2020-2021武漢備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合題

1、2020-2021武漢備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)圓的綜合綜合題一、圓的綜合1 .如圖，已知 4ABC中，AC=BC以BC為直徑的。交AB于E,過(guò)點(diǎn)E作EG，AC于 G,交BC的延長(zhǎng)線于F.(1)求證：AE=BE(2)求證：FE是。的切線；(3)若FE=4, FC=2,求。的半徑及 CG的長(zhǎng).【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；(3) 5.【解析】(1)證明：連接CE,如圖1所示：BC是直徑，/ BEG90 ；CE!AB；又. AOBG 1- AE=BE.(2)證明：連接OE,如圖2所示： BE=AE, OB=OC, . OE是4ABC的中位線， . OE/ AC, AC=2OE=6.又EG，AC,.FE

2、I OE,，F(xiàn)E是。的切線.(3)解：.EF是。的切線，F(xiàn)E?=FC?FB.設(shè) FC=x,貝U有 2FB=16,FB=8, . BC=FB FC=82=6, . OB=OC=3,即。的半徑為 3;.OE=3.CG 2 I632 十 ,解得：CG=J .OE/. CS CG FCOEFO點(diǎn)睛：本題利用了等腰三角形三線合一定理，三角形中位線的判定，切割線定理，以及勾 股定理，還有平行線分線段成比例定理，切線的判定等知識(shí).2.如圖，AB是半圓的直徑，過(guò)圓心 。作AB的垂線，與弦 AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D,點(diǎn)E在OD 上 DCE B .(1)求證：CE是半圓的切線；2(2)右CD=!0 , tan B

3、求半圓的半徑.3【答案】（1）見(jiàn)解析；（2） 4 A【解析】 分析：（1）連接CO,由 DCE B且OC=OB導(dǎo) DCE OCB ,利用同角的余角相等判斷出/BCO+/ BCE=90,即可得出結(jié)論；（2）設(shè)AC=2x,由根據(jù)題目條件用 x分別表示出OA、AD、AB,通過(guò)證明AODACB, 列出等式即可.詳解：（1）證明：如圖，連接 CO.AB是半圓的直徑,/ ACB=90 :/ DCB=180 -Z ACB=90 :d D DCE+Z BCE=90. .OC=OB,/ OCB=Z B.DCE= B,/ OCB=Z DCE/ OCE=Z DCB=90 : OCX CE OC是半徑， .CE是半圓

4、的切線.(2)解：設(shè) AC=2x,AC 21 .在 RtACB中，tanB BC 3BC=3x.AB - 2x 2 3x 2、13x .2 .ODXAB,/ AOD=ZACB=90./ A=Z A,3 .AODAACBlAC AO13x2AD=2x+10,AB AD1 OA - AB2n 1 13X2x 2 .j3x 2x 10解得x=8.4 OA -13 8 4 ,13 . 2則半圓的半徑為4. 13.點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形3.圖1和圖2,半圓O的直徑AB=2,點(diǎn)P （不與點(diǎn)A, B重合）為半圓上一點(diǎn)，將圖形延BP折疊，分別得到點(diǎn) A,。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A； O,設(shè)

5、/ABP=a.（1）當(dāng)a =15時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作A 0/AB,如圖1,判斷A西半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.（2）如圖2,當(dāng)“一時(shí)；BA與半圓O相切.當(dāng)M“一時(shí)，。點(diǎn)。落在中”上.（3）當(dāng)線段BO與半圓。只有一個(gè)公共點(diǎn) B時(shí)，求a的取值范圍.【答案】（1）A右半圓。相切；理由見(jiàn)解析；（2）45；30；（3）0a 30。或45。j0,由(2)可知當(dāng)a增大到30。時(shí)，點(diǎn)O在半圓上，. 當(dāng)0V a 30時(shí)點(diǎn)O在半圓內(nèi)，線段 BO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B;B.當(dāng)“增大到45。時(shí)BA與半圓相切，即線段 BO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)a繼續(xù)增大時(shí)，點(diǎn) P逐漸靠近點(diǎn)B,但是點(diǎn)P, B不重合， a 90 :當(dāng)45 VB

