(數(shù)學(xué)三)微積分性質(zhì)公式整理

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔微積分第一章函數(shù)、連續(xù)、極限一、函數(shù)：1.函數(shù)的性態(tài)：有界性一一區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)必有界，反之不然。同區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)有界則原函數(shù)有界。區(qū)間內(nèi)有最大值(或最小值)，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有上界(下屆)。方法：定義、結(jié)合極限、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)來確定。單調(diào)性一一單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)且單調(diào)性相同。單調(diào)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是單調(diào)函數(shù)。單調(diào)函數(shù)的原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不一定仍為單調(diào)函數(shù)。方法：利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)分析。周期性一一f(x+T尸f(x)以T為周期的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)以T為周期，但原函數(shù)不一定為周期函數(shù)。以T為周期的連續(xù)函數(shù)：/+Tf(x)dx= J0T f(x)dx = /T/2 f(x)dx0nT f(x)dx = nf(

2、x)dx方法：定義，利用常見函數(shù)判斷(三角函數(shù)) 。奇偶性一一前提：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱。奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇X偶=奇，偶X偶=偶奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)之積為奇函數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)之積是偶函數(shù)奇奇復(fù)合為奇，偶偶復(fù)合為偶，奇偶復(fù)合為偶。求導(dǎo)后變換奇偶性。f(x)為偶？ f'(x) 為奇，f(x)為奇一F(x)為偶。若f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，則：11f(x)= 2 f(x)-f(-x)+2 f(x)+f(-x)式中前者為奇，后者為偶。方法：定義2.相關(guān)：單函數(shù)一一單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，反函數(shù)與直接函數(shù)單調(diào)性相同，圖像關(guān)于y=x對稱求定義域一一分式中分母不為0,根式中負(fù)數(shù)不能開偶次方根，對數(shù)中底

3、數(shù)大于0不等于1,真數(shù)大于0,arcsinx 與 arccosx 中-1WxW1tanx ,secx中x w k兀+ 2cosx 與 cscx 中 x w k 兀文案大全求表達(dá)式一一換元法，分段函數(shù)分段求。1 .數(shù)列的極限:定義一一給定數(shù)列 X及常數(shù)a,若對于任意給定的正數(shù)£>0,總存在正整數(shù) N,使得當(dāng)n>N時(shí)，有|Xna| v e恒成立，則稱常數(shù) a為數(shù)列 Xn的極限，或者稱數(shù)列 X收 斂于a,極為lim Xn = a。 n>co性質(zhì)一一唯一性：數(shù)列收斂則極限唯一。 有界性：收斂數(shù)列一定有界。保號(hào)性：如果lim Xn = a，且a>0 (或a<0),

4、那么存在正整數(shù) N,當(dāng)n>N n>8時(shí)，都有Xn>0 (或Xnv 0)。如果lim Xn = a, lim Yn= b，且a>b,那么存在正 n-8nx整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，都有 Xn>Yn。如果數(shù)列收斂于a,那么此數(shù)列的任意子數(shù)列都收斂于a。求法利用通向表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，若 lim f(x) = A，則lim f(n) = A。 x-8n x若數(shù)列通項(xiàng)是n項(xiàng)和或積時(shí)，可利用積分定義，設(shè) f(x)在a,b上連續(xù)，則：b-a b-a b1k 1lim 匯k=i fa + k = 4 f(x)dx lim - M=i f(-) = 0 f(x)dx n-&

5、gt;connnsnn2 .函數(shù)的極限：定義一一性質(zhì)一一唯一性：有極限則極限唯一。局部有界性：X-X)時(shí)f(x) - A,則f(x)在Xo的某去心鄰域內(nèi)有界。局部保號(hào)性：X- X)時(shí)f(x) 一 A, A> 0 (或Av 0),則在xo的某去心鄰域內(nèi)f(x>0 (或f(x)0)。反之亦然。求法一一化簡：無窮小量等量代換，分子分母同時(shí)除以最高次的項(xiàng)，根式有理化洛必達(dá)法則導(dǎo)數(shù)的定義利用兩個(gè)重要極限變形哥指函數(shù)極限lim f(x) g(x)：lim f(x) g(x) = lim eg(x)ln f(x) = elim g (x) ln f(x)變量代換：題設(shè)x- 8時(shí)，設(shè)t = 23,

6、3、往往可以簡化計(jì)算x帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式展開:(1 + x) a = 1 +a ( a -1)2 a ( a -1)( a -2)32!3!?= 1 + ,+ ,+ o(x3)；sin x = x- 1x3 + 1x5 + o(x5);3!5!ln (1 + x) = x - 1 x= 1 + x + x + x + o(x ) ； + 1 x3 + o(x 3) 23cosx = 1 - x2 + x4 + o(x4)o(x3)利用左右極限求極限：分段函數(shù)：絕對值函數(shù)，取整函數(shù)x,最大最小，符號(hào)函數(shù)sgn(x),且求分段點(diǎn) 的極限時(shí)，要從左右極限入手當(dāng)極限式中包含 lim arctanx

