( )( )x nu n( )x n1( )h n2( )h n0( )0y n 334 4、卷積還有如下性質(zhì)：、卷積還有如下性質(zhì)：卷積積分卷積

24、積分滿足微分、積分及時(shí)移特性：滿足微分、積分及時(shí)移特性： 若若 ，則，則: : 若若 ，則，則: :( )( )( )x th ty t( )( )( )( )( )( )d ( )( ) ( )d ( )d tttx th tx th ty txh tx thy( )( )( )x th ty t000()( )( )()()x tth tx th tty tt補(bǔ)充性質(zhì)：補(bǔ)充性質(zhì)：34卷積和卷積和滿足差分、求和及時(shí)移特性：滿足差分、求和及時(shí)移特性： 若若 ，則，則 若若 ，則，則 ( )( )( )x nh ny n( )( )( )x nh ny n ( )(1)( )( )(1)( )(

25、 )( ) ( )( )nnnkkkx nx nh ny ny nx kh nx nh ky k000()( )( )()()x nnh nx nh nny nn35tttdxtdxdtxtutx)()()()()()(*)()()()(:)()()(:2121tttytthttxthtxty則若)()(*)(*)();(*)(*)(*)()()()()()()(:2121212121tttytttttyttttthtxttthtttxtthttx結(jié)合率證微分器);()(*)(txttx積分器;)()(*)(tdxtutx與與 (t)(t)的卷積的卷積: :單位沖激響應(yīng)等于單位沖激響應(yīng)等于 (

26、t)(t)的系統(tǒng)是的系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)恒等系統(tǒng) 信號(hào)平移信號(hào)平移: :)()()(txttx）00()()(ttxtttx)()()(1010tttxttttx36將將 微分一次的，微分一次的，( )x t( )( )()x tttT02T2Tt( )h t( )x ttT0(1)( 1)( )( )( )( ) ( )()( )()y tx th th tttTh th tT恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化卷積的計(jì)算：恰當(dāng)?shù)乩镁矸e的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化卷積的計(jì)算：例如：例如：2.2 2.2 中的例中的例2.72.737T2TT2T( )y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t( )y t( )(

27、 )dty ty38則在任何時(shí)刻則在任何時(shí)刻 ， 都只能和都只能和 時(shí)刻的輸時(shí)刻的輸入有關(guān)，即和式中只能有入有關(guān)，即和式中只能有 時(shí)的一項(xiàng)為非時(shí)的一項(xiàng)為非零，因此必須有：零，因此必須有：二、二、LTILTI系統(tǒng)的性質(zhì)系統(tǒng)的性質(zhì)1 1、記憶性：、記憶性： LTI LTI系統(tǒng)可以系統(tǒng)可以由由它的單位沖激它的單位沖激/ /脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)來來表表征征，因而其特性（，因而其特性（記憶性記憶性、可逆性可逆性、因果性因果性、穩(wěn)穩(wěn)定性定性）都應(yīng)在其單位沖激響應(yīng)中有所體現(xiàn)。）都應(yīng)在其單位沖激響應(yīng)中有所體現(xiàn)。根據(jù)根據(jù) ，如果系統(tǒng)是，如果系統(tǒng)是無記憶無記憶的，的，( )( ) ()ky nx k h nkn( )

28、y nnkn()0,h nkkn即：即：( )0,0h nn39因此，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：因此，無記憶系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為：( )( )( )( )h nknh tkt( )( )( )( )( )( )x nh nkx nx th tkx t，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。時(shí)系統(tǒng)是恒等系統(tǒng)。1k 如果如果LTILTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)不滿足上述要求，系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)不滿足上述要求，則系統(tǒng)是則系統(tǒng)是記憶的記憶的。此時(shí)，此時(shí)，40 如果如果LTILTI系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且系統(tǒng)是可逆的，一定存在一個(gè)逆系統(tǒng)，且 該逆系統(tǒng)也是該逆系統(tǒng)也是LTILTI系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等

29、系統(tǒng)，它們級(jí)聯(lián)起來構(gòu)成一個(gè)恒等 系統(tǒng)。系統(tǒng)。( )x t( )x t( )h t( )g t因此有：因此有：( )( )( )( )( )( )h tg tth ng nn例如：例如：延時(shí)器延時(shí)器是可逆的是可逆的LTILTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 ，其逆，其逆 系統(tǒng)是系統(tǒng)是 ，顯然有：，顯然有：0( )()h ttt0( )()g ttt00( )( )()()( )h tg tttttt 累加器累加器是可逆的是可逆的LTILTI系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其 ，其逆系，其逆系 統(tǒng)是統(tǒng)是 ，顯然也有：，顯然也有：( )( )h nu n( )( )(1)g nnn( )( )( ) ( )(1)( )(1)( )