6、0線段BO與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述 0 a30或 45 Wq90.考點(diǎn)：圓的綜合題.4.如圖，AB為。的直徑，點(diǎn)E在。上，過(guò)點(diǎn)E的切線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D,連接BE,過(guò)點(diǎn)。作BE的平行線，交。于點(diǎn)F,交切線于點(diǎn) C,連接AC(1)求證：AC是。的切線；(2)連接EF,當(dāng)/D= 。時(shí)，四邊形FOBE是菱形.【答案】(1)見(jiàn)解析；(2) 30.【分析】(1)由等角的轉(zhuǎn)換證明出OCA二OCE ,根據(jù)圓的位置關(guān)系證得 AC是。的切線.(2)根據(jù)四邊形FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得證 OBE為等邊三角形，而得出BOE 60 ,根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出答案【詳解】(1)證明：.

7、CD與。相切于點(diǎn)E,OE CD , CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA .OE=OB,OEB OBE , COE COA,X / OC=OC OA=OE OCA0 OCE(SA0 ,CAO CEO 90 ,又AB為OO的直徑，.AC為。O的切線；(2)解：二四邊形FOBE是菱形， .OF=OB=BF=EF.OE=OB=BEOBE為等邊三角形,BOE 60 ,而OE CD, D 30 .故答案為30.【點(diǎn)睛】本題主要考查與圓有關(guān)的位置關(guān)系和圓中的計(jì)算問(wèn)題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是本題的解題關(guān)Ir5.如圖，4ABC 內(nèi)接于。O,弦 ADLBC 垂足為 H, / A

8、BC= 2 Z CAD.（1）如圖1,求證：AB= BC;（2）如圖2,過(guò)點(diǎn)B作BMLCD垂足為 M, BM交。于E連接 AE、HM ,求證：AE/ HM;（3）如圖3,在（2）的條件下，連接 BD交AE于N, AE與BC交于點(diǎn)F,若NH=275 , AD= 11,求線段 AB的長(zhǎng).國(guó) 1%即）WB32）【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） AB的長(zhǎng)為10. 【解析】分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)/CAD=a,然后根據(jù)直角三角形的兩銳角互余的關(guān)系，推導(dǎo)出 /BAC=/ ACB,再根據(jù)等角對(duì)等邊得證結(jié)論；（2）延長(zhǎng)AD、BM交于點(diǎn)N,連接ED根據(jù)圓周角定理得出 ZN=ZDEN=Z BAN

9、,進(jìn)而根據(jù) 等角對(duì)等邊，得到 DE=DN,BA=BN再根據(jù)等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，求得MH / AE；（3）連接CE,根據(jù)（2）的結(jié)論，由三角形全等的判定與性質(zhì)證得HF=HQ然后結(jié)合勾股定理求出AG2-AH2=CC2-DH2,解得CD=5,CH=4,AH=g最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)得到AB.詳解：（1）證明：設(shè)/CAD=a,貝U / ABC=2a/ C=90 -a, / BAD=90 -2a,/ BAC=90-2a+a=90 -a / BAC=Z ACBJ AB=BC證明：延長(zhǎng) AD、BM交于點(diǎn)N,連接ED. / DEN=Z DAB,/ N=Z BCD/ BCD=Z BAN/ N=Z

10、DEN=Z BAN，DE=DN,BA=BN又 ; BHAN,DMENEM=NM,HN=HA,MH / AE(3)連接CE./ BDA=Z BCA,/ BDM= / BAC,由(1)知/ BCA=Z BAC/ BDA=Z BDM,. . ABDMABDH,.DH=MH,Z MBD=Z HBD,.1.BDXMH又 MH / AE,.1. BD EF. AFNBAENB,同理可證 AAFHAACH/. HF=HC又FN=NE . NH / EC,EC=2NH NH=2而，EC=4V5/ EAC=2Z AEC=2a=/ ABC可證弧 AC或 EC,.AC=EC=4.5設(shè) HD=x, AH=11-x,

