高三數(shù)學(xué)備考沖刺140分問(wèn)題39二項(xiàng)式定理與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題含解析

1、問(wèn)題39 二項(xiàng)式定理與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題一、考情分析二項(xiàng)式定理是高考高頻考點(diǎn),基本上每年必考,難度中等或中等以下,二項(xiàng)式定理作為一個(gè)工具,也常與其他知識(shí)交匯命題,如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與定積分交匯等因此在一些題目中不僅僅考查二項(xiàng)式定理,還要考查其他知識(shí),其解題的關(guān)鍵點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn),注意它們的聯(lián)系 二、經(jīng)驗(yàn)分享1.二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為n1.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到n.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.2.求二項(xiàng)展開(kāi)式

2、中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k1，代回通項(xiàng)公式即可3.整除問(wèn)題和求近似值是二項(xiàng)式定理中兩類(lèi)常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題，整除問(wèn)題中要關(guān)注展開(kāi)式的最后幾項(xiàng)，而求近似值則應(yīng)關(guān)注展開(kāi)式的前幾項(xiàng)4.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用基本思路是正用或逆用二項(xiàng)式定理，注意選擇合適的形式三、知識(shí)拓展1.“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，bR)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可；對(duì)形如(axby)n (a，bR)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令xy1即可

3、2.若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1a3a5.四、題型分析(一) 二項(xiàng)式定理與函數(shù)的交匯【例1】設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x0時(shí),ff(x)表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A20B20 C15 D15【答案】A 【解析】x0時(shí),f(x)0,故ff(x)f()()6,其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r1C()6r()r(1)6rC()62r,由62r0,得r3,故常數(shù)項(xiàng)為(1)3C20.【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)x0時(shí),將ff(x)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式【小試牛刀】設(shè)是展開(kāi)式的中間項(xiàng),若在區(qū)間上恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

4、 ）A（,5） B（,5 C（5,） D5,）【答案】D【解析】由題意可知,由得在區(qū)間上恒成立,所以,故選D (二) 二項(xiàng)式定理與數(shù)列的交匯【例2】將（）的展開(kāi)式中的系數(shù)記為,則 【答案】 【解析】（）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為 ,由題意可知,此時(shí), ,所以,所以【小試牛刀】設(shè)二項(xiàng)式n(N*)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和與各項(xiàng)系數(shù)和分別為an、bn,則()A2n13 B2(2n11) C2n1 D1【答案】C【解析】由題意知an2n成等比數(shù)列,令x1則bn也成等比數(shù)列,所以2n1,故選C. (三) 二項(xiàng)式定理與不等式的交匯【例3】若變量滿(mǎn)足約束條件,則取最大值時(shí),二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 .【答案】【解析】畫(huà)出不

5、等式組表示平面區(qū)域如圖,由圖象可知當(dāng)動(dòng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí), 取最大值.當(dāng)時(shí),故由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,由題設(shè)可得,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是,故應(yīng)填答案. 【小試牛刀】已知的展開(kāi)式中與的項(xiàng)的系數(shù)之比為，則的最小值為（ ）A B C D【答案】C【解析】在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是，在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是。由題設(shè)可得，即，所以（當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)），應(yīng)選答案C。 (四) 二項(xiàng)式定理與定積分的交匯【例4】【2017屆福建福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三理適應(yīng)性考試三】已知展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是540,則由曲線(xiàn)和圍成的封閉圖形的面積為 【答案】【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng),令,所以有,求出,所以,聯(lián)立,交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以由曲線(xiàn)和

6、圍成的封閉圖形的面積.【小試牛刀】【山東省德州市2019屆高三模擬】在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)等于264，則等于A(yíng) B C D【答案】B【解析】（a）12的展開(kāi)式的通項(xiàng)為由，得r10，解得a2（舍）或a2（2x）dx（lnx+x2）ln2+4ln11ln2+3故選：B(五) 二項(xiàng)式定理與導(dǎo)數(shù)的交匯【例5】,則（ ）A1008 B2016 C4032 D0【答案】C【解析】設(shè)函數(shù),求導(dǎo)得: , 又,求導(dǎo)得,由令得:故選C【小試牛刀】求證【證明】由二項(xiàng)式定理可得 兩邊取導(dǎo)數(shù)可得令得. (六) 二項(xiàng)式定理與信息遷移題的交匯 【例6】已知m是一個(gè)給定的正整數(shù),如果兩個(gè)整數(shù)a,b除以m所得的余數(shù)相同,則稱(chēng)a

7、與b對(duì)模m同余,記作ab(mod m),例如：513(mod 4).若22015r(mod 7),則r可能等于()A.2013 B.2014 C.2015 D.2016【答案】A【解析】220152223671486714(71)6714(7671C7670C71).因此22015除以7的余數(shù)為4.經(jīng)驗(yàn)證,只有2013除以7所得的余數(shù)為4.故選A.【小試牛刀】用a代表紅球,b代表藍(lán)球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由(1a)(1b)的展開(kāi)式1abab表示出來(lái),如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球、而“ab”則表示把紅球和藍(lán)球都取出

8、來(lái).依此類(lèi)推,下列各式中,其展開(kāi)式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球,且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5B.(1a5)(1bb2b3b4b5)(1c)5C.(1a)5(1bb2b3b4b5)(1c5)D.(1a5)(1b)5(1cc2c3c4c5)【答案】A【解析】分三步：第一步,5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球可能取出0個(gè),1個(gè),5個(gè),則有(1aa2a3a4a5)種不同的取法；第二步,5個(gè)無(wú)區(qū)別的藍(lán)球都取出或都不取出,則有(1b5)種不同的取法；第三步,5個(gè)有區(qū)別的黑球中任取0個(gè),1個(gè),5個(gè),有(1CcC

