高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)平面向量的概念及應(yīng)用教案

1、平面向量的概念及應(yīng)用(1)平面向量的實(shí)際背景及基本概念通過力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；(2)向量的線性運(yùn)算通過實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線的含義；了解向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義。(3)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表不了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算; 理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件。本講內(nèi)容屬于平面向量的基礎(chǔ)性內(nèi)容，與平面向量的數(shù)量積比較出題量較小。命題走向以選擇題

2、、填空題考察本章的基本概念和性質(zhì)，重點(diǎn)考察向量的概念、向量的幾何 表示、向量的加減法、實(shí)數(shù)與向量的積、兩個(gè)向量共線的充要條件、向量的坐標(biāo)運(yùn) 算等。此類題難度不大，分值 59分。預(yù)測2017年高考：(1)題型可能為1道選擇題或1道填空題；(2)出題的知識(shí)點(diǎn)可能為以平面圖形為載體表達(dá)平面向量、借助基向量表達(dá)交 點(diǎn)位置或借助向量的坐標(biāo)形式表達(dá)共線等問題。多媒體課件.知識(shí)梳理:1 .向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母表示，如：點(diǎn)幾何表示法AB, a;坐標(biāo)表示法 a xi yj （x, y）。向量的大小即向量的模（長度），記作| aB |即

3、向量的大小，記作I a |。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。零向量長度為0的向量，記為 0,其方向是任意的，0與任意向量平行零向量 a =II教學(xué)過程0 a I =0。由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量 平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個(gè)條件。（注意與0的區(qū)別）單位向量模為1個(gè)單位長度的向量，向量 a0為單位向量I a0 1 = 1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作a / b o由于向量可以進(jìn)行任意的平移 （即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上

4、，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取， 現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好 平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a b。大小 . .x1 x2 相等，方向相同（x1,y1） （x2,y2）。yi y22 .向量的運(yùn)算 （i）向量加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法。設(shè)aBI +b = aBo規(guī)定:(1)0 a a 0 a ；(2)向量加法滿足交換律與結(jié)合律;向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”(1)用平行四邊形

5、法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被 減向量。(2)三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向 量的終點(diǎn)。當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則。向量加法的角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：aB bC cD hi pQ qR aR，但這時(shí)必須“首尾相連”。(2)向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。記作 a,零向量的相反向量仍是零向量。關(guān)于相反向量有：(

6、i)( a) =a ;(ii) a +( a )=( a )+ a = 0 ; (iii)若a、 b是互為相反向量，則a= b,b = a,a+b=0。向量減法向量a加上b的相反向量叫做 a與b的差,記作：a b a ( b)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。作圖法：a b可以表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量(a、b有共同起點(diǎn))。(3)實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè)向量，記作 入a ,它的長度與方向規(guī)定如下：(I ) | a | |a|；(n)當(dāng)0時(shí)，入a的方向與a的方向相同；當(dāng) 0時(shí)，入a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a 0,方向是任意的。數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律。3

7、.兩個(gè)向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b = a。4.平面向量的基本定理如果e1 ,e2是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a ,有且只有一對實(shí)數(shù) 1, 2使：a 1e1 2e2其中不共線的向量 e,e2叫做表示這一 平面內(nèi)所有向量的一組基底。5.平面向量的坐標(biāo)表不(1)平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量tj作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量a可表 示成目x, yj ,由于a與數(shù)對(x,y)是一一對應(yīng)的，因此把(x,y)叫做向量,的坐 標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫作a在x軸上的坐標(biāo)，y叫

8、做在y軸上的坐標(biāo)。規(guī)定：(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量；(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對位置有關(guān)系。(2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若；x1,y1 ,bx2,y2 ,則 a bx1 x2,y1 y2 ；若 A x1, y1 , B x2, y2 ,則 AB x? x1, y? y1 ;若a=(x,y)，則 a=( x, y);若 Jx1,y1 ,bx2,y2 ，則 abx1y2 x2y1 0。二.典例分析給出下列命題:兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量;若A, B, C, D是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形 ABCM平行四邊形的充要條件

9、;若a與b同向，且| a| b| ,則ab;入，林為實(shí)數(shù)，若Xa=小，則a與b共線.其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4不正確.當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線.| 1. AB / DC .又A, B, C, D是不共線的四點(diǎn),四邊形ABCDI平行四邊形.反之，若四邊形 ABCD1平行四邊形，則 AB觸DC且AS與 E方向相同，因此不正確.兩向量不能比較大小.不正確.當(dāng) 入=（1=。時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足 入a=b，但a與b不一定共線.2由題悟法1 .平面向量的概念辨析題的解題方法準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對相等向量、零向量等