11、/ ADC=2/ CAD翻折 CHD至 ACHG可證 CG=CD=AGAH=CD+DH,CD=AH-DH=11-x-x=11-2x又 AC2-AH2=CD2-DH2, (475 )2-(11-x)2=(11-2x)2-x227xi=3,x2=(舍去). CD=5,CH=4,AH=8.2又AHBHCHDHtan2a,.-. BH=6 .-.AB=, bm2 AH2、,62 8210點(diǎn)睛：此題主要考查了圓的綜合，結(jié)合圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定與性 質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，靈活添加輔助線，構(gòu)造方程求解是解題關(guān)鍵6.如圖，在 RtAAB, /ABC=90, AB=CB,以AB

12、為直徑的。交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是 AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn) E不與點(diǎn)A B重合），DE的延長(zhǎng)線交。于點(diǎn)G, DF，DG,且交BC于 點(diǎn)F.(1)求證：AE=BF；(2)連接 EF,求證：/FEB=Z GDA;分析：（1）連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出 / A與/C的度數(shù)，根據(jù)AB 為圓的直徑，利用圓周角定理得到/ADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD=- AC,進(jìn)而確定出Z A=Z FBD,再利用同角的2余角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）連接EF, BG,由

13、三角形 AED與三角形BFD全等，得到ED=FD,進(jìn)而得到三角形 DEF為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對(duì)同位角相等，利 用同位角相等兩直線平行，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和同弧所對(duì)的圓周角相等，即可得出結(jié) 論；（3）由全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形 BEF中，利用勾股定理求出EF的長(zhǎng)，利用銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長(zhǎng)，利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AED與三角形GEB相似，由相似得比例，求出 GE的長(zhǎng)，由GE+ED求出GD的長(zhǎng)，根據(jù) 三角形的面積公式計(jì)算即可.詳解：（1）連接 BD,在 RtABC 中，ZABC=90, AB=BC, . . /

14、 A=/C=45. AB為圓。的直徑，Z ADB=90 ,即 BDXAC, . AD=DC=BD=1 AC, /CBD=/C=45 ,2/ A=/ FBD.DF DG,Z FDG=90 , ZFDB+Z BDG=90 .A FBD./EDA+/ BDG=90,/ EDA=/FDB.在 AED 和 BFD 中，AD BD ,EDA FDB .AEDABFD (ASA) , . AE=BF;(2)連接 EF, BG. AAECABFD, . DE=DF. ZEDF=90,. AEDF 是等腰直角三角形，/DEF=45. /G=/A=45： ZG=Z DEF, ，GB/ EF, . . / FEB=

15、/GBA. /GBA=/GDA,ZFEB=ZGDA;(3) AE=BF, AE=2,，BF=2.在 RtA EBF 中，Z EBF=90 ,，根據(jù)勾股定理得： EF2=EB2+BF2.EB=4, BF=2,EF=/42 22 =275. ADEF為等腰直角三角形，Z EDF=90,cosZ DEF=-DE- -EF,. EF=2褥，DE=2V5 X1 = 710 .GE EB./G=/A, ZGEB=ZAED, GEB AED, .=，即 GE?ED=AE?EB,AE EDT0?GE=8,即 GE=4后,則 GD=GE+ED=9/10 . 55S GD DF 1 GD DE 1 9-10- .

