初中數(shù)學(xué)千題解——最值問題100題(教師版)

1、初中數(shù)學(xué)千題解一一最值問題100題（教師版）1.如圖3.1所示，在RtAABC中，Z A=30 °, AB=4,點D為邊AB的中點，點P為邊AC上的動點，則PB+PD 的最小值為（）A. 3B. 2. 2A. 2 .3A. 4,5，一 一一 _ -' ' 、"，、一| ' _ * 1 .解延長BC至點B ,使BC BC ,連接B P、B A,如圖4.1所不， .AC 垂直平分 BB',B'A BA, .AC 平分 B'AB. 'I.、. 一 CAB 30 , B AB 60 ,ABB 為等邊三角形. 點 P 為 AC

2、上一點,p PB PB' , . PB PD PB' PD B'D ,當(dāng)且僅當(dāng)b'、P、D在同一直線上時，如圖 4.2所示，PB PD取得最小值.在 Rt ADB'中，AD 1 AB 2 , B AB 60 ,. BD AD g tan60 V3AD 2,/3 , 2故答案是C.思路點撥：這是典型的 將軍飲馬”型線段和最值問題，利用對稱法將動線段構(gòu)造至動點P所在直線的兩側(cè)；根據(jù) 兩點之間線段最短”找到最小值位置，利用勾股定理進(jìn)行計算即可拓展若點D為邊AB上任意一定點，則依舊可以根據(jù)勾股定理和60°特殊角計算B'D的長度；若點 D是邊.

3、. . . 、. AB上的一動點，則 BD將變?yōu)橐粭l動線段，利用垂線段最短”可確定最值位置還是在中點處 .一 一 .一12.如圖3.2所不，在矩形 ABCD中，AB=5, AD=3,動點P滿足Svpab=S矩形abcd ,則點P到AB兩點距離3之和PA+PB的最小值為.AB圖3.22.解令點P至ij AB的距離為d.15=5= 一 g d g 5 , d 2 ,2點P為到AB距離為2的直線k、l2上的點.直線L、l2關(guān)于AB對稱，因此選其中一條進(jìn)行計算作點B關(guān)于直線li的對稱點B',連接BC、B,P、AB',如圖4.3所示,PA PB PA PB AB ,當(dāng)且僅當(dāng)A、P、B&#

4、39;三點共線時取得最小值，如圖 4.4所示. ''在 Rt ABB 中，AB 5 , BB 2d 4 ,ab TAB2Bb 舊4 ,故pa pb的最小值是74T.i、圖43圄44思路點撥：這是典型的 將軍飲馬”型線段和最值問題.根據(jù)題目中中給出的面積關(guān)系，可判斷點 P的運(yùn)動軌跡為直線（或稱為 隱線”）；利用軸對稱的性質(zhì)，構(gòu)造對稱點B',再運(yùn)用線段公理獲得不等式；根據(jù)勾股定理計算最值A(chǔ)B'.1 -3.如圖3.3所不，在矩形ABCD中，AD=3,點E為邊AB上一點，AE=1，平面內(nèi)動點P滿足&pab = - S矩形abcd，3則|DP- EP的最大值為.D

5、CA EB圖3.33.解令點P到AB的距離為d. 1S PABS巨形ABCD， d 2，3點P在到AB距離為2的直線li、12上，如圖4.5所示.作點E關(guān)于直線li的對稱點E ,連接ED并延長交直線li于點P,連接EP,如圖4.6所不， ' E P EP.當(dāng)點 P在直線li上時，|DP EP DPE'PE'D,當(dāng)且僅當(dāng)D、E'、P三點共線時取得最大值EDi2 i22 .當(dāng)點P在直線I上時，| DP EP ED ,當(dāng)且僅當(dāng)D、E、P三點共線時取得最大值，如圖 4.7所示.在 RtAADE 中，AD 3, AE i ,，DE 732 i2 而，|DP EP ED 加

6、，當(dāng)點P為DE的延長線與直線l2的交點時有最大值 屈.思路點撥：解法如題2,需要找出滿足條件的點 P所在的 隱線"，這里兩條直線均要考慮（因為圖形不對稱）.由于兩邊之差小于第三邊，在共線時取得最大值，故遵循同側(cè)點直接延長，異側(cè)點需對稱后再延長 ”的規(guī)律，分別計算最大值并進(jìn)行大小比較 .特別說明筆者認(rèn)為這里的最大值只能取一個值.改編此題的目的是讓大家不要忽略矩形外的隱線”，畢竟題中敘述點P時用的是 平面內(nèi)”，而非 矩形內(nèi)”.21.1, 1，則AB在x軸的兩側(cè),4.已知y = Jx2- 2x+ 2+ Jx + 2x+ 2 ,則y的最小值為4 .解原式7 1 20 1 2 J x 1 20