7、 , lim arccotx , lim ax時(shí)，要從x - 0°, x 一+0°入 x-8x-8x-8手含參變量的極限應(yīng)考慮參變量的范圍求已知極限中的待定參數(shù)，函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)及函數(shù)等：lim f(x) g(x) = A, lim f(x) = 00 一 lim g(x)= 0. f(x)lim g(-y = A, lim g(x) = 0 lim f(x) = 03 .無窮小量與無窮大量性質(zhì)lim f(x) = A ? f(x) = A + a (x),其中a (x)是此極限過程下的無窮小量。有限個(gè)無窮小量的和、積均為無窮小量無窮小量X有界量仍為無窮小量。比較同一變化中，3

8、石 石 石 石.為0,則稱a 為00,則稱a 為1,則等價(jià)。(x)是3 (x)的高階無窮小，記作a (x)=o( 3 (x) (x)是3 (x)的低階無窮小。為常數(shù)C,則同階。若lim 需k = C,則則稱a (x)是3 (x)的k階無窮小 p (x)等價(jià)無窮小 ex - 1xax - ax ln a (1 + x)m - 1mx 1 - cos x 2 x2x - sin x - x36x - ln(1 + x) -x2乘除因子項(xiàng)可直接替換等價(jià)無窮小，加減項(xiàng)不可。無窮大量一一當(dāng)n一 8時(shí)，按照趨向無窮的速度越來越大排列的函數(shù): ln n , na(a > 0), an (a >

9、0), n! , nn4 .極限的運(yùn)算四則運(yùn)算若 lim f(x) = A, lim g(x) = B,則：lim f(x) 土 g(x) = A ± B & lim f(x) -g(x) = A B lim 懸=B(B w 0) & lim f(x) g(x) = AB(A > 0)若lim f存在但lim /存在,則lim fg和lim f可能存在也可能不存在。 g-1重要結(jié)果 lim (x)x = 1 ； lim+ (x)x = 0; lim+ xx = 1 ;x8x-+x-0+lim 冒=1 , a>1; lim nvn = 1n-00nxlim

10、f(x) g(x) = A, lim f(x) = 00 lim g(x) = 0f(x)5.兩個(gè)重要極限:m sin xx xlim g-)- = A, lim g(x) = 0 lim f(x) = 0lim (1 + x)x = e或 lim (1 + -)xx-o''X-8x設(shè) a (x) 一 0,則 lim sin ；(x) = 1 。a (x)設(shè) f(x) 一 A, g(x) 一 巴 則1lim g(x) In f(x) lim g(x) f(x)-1limf(x) g(x) = iimi + (f(x)- 1)Ef(x)-1 g(x) = im f(x)-1 g(

11、x)(產(chǎn)式)或limf(x) g(x) = lim eg(x) ln f(x)=6 .極限存在準(zhǔn)則：單調(diào)有界準(zhǔn)則一一單調(diào)不增或不減，且有上界或下界的數(shù)列Xn必有極限。夾逼準(zhǔn)則一一如果數(shù)列 Xn Yn Zn滿足YnwXnw Zn (n=1, 2)；lim Yn = a, lim Zn = a,則 lim Xn存在且等于 a函數(shù)的極限存在準(zhǔn)則類似。7 .洛必達(dá)法則:注意一一只有的未定式才可使用。盡量結(jié)合等價(jià)無窮小替換、變量替換簡化運(yùn)算。非零因子項(xiàng)(乘或除項(xiàng))的極限用四則運(yùn)算法則先求出后再使用洛必達(dá)法則。三、函數(shù)的連續(xù)與間斷1 .連續(xù)的定義xX0x0處處x0的某鄰域，若lim f(x) = f(x0

12、),則f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。左連續(xù)與右連續(xù)。夾區(qū)間連續(xù)對于任意xo (a,b) , f(x)在xo連續(xù)，則稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)一一f(x)在(a,b)連續(xù)，且 lim+ f(x) = f,lim f(x) = f(b) x +x->b-半開半閉區(qū)間上連續(xù)一一應(yīng)用一一判斷抽象函數(shù)的連續(xù)性2 .連續(xù)的條件同時(shí)滿足f(x)在xo點(diǎn)有定義，lim f(x)存在，且lim f(x) = f(x0) xX0x X0f(x)在xo點(diǎn)連續(xù)？ f(x)在xo點(diǎn)既左連續(xù)，又右連續(xù)。3 .間斷點(diǎn)定義一一不滿足連續(xù)三個(gè)條件的點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：左右極限存在且相等跳躍間斷點(diǎn)

13、：左右極限存在但不想等左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)，分為無窮間 斷點(diǎn)、震蕩間斷點(diǎn)等。判斷一一求出可能間斷點(diǎn)的左右極限4 .連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的和差積商以及復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。f(x)在a,b內(nèi)連續(xù)，則1f(t)dt(a < x < b),在a,b上可導(dǎo)，對 £f(t)dt 在a,b上可應(yīng)用最值、介值、零點(diǎn)定理。設(shè) f(x)在 X0處連續(xù)，若 lim -f(x) = A,則 f(x 0)=0 ,且 f(x 0)=aX-x0 x-x 0、'''連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)證明題構(gòu)造F(x)后