16、10 1 9 .2252點(diǎn)睛：本題屬于圓綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定 與性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答 本題的關(guān)鍵.7.如圖，已知平行四邊形 OABC的三個(gè)頂點(diǎn) A、B C在以O(shè)為圓心的半圓上，過(guò)點(diǎn)CD AB,分另1J交AB、AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D、E, AE交半圓O于點(diǎn)F,連接CF.(1)判斷直線DE與半圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若半圓O的半徑為6,求Ac的長(zhǎng).D【答案】（1）直線CE與半圓。相切（2） 4【解析】試題分析：（1）結(jié)論：DE是。的切線.首先證明 aABO, BCO都是等邊三角形，再 證明四邊

17、形BDCG是矩形，即可解決問(wèn)題；（2）只要證明OCF是等邊三角形即可解決問(wèn)題，求AC即可解決問(wèn)題.試題解析：（1）直線CE與半圓O相切，理由如下： 四邊形OABC是平行四邊形，AB II OC. / D=90 ；/ OCE=Z D=90 ；即 OCX DE, 直線CE與半圓O相切.(2)由(1)可知：/COF=60, OC=OE .OCF是等邊三角形， ./AOC=120 - Ac的長(zhǎng)為1201806二4 兀.8.如圖，A是以BC為直徑的。上一點(diǎn)，AD BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)B作。的切線，與 CA 的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) E, G是AD的中點(diǎn)，連結(jié) CG并延長(zhǎng)與BE相交于點(diǎn)F,延長(zhǎng)AF與CB的 延長(zhǎng)線相交

18、于點(diǎn) P.（1）求證：BF二EF：（2）求證：PA是。的切線；（3）若FG=BF,且。的半徑長(zhǎng)為3J2,求BD的長(zhǎng)度.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3） 2J2【解析】分析：（1）利用平行線截三角形得相似三角形，得BFgDGC且FEgGAC,得到對(duì)應(yīng)線段成比例，再結(jié)合已知條件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角，得到/FAO=/EBQ結(jié)合BE是圓的切線，得到P OA,從而得到PA是圓。的切線；BD(3)點(diǎn)F作Fhl AD于點(diǎn)H,根據(jù)前兩問(wèn)的結(jié)論，利用三角形的相似性質(zhì)即可以求出 的長(zhǎng)度.詳解：證明：(1).BC是圓O的直徑，BE是圓O的切線， EBL

19、BC又 ; AD BC, .AD/ BE.BFCADGQ AFECAGAC,BF CF EF CFDG -CG ? AG-CG ?BF EF 二 ，DG AG G是AD的中點(diǎn)，DG=AG,BF=EF;(2)連接 AO, AB. BC是圓O的直徑， / BAO90 ；由(1)得：在RtBAE中，F(xiàn)是斜邊BE的中點(diǎn), .AF=FB=EF,可得 / FBA=ZFAB,又 OA=OB,/ ABO=Z BAO,. BE是圓O的切線，/ EBO=90 ； / FBA+ZABO=90 ； / FA9/ BAO=90 ；即 / FAO=90, PAX OA, .PA是圓O的切線；(3)過(guò)點(diǎn)F作FHIAD于點(diǎn)H

20、,A FH/ BC,由(2),知 Z FBAfZ BAF, BF=AF. BF=FG,.AF=FG,.AFG是等腰三角形.FHXAD,.AH=GH, DG=AG, DG=2HG.即怛1DG 2 . FH/BD, BF/ AD, Z FBD=90 ；四邊形BDHF是矩形,.BD=FH,1. FH/ BC.HFGADCQFHHG ICDDG2Rn BD 1即CD 2 .0的半徑長(zhǎng)為3J5, . BC=6 ).BD=-BC = 2 % 2 .3.結(jié)合已點(diǎn)睛：本題考查了切線的判定、勾股定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì) 知條件準(zhǔn)確對(duì)圖形進(jìn)行分析并應(yīng)用相應(yīng)的圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵19 .如圖1,延長(zhǎng)

21、。的直徑AB至點(diǎn)C,使得BC=AB,點(diǎn)P是。上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)2(點(diǎn)P不與A、B重合)，連結(jié) OP, CP.(1) /C的最大度數(shù)為;(2)當(dāng)。的半徑為3時(shí)，4OPC的面積有沒(méi)有最大值？若有，說(shuō)明原因并求出最大值;若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2,延長(zhǎng)PO交。于點(diǎn)D,連結(jié)DB,當(dāng)CP=DB時(shí)，求證：CP是。的切線.圖1圖？【答案】(1) 30。； (2)有最大值為9,理由見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析：(1)當(dāng)PC與。相切時(shí)，/OCP的度數(shù)最大，根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得；(2)由4OPC的邊OC是定值，得到當(dāng) OC邊上的高為最大值時(shí)，4OPC的面積最大，當(dāng)P0 OC時(shí)，取得最大值，即