30、h ng nu nnnu nu nn2 2、可逆性：、可逆性：413 3、因果性：、因果性：由由 ，當(dāng)，當(dāng)LTILTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)是因果系統(tǒng)時(shí)，( )( ) ()ky nx k h nk在任何時(shí)刻在任何時(shí)刻 ，都只能取決于，都只能取決于 時(shí)刻及其以時(shí)刻及其以前的輸入，即和式中所有前的輸入，即和式中所有 的項(xiàng)都必須為零，的項(xiàng)都必須為零，n( )y nnkn()0,h nkkn( )0,0h nn或或?qū)B續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)， 這是這是LTILTI系統(tǒng)具有因果性的系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件充分必要條件。( )0,0h tt即：即：42( ) 0,0h nn( )0,0h tt對(duì)于

31、一個(gè)因果的離散時(shí)間對(duì)于一個(gè)因果的離散時(shí)間LTILTI系統(tǒng)，由：系統(tǒng)，由：那么其卷積和及卷積積分式：那么其卷積和及卷積積分式：43根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由根據(jù)穩(wěn)定性的定義，由 ， 若若 有界，則有界，則 若系統(tǒng)穩(wěn)定，則若系統(tǒng)穩(wěn)定，則 必有界，由必有界，由( )( ) ()ky nx k h nk( )x n()x nkA( )y n( )( ) ()( )()( )kkky nh k x nkh kx nkAh k可知，可知，( )nh n 對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)， ( )dh tt 這是這是LTILTI系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。4 4 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：例題例題2.13

32、2.13445 5、LTILTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)： 在工程實(shí)際中，也常用在工程實(shí)際中，也常用單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)來描述來描述LTILTI系統(tǒng)。系統(tǒng)。單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)單位階躍響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì) 或所產(chǎn)生的響應(yīng)?；蛩a(chǎn)生的響應(yīng)。( )u t( )u n( )( )( )( )( )( )s tu th ts nu nh nd( )( )d( )( )dts thh ts ttLTILTI系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。系統(tǒng)的特性也可以用它的單位階躍響應(yīng)來描述。 ( )( )( )( )(1)nks nh kh ns ns n45 在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系

33、統(tǒng)，其數(shù)學(xué)在工程實(shí)際中有相當(dāng)普遍的一類系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型可以用模型可以用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程或或線性常系數(shù)差分線性常系數(shù)差分方程方程來描述。分析這類來描述。分析這類LTILTI系統(tǒng)，就是要求求解系統(tǒng)，就是要求求解線線性常系數(shù)微分性常系數(shù)微分或或差分方程。差分方程。 (The causal LTI Systems described by (The causal LTI Systems described by differential and difference equation) differential and difference equation)46解：解：上上（1）

34、求特解求特解：求特解的通用方法是找一個(gè)所謂的受迫響應(yīng)，即一：求特解的通用方法是找一個(gè)所謂的受迫響應(yīng)，即一個(gè)與輸入形式相同的信號(hào)。令：個(gè)與輸入形式相同的信號(hào)。令：代入方程可得：代入方程可得：（2）求齊次解求齊次解：設(shè)：設(shè) 代入齊次方程有：代入齊次方程有：綜上，完全解為：綜上，完全解為： （A為某一常數(shù)）為某一常數(shù)） 47一一 線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程 （Linear constant-coefficient differential equationLinear constant-coefficient differential equation）00d( )d( ),ddkkNMk

35、kkkkky tx tabtt,kkab均為常數(shù) 求解該微分方程，通常是求出一個(gè)特解求解該微分方程，通常是求出一個(gè)特解 和通解和通解 ，則，則 ；特解；特解 是與輸入是與輸入 同類型的函數(shù)通解；同類型的函數(shù)通解； 是齊次方是齊次方程的解，即程的解，即 的解，的解，欲求得齊次解，欲求得齊次解，可根據(jù)齊次方程建立一個(gè)特征方程：可根據(jù)齊次方程建立一個(gè)特征方程： ( )pyt( )hy t( )( )( )phy tyty t( )pyt( )x t( )hy t0d( )0dkNkkky tat00Nkkka48求出其特征根。在特征根均為單價(jià)根時(shí)，可得出齊求出其特征根。在特征根均為單價(jià)根時(shí)，可得出齊

