現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽(分析學(xué)部分)

1、2009現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽（分析學(xué)部分）授課提綱授課對象：2008級數(shù)學(xué)教育碩士專業(yè)學(xué)位研究生班（10位）.授課時間：2009年3月10、17、24（周二晚上18：3021：30），文科樓302教學(xué)宗旨：1.立足“分析”，兼顧全貌；科學(xué)通俗，結(jié)合“兩中”（中國、中學(xué)）；通過現(xiàn)代分析的概覽對數(shù)學(xué)本行有“更了解、更深刻、更熱愛”之裨益. 2.有別于研究型碩士生專業(yè),只要求對泛函分析的思想和方法有一定了解.任課教師：鐘懷杰參考文獻(xiàn)：1 徐利治，20至21世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢的回顧與展望，數(shù)學(xué)教育學(xué)報，9卷1期，2000。2 林革，數(shù)學(xué)奇才-陶哲軒，數(shù)學(xué)通報2006年12期（37頁）3 張奠宙，話說無限，數(shù)學(xué)通

2、報2006年10期（1頁）4 院士訪談，千古存心事，歐高黎嘉陳訪數(shù)學(xué)大師陳省身，百年潮，2007年4期（27）（中央臺大家專欄節(jié)目）5 劉曉力等譯，邏輯人生哥德爾傳，上?？萍冀逃霭嫔?，20026 張順燕，數(shù)學(xué)的美與理，北京大學(xué)出版社，20067 楊紅萍，現(xiàn)代分析之父，數(shù)學(xué)通報，45卷1期（2006）56-61。8 鄭學(xué)安，康托的集合定義與羅素悖論，數(shù)學(xué)通報，45卷2期（2006）1-1。9 張小平，揮舞邏輯魔杖的數(shù)學(xué)大師羅素，數(shù)學(xué)通報，45卷2期（2006）28-2910 鐘懷杰，戴維綱，尋覓那弦外之音-話說一道高考題，福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2005年7期32-34。11 李文林，數(shù)學(xué)史教程，高等教

3、育出版社，2000.12 張奠宙等,數(shù)學(xué)史選講,上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.1998.13 林藝,數(shù)學(xué)小百科,機械工業(yè)出版社,1999.14 李昕生,數(shù)學(xué)科學(xué)與辨證法,首都師范大學(xué)出版社,1995.15 I.馬奧爾, 無窮之旅-關(guān)于無窮大的文化史(通俗數(shù)學(xué)名著譯叢)上海教育出版社,2000.16 王幼軍等,著名數(shù)學(xué)家和他的一個重大發(fā)現(xiàn),山東科學(xué)技術(shù)出版社,2001.17 （美）.帕帕斯,數(shù)學(xué)趣聞集錦(通俗數(shù)學(xué)名著譯叢),上海教育出版社,2001.18 吳文俊主編,世界著名數(shù)學(xué)家傳記(上、下),科學(xué)出版社,1995.19 程民德,主編,中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家傳,(14卷),上海教育出版社1994-2000.20

4、 蔣文蔚著,數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與成就,廣西師范大學(xué)出版社,1996.21 朱新民主編,科學(xué)史上的重大爭論集,湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1988.22 王世強等,獨立于 ZFC的數(shù)學(xué)問題(北師大現(xiàn)代數(shù)學(xué)叢書),北京師范大學(xué)出版社,1992.23 康.瑞德,希爾伯特,上海科學(xué)技術(shù)出版社,1982.24 數(shù)學(xué)與聯(lián)想,(通俗數(shù)學(xué)名著譯叢)上海教育出版社,2000.25 李心燦,當(dāng)代數(shù)學(xué)大師,沃爾夫數(shù)學(xué)獎得主及其建樹與見解,北京航空航天大學(xué)出版社,1999.26 張遠(yuǎn)南,數(shù)學(xué)故事叢書,上?？茖W(xué)普及出版社,19901997(6個分冊).1 無限中的有限-極限的故事2變量中的常量-函數(shù)的故事 3否定中的肯定-邏輯的故事4偶