10、概念的理解要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.2 .幾個(gè)重要結(jié)論向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性;(2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量;向量平行與起點(diǎn)的位置無關(guān)3以題試法設(shè)ao為單位向量，若 a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則 a=|a|ao；若a與ao平行，則a= | a| ao；若a與ao平行且| a| = 1,則a= ao.上述命題中，假命題的個(gè)D. 3C. 2解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命題；若 a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向,是反向，反向時(shí)a=-|a|ao,故也是假命題.綜上所述

11、，假命題的個(gè)數(shù)是3.向量的線性運(yùn)算(2011 eF =()A. 0c.點(diǎn)（2）在ABC43,已知D是AB邊上一點(diǎn)，若1典題導(dǎo)入正六邊形 ABCDE中,四川高考）如圖,B.D.b.3則入等于（）A.3C-32D-3(1)如圖，在正六邊形 abcdeF, cD = aF, bF = cE, .Ba+cD+eF=bA+aF+eF=bF+tF=cE=CFcD=cA+aD , .2cD=cA(2) . C又 aD=2.2+ CB + AD +D(2)A若(2)中的條件作如下改變： 若點(diǎn)D是AB邊延長線上一點(diǎn)且| cD=、cb+hCA,則入一h的值為對,BDi =i bA ,若解析：:入=2,- 1. 入

12、一 w = 3.答案：32由題悟法在進(jìn)行向量的線性運(yùn)算時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則求解，并注意利用平面幾何的性質(zhì)，如三角形中位線、相似三角形等知識(shí).3以題試法2. (2012 漢陽調(diào)研)若八，B, C D是平面內(nèi)任意四點(diǎn)，給出下列式子: aB+cd=bcLdA； aC+就忘+點(diǎn)；.其中正確的有()A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)解析：選C式的等價(jià)式是D. 3個(gè)7B-BC=DA-cDADc ,不一定相等；式的等價(jià)式是db = AB成立；式的等價(jià)式是右+aC - dC = AB BD , ad =共線向量1典題導(dǎo)入設(shè)兩個(gè)非零向量aJr b不共線.BC = 2a

13、+ 8b )=a+ b,cD =3(a-b).求證：A B, D三點(diǎn)共線;(2)試確定實(shí)數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.(i)證明：aB=2a + 8b + 3( a b)= 2a+8b+3a-3b= a + b, bC = 2a+ 8b,共線,= 5(a+b) = 5t -2k=0,又.它們有公共點(diǎn) B,，A, B, D三點(diǎn)共線.(2) ka+ b與 a+kb共線,，存在實(shí)數(shù)入,使ka+b=入(a+ kb),即 ka+ b=入 a+ 入 kb. ( k入)a =(入 k 1) b. a, b是不共線的兩個(gè)非零向量， - k X =入 k1 = 0,即卜2-1=0. - k= 1.2由題悟法1

14、 .當(dāng)兩向量共線時(shí)，只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，解決向量共 線問題要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.2 .證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的 區(qū)別與聯(lián)系.3以題試法3 .已知 a, b 不共線，oA = a, oB =b, oC = c, OD =d, OB = e，設(shè) t CR,如果3a=c, 2b=d, e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù) t使C, D, E三點(diǎn)在一條直線 上？若存在，求出實(shí)數(shù) t的值，若不存在，請說明理由.解：由題設(shè)知， CD = d-c=2b-3a, cE = e-c=(t-3)a+tb, C, D, E 三 點(diǎn)在一條直線上的充要

15、條件是存在實(shí)數(shù) k,使得CE = kCD ,即(t 3) a+1 b= 3ka + 2kb,整理得(t -3+3k)a=(2k-t)b.因?yàn)閍, b不共線，所以有t -3+3k=0,入=(112.解之得t = 5. 6故存在實(shí)數(shù)受吏G D E三點(diǎn)在一條直線上.（2012 蘇北四市聯(lián)考）如圖，在四邊形 ABCEfr, AC和AD =a, TB =b,若 ABBD相交于點(diǎn)O,設(shè)（用向量a和b表示）.AB =2=2, DOO BOA 且 OC= 2, O 2)=3a+2b =3a+3.213a+3b2由題悟法,則，所以入十m 1 - m=2 + -2-2=3 (用向量基本定理解決問題的一般思路是：先