14、使用有界性與最大最小值定理：閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)一定有界且一定能取到最大最小值。介值定理：在a,b內(nèi)f(a)=A , f(b)=B , CQA,B,則(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E使得 f( E )=C閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以取到其區(qū)間上的任意有限個(gè)函數(shù)值的平均值。零點(diǎn)定理：f(x)在a,b內(nèi)連續(xù)且f(a) f(b) <0,則(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E使得f( E )=0第二章一元函數(shù)微分、導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)X0的某個(gè)鄰域U(xo)內(nèi)有定義，并設(shè) xo+?x CU(Xo)。若極限lim?x->0f(X0+?X)-f(X 0)?x存在，則稱y=f(x)在點(diǎn)X0處可

15、導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)，記為 f(x 0),即 F(x o)=?lxm0?x- =?則f(X0+?X )-f(x 0)?x。也可記作 y'= |x=xo, dylx=xoXdf(x)或-drhx。左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)lim f(xo+?x )-f(X 0)?x - ?X或 lim?x->0f(xo+?x )-f(x 0)?x導(dǎo)數(shù)與極限的聯(lián)系f'(x 0)= lim f(x)曲 0)XX0x-x 0若f( X0)存在,lim g(x) = lim h(x) = xo,則(在下列極限存在時(shí)) Xxox xofg(x)-f(x0)Xim°x-=

16、f'(x。)，(g(x) wx。)lim fg(x)-f(x 0)= f '(xo)lim 吐，設(shè) lim 班存在。X-x0x-x 0' o, Xx0 x-x 0 'X-x0 x-x 0lim fg(x)-fh(x)X->X0x-x 0=f '(X0)lim UXX0x-x 0g(x)-h(x) 十七,設(shè)lim 存在。X->x 0x-x 0設(shè)f(x)在Xo處連續(xù)，則. f(x)XimoX77= A? f(xo)= 0，f'(xo) = Af(x).Ximo(X-T；F= A(k> 1)-f(xo)= 0，f (xo)= 0f(X

17、)lim /、k = A w 0(0 < ?< 1) 一 f(X0) = 0, f、(x。)不存在X->X0 (x-x 0)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系一一可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)，反之不然?？蓪?dǎo)的充要條件一一左右導(dǎo)數(shù)存在且相等導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f(x 0)在幾何上表示曲線 y=f(x)在點(diǎn)1M(X0, f(X o)處的切線的斜率，即 f(X o)= tan a ,其中a是切線的傾角。法線斜率=-Of (X0)導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義一一設(shè)函數(shù)f(X)可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f(X)稱為邊際函數(shù)，f(X 0)稱為在X=X0點(diǎn)的邊際函數(shù)值，而. ?y ?x?y x x,，,、一，.瓢。丁

18、/？Xm。忌戲=j(xo)稱為f(x)的彈性函數(shù)2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算基本初等(tanx)'= sec2 x(secx)' = secx tan x(ax)' = axln a，.、 i( arcsin x)=-='' V 1-x21( arctan x)=石”(cot x)' = -csc 2 X (cscx)'= - cscx cot X1(loga x)= ax In a1(arccosx) = - Farccos x)' =11+x 2反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一一通過等式F(x,

19、y)=0兩邊對x求導(dǎo)，y作為中間變量，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)變限積分的導(dǎo)數(shù)一一設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則/f(t)dt在a,b上可導(dǎo)，且(/f(t)dt )'=aaf(x)設(shè) f(x)連續(xù)，g(x)與 h(x)都可導(dǎo)，則(£X7f(t)dt) ' = fh(x)h'(x)-fg(x)g'(x)對于(心冗4 (x,t)dt) ',先提出a(x),再命u= (Rx,t)作積分變量變換，使得被積表達(dá)式中不再含x(變化至上下限或提出積分號(hào)外)，然后再對x求導(dǎo)。設(shè)f(x)在a,b上可積，則 £f(t)dt在a,b上連續(xù)。高階導(dǎo)數(shù)一一(u ±

20、 V)=u(n)±v(n)萊布尼茨公式:(UV)=k=0(k)u(n-k) V(k)利用哥級(jí)數(shù)展開 f(x)以0 an(x- X0) -f(n)(x0) = ann!常見函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：(sin x) =sin(x + n ?)(cos x)(n) = cos(x + n j)(ex)(n)= ex(ax)(n)= ax (In a)n0, n> ?(xm )(n) = n! , n = mm(m - 1)( m - 2) (m - n + 1)xm-n , n < ?其中m為正整數(shù)啟=(-1)n n!(1+x) n+1ln (1 + x)=(-1)n-1 (n-1)!(