5、然中的必然-概率的故事 5 未知中的已知-方程的故事 6抽象中的形象-圖形的故事27 (美)M.克萊因,數(shù)學(xué):確定性的消失,(第一推動叢書).湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1997。28 李文林等譯,數(shù)學(xué):新的黃金時代(通俗數(shù)學(xué)名著譯叢),上海教育出版社,2000(4)29 吳振強等著,數(shù)學(xué)中的美數(shù)學(xué)美學(xué)初探.天津教育出版社,1997.30 王士舫,科學(xué)技術(shù)發(fā)展簡史,北京大學(xué)出版社,1997.1 / 1331 (美) M.克萊因,古今數(shù)學(xué)思想(14),上海科學(xué)技術(shù)出版社,1979-198132 R .柯朗,H.羅賓斯,數(shù)學(xué)是什么,湖南教育出版社,1985.33 A.亞力山大洛夫,數(shù)學(xué)它的內(nèi)容.方法.和意

6、義(13),科學(xué)出版社,19621984.34 L.戈丁,數(shù)學(xué)概觀,科學(xué)出版社,1984.35 鄧東皋等,數(shù)學(xué)與文化,北京大學(xué)出版社,1990.36 張光遠(yuǎn),近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展概論,重慶出版社,1991.32(美) H.伊夫斯,數(shù)學(xué)史上的里程碑,北京科學(xué)技術(shù)出版社,1990.33 孫維梓譯,跨越三維空間(數(shù)學(xué)科幻故事精選),上?？茖W(xué)技術(shù)教育出版社,1999.34 任勇.張凡,任勇數(shù)學(xué)教學(xué)藝術(shù)與研究,(全國著名特級教師教學(xué)藝術(shù)與研究叢書),山東教育出版社,2000.35 胡作玄，鄧明立，大有可為的數(shù)學(xué)，河北教育出版社，200636 張景中，數(shù)學(xué)與哲學(xué)，中國少年兒童出版社院士數(shù)學(xué)講座專輯 ，20033

7、7 胡作玄，近代數(shù)學(xué)史，山東教育出版社，200638 王元，李文林譯，美布。謝克特著，我的大腦敞開了-天才數(shù)學(xué)家保羅。愛多士傳奇，上海譯文出版社，200239 嚴(yán)加安，想象力比知識更重要，中國數(shù)學(xué)會通訊，2008年第3期11-18（由2008。6。19在中科院研究生院的演講稿整理）40 蔡天新，數(shù)學(xué)與人類文明，浙江大學(xué)出版社，200841 王梓坤，科學(xué)發(fā)現(xiàn)縱橫談，上海人民出版社，北師大出版社，199342 李建華，張英伯，英才教育之憂，數(shù)學(xué)通報，2009，48（6）：1-6第一節(jié) 關(guān)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與分析學(xué)1.1 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三個時期 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的醞釀時期(19世紀(jì)中葉,1820-1870) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的

8、形成時期(19世紀(jì)末至20世紀(jì)上半葉,1870-1940) 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的繁榮時期(20世紀(jì)下半葉至今,1950- )1.2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眾多分支1.2.1 各種分類法 1 圖書分類法: 中圖分類,中科圖分類,MR.AMS分類,他國分類等. 2 教育分類法: 國務(wù)院學(xué)位委員會.研究生教育工作辦制訂的學(xué)科專業(yè)目錄中,數(shù)學(xué)作為一個一級學(xué)科,下屬的5個二級學(xué)科為基礎(chǔ)數(shù)學(xué),應(yīng)用數(shù)學(xué),概率統(tǒng)計,計算數(shù)學(xué),運籌學(xué)與控制論. 3 科研分類法: 國家自然科學(xué)基金委員會制訂的學(xué)科目錄中,數(shù)學(xué)作為一個一級學(xué)科,下屬的3個二級學(xué)科為0101 基礎(chǔ)數(shù)學(xué), 0102 應(yīng)用數(shù)學(xué), 0103 計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算.他們又分別有