9、c2Cc3Cc4Cc5)(1c)5種不同的取法,所以所求為(1aa2a3a4a5)(1b5)(1c)5,故選A.四、遷移運(yùn)用1【湖南省懷化市2019屆高三3月第一次模擬】在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為，則的值為（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)?，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為，即；所以.故選C2已知為滿(mǎn)足（）能被整除的正數(shù)的最小值，則的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為（ ）A第項(xiàng) B第項(xiàng) C第項(xiàng) D第項(xiàng)和第項(xiàng)【答案】B【解析】由于，所以，從而的展開(kāi)式中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)差異，又中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，中間項(xiàng)為第項(xiàng)，其系數(shù)為負(fù)，則第項(xiàng)系數(shù)最大3已知服從正態(tài)分布，則“”是“關(guān)于的二項(xiàng)式的展

10、開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為3”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C既不充分又不必要條件 D充要條件【答案】A【解析】由，知因?yàn)槎?xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所以其常數(shù)項(xiàng)為，解得，所以“”是“關(guān)于的二項(xiàng)式的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為3”的充分不必要條件，故選A4已知（），設(shè)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，（），與的大小關(guān)系是（ ）ABC為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，D【答案】C【解析】由可令得；可令得；，而二項(xiàng)式系數(shù)和則比較易得；為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，5【山東K12聯(lián)盟2018屆高三模擬】已知，在的展開(kāi)式中，記的系數(shù)為，則 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，所以，由已知有指的系數(shù)，指的系數(shù)，所以，選A.6將

11、二項(xiàng)式展開(kāi)式各項(xiàng)重新排列,則其中無(wú)理項(xiàng)互不相鄰的概率是（ ）A B C. D 【答案】A【解析】由,知當(dāng)時(shí)為有理項(xiàng),則二項(xiàng)式展開(kāi)式中有4項(xiàng)有理項(xiàng),3項(xiàng)無(wú)理項(xiàng),所以基本事件總數(shù)為,無(wú)理項(xiàng)互為相鄰有,所以所求概率,故選A7若,則展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（ ）A B C D【答案】B【解析】因?yàn)?所以,常數(shù)項(xiàng)為,故選B. 8.已知f(x)|x2|x4|的最小值為n,則二項(xiàng)式展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù)為()A15 B15 C30 D30【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)|x2|x4|的最小值為4(2)6,即n6.展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k1Cx6kkCx62k(1)k,由62k2,得k2,所以T3Cx2(1)215x2

12、,即x2項(xiàng)的系數(shù)為15,選A.9.設(shè)復(fù)數(shù)x(i是虛數(shù)單位),則CxCx2Cx3Cx2 015()Ai BiC1i D1i【答案】C【解析】x1i,CxCx2Cx2 015(1x)2 0151i2 0151i1.10已知,則從集合（）到集合的映射個(gè)數(shù)是（ ）A6561 B316 C2187 D210【答案】A【解析】,所以,所以集合M中有0、1、4、6、,從M到N的映射共有個(gè)選A11設(shè)是大于1的自然數(shù),的展開(kāi)式為.若點(diǎn)的位置如圖所示,則.【答案】【解析】由圖易知,則,即,解得.12【河南省新鄉(xiāng)市2019屆高三下學(xué)期第二次模擬】已知 ，則 _.【答案】【解析】對(duì)等式 兩邊求導(dǎo)，得 ，令，則.13【

13、江西省臨川第一中學(xué)等九校2019屆高三3月聯(lián)考】已知的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為-14，則_【答案】【解析】根據(jù)乘法分配律得 ，.，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓的上半部分.當(dāng)時(shí)，故.14【河北省衡水市第十三中學(xué)2019屆高三質(zhì)檢（四)】已知，記，則的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)【答案】【解析】根據(jù)定積分的計(jì)算，可得 ，令，則，即的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為.15復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）為純虛數(shù),則復(fù)數(shù)的模為 .已知的展開(kāi)式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng),且,則 .【答案】【解析】由題意設(shè),則,所以,即,故的模為.因的通項(xiàng)公式,故當(dāng)時(shí)存在常數(shù)項(xiàng),即,故時(shí)為常數(shù)項(xiàng),所以當(dāng)時(shí)沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)符合題設(shè),故應(yīng)填.16.【遼寧省遼南協(xié)作校2017-2018學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬】二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，把展開(kāi)式中所有的項(xiàng)重新排成一列，則無(wú)理項(xiàng)都互不相鄰的排列總數(shù)為_(kāi)（用數(shù)字作答）【答案】72【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中只有第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開(kāi)式共5項(xiàng)，其通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)項(xiàng)為有理項(xiàng)，所以無(wú)理項(xiàng)有2個(gè)，先把有理項(xiàng)排好有種，從4個(gè)空中取兩個(gè)排上無(wú)理項(xiàng)有種排法，所以共有種排法.17已知的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為,是以為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時(shí),若在區(qū)間內(nèi),函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】令10-2r-3r=0,得r=2,常數(shù)項(xiàng)f（x）的周期為2,且是偶函數(shù),當(dāng)x0,1時(shí)