21、1+x) nsin(ax + b)(n) = an sin(ax + b + n -2)cos(ax + b)(n) = an sin(ax + b + n (得嚴(yán)=(-1)nan . n!(ax+b) n+1ln (ax+ b)(n) = (-1)n-1 an (n-1)! (ax+b) n含絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性一一設(shè)g(x)在x0連續(xù)，則函數(shù)f(x)=|x-x 01g(x)在xo處可導(dǎo)? g(x0) = 0設(shè)f(x0) = 0, f'(xo)存在，則 |f(x)| 在 x0處可導(dǎo)？ f'(xo) = 0隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一一對于哥指函數(shù)可化為指數(shù)形式或者兩邊取對數(shù)，再兩邊對x求導(dǎo)，

22、將看作x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，整理得出 y'在導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中允許含有因變量y隱函數(shù)求在具體一點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先由原方程求出對應(yīng)的y0值，再帶入求導(dǎo)后的式子中求出y'更為簡便。3.含分?y = A?x + o(?x) dy = A?x , dx = ?x二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1 .函數(shù)的單調(diào)性與極值單調(diào)性充分條件一一f'(x) >0, T； f'(x) <0, J極值一一可能極值點(diǎn)就是導(dǎo)數(shù)為0或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。極值第一充分條件一一x。左右的f'(x)異號(hào)，則f(x 0)處取極值。極值第二充分條件一一f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f'

23、(x 0)=0, f''(x 0)W0,則f''(x0)V0 時(shí)，f(x0)為極大；f'(x 0)>0 時(shí)，f(x0)為極小。最值駐點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，端點(diǎn)。拐點(diǎn)與駐點(diǎn)的高階判斷：f)(x0L0f(：)(x0)>0,f(x0)71 f(2n)(x0) < 0, f(x0)極大 f(2n+1)(x°) w 0 , (x0, f(x0)是拐點(diǎn)2 .函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)凹凸性一凹弧:f(李)< Wxw f'(x)>0；凸弧：f(*) > *3 f''(x) <0拐點(diǎn)一一凹弧與凸弧的分界點(diǎn)

24、。拐點(diǎn)處f'(x)=0或f''(x)不存在求法：f''(x)在x0兩側(cè)鄰近符號(hào)相反，增減性改變，f'(x 0)=0且f''(x 0)W0的點(diǎn)。水平漸近線3 .曲線的漸近線lim f(x) = C,則y=C為y=f(x)的水平漸近線 x>co鉛直漸近線lim f(x) = 8,則x=x°為y=f(x)的鉛直漸近線斜漸近線lim f(x)- = a w0, lim (f(x) - ax) = b,則 y=ax+b 為曲線的斜漸近線 x> co xx4 .導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用邊際一一求導(dǎo)彈性一一三、中值定理及不等式的證明

25、1 .微分中值定理費(fèi)馬定理設(shè)函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并在x0處可導(dǎo)，如果對任意的 x U(xo),有 f(x) < f(x 0)(或 f(x) >f(x 0),那么 f(x 0)=0。羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)七(a v E v b),使得F(七)=0。拉格朗日中值定理一一如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)七(a v E v b),使得f(a)-f(b)= f'( 七)(b-a)。拉格朗日中值

26、定理等價(jià)表達(dá)：存在。(0<。< 1),使得f(a)-f(b)= f'a+0(b-a)(b-a)柯西中值定理一一如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo),且對任意xC(a,b) , F'(x) W0,那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)E ,使得(：)%、=3F(b )-F(a)F'(衛(wèi))泰勒中值定理一一f(x)=安畢(x- x0)n+ 二：)(x- x0)n+1n!0(n+1)!0，2 .證明 P55-68第三章一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1 .不定積分的概念f(x)的原函數(shù)為F(x)+C對于區(qū)間a,b上任一連續(xù)函數(shù)f(x),有原函數(shù)/f

27、(x)dx = /f(t)dt + C a2 .關(guān)于原函數(shù)的結(jié)論若f(x)在a,b上不連續(xù)，則F(x)= / f(t)dt即使存在，甚至可導(dǎo)，也不一定是f(x)在aa,b上的原函數(shù)。若f(x)在a,b上有第一類間斷點(diǎn)，由于導(dǎo)函數(shù)沒有第一類間斷點(diǎn)可知f(x) 一定沒有原函數(shù)，即在a,b上不定積分/f(x)dx不存在。f(x)為奇函數(shù)？ f(x)的任意原函數(shù)F(x)為偶函數(shù)f(x)為偶函數(shù)一 f (x)的原函數(shù)中只有一個(gè)為奇函數(shù)，即 f(t)dt。f(x)的任意原函數(shù)F(x)為周期函數(shù)一 f(x)為周期函數(shù)f(x)是以T為周期的周期函數(shù)且J0 f(x)dx = 0-f(x)的任意原函數(shù)是以T為周期

28、的周期函數(shù)。3 .基本性質(zhì)/f'(x)dx = f(x) + C 或/df(x) = f(x) + Cd3dx(/f(X)dx) = f(x)或 d /f(x)dx = f(x)dx4 .積分公式Id- = ln |x| + C/ax dx = J + Cxln a/secxdx= ln|secx+ tan x| + C1 11x/cscxdx= ln|cscx- cot x| + C1x“a2-x 2 dx = arcsin a + C (a > 0)八 1.1 .,x-a ,/kdx = 2aln|x+a|+ C (a>0)1a2-x1 a+xdx = 2alnfcr|