7、建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) P x, 0 , A 1,1 , BPB x 1 2022 y x 10 1當(dāng)A、P、B三點共線時, 思路點撥：y值最小，y minABPA PB AB , 2 2.若將式子看作函數(shù)，對于初中生來說解題難度較大.若換個角度，將每一個根式都看作是兩點間的距離（距兩點之間線段最離公式是平面直角坐標(biāo)系中的勾股定理），則將問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的幾何最值模型5 .已知 y= 7（x 3）2 + 9- J（x- 1）2 + 4 ,則 y 的最大值為.22"225.解原式0x3 0 3 x x 10 2 .建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P x,0 , A 3,3 , B 1,2 ,2

8、T22 . PA J x 30 3 , PB J x 10 2,2T22. y J x 30 3 x x 10 2 PA PB AB ,當(dāng)A、P、B三點共線，即點 P在AB延長線上時y值最大，.二ymax AB 向思路點撥：閱讀題目時需觀察清楚斗”或切不可盲目下筆.本題與題4形式相似，解法相近，但是又有所不同將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的兩條線段的差；利用三邊關(guān)系中的兩邊之差小于第三邊，共線時取等 找到最大值.6 .如圖3.4所示，在等腰 RtAABC中，/ BAC=90°, AB=AC, BC=4J±,點D是邊AB上一動點，連 接CD,以AD為直徑的圓交 CD于點E,則

9、線段BE長度的最小值為.EAB解：連接AE,取AC得中點F,連接EF,如圖4. 8所示.AD是圓的直徑AED =90°AEC= 90°EF= - AC=22.點E的軌跡為以點F為圓心的圓?。▓A的定義） .BE 汨F EF當(dāng)且僅當(dāng)B、E、F三點共線時等號成立，如圖4. 9所示在 RtAABF 中，AF=2, AB = 4BF = JAF2 + AB2 = 722 + 42 = 2而,BE min =BF-EF = 2 V5 -2思路點撥閱讀題目時要找到三條關(guān)鍵信息：點E為圓周上一點，AD所對的圓周角是 90°, / DEC是平角，連接AE后就找到了定弦定角（或斜邊上

10、的中線），若一個角的度數(shù)和其所對的一條線段均為定值，則這個角的頂點的軌跡為圓（根據(jù)題目需求判斷是否需要考慮兩側(cè)）.因此判斷出點E的軌跡是圓（不是完整的圓，受限于點D的運(yùn)動范圍）.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，知 B、E、F三點共線時BE取得最小值.7 .如圖3.5所示，正方形 ABCD的邊長是4,點E是邊AB上一動點，連接 CE,過點B作BGLCE于點 G,點P時邊AB上另一動點，則 PD+PG的最小值為.解：取BC得中點F,連接GF,作點D關(guān)于AB的對稱點D連接D'P、D'A,如圖4.10所示.DP = D PBGC = 90°,點F為BC的中點 GF= - BC= 2 2

11、. , PD + PG= PD '+ PG 打G又 D'G+GF*'F .PD + PG+GFR'FGF如圖4. 11所示，當(dāng)且僅當(dāng) D'、P、G、F四點共線時取得最小值.根據(jù)勾股定理得 D F = 742 + 62 = 2炳 .PD + PG的最小值為 2 而 一2思路點撥不難發(fā)現(xiàn)/ BGC=90°是個定角，因此點 G的軌跡為以BC為直徑的圓（部分），可以通過斜邊上的中 線構(gòu)造長度不變的動線段，再利用三邊關(guān)系求解.8 .如圖3.6所示，在矩形 ABCD中，AB = 2, AD=3,點E、F分別為邊 AD、DC上的點，且 EF = 2,點 G為

12、EF的中點，點P為邊BC上一動點，則PA+ PG的最小值為.解：作點A關(guān)于BC的對稱點A,連接AB、AP、DG,如圖4.12所示PA'= PAPA+ PG= FA + PG . / ADC =90°, EF = 2 DG= -EF= 1 2 , PA'+ PG+DG 泳 DPA'+ PG / D DG如圖4. 13所示，當(dāng)且僅當(dāng) A'、P、G、D四點共線時等號成立根據(jù)勾股定理得AD= x/AA2+ AD2 =PA+ PG的最小值為2AB22+ AD =54.思路點撥EF始終不變，線段EF所對的角與題7的已知條件是相似的，解法幾乎一致，抓住核心條件，線段