9、下屬的3級學(xué)科,合計為:11+6+6=23個 0101 基礎(chǔ)數(shù)學(xué) (他的11個3級學(xué)科開列如下,他的81個4級學(xué)科分布如下) 010101數(shù)論 又含6個四級學(xué)科 010102代數(shù)學(xué) 14 010103幾何學(xué) 9 010104拓?fù)鋵W(xué) 6 010105函數(shù)論 7 010106泛函分析 6 010107常微分方程 8 010108偏微分方程 6 010109數(shù)學(xué)物理 5 010110概率論 9 010111數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 5 0102 應(yīng)用數(shù)學(xué) (他的6個3級學(xué)科開列如下,他的46個四級學(xué)科分布如下) 010201數(shù)理統(tǒng)計 又含11個四級學(xué)科 010202運籌學(xué) 11 010203控制論 9 0

10、10204若干交叉學(xué)科 5（信息論，經(jīng)濟數(shù)學(xué)，生物數(shù)學(xué)，不確定性理論，分形） 010205計算機的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 5（可解性與可計算性，機器證明，計算復(fù)雜性,VLSI的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)， 計算機網(wǎng)絡(luò)與并行計算） 010206組合數(shù)學(xué) 60103計算數(shù)學(xué)與科學(xué)工程計算(他的6個三級學(xué)科和30個四級學(xué)科分布如下) 010301偏微分方程數(shù)值計算 又含7個四級學(xué)科 010302常微分方程數(shù)值解法 4010303數(shù)值代數(shù) 5010304函數(shù)逼近 5010305計算幾何 5010306新型算法 4由上所列，可以說數(shù)學(xué)科學(xué)按科研分類，共有3個二級學(xué)科，23=11+6+6個三級學(xué)科，157=81+46+30個四級學(xué)科（分

11、支）.1.2.2 與(中學(xué))數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的聯(lián)系 * 從數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展的流變看數(shù)學(xué)分支. * 與數(shù)學(xué)教育的聯(lián)系:小學(xué)的算術(shù)(數(shù)學(xué))-中學(xué)的數(shù)學(xué)(三分)-大學(xué)的“舊三高”-研究生的“新三高”-研究生的5專業(yè)和多方向。1.2.3 分析學(xué)的一般定位. 經(jīng)典微積分- 以泛函分析為基礎(chǔ)的交叉和滲透.1.3 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點與趨勢1.3.1 現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特點1 高度的抽象與統(tǒng)一是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的顯著特點.數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué).在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)迅猛發(fā)展的背景下，數(shù)學(xué)現(xiàn)代性的3個基本特征：概念的高度抽象性、論證（推理）的極端嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的極其廣泛性日益突出.由于后兩點較好理解，容易接受，主要

12、核心是第一特征：抽象，完整地說是高度的抽象與統(tǒng)一.A、 概念與方法的高度抽象，既受實際背景的支配，又決定了實際應(yīng)用背景的廣泛性.數(shù),從自然數(shù)擴展到實數(shù)、復(fù)數(shù)、超復(fù)數(shù)，再抽象到“數(shù)量”：向量，張量，直至有代數(shù)結(jié)構(gòu)的抽象集合中的元素.形,從有形的、平直的、1、2、3維空間到無形的n維、無限維直至抽象空間，包括彎曲空間.在Riemann(18261866)以前，微分幾何的對象是3維空間中的曲線和曲面，方法是向量分析；黎曼以后的對象是n 維微分流形的向量場，方法是張量分析（向量分析方法已無能為力），還引進(jìn)“聯(lián)絡(luò)”結(jié)構(gòu)，與理論物理愛恩斯坦廣義相對論的引力場建立起橫向聯(lián)系，找到實際背景.B、 抽象與統(tǒng)一的