36、次解的形式為：次解的形式為：1( )e,kNthkky tC其中其中 是待定系數(shù)。是待定系數(shù)。kC 要確定系數(shù)要確定系數(shù) ，需要有一組條件，稱為，需要有一組條件，稱為附加附加條件條件。僅僅從確定待定系數(shù)。僅僅從確定待定系數(shù) 的角度來看，這一的角度來看，這一組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及組附加條件可以是任意的，包括附加條件的值以及給出附加條件的時(shí)刻都可以是任意的。給出附加條件的時(shí)刻都可以是任意的。 kCkC49 當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須滿當(dāng)微分方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)時(shí)，必須滿足系統(tǒng)足系統(tǒng)零輸入零輸入零輸出零輸出的特性。系統(tǒng)在沒有輸入的特性。系統(tǒng)在沒有輸入即即 時(shí)，微

37、分方程就蛻變成齊次方程，因而時(shí)，微分方程就蛻變成齊次方程，因而描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零即所有描述線性系統(tǒng)的微分方程其齊次解必須為零即所有的都為零。這就要求確定待定系數(shù)的都為零。這就要求確定待定系數(shù) 所需的一組所需的一組附加條件的值必須全部為零，即具有零附加條件，附加條件的值必須全部為零，即具有零附加條件，LCCDELCCDE才能描述線性系統(tǒng)。才能描述線性系統(tǒng)。 在這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，在這組零附加條件在信號(hào)加入的時(shí)刻給出時(shí)，LCCDELCCDE描述的系統(tǒng)不僅是描述的系統(tǒng)不僅是線性的線性的，也是，也是因果的因果的和和時(shí)時(shí)不不變變的。的。 ( )0 x t kC50

38、在信號(hào)加入時(shí)刻給出的零附加條件稱為在信號(hào)加入時(shí)刻給出的零附加條件稱為零零 初始條件。初始條件。結(jié)論：結(jié)論：LCCDELCCDE具有一組全部為零的初始條件可以描具有一組全部為零的初始條件可以描 述一個(gè)述一個(gè)LTILTI因果系統(tǒng)。這組條件是：因果系統(tǒng)。這組條件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0Nyyy如果一個(gè)因果的如果一個(gè)因果的LTILTI系統(tǒng)由系統(tǒng)由LCCDELCCDE描述（方程描述（方程 具有零初始條件），就具有零初始條件），就稱稱該系統(tǒng)初始是靜止的或最該系統(tǒng)初始是靜止的或最 初是松弛的初是松弛的。 如果如果LCCDELCCDE具有一組非零的初始條件，則可以具有一組非零的初始條件，則可以

39、證明它所描述的證明它所描述的系統(tǒng)是增量線性系統(tǒng)是增量線性的。的。P P414151二二 線性常系數(shù)差分方程（線性常系數(shù)差分方程（LCCDELCCDE）: (Linear constant-coefficient difference equation) 一般的線性常系數(shù)差分方程（一般的線性常系數(shù)差分方程（LCCDELCCDE）可表示為：）可表示為： 與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個(gè)與微分方程一樣，它的解法也可以通過求出一個(gè) 特解特解 和一個(gè)和一個(gè)通解通解，即齊次解，即齊次解 來進(jìn)行，其過來進(jìn)行，其過 程與解微分方程一樣。程與解微分方程一樣。 要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加

40、要確定齊次解中的待定常數(shù)，也需要有一組附加 條件條件. .同樣地，當(dāng)同樣地，當(dāng)LCCDELCCDE具有一組全部為零的初始條件具有一組全部為零的初始條件 時(shí)，所描述的系統(tǒng)是時(shí)，所描述的系統(tǒng)是線性線性、因果因果、時(shí)不變時(shí)不變的。的。 00()()NMkkkka y n kb x n knypnyh52 無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是無論微分方程還是差分方程，由于其特解都是與輸入信號(hào)具有與輸入信號(hào)具有相同函數(shù)形式相同函數(shù)形式的，也就是說它是完的，也就是說它是完全由輸入決定的全由輸入決定的, ,因而特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)因而特解所對(duì)應(yīng)的這一部分響應(yīng)稱為稱為受迫響應(yīng)受迫響應(yīng)或或強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響