22、此時(shí) OC邊上的高最大，于是得到結(jié)論；(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=DB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到 /A=/C,得到CO=OB+OB=AB推出AP4CPQ根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 / CPO=/ APB,根據(jù)圓周 角定理得到/APB=90,即可得到結(jié)論.試題解析：(1)當(dāng)PC與。相切時(shí)，/OCP最大.如圖1,所示：sin Z OCP= = = ,/ OCP=30OC 4 2 / OCP的最大度數(shù)為 30 ,故答案為：30;(2)有最大值，理由： OPC的邊OC是定值，當(dāng)OC邊上的高為最大值時(shí)， OPC的面積最大，而點(diǎn)P在OO上半圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng) POXOC時(shí)，取得最大值，即此時(shí) OC邊上的高

23、最大，也就是高為半徑長(zhǎng)，最大值SaOPC=-OC?OP=1 X 6x 3=9 22(3)連結(jié)AP, BP,如圖2,OA OD在AOAP與OBD中,AOP BOD , .OAPOBD,，AP=DBOP OB PC=DB,，AP=PC PA=PC/ A=Z C,.BC=1AB=OB,2 .CO=OB+OB=ABAP CP在 AAPB 和 ACPO 中，A C,AAPBACPO, / CPO=/ APB,AB CO,. AB 為直徑，/ APB=90 , / CPO=90 ,PC切。O于點(diǎn)P,即CP是。的切線.圖L置210.已知：如圖1, /ACG=90。，AC=2,點(diǎn)B為CG邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

24、AB,將4ACB沿AB邊所在的直線翻折得到 ADB,過(guò)點(diǎn)D作DFL CG于點(diǎn)F.(1)當(dāng)BC=23時(shí)，判斷直線FD與以AB為直徑的。的位置關(guān)系，并加以證明； 3(2)如圖2,點(diǎn)B在CG上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直線FD與以AB為直徑的。O交于D、H兩點(diǎn)，連接AH,當(dāng)/CAB=/ BAD=Z DAH時(shí)，求 BC的長(zhǎng).【答案】(1)直線FD與以AB為直徑的。相切，理由見(jiàn)解析；(2) 2J2 2 .【解析】試題分析：(1)根據(jù)已知及切線的判定證明得，直線 FD與以AB為直徑的。相切;(2)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，從而求得BC的長(zhǎng).試題解析：(1)判斷：直線 FD與以AB為直徑的。相切.

25、證明：如圖，作以AB為直徑的OO; ADB是將 ACB沿AB邊所在的直線翻折得到的，.ADBAACB,/ ADB=Z ACB=90 ,.O為AB的中點(diǎn)，連接 DO, .OD=OB= AB,.點(diǎn)D在。O上.在 RtA ACB 中,BC聾!, AC=2;tan Z CAB= ,AC 3 / CAB=Z BAD=30 ,/ ABC=Z ABD=60 ,.BOD是等邊三角形./ BOD=60 :/ ABC=Z BOD,.FC/ DO.DFXCGJ,/ ODF=Z BFD=90 ； ODXFD, .FD為。O的切線.(2)延長(zhǎng)AD交CG于點(diǎn)E,同(1)中的方法，可證點(diǎn) C在。O上; 四邊形ADBC是圓內(nèi)

26、接四邊形./ FBD=Z 1 + /2.同理 ZFDB=Z2+Z 3. / 1 = 7 2=73,/ FBD=Z FDB,又/ DFB=90 .EC=AC=2設(shè) BC=x,則 BD=BC=x / EDB=90 ； .EB=v ?x. EB+BC=ECx+x=2,解得 x=22-2, .BC=2、/2- 2.11. (1)問(wèn)題背景如圖，BC是。的直徑，點(diǎn) A在。O上，AB=AC, P為BmC上一動(dòng)點(diǎn)(不與 B, C重合),求證： 2 PA=PB+PC小明同學(xué)觀察到圖中自點(diǎn) A出發(fā)有三條線段 AB, AP, AC,且AB=AQ這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下思考過(guò)程：第一步：將APAC繞著