13、辯證關(guān)系.*小學(xué)算術(shù)中的四則應(yīng)用題統(tǒng)一為代數(shù)方法求解.*為了統(tǒng)一必須抽象，有了抽象就能統(tǒng)一（擴大對象范圍，擴大了應(yīng)用對象） 在彈性力學(xué)是描寫振動方程式 同一個微分方程式 流體力學(xué)描寫流體動態(tài)，聲學(xué)家稱為聲學(xué)方程 電子學(xué)家稱為電報方程 * 高度抽象的兩個特點 1、速度快、程度高. 2、抽向到超前于應(yīng)用，追求自身獨立、完美. 2.交叉滲透性（不僅內(nèi)部各分支相互交叉滲透，而且向多學(xué)科交叉滲透）. 現(xiàn)代理論物理中楊振寧-米爾斯規(guī)范場與現(xiàn)代整體微分幾何中陳省身研究的纖維叢之間的那種緊密聯(lián)系，到了令人驚嘆的程度：二者的主要術(shù)語可以一一對應(yīng)-規(guī)范形式-主纖維叢； 規(guī)范勢-（主纖維叢上的）聯(lián)絡(luò)；相因子 -平行

14、移動； 電磁作用-U（1）叢上的連絡(luò)?！拔锢韼缀问且患?，一同攜手到天涯”(陳省身詩句) 3. 電子計算機正在改變著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的面貌.數(shù)學(xué)與理論計算機科學(xué)的不可分割. 4. 數(shù)學(xué)哲學(xué)(數(shù)學(xué)基礎(chǔ))真理的積極探索.(正確對待所謂的第三次數(shù)學(xué)危機). 1.3.2 現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展趨勢展望(參見1、37和10的181-).1. 非線性問題的研究將有大的發(fā)展.2. 離散數(shù)學(xué)的研究將有大的發(fā)展.3. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計的作用不斷擴大.4. 計算數(shù)學(xué)將有大的發(fā)展.5. 數(shù)學(xué)對生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、管理學(xué)等的滲透進(jìn)一步加強.數(shù)學(xué)除了在自然科學(xué)中的應(yīng)用外,在社會科學(xué)中的應(yīng)用,最突出要算經(jīng)濟學(xué)和管理學(xué).時至今日,一位不懂?dāng)?shù)學(xué)的人

15、決不會成為杰出的經(jīng)濟學(xué)家.1969年到1981年間頒發(fā)的13 個諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎中,有7個獲獎工作是相當(dāng)數(shù)學(xué)化的.例如1975年， Kantorovich, 由于對物資最優(yōu)調(diào)撥理論的貢獻(xiàn);1980年, Klein, 設(shè)計預(yù)測經(jīng)濟變動的計算模式1981年, Tobin 投資決策的數(shù)學(xué)模型.“人類的智力活動中,未受數(shù)學(xué)影響而大為改觀的領(lǐng)域已寥寥無幾了.” 1.4 近30年來現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的三方面突出表現(xiàn) 1 數(shù)學(xué)開始從科學(xué)技術(shù)的幕后走到了前臺，從“語言與工具”升格為“方法與技術(shù)”。 2 隨著應(yīng)用日益廣泛，各門科學(xué)技術(shù)對數(shù)學(xué)依賴性日益增強。數(shù)學(xué)對社會經(jīng)濟發(fā)展的推動作用日益顯著。 3 數(shù)學(xué)本身的發(fā)展受益于

16、現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)（尤其計算機技術(shù)）的發(fā)展。第二節(jié) 分析學(xué)的健全和發(fā)展2.1 從微積分的創(chuàng)立-“人類精神的最高勝利”說起2.1.1 牛頓和萊布尼茲共建了微積分方法. 17世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的英雄世紀(jì)，它使初等數(shù)學(xué)（常量數(shù)學(xué)）步入了近代數(shù)學(xué)（變量數(shù)學(xué)）. 1637年，笛卡爾以發(fā)表哲學(xué)論著的形式完成了解析幾何學(xué)的創(chuàng)建. 微積分的概念和法則幾乎是16世紀(jì)下半葉后與近代力學(xué)同時產(chǎn)生和發(fā)展起來的，經(jīng)歷了一百年的孕育.例如，德國天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒于1615年發(fā)表酒桶的新立體幾何學(xué)，就有了化曲為直,通過微小元求和來求曲面（曲邊梯形）的面積和立體的體枳的思想；費爾馬于1636年提出了一個相當(dāng)近代定積分的方法：分割（