41、應(yīng)。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分。齊次解所對(duì)應(yīng)的部分 由于與輸入信號(hào)無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的由于與輸入信號(hào)無關(guān)，也稱為系統(tǒng)的自然響應(yīng)自然響應(yīng)。 說明：說明： 增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為增量線性系統(tǒng)的響應(yīng)分為零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)和和零輸入零輸入 響應(yīng)響應(yīng)。零輸入響應(yīng)由于與輸入信號(hào)無關(guān)，因此它屬零輸入響應(yīng)由于與輸入信號(hào)無關(guān)，因此它屬 于自然響應(yīng)。于自然響應(yīng)。零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與零狀態(tài)響應(yīng)既與輸入信號(hào)有關(guān)，也與 系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有系統(tǒng)特性有關(guān)，因而它包含了受迫響應(yīng)，也包含有 一部分自然響應(yīng)。一部分自然響應(yīng)。53 線性常系數(shù)差分方程還可以采用線性常系數(shù)差分方程還可以采用迭代迭代的方法

42、求解，將的方法求解，將方程改寫為：方程改寫為：0101( )()()MNkkkky nb x nka y nka可以看出，要求出可以看出，要求出 , ,不僅要知道所有的輸入不僅要知道所有的輸入 , ,還要知道還要知道 用遞推的方法可以求得用遞推的方法可以求得 n n 0 0時(shí)所有的時(shí)所有的例如例如:y(0) 可從可從 y(-1),y(-2),y(-3)y(-N)求得求得 y(1) 可從可從 y(0), y(-1),y(-2)y(-N+1)求得求得 y(2) 可從可從 y(1), y(0), y(-1)y(-N+2)求得求得 . . .( )x n( )y n) 4(),3(),2(),1(ny

43、nynyny)(ny54 由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱由于這種差分方程可以通過遞推求解，因而稱為為遞歸方程遞歸方程（recursive equationrecursive equation）。）。1001()()()MNkkkkNy nNb x nka y nka將將(K=N的項(xiàng)提出的項(xiàng)提出) 方程改寫為方程改寫為: 用遞推的方法可以求得用遞推的方法可以求得 n 0時(shí)所有的時(shí)所有的y(n)例如例如:y(-1) 可從可從 y(0),y(1),y(2)y(N-1)求得求得 y(-2) 可從可從 y(-1), y(0),y(1)y(N-2)求得求得 y(-3) 可從可從 y(-2), y

44、(-1), y(0)y(N-3)求得求得 . . .舉例舉例2.15551)()(2) 1(Nnxnyny)1 () 1 (21)2()0() 1 (21) 1 ()1()0(21)0()(0)1()(21)(yxyyxyyxynynnynxny的求出)2(2)2()3()1(2) 1()2()0(2)0() 1()(0)(2)() 1(yxyyxyyxynynnynxny的求出) )()(1)(010NkNkkkknyaknxbany) )()(1)(010NkNkkkNknyaknxbaNny總結(jié)：總結(jié)：差分方程的遞推迭代解法差分方程的遞推迭代解法補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題56當(dāng)當(dāng) ，差分方程變?yōu)椋?/p>

45、，差分方程變?yōu)椋?此時(shí)此時(shí), ,求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為求解方程不再需要迭代運(yùn)算，因而稱為非非 遞歸方程遞歸方程（nonrecursive equationnonrecursive equation）。顯然，此時(shí)方）。顯然，此時(shí)方 程就是一個(gè)卷積和的形式，相當(dāng)于程就是一個(gè)卷積和的形式，相當(dāng)于 此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)此時(shí)，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 是有限長(zhǎng)的是有限長(zhǎng)的, ,因因 而把這種方程描述的而把這種方程描述的LTILTI系統(tǒng)稱為系統(tǒng)稱為FIRFIR系統(tǒng)系統(tǒng)（Finite Finite Impulse ResponseImpulse Response）. .將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為將遞歸方程描述的系統(tǒng)稱為IIRIIR系統(tǒng)系統(tǒng)（Infinite Impulse ResponseInfinite Impulse Response）, ,此時(shí)系統(tǒng)此時(shí)系統(tǒng) 的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長(zhǎng)的序列。的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)無限長(zhǎng)的序列。 FIRFIR系統(tǒng)與系統(tǒng)與IIRIIR系統(tǒng)是離散時(shí)間系統(tǒng)是離散時(shí)間LTILTI系統(tǒng)中兩類很系統(tǒng)中兩類很重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在重要的系統(tǒng)，它們的特性、結(jié)構(gòu)以及設(shè)計(jì)方法都存在很大的差異。很大的差異。00( )()Mkkby nx nka0( ),0n