29、 + C (a > 0)V-Odx = ln|x + Vx2- a2| + C (a > 0)/Wdx = ln|x + V? + a2| + C (a > 0)/Va2 - x2dx = 2 Va2 - x2 +a2T arcsin a + C (a> 0)a a+x-2 dx =馬 arctan a + C (a > 0)/vx2 ± a2dx = x Vx2 ± a2 + a-ln |x + Vx2 ± a2 | + C常用的變量代換一一三角帶換：Va2 -x2,可令 x =asin t ,t (- 2-,-2)Va2 +x2,

30、可令 x =atan t ,tC (- -2 ,-2)V-a 2+ x2,可令 x= asect,t (0, -2)U (兀，32)根式代換：nvaxVb或nv,直接令此根式為tcx+dk l 一 一 一n 包含vax + b,，vax + b時(shí)，令此根式為t = vax + b (n為各根指數(shù) 的最小公倍數(shù))1倒代換：當(dāng)被積函數(shù)分母的最高次哥高于分子的最高次哥時(shí)，可考慮令x=：5 .第一換元法(湊微分法)6 .第二換元法7 .分段函數(shù)的積分根據(jù)不同區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式分段分別積分，再利用原函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性(可導(dǎo)定連續(xù))，粘合起來，即將各段上的任意常數(shù)C統(tǒng)一成一個(gè)任意常數(shù) Q二、定積分 1.

31、存在條件必要條件一一/bf(x)dx存在的必要條件是f(x)在a,b上有界。 a充分條件一一df(x)dx存在的充分條件是f(x)在a,b上連續(xù)，或僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)且 a有界。2 .幾何意義若f(x) >0,定積分4bf(x)dx (a vb)表示曲線y=f(x),兩條直線x=a, x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。一般地，定積分 / f(x)dx表示曲線y=f(x),兩條直線x=a, x=b所圍圖形面積的代數(shù)和 a( x 軸方面積為正，下方面積為負(fù))3 . 定積分性質(zhì)線性性可加性不等式若f(x) 池？x Ca,b,則£f(x)dx R0；若f(x)不恒為零，則個(gè)f(x)dx

32、 >0若 f(x)可(x) , ?x a, b, a < ?則 £ f(x)dx & £b g(x)dx ,不可反推若a < ?則 | / f(x)dx | < f|f(x) |dx若m < f(x) wb, ?x a,b,則 m(b - a) & £f(x)dx w M(b - a)【估算】若f(x)在a,b上最大值為M最小值為m» g(x) >0, f(x)g(x)不恒等于Mg(x) , mg(x)(x C a,b)，則 m d g(x)dx & d f(x)g(x)dx < M Zb

33、 g(x)dx .(Jbf(x)g(x)dx)2 < Jf2(x)dx /g2(x)dx乘積的積分平方w平方的乘積分 aaa積分中值定理一一若f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)E Ca,b,使得 b/ f(x)dx = f( E ) (b - a) a推廣的積分中值定理積積若f(x) ， g(x) 在 a,b 上連續(xù)， 且 g(x) 不變號(hào)， 則至少存在一 點(diǎn)E Ca,b,使得b/ g(x)dx abf f(x)g(x)dx = f( E ) a積上限積分的導(dǎo)數(shù)Zx f(x)dx ' = f(x)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可積，其原函數(shù)在同區(qū)間內(nèi)未必可導(dǎo)，但在同區(qū)間內(nèi)一定連續(xù)。牛頓 -萊布

34、尼茨定理積積要求：在區(qū)間內(nèi)連續(xù)。若有間斷點(diǎn)則分段積分。推廣的牛頓-萊布尼茨定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在(a,b)內(nèi)的一個(gè) 原函數(shù)，且極限 F(a+0) , F(b-0)均存在，則 電曲=F(x)|a+o = F(b- 0) - F(a+ 0)。5. 定積分的計(jì)算換元積分法積積分部積分法積積變限積分積積見第二章第一節(jié)第2 點(diǎn)周期函數(shù)積積見第一章第一節(jié)第1 點(diǎn)三角函數(shù)積積|sin x| dx = j0 sin xdx = 2a+a兀兀|cosx| dx = J0 |cosx| dx = 2sin nx sin mx dx =兀sin nx sin mx dx =兀，0,co

35、s nx cos mx dx =兀c cos nx cos mx dx = - 兀7t0,sin nx cos mx dx =兀/ sin nx cos mx dx = 0- 兀其中m, 常用公式n為整數(shù)jja-x2dx =兀a24 Va2 - x2dx =a a2a a2In = J02 sinn x dx = J0 cosn x dx = n-1nn-1 nn-3n-2"n-3n-21一212n為正偶數(shù)n為大于1的正奇數(shù)奇偶函數(shù)一一若積分區(qū)間為對稱區(qū)間，可拆分被積函數(shù)使其一部分具有奇偶性； 若被積函數(shù)具有奇偶性，可拆分將積分區(qū)間使其部分區(qū)間是對稱的。定積分的證明題、反常積分P95