13、 為直角，因此斜邊上的中線 DG始終不變，從而判斷出點 G的軌跡圖形為圓.利用軸對稱的性質(zhì)將線段和 最小值問題轉(zhuǎn)化為點到動點的距離最小值問題，再根據(jù)圓外一點到圓周上一點的距離最值求解.9 .在平面直角坐標(biāo)系中，A(3, 0), B(a, 2), C(0, m), D(n, 0),且m2+n2=4,若點E為CD的中點,則AB + BE的最小值為()A. 3B. 4C. 5D. 25解：: C(0, m), D(n, 0), m2+n2=4,.CD2=4, .CD = 2在RtACOD中，點E為CD的中點.OE=1,即點E在以。為圓心，1為半徑的圓上.作圖4. 14,連接OE,過點A作直線y=2的

14、對稱點A：連接AB、AO，A' (3 4) .AB+ BE=AB+BE= A'B+ BE+EO EOO-EO如圖4.15所示，當(dāng)且僅當(dāng) A'、B、E、O四點共線時等號成立.根據(jù)勾股定理得 A O = 斤K = 5. AB+BE的最小值為 4思路點撥根據(jù)兩點之間的距離公式 m2+n2=CD2,得到CD的長度；由已知條件判斷出 OE為斜邊上的中線，OE= -CD (定值)；根據(jù)圓的定義可知點 E的軌跡是以坐標(biāo)原點為圓心、-CD為半徑的圓；利用對稱的22性質(zhì)將線段和的最值問題轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓周上一點的距離最值問題.BCD,則AD的取值范圍為.10.如圖3.7所示，AB =

15、3, AC=2,以BC為邊向上構(gòu)造等邊三角形解：以AB為邊向上作等邊 AABE,連接DE,如圖4. 16所示 .AB=BE, CB=BD, Z ABC=Z EBD=60°-Z CBE在AABC和AEBD中AB BE,ZABE Z EBD,CB BD, AABg AEBD(SAS)DE = AC=2.點D的軌跡是以點 E為圓心，2為半徑的圓.AE- ED<AD<AE+ ED如圖4. 17和圖4. 18所示，當(dāng)且僅當(dāng) A、E、D三點共線時取得最值1<AD<5思路點撥這樣理解AB=3, AC = 2這個條件：固定一邊 AB, / CAB可以自由變化，因此點 C的軌跡

16、是以點 A 為圓心、2為半徑的圓.通過構(gòu)造全等圖形找出點D的運(yùn)動軌跡.利用圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題.拓展本題的解法較多，對于定點+動點”的最值問題，探究動點的軌跡圖形時直接的方法.11.如圖3.8所示，AB=3, AC=2,以BC為腰(點B為直角頂點)向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,則AD的取值范圍為；圖3.8解答：以AB為腰做等腰直角 那BE (/ABE=90°),連接DE,如圖4.19所示,CAB圖4.19AE=v2AB=3v2, / ABC=ZEBD=90° -Z CBE, 在AABC和AEBD中?= ?/ ?/ ?= ?ABCA EBD (SAS)ED=A

17、C=2.點D的軌跡為以點 E為圓心、2為半徑的圓AE-ED<AD<AE+ ED如圖4.20和圖4.21所示，當(dāng)且僅當(dāng) A, E, D三點共線時取得最值,圖4.20圖 4.21 3v2' 2<AD3v2'+ 2思路點撥：解題方法基本同上題，也是通過構(gòu)造全等圖形找出點D的運(yùn)動軌跡上,上的距離最值來解決問題再利用圓外一點到圓周12.如圖3.9所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直角三角形BCD,則AD的取值范圍為,圖3.9解答:DCA圖4.22AB為底邊構(gòu)造等腰直角 那EB (/AEB=90°),連接DE,如圖4.22所示,v2一?=A/2

18、? ? VU, AE=yAB=2v, Z EBA=ZCBD=45°/ ?/ ?45 ° / ?/. ABCAEBDr l V21-DE=-2-AC= v2.點D的軌跡為以點 E為圓心、V2為半徑的圓AE-EDAD 用E+ED如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點共線時取得最值圖4.23圖4.24V2 <AD<3v2思路點撥：與前面兩題不同的是，由于旋轉(zhuǎn)中心不再是等腰三角形頂角的頂點，因此構(gòu)造全等圖形變成構(gòu)造相似圖形，從而找出點D的運(yùn)動軌跡，最后根據(jù)圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題13.如圖3.10所示，AB=4, AC=2,以BC為底邊向上構(gòu)造等腰直