16、選擇一組基底，再用該基底表示向量，也就是利用已知向量表示未知向量，其實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算.3以題試法1. （2012 南寧模擬）在ABC, M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn), b+aC,則入+科的值為（）1A.21C.4-m)1B.3D. 1解析：選A設(shè)+ m，1-mO + -2-AC平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算)(0 wmc 1),則1典題導(dǎo)入（2012 西城期末）已知向量a= （V3, 1）, b=（0, 2）.若實(shí)數(shù)k與向量c滿足a + 2b=kc,則c可以是（）A.（而 T）B. (-1, 3)c (-小，-1)(2)已知 7 2,4) , B(3

17、 , 1) , q求 3a+ b 3c；求滿足a=nb+nc的實(shí)數(shù)m n.(1) -. a=(3, 1), b=(0, -2),. a +2b=(小，3)= 一4(1,小).(2)由已知得 a=(5, 5), b=(-6, 3), c=(1,8) 3a+b3c= 3(5, 5) + ( 6, 3)3(1,8)= (1563, 15-3-24)=(6 , - 42).mb+nc = ( 6m+ n, - 3m+ 8n),6m+ n = 5,3m+ 8n= 5,m= - 1, 解得n= - 1.(1)D一題多變標(biāo).本例中第（2）題增加條件cM =3c,oN = 2b,求M, N的坐標(biāo)及向量zN的坐

18、解：,=3c +；=(3,24) +(-3, - 4) = (0,20)cN=oN-oC= 2b,= -2b +N(9,2) . .= (12,6) +(3, 4) = (9,2)= (9, - 18).2由題悟法1 .向量的坐標(biāo)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，從而可使幾何 問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算.2 .兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相同.此時(shí)注意方程（組）思想的應(yīng)用.向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同：向量平移后，其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都發(fā)生變化，但向量的坐標(biāo)不變.3以題試法2. （2012 淮安模擬）已知向量 a= （6,4） , b=（0,2） , OC=a+Xb, O為坐標(biāo)兀原點(diǎn)，若點(diǎn)C

19、在函數(shù)y=sin 談的圖象上，則實(shí)數(shù) 入的值為解析：由題意得 OC = （6,4） +入（0,2） = （6,4 + 2入），故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6,4 + 2人）,根據(jù)條件得4 +2入=sin彳2= 1,解得X =.答案：- 21紀(jì)1平向向量共線的坐標(biāo)表示典題導(dǎo)入（2011 廣東高考）已知向量a=（1,2） , b= （1,0） , c=（3,4）,若 人為實(shí)數(shù),(a+ 入 b) / c,貝U 入=()1A.41B. 2C. 1D. 2可彳導(dǎo)a+入b= （1 +入，2）,由（a+入b） / c彳#（1 +入）x 43X 2= 0,所以入_ 1=2.B一題多變在本例條件下，問是否存在非零常數(shù)入，使

20、a+入b和a入c平行？若平行，是同向還是反向？解：a+ 入 b=（1 + 入，2） , a入 c=（1 3入，2 4 入）,若（a+ 入 b） / （a入 c） ,（1 + 入）（2 4 入）一2（1 3X）=0.入=1.a+ 入 b= （2,2）與 a入 c= （ 2, 2）反向.即存在 入=1使a+入b與a入c平行且反向.2由題悟法a/ b的充要條件有兩種表達(dá)方式（1） a/ b（bw0）? a=入 b（入 C R）；（2）設(shè) a=（x1, y1）, b=（x2, y2）,則 a/b? x2 x2y1 = 0.兩種充要條件的表達(dá)形式不同.第（1）種是用線性關(guān)系的形式表示的，而且有前提條件bw0,而第（2）種無bwo限制.3以題試法3. (1)(2012 北東東城區(qū)綜合練習(xí))已知向量 a=(2,3) , b=( 1,2),若 ma+nb與a2b共線，則9=(B. 2A. -21D.2解析：選 C 由向量 a= (2,3) , b= ( 1,2)得 na+nb= (2 m- n, 3m+ 2n),a2b =(4 , 1),因?yàn)?ma+nb 與 a2b 共線，所以(2 m- n)x( 1)(3