36、1 .幾常積分的計(jì)算一一加減項(xiàng)不能隨便分開，例如+00 dx0x2+3x+2+ OO 10(x-11 x+2)dx =In (x - 1) - ln(x+ co2)0x-1 lnx+2+ 8|0而不能寫成+00 dx0x2+3x+2+ 0° dx0+22 .幾個(gè)重要的反常積分若 a>0,則&若 a>1,+ °° -kx0 xe kx+ co0+ 00 dx ,xp=-r + CO則-Ladx = :(je-x dx =a1-pp-1'1特別地8= 而1 xpdxx lnp xln1-pp-11.，特別地r備ex ln p x11k2，般

37、地+ c°xne-kx dx, k> 0收斂，k<0發(fā)散。(b-a) 1-qq-1定、定積分的幾何應(yīng)用一一微元法的應(yīng)用1 .面積< g(x),直線x=a, x=b所圍圖形的面直角坐標(biāo)系由曲線y=f(x) , y=g(x)f(x)積為S= fg(x)- f(x)dx.由曲線 x=u(y) , x=v(y) u(y)< v(y),直線y=c, y=d所圍圖形的面積為S = (丫-u(y)dy.極坐標(biāo)系由曲線r=r( 0 ),及射線。=a , 0 = 3所謂圍平面圖形的面積為S = 2 / r2( 9 )d 九由曲線 r=r1( 0 ), r=r2( 9 ) r1(

38、 0 )< r2( 0 )及射線 a & 0 & 3 所圍圖 形的面積為C 1 322S= 2 4 r2( 0 ) - r2( 0 )d 0.2 .體積由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a, x=b所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體Vx =兀4f2(x)dx (a < ?)繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體Vy = 2兀a x f(x)dx (f(x) > 0 , 0 < a < b)由連續(xù)曲線x=u(y),直線y=c, y=d所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體Vy =兀d u2(y)dy(c< ?繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體Vx = 2兀/ y

39、 u(y)dy (u(y) >0, 0 < c < d)c3 .函數(shù)的平均值設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上的平均值為y= b1r1f(x) dx五、定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用Q(p)= Q'(p)dp+ Q(0)C(Q尸 Jc、(Q)dQ+ C(0)R(Q)=R'(Q) dQ + R(0)1 .設(shè)邊際需求為Q'(p),則需求函數(shù)為2 .設(shè)邊際需求為C'(Q),則需求函數(shù)為3 .設(shè)邊際需求為R'(Q),則需求函數(shù)為4.設(shè)總產(chǎn)量對時(shí)間t的變化率為。、，則從第 a天到第b天的平均日產(chǎn)量為。1b-abJa 0 '(x)

40、 dx第四章多元函數(shù)微積分學(xué)一、多元函數(shù)微分學(xué)1 .多元函數(shù)的連續(xù)與極限二元函數(shù)的極限(多元函數(shù)同樣適用) 設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D有定義， 點(diǎn)(X0,y0)CD或在D的邊界上，如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)以任何方式 無限趨于點(diǎn)B(x0,y 0)時(shí)，f(x,y) 總是無限趨于一個(gè)常數(shù) A,則稱當(dāng)P(x,y)趨于點(diǎn)P0(xo,yo)時(shí)，f(x,y)以A為極限，記作x項(xiàng)0 f(x，y) = a，或yfyolim f(x,y)=y) f (xo, y 0)A,或 P|imof(x, y) = A。證明 ？?？ ？?不存在的方法：當(dāng)(x,y)沿不同路彳5趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí)，f(x,y)趨 (

41、? ?)-(? ?于不同的值或不存在，或者取一條路徑(x,y) 一 (x0,y 0)而limf(x,y) 不存在，則limf(x,y)不存在。(x , y)(3，y0)? ?的語言表述 一一xim0f(x，y) = A? x? e > 0, ?S > 0,當(dāng)點(diǎn) P(x,y)滿足 0 V yfy。，(x- x0)2+ (y - y0)2 < ?坦 P(x,y) C D 時(shí)，有 |f(x,y) - A| < ?lim f(x, y) = A ? f(x, y) = A + a (x,y),其中 lim a (x,y) = 0(x, y)(x0, y0)(x , y)(x0,

42、 y0)二元函數(shù)的連續(xù)(多元函數(shù)同樣適用)若xlim0f(x,y) = f(x 0,y°),則稱二元函數(shù)f(x,y)yf y0在點(diǎn)(x 0,y 0)處連續(xù)。如果f(x,y)在區(qū)域D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱 f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)。有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(多元函數(shù)同樣適用)一一最大值和最小值定理一一在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，必取到最大值和最小值。介值定理一一在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，必取到介于最大值和最小值之間的任何數(shù)。求法一一求簡單二元函數(shù)的極限，判斷二元函數(shù)的極限不存在利用一元函數(shù)其極限的方法如四則運(yùn)算、無窮小代換、重要極限、有界變量與無窮小量的乘積為無窮小量，