19、角三角形BCD,連接AD并延長至點P,使AD=PD,則PB的取值范圍為，圖3.10解答：以AB為底邊構(gòu)造等腰直角 那EB (/AEB=90°),連接DE,如圖4.25所示,圖 4.25一 如 一 V2一,，一- AE=yAB=2v2, /EBA=/CBD=45 ?=v2.? ? V / ?/ ?45 ° / ? . ABCsebdDE="2AC=v2.點D的軌跡為以點 E為圓心、V2為半徑的圓延長AE至點Q,使AE=EQ,連接PQ、BQ, AD=DP,DQ=2DE=2v2如圖4.23和圖4.24所示，當(dāng)A、E、D三點共線時取得最值 BE 垂直平分 AQ, AB=B

20、Q /QAB=45°,. ABQ 為等腰直角三角形，. BQ=AB=4BQPQ 印BBQ + PQ如圖4.26和圖4.27所示，當(dāng)B、P、Q三點共線時取得最值圖 4.26圖 4.27 .42v2 印B9+2v2思路點撥：注意到點 P的產(chǎn)生與中點有關(guān)，點 P的運(yùn)動與點D捆綁”在一起，故可通過構(gòu)造中位線來判斷 點P的運(yùn)動軌跡，再利用圓外一點到圓周上的距離最值來解決問題14.如圖3.11所示，正六邊形 ABCDEF的邊長為2,兩頂點A、B分別在x軸和y軸上運(yùn)動，則頂點 D到 坐標(biāo)原點O的距離的最大值和最小值的乘積為；連接DB、OD . DCB為等腰三角形 . /C=120°,，/

21、DBC=30°, DB = v3DC=2v3, ./ DBA=120° -30 =90°在 RtADGB, GB=1,DG = v/?,+ ?2?= V（2 v3） 2 + 12 = DG- OG<ODOG+ DG當(dāng)且僅當(dāng)O、G、D三點共線時取得最值4.29所示,D、G在點O同側(cè)時取得最大值，在點O異側(cè)時取最小值，如圖圖4.29V13 uodA3 + 1OD的最大值和最小值乘積為 （V13- 1）（ v13 + 1）=12思路點撥：這個是墻角”型問題，類似于梯子在墻角滑動，將墻角變?yōu)槠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，這樣移動的范圍能擴(kuò)大到負(fù)方向；利用 墻角”產(chǎn)生的直角，以及

22、AB邊長不變的特點，作出 AB的中點G,利用斜邊上的中 線OG和位置固定的兩點 D、G來構(gòu)造兩條大小不變、位置變化的線段 OG、DG;利用兩邊之和與兩邊之 差得到OD的最大值和最小值；另辟蹊徑：利用相對運(yùn)動的知識，我們假設(shè)正六邊形是不變的，坐標(biāo)系可以繞著正六邊形運(yùn)動；利用AOB=90°, AB=2,判斷出點O的運(yùn)動軌跡為一個圓，如圖 4.30所示，O2圖4.30利用圓外一點到圓周上的距離最值解得OD的最大值和最小值；讀者可以自行計算驗證15.如圖3.12所示，AB=4,點O為AB的中點，O O的半徑為1,點P是。上一動點，APBC是以PB為 直角邊的等腰直角三角形（點P、B、C按逆時

23、針方向排列），則 AC的取值范圍為；OBQ,連接 OP、CQ、AQ;圖4.31在等腰直角ORQ和等腰直角ABPC中,? ?= ?V2, /QBO=45°,，/CBQ=45 /QBP=/PBO, /.A CBQA PBO? ? v2= =，? ?2CQ=v2點C在以點Q為圓心，亞為半徑的圓上,. OQ=OB=OA=2, /QOB=90° AQ=，？?+ ?冷2也 . AQQC 用C q Q+QC如圖4.32和圖4.33所示，當(dāng)且僅當(dāng)P圖4.32圖4.33V2必CW 3V2思路點撥：由于 HBC形狀固定，兩個動點P、C到點B的距離之比始終不變， 這是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)， 也可理