17、矩形）求和，取極限（幾何級數(shù)）求和公式）來求曲邊梯形面積；帕斯卡也有類似工作.（但是，由于歷史的局限，牛-萊以前的數(shù)學(xué)家關(guān)注的具體幾何問題或力學(xué)問題特有的解答方法，未能提煉、升華為統(tǒng)一方法而形成一門新學(xué)科），創(chuàng)立具有普遍意義的抽象概念，提煉出具有普遍意義的符號、規(guī)則和運算方法的微積分學(xué)的最后一棒接力棒，是在牛萊中獨立完成的.以至于有過牛與萊在微積分的功勞簿中孰為優(yōu)先的爭議.2.1.2 微積分基礎(chǔ)的理論缺陷導(dǎo)致了“第二次數(shù)學(xué)危機” 由于沒有嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)，微積分理論的一些最基本的概念,含糊不清,導(dǎo)致了相當(dāng)長的一段時期的矛盾狀況:一方面,人們因為微積分的運算的結(jié)果(結(jié)論)經(jīng)得起實踐的檢驗而不得不接

18、受它(象小孩看魔術(shù)表演一樣);另一方面,人們又以理性思辯對它的混亂推證邏輯進(jìn)行無情的揭露和批判. 混亂程度舉例:根本不考慮是否可導(dǎo)(可微)性的可積性,也不考慮無窮級數(shù)的斂散性,就濫用運算法則- 萊布尼茲:因為 =1-x+x-x+x-x+x-,故當(dāng)以x=1代入時,就得=1-1+1-1+1- 18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家歐拉: 0=1-2 + 3 - 4 +(-1) n + 拉格朗日(1797)在專著解析函數(shù)中確認(rèn)連續(xù)函數(shù)一定可微,并一定可表成冪級數(shù). 馬克思的批判:略去高階無窮小是 “暴力鎮(zhèn)壓”， “肯定是通過不正確的數(shù)學(xué)途徑得出了正確的結(jié)果.” 18世紀(jì)形成的微分方程、 解析力學(xué) 、變分法、 微分幾

19、何等新分支,都是建立在不嚴(yán)格的基礎(chǔ)理論上的.它妨礙了數(shù)學(xué)分析的進(jìn)一步發(fā)展.2.2 奠定分析學(xué)現(xiàn)代基礎(chǔ)理論的先驅(qū)柯西(法 A.L.Cauchy 17891851)數(shù)學(xué)史家多認(rèn)為,19世紀(jì)數(shù)學(xué)的特色為:近代數(shù)學(xué)成熟期和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的孕育期. 柯西的三大著作: <分析學(xué)教程> (1821) <無窮小分析原理概要> (1823)和<分析的幾何應(yīng)用原理> (18261828) 集數(shù)學(xué)分析之大成,奠定了以極限理論為基礎(chǔ)理論的現(xiàn)代分析體系,在數(shù)學(xué)分析的發(fā)展史上建樹了一座有創(chuàng)時代意義的里程碑.柯西描述的幾個概念:極限 、無窮小、 函數(shù)的連續(xù)性、 導(dǎo)數(shù)、 微分和積分.柯西的不足:

20、雖然偶爾也用 - 方法作推證,但沒有將它作為根本方法來定義數(shù)學(xué)分析的一系列重要概念.另外,他和他同時代的數(shù)學(xué)家們對一致連續(xù),一致收斂等觀念淡薄.他斷言:如果 u(x) 連續(xù),且 （x）=F(x) 收斂,則 F(x)也連續(xù),且可逐項積分: = 阿貝爾(挪威)于1826年舉反例指出 “連續(xù)函數(shù)級數(shù)之和并不一定連續(xù)”: sinx - + - + 2.3分析嚴(yán)格化運動的主將，現(xiàn)代分析之父魏爾斯特拉斯 （德.Weirstrass 1815-1897 ） l 其傳奇經(jīng)歷-半路出家,大器晚成.一個中學(xué)數(shù)學(xué)教師的成才之路.桃李滿天下的數(shù)學(xué)教育家。* 其主要思想方法-用-方法,完全不承認(rèn)數(shù)學(xué)分析的幾何直觀,一心