43、夾逼準(zhǔn)則。作變量代換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限。一般地，若 lim f(x,y) = A，則 lim f(x,y0) = A且 lim f(x0,y) = A,反之不然 yf ；02 .偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)的定義一一設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y) 在(x 0,y °)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限lim f(x0+?x ,y?- 0，y0)存在,則稱此極限值為z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為f'x(x0,y0)或?f(x誓。對y的偏導(dǎo)數(shù)同理。 ?x全微分若函數(shù) z=f(x,y)在(x 0,y 0)處的全增量可表示為?z = f(x0 + ?x , y0 +

44、?y) - f(x0,yo) = A?x + B?y + o( p ), 其中 A, B與？x,?y無關(guān)，p = 72yx + ?y2,則稱函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x 0,y 0)處可微，A?x + B?y稱為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y 0)處的全微分，記為dz|(x0,y0),即dz| (x0,y0) = A?x + B?y。對自變量x與y約定？x = dx, ?y = dy,故全微分又可以寫成dz=Adx+Bdy。f(x,y)在(x 0,y 0)處可微的充要條件?z-f' x(X0, yo)?x+f ' y(X0, yo)?ylim P 0P=0,其中 p = V?

45、)2 + ?y2函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x 0,y 0)處的幾個(gè)概念的關(guān)系反之不然。反之不然。兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)一函數(shù)在該點(diǎn)可微，一函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)，函數(shù)在該點(diǎn)也可能可微。函數(shù)在該點(diǎn)可微一兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，反之不然。一函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，反之不然。函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)&兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在 不能互相推出。高階偏導(dǎo)數(shù)一一求法一一只需要求在一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可利用結(jié)果df(x , y 0),、df(x o , y)f x(x 0，y0) =|x=x o， f y(x0, y0) =d7|y=y 0vixy3 .復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則基本原則：有幾個(gè)中間變量求出來就有幾項(xiàng)，

46、每項(xiàng)先對中間變量求偏導(dǎo)再乘以中間變量對自變量的偏導(dǎo)數(shù)。求二階偏導(dǎo)時(shí)仍需要分別對中間變量求偏導(dǎo)。中間變量為二元函數(shù)設(shè) u =()(*,丫)和丫= (T (x, y)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f (f) (x, y), (T (x, y)在點(diǎn)(x,y)處偏?z ?z ?u ?z ?v ?z ?z ?u ?z ?v導(dǎo)數(shù)存在，且？x=五1+云雙，？y =癡？y+癡可。中間變量為一元函數(shù)一一設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，一元函數(shù)u = 4(0和丫= b(t)都可導(dǎo)，則dz=三嗎+ -zdv,這里dz稱為z對t的全導(dǎo)數(shù)。dt ?u d

47、t ?v dtdt多維設(shè) z=f(u,v,w)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u = ()(x,y), v = (T (x, y), w = w(x, y)偏導(dǎo)數(shù)存在 貝(j?z =2f_Zu_ +f?v+ ?f ?w ?z =2L2u+ 2L2v+ ?f ?w'、?x =?u ?x?v ?x ?w ?x' ?y =?u ?y ?v ?y ?w ?y多元函數(shù)為常數(shù)的條件一一設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上滿足f三0,7三0,則f(x,y)在區(qū)域D上為常數(shù)。 ?x?y設(shè)函數(shù)z=f(x,y)定義在全平面上，若 氐三0則f(x,y)=()(y)；若；f三0,則?xryf(x,y)= W(x)。若函數(shù)z

48、=f(x,y)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)二三，龍?jiān)趨^(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)域D內(nèi)昌=?x ?y ?y ?x?x ?y?2z?y ?x抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分一一畫出復(fù)合關(guān)系的鏈導(dǎo)圖，若對某一變量求偏導(dǎo)數(shù)，要看 有幾條路徑從因變量到此變量， 則求導(dǎo)后就有幾項(xiàng)的和，每一條路徑有幾步，對應(yīng)該條路徑 的項(xiàng)就是幾項(xiàng)的乘積。運(yùn)用合適的符號(hào)簡化表達(dá)式的表示，如z=f(x+y , xy),則?z= f '1 + yf'2,需注意的是，f'1, f'2的復(fù)合關(guān)系仍同f 一樣。4 .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式由方程確定的隱函數(shù)一一設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(x0,y o,z 0)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)

49、數(shù)，且 F(xo,y o,z 0) = 0, F'z=( xo,y o,z 0)豐 0,則方程 F(x,y,z) = 0 在點(diǎn)(xo,y o,z 0)的某鄰域內(nèi) 能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y),它滿足z0=f(x 0,y 0),并有二二?x-F-x,?z-= - Fy?！井?dāng)F'x=( x°,y 0,z 0) w 0, F' =( x°,y 0,z 0) w 0 時(shí)，可分別確定隱函數(shù)x=f(y,z),F'z ?yF'zxyy=f(x,z)由方程組確定的隱函數(shù)一一設(shè)方程組F(x,y,u, v) = 0確定了隱