24、解為點 P、C捆綁”旋轉(zhuǎn)；旋轉(zhuǎn)過程中，點 C的軌跡與點P的軌跡圖形相似，相似比為 我:1;利用 相似找出動點 C軌跡的圓心，AC的最值即定點 A到定圓上一動點的距離的最值16.如圖3.13所示，O。的半徑為3, Rt祥BC的頂點A、B在OO ±, / B=90°,點C在。0內(nèi)，且tanA3=-.當(dāng)點A在圓上運(yùn)動時，OC的最小值為（）4A. 2 B. - C. 3 D. 5答案：連接 OB,過點B向下作BDXOB,取BD= 4 OB,連接AD,如圖4.34所示. 3. Z CBA=Z OBD =90°, .OBC=90°-Z OBA=Z DBA.CB- =

25、 OB- = 3 ,OCBA DAB ,AB BD 4AD2DOA=、OBBD2-OA=2,OC 3- =.AD 4當(dāng)且僅當(dāng)O、A、D三點共線時取得最值,0c = AD><2 =圖 4.34思路點撥又是比較典型的位似旋轉(zhuǎn)問題，我們利用相似的性質(zhì)將OC的最值問題轉(zhuǎn)化為 AD的最值問題.通過旋轉(zhuǎn)型相似構(gòu)造 RtAOBD,其中/ OBD = 90°, / ODB = / CAB,因此點 D為定點.另外，由 AOCBADAB 得到OC和AD之間的固定比例，從而可利用AD的最值求解OC的最值.AD的最值即為圓外一點到圓周上 一點的距離最值.另辟蹊徑根據(jù)直徑所對的圓周角為90

26、6;,找到直徑AD,而/ ACD=180° / ACB為定值，因此由定弦定角得出點C的軌跡為圓弧，可根據(jù)圖 4.35所示計算0C的最小值.圖4.3517.如圖3.14所示，在平面直角坐標(biāo)系中，Q(3, 4),點P是以Q為圓心、0), B(1, 0),連接 PA、PB,則 PA2+PB2 的最小值是 .2為半徑的。Q上一動點，A(1,答案：連接 OP、QP、OQ,如圖4.36所示.設(shè)P(x, y).根據(jù)兩點距離公式得FA2= (x- 1)2+y2, PB2=(x+1)2+y2,FA2+ PB2= 2x2+2y2+2= 2(x2 + y2) + 2 °P= " X2y

27、2 ,OP2=x2+y2,FA2+PB2=2OP2+2,要求PA2+PB2的最小值，即求 OP2的最小值，也就是求 OP的最小值，OP2Q PQ,如圖4.37所示，當(dāng)且僅當(dāng) 0、P、Q三點共線時取得最值，.-，OP=5-2 = 3,PA2+PB2=2OP2+2>2X2升 2=20.思路點撥根據(jù)PA2+PB2這樣的形式，產(chǎn)生兩個聯(lián)想，一是勾股定理，二是坐標(biāo)公式.要使用勾股定理，就得把PA和PB構(gòu)造為兩條直角邊，在題圖中難以實現(xiàn)，所以轉(zhuǎn)而利用坐標(biāo)公式表達(dá)，我們便發(fā)現(xiàn)PA2+PB2與0P2的聯(lián)系，而 0P的最小值即圓外一點到圓周上一點的距離最小值弦外之音 我們會發(fā)現(xiàn)，雖然點 P在動，但0P始終

28、是 那BP邊AB上的中線，且AB是個定值，我們可以直AB2接利用中線長公式得到 PA2+ PB2= 2OP2 +,接下來的計算和上面是一致的 .公式的應(yīng)用有助于對思路4的拓展，因此學(xué)有余力的同學(xué)可以自行推導(dǎo)中線長公式(僅用勾股定理即可).18.如圖3.15所示，兩塊三角尺的直角頂點靠在一起, 繞直角頂點F旋轉(zhuǎn)一周，在這個旋轉(zhuǎn)過程中， B、BC=3, EF = 2, G為DE上一動點.將三角尺 DEF G兩點的最/J、距離為 .答案：在 RtADEF 中，CE=2, /CDE = 30°, . DF = 2 百，DE = 4.如圖4.38所示，當(dāng)點G與點D重合時，CGmax=DF=2%

29、3 ,當(dāng) CGDE 時，CGmin=h= 2 SADEF =22，=、3DE4點 9GW2 技當(dāng)CG = 3時，以C為圓心、CG為半徑的圓恰好經(jīng)過點 B.在4DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，點 G會經(jīng)過點B.因此，當(dāng)BG恰好重合時，BG取得最小值為0.思路點撥這是個 特別”的題，點G是DE上一動點，因此在轉(zhuǎn)動的過程中，點G的軌跡不是線而是面，這個面的形狀為以點 C為圓心、分別以 CGmin和CGmax為半徑的同心圓環(huán)，點 B也在這個 面軌跡”中，因此BG 的最小值為0.19.如圖 3.16 所示，在 RtAABC 中，ZABC=90°, / ACB= 30°, BC= 2 72 , A