21、把 “分析算術(shù)化”, 通過對常量的否定之否定,使數(shù)學(xué)分析又從動態(tài)化過渡到靜態(tài)化,病態(tài)函數(shù)的構(gòu)造大師,給出了最著名的處處連續(xù)卻處處不可微的函數(shù)反例.* 德國的黎曼和法國的達(dá)布,嚴(yán)格地建立了黎曼積分概念.* 實數(shù)理論和集合論最終完善了經(jīng)典分析.2.4 現(xiàn)代數(shù)學(xué)劃時代的標(biāo)志-康托爾(德 Cantor 1845-1918)和他創(chuàng)立的集合論.* 康的成功與不幸.* 康在實數(shù)理論完善中的功勛:用有理 “基本序列”等價類定義無理數(shù),證明實數(shù)系的完備性.* 自17世紀(jì)到19世紀(jì)近三百年的數(shù)學(xué)發(fā)展史,幾乎就是分析學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)哲學(xué)的歷史,而康托創(chuàng)造的集合論不僅為數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)精確化這一宏偉工程劃上了句號,而且給數(shù)學(xué)

22、的統(tǒng)一提供了一個新的基礎(chǔ)-現(xiàn)代數(shù)學(xué)的公理化集合論方法 (見13康托爾傳中希爾伯特、羅素和科爾莫戈洛夫等對康托爾工作的評價).2.5 分析學(xué)的多學(xué)科發(fā)展和世紀(jì)之交的三巨人:龐加萊( 法 H.Poincare 18541912),克萊因(美 F.Klein 18491925)和希爾伯特 (德. D. Hilbert 18621943)2.5.1 復(fù)分析和它的主要創(chuàng)立者柯西,黎曼和魏爾斯特拉斯.2.5.2 分析方法的應(yīng)用于-解析數(shù)論的形成.2.5.3 數(shù)學(xué)物理方程與微分方程. 第三節(jié) 二十世紀(jì)分析學(xué)的成就3.1 希爾伯特的23個數(shù)學(xué)問題拉開了新世紀(jì)的序幕希爾伯特和哥廷根學(xué)派(見7 的216218和1

23、3 的11991222 )3.2 經(jīng)典分析與現(xiàn)代分析的分水嶺-實變函論與它的創(chuàng)立者勒貝格(法 H. Lebesgue 18751941)(見13的 1300-1306和 6 的 276278)3.3 巴拿赫(波蘭 S. Banach 18921945)和現(xiàn)代分析的一大支柱-泛函分析* 泛函分析的形成(變分法 、微分方程、希爾伯特空間)* 巴拿赫的兩部著作. 波蘭獨樹一幟,異軍突起. 里沃夫?qū)W派浪漫而富傳奇色彩的討論班-蘇格蘭咖啡館.(見 13 的 1455-1463, 30 的 400406)*泛函分析的創(chuàng)立期(基本思想和方法,幾個著名的基本問題)*蓋爾范德(蘇聯(lián)學(xué)派,及其對中國泛函授分析的影

24、響).*泛函分析的基本概念，基本思想，基本方法。3.4 高爾斯(英 W.T.Gowers 1963-)和菲爾茲獎.3.5 非線性泛函分析的發(fā)展第四節(jié) 分析學(xué)在交叉滲透中異彩繽紛4.1 分與合的辯證統(tǒng)一 從分析學(xué)角度既可以看數(shù)學(xué)各分支界限的模糊化,又可以看數(shù)學(xué)美學(xué)的統(tǒng)一與和諧性(本節(jié)內(nèi)容見 6 的11.3.數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化,292-298)l 微分拓樸與代數(shù)拓樸，從奇點理論到突變理論。l 整體微分幾何，從嘉當(dāng)，陳省身到突變理論.l 費爾馬大定理的解決是對代數(shù)幾何的一大考驗和檢閱.l 華羅庚和中國數(shù)學(xué)家們在多復(fù)變函數(shù)理論研究方面的特色。l 動力系統(tǒng)中的莫爾斯理論。l 偏微分方程與泛函分析。l 隨機分析