50、函數(shù)u=u(x,y) ,v=v(x,y),G(x,y, u, v) = 0 ?u ?vF'x+ F'u+F'vh = 0 則通過等式兩邊對x求偏導(dǎo)，注意到u,v是x的函數(shù)，有?u ?v ,解此方G'x+ G'u 雙+G'v?x= 0程組并設(shè)運(yùn)算過程中出現(xiàn)的分母W0,求出四，型 即可。對y求偏導(dǎo)類似。?x ?x求法一一若能夠顯化則顯化，若不能顯化則按照以下三個(gè)方法來求： 方程兩邊對某變量求偏導(dǎo)數(shù)；方程兩邊求全微分，利用全微分形式不變性；公式法：設(shè)F'zW0,則由方程F(x,y,z)=0 確定z是x,y可微函數(shù)，則?z=-富, ?x F z?

51、z _F'y?y-一5. 多元函數(shù)的極值與最值極值的定義若在 (x0,y0)的某鄰域內(nèi)恒有f(x,y) Wf(x0,y0)(或> f(x 0,y0),則稱f(x,y)在點(diǎn)(x0,y 0)有極大值f(x0,y 0)(或極小值f(x0,y0)。對于自變量的取值有附加條件的極值稱為條件極值。極值存在的必要條件設(shè) z=f(x,y)在點(diǎn)(x 0,y 0)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x O,y 0)處有極值，則必有 f x(x 0,y 0)=0 , f y(x 0,y 0)=0 o極值存在的充分條件(僅適用于二元函數(shù))一一設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y。)的某鄰域內(nèi)具有 一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又

52、f x(x 0,y0)=0 , f y(x 0,y 0)=0 ,令A(yù)=f'xx(x 0,y°),B=f'xy(x 0,y0),c=f' yy(x 0,y 0),則B2 - AC> 0時(shí),(x 0,y 0)不是極值點(diǎn)；82- AC< 0時(shí)，(x0,y0)是極值點(diǎn)，且當(dāng)Av。時(shí)，(x 0,y 0)是極大值點(diǎn)，A>。時(shí)，(x0,y 0)是極小值點(diǎn)；83- AC=。時(shí)，(x 0,y 0)不確定是否為極值點(diǎn)。條件極值一一拉格朗日乘數(shù)：求 z=f(x,y)在條彳4 (x,y)=。下的可能極值點(diǎn)，先令 F(x,y)=f(x,y)+ 入 e (x, y),F

53、'x = f'x(x, y) + 入 e 'x(x, y) = 0解方程組F'y = f 'y(x, y) +入()'y(x,y) = 0,得x,y及入，則其中x,y就是可能極值點(diǎn)的坐 F'入=4(x,y) = 0標(biāo)，再根據(jù)問題的實(shí)際背景或比較可能極值點(diǎn)的函數(shù)值討論確定，約束條件可能多于一個(gè)。多元函數(shù)的最值及其應(yīng)用一一閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最值可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到。對于實(shí)際問題一般根據(jù)實(shí)際背景來確定是否去最值。(如可能極值點(diǎn)唯一，則極大(小)值點(diǎn)即最大(小)值點(diǎn)。)求法二元函數(shù)極值：解方程組f x(x o,y o)=0 , f y(

54、x o,y o)=0得所有駐點(diǎn)；對每一個(gè)駐點(diǎn)(xo,yo),求 A=f'xx(xo,y0), B=f' xy(xo,y0) ,c=f'yy(x o,y 0)的值；根據(jù)B2- AC的符號(hào)確定是否為極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。條件極值：拉格朗日乘數(shù)法最值：閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最值可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到，先求出在區(qū)域內(nèi)部所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)， 比較這些點(diǎn)與邊界上最值點(diǎn)的函數(shù)值， 邊界上的最值可利用條件極值來求。實(shí)際問題根據(jù)實(shí)際背景來確定是否去最值。6. 變量替換下表達(dá)式的變形P1237. 多元函數(shù)微分學(xué)的反問題由已知滿足的關(guān)系式或條件， 利用多元函數(shù)微分學(xué)的方

55、法和結(jié)論， 求出待定的函數(shù)、 參數(shù)等。特別是已知偏導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式( 方程 ) 求函數(shù)，主要有兩種題型：已知偏導(dǎo)數(shù)，通過不定積分求函數(shù)設(shè)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 f x(x,y尸g(x,y) , f y(x,y=h(x,y),則有J(x, y) = /f(x,y)dx+(f)(y) = /g(x,y)dx+(f)(y)f(x, y) = /fy(x,y)dy+ (Rx) = /g(x,y)dy+ (Hx)已知多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程， 通過變量代換， 化為一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所滿足的方程，即常微分方程，求解微分方程得到函數(shù)。二、二重積分1.二重積分的概念與性質(zhì)定義一一設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域 D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域? 0- 1, ? cr 2？ b n (? 0- i也表示小閉區(qū)域的面積)，任取一點(diǎn)(Ei,刀i) C?*, d表示