27、點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至4QAB (如圖)；第二步：證明Q, B, P三點(diǎn)共線，進(jìn)而原題得證.請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過(guò)程完成證明過(guò)程.(2)類(lèi)比遷移如圖，。的半徑為3,點(diǎn)A, B在。上，C為。內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC, AB AC,垂足為 A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如圖，。的半徑為3,點(diǎn)A, B在。上，C為。內(nèi)一點(diǎn)，AB=- AC, ABXAC,垂足為A,則OC的最小值為【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2） OC最小值是3g-3； （3）-【解析】試題分析：（1）將PAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至4QAB （如圖），只要證明4APQ 是等腰直角三角形即可解決問(wèn)題；（2）如圖中，連接 OA,將4OA

28、C繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90AQAB,連接OB, OQ,在 BOQ中，利用三邊關(guān)系定理即可解決問(wèn)題；（3）如圖構(gòu)造相似三角形即可解決問(wèn)題.作AQXOA,使得AQ=4OA,連接OQ,3BQ, OB.由QABsOAC,推出 BQ=4OC,當(dāng) BQ最小時(shí)，OC最??；3試題解析：（1）將APAC繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90至4QAB （如圖）；能 BC是直徑，/ BAC=90 ； AB=AC,/ ACB=/ ABC=45 ,由旋轉(zhuǎn)可得 / QBA=Z PCA, / ACB=Z APB=45 , PC=QB . /PCA+/ PBA=180 , / QBA+/PBA=180 , . Q, B, P三點(diǎn)共線， / Q

29、AB+Z BAP=Z BAP+Z PAC=90QP2=AP2+AQ2=2AP2, .QP= , 2 AP=QB+BP=PC+PB 2 AP=PC+PB(2)如圖中，連接 OA,將4OAC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90AQAB,連接OB, OQ,圖 .ABIAC/. / BAC=90 , 由旋轉(zhuǎn)可得QB=OC, AQ=OA, / QAB=Z OAC,/ QAB+Z BAO=Z BAO+Z OAC=90 ,在 RtOAQ 中，OQ=3T2, AO=3, .在 4OQB 中，BO OQ- OB=3& - 3 ,即OC最小彳t是372 -3；(3)如圖中，作AQOA,使得AQ=4oA,連接OQ, BQ, OB.

30、3圄 / QAO=/ BAC=90 , / QAB=/ OAC, QA AB =4 ，OA AC 34 QABsOAC,BQ=-OC,3當(dāng) BQ最小時(shí)，OC最小，易知 OA=3, AQ=4, OQ=5, BOOQ- OB, .,.002,.BQ的最小值為2,1- OC的最小值為- X 2=-,42.3故答案為3.2【點(diǎn)睛】本題主要考查的圓、旋轉(zhuǎn)、相似等知識(shí)，能根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵.12.如圖，PA切。于點(diǎn)A,射線PC交。于C、B兩點(diǎn)，半徑 ODLBC于E,連接BHDC和OA, DA交BP于點(diǎn)F;(1)求證：/ ADC+-Z CBD= - / AOD-2(2)在不添加任何輔助線的

31、情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出圖中相等的線段.【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)詳見(jiàn)解析；【解析】【分析】1根據(jù)垂徑定理得到 bd cd ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到1 oo 1ODA 180 AOD 90 AOD ，即可得到結(jié)論；2 22根據(jù)垂徑定理得到 BE CE , BD CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ADO OAD ,根據(jù)切線的性質(zhì)得到PAO 900,求得 OAD DAP 900,推出 PAF PFA ,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論. 【詳解】1 證明：QOD BC, n n BD CD， CBD DCB, Q DFE EDF 900, EDF 90o DFE ，QOD OA, 11ODA 18