25、的方興未艾。數(shù)學(xué)的有機統(tǒng)一，是這門科學(xué)的特點，按照希爾伯特的觀點， “數(shù)學(xué)理論越是向前發(fā)展，它的結(jié)構(gòu)就變得越加調(diào)和一致，并且這門科學(xué)一向相互隔絕的分支之間也顯露出原先意想不到的關(guān)系.因此隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，它的有機的特性不會喪失，只會更清楚地呈現(xiàn)出來.”20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，證實了希爾伯特的看法.盡管現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識千差萬別，在作為整體的數(shù)學(xué)中，使用著相同的工具與算法，存在著概念的親緣關(guān)系，數(shù)學(xué)內(nèi)部的這種統(tǒng)一性，也正是它能夠作為科學(xué)的普遍語言的根源所在，必然對它所應(yīng)用的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域帶來深遠(yuǎn)影響.正因為如此，數(shù)學(xué)家對聯(lián)系數(shù)學(xué)中不同領(lǐng)域與部門追求統(tǒng)一的工作，總是給予高度評價，數(shù)學(xué)科學(xué)的統(tǒng)一趨勢將保持下去，并

26、繼續(xù)成為21世紀(jì)的數(shù)學(xué)特征。 4.2 數(shù)學(xué)與哲學(xué),如何看待所謂數(shù)學(xué)的第三次危機.l 集合論悖論.l 三大學(xué)派: 邏輯主義,直覺主義和形式主義l 數(shù)理邏輯的四大分支: 公理化集合論,證明論,模型論和遞歸論.l 從絕對真理與相對真理的關(guān)系,任何一門科學(xué)在前進(jìn)中都會遇難到新問題的觀點 坦然地淡化危機.4.3 關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)分析l 20世紀(jì)60年代開創(chuàng)的三個新的數(shù)學(xué)分支:非標(biāo)準(zhǔn)分析,突變理論和模糊數(shù)學(xué).l 對包括非標(biāo)準(zhǔn)分析在內(nèi)的三個新分支的態(tài)度.4.4 關(guān)于中國數(shù)學(xué)趕超世界水平l 漫談數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)家,數(shù)學(xué)學(xué)派和世界數(shù)學(xué)中心.從陸家羲現(xiàn)象談起,2002年世界數(shù)學(xué)家大會前后對中國數(shù)學(xué)的展望,關(guān)于學(xué)有淵源和學(xué)無常師的辯證統(tǒng)一,關(guān)于奧賽和數(shù)學(xué)第二課堂,關(guān)于數(shù)學(xué)教師晉升高級的必要條件,關(guān)于高中數(shù)學(xué)教師的合格考試-數(shù)學(xué)高考合格.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接.中學(xué)數(shù)學(xué)新課改的爭鳴與憂思。陳省身先生身前身后的聲音。關(guān)于陶哲軒現(xiàn)象的反思。 ( 初稿于01年7月22日,8稿于2009-3-8) 思 考 題1 結(jié)合實例說明近30年來現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的三方面突出表現(xiàn)。2 請你談?wù)劺杪e分與勒貝格積分的聯(lián)系與區(qū)別（可以從各自產(chǎn)生的背景，從被積函數(shù)-對象，從求積分值的手段-思想方法，從所達(dá)到的效果-目的等方面進(jìn)行比較，也可以舉例說明），有人說勒貝格積分的創(chuàng)立是分析學(xué)告別經(jīng)典，進(jìn)入現(xiàn)代的標(biāo)志