30、ADC 與 AABC 關(guān)于 AC 對稱， 點E、F分別是邊 DC、BC上的任意一點，且 DE = CF, BE、DF相交于點P,則CP的最小值為（）A.1 B. 3C.3D.22答案：連接BD,如圖4.39所示. ADC 與 AABC 關(guān)于 AC 對稱，/ ACB = 30°, . . BC = CD , Z BCD = 60°, .BDC 是等邊三角形，BD = CD, Z BDC = Z BCD = 60°.在4BDE 和 ADCF 中，BD = CD, /BDC = /BCD, DE=CF, BDEADCF(SAS), . / BED = / DFC. /

31、BED + / PEC =180°,/ PEC + / DFC = 180°, ./ DCF + / EPF = / DCF + / BPD= 180°. . Z DCF =60°, BPD=120°. 點P在運(yùn)動中保持/ BPD = 120°,，點P的運(yùn)動路徑為以 A為圓心、AB為半徑的120°的弧.當(dāng)C、P、A三點共線時，CP能取到最小值，如圖 4.40所示，CP9CAP=2,即線段CP的最小值為2.思路點撥B F C 圖4.40需要熟悉等邊三角形中的常見全等圖形P的路徑是一段以點 A為圓心的弧，于是將.因為點P在運(yùn)動中

32、保持/ BPD = 120°, BD又是定長，所以點CP的最小值轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的距離最小值.20.如圖3.17所示，sinO=3,長度為2的線段DE在射線OA上滑動，點C在射線OB上，且OC=5,則5CDE周長的最小值為.答案：過點 C作CC'/DE且CC'=DE,連接C'E,如圖4.41所示， ，四邊形CC'ED為平行四邊形，C'E=CD.作點C關(guān)于OA的對稱點 C,連接CE、CD、CC, . CE = CE, CD+ CE=C'E + CE=C'E+ C' EWC",當(dāng)且僅當(dāng)C'、E、C&

33、quot;三點共線時取得最值，如圖 4.42所示.CC”關(guān)于OA對稱，OA垂直平分CC",2 .CC" = 2CF=2OC sinO=6.在 RtCC'C"中，C'C"= Jcc'2 CC 2 = 2、.而,3 ACDE周長的最小值為 2 <10 + 2.思路點撥因為DE為定值，所以4CDE周長的最小值問題轉(zhuǎn)變?yōu)?CD + CE的最小值問題.似飲馬“非飲馬”，注 意觀察，這是一定兩動問題 .利用平移將動線段 DE壓縮”為一個動點；軸對稱后根據(jù)兩點之間線段最短找 到最小值線段，再根據(jù)勾股定理計算即可解決問題21、如圖 3.18

34、 所示，在矩形 ABCD 中，AB=6,MN 在邊 AB 上運(yùn)動，MN= 3, AP= 2, BQ= 5,貝U PM+MN+NQ 的最小值是。解：作QQ MN 3 ,作點Q關(guān)于直線 AB的對稱點Q ,連接PQ ,連接Q M、Q M ,作 Q''H DA于點H,如圖4.43所示， 四邊形MNQQ為平行四邊形，Q'M Q'M , PM NQ MN _ ' _ " . . . . . " , " PM Q M 3 PQ 3,如圖4.44所示，當(dāng)P、M、Q三點共線時，PM Q M取得最小值。 ''''

35、'''''QQ 關(guān)于 AB 對稱， QQ 2BQ 10 , AH=BQ= 5, PH=AP+AH= 2+5=7。在 RtAPH Q 中， HQ" AB QQ' = 3, PQ" VPH 2 HQ''2$72 32<58 , PM+MN+NQ 的最小值為 3+ V58 o圖44W圖444思路點撥：作 QQ / AB ,使得QQ MN 3 ,作點Q關(guān)于AB的對稱點Q ,連接PQ ,當(dāng)P、 M、Q''三點共線時，PM+MN+NQ 的值最小。作 Q'HDA 利用勾股定理求出 PQ即可解決問

36、題。22、如圖3.19所示，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB= 900, AB=6, D為AB的中點，E為CD上的 點，且CE=2DE, PQ為