32、0o AOD 90o AOD , 2200 190 DFE 90 AOD ,2 1-DEF AOD, 2Q DFE ADC DCB ADC CBD , _1 分ADCCBD AOD ；22 解：QOD BC,BE CE，BD CD，BD CD , QOA OD , ADO OAD, Q PA切e O于點(diǎn)A,PAO 900,OAD DAP 900, Q PFA DFE ,PFA ADO 900,PAF PFA, PA PF . 【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，正確的識(shí)別 圖形是解題的關(guān)鍵.13.如圖所示，ABC內(nèi)接于圓O, CD AB于D；(1)如圖1

33、,當(dāng)AB為直徑，求證： OBC ACD ;(2)如圖2,當(dāng)AB為非直徑的弦，連接 OB,則(1)的結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)證明, 不成立說(shuō)明由；(3)如圖3,在(2)的條件下，作 AE BC于E,交CD于點(diǎn)F,連接ED,且AD BD 2ED,若 DE 3, OB 5,求 CF的長(zhǎng)度.【答案】(1)見(jiàn)解析；(八 一 -142)成立.；(3(1)根據(jù)圓周角定理求出 /ACB=90,求出/ADC=90,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即 可；(2)根據(jù)圓周角定理求出 /BOC=2Z A,求出Z OBC=9 0-/A和/ ACD=90-/ A即可；CG(3)分別延長(zhǎng) AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、

34、AK,在AD上取DG=BD,延長(zhǎng)交AK于M,延長(zhǎng)KO交。O于N,連接CN、AN,求出關(guān)于a的方程，再求出a即可. 【詳解】(1)證明：.AB為直徑,ACB 90 , CD AB 于 D,ADC 90 ,OBCA 90 , A ACD 90 ,OBCACD ;1OBC - 18021BOC 1802 A 90 A ,2(2)成立，ADC 90 ,ACD 90 A ,OBC ACD ;(3)分別延長(zhǎng) AE、CD交。于H、K,連接 HK、CH、AK,AE BC, CD BA ,AEC ADC 90 ,BCD CFE 90 , BAH DFA 90 ,CFEDFA ,BCDBAH , 根據(jù)圓周角定理得

35、：BAH BCH ,BCD BAH BCH,，由三角形內(nèi)角和定理得：CHE CFE,. CH CF, EH EF,同理DF DK ,DE 3, HK 2DE 6 ,6,在AD上取DG BD ,延長(zhǎng)CG交AK于M,則AG AD BD 2DE BC GC,MCK BCK BAK ,CMK 90 ,延長(zhǎng)KO交。O于N,連接CN、AN,則 NAK 90 CMK , CM / /AN ,NCK ADK 90 , CN /AG , 四邊形CGAN是平行四邊形，AG CN 6,作OT CK于T, 則T為CK的中點(diǎn)， .O為KN的中點(diǎn)，1. OT CN 3, 2OTC 90 , OC 5, 由勾股定理得：CT

36、 4,CK 2CT 8,作直徑HS,連接KS,HK 6, HS 10, 由勾股定理得：KS 8, tan HSK - tan HAK , 41，tan EAB tan BCD , 3設(shè) BD a, CD 3a,1. AD BD 2ED a 6, DK -AD 3. CD DK CK ,八r9解得：a 9,DK135CF CK 2DKc 26148 本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識(shí) 點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.14.如圖，AB是e O的直徑，DF切e O于點(diǎn)D, BF DF于F ,過(guò)點(diǎn)A作AC /BF 交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C.(1)求證：ABC C;(2)設(shè)CA的延長(zhǎng)線交e O于E, BF交e O于G ,若DG的度數(shù)等于60,試簡(jiǎn)要說(shuō)明 點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于直線AB對(duì)稱(chēng)的理由.【分析】(1)作輔助線，連接 OD,由DF為。的切線，可得 OD，DF,又BF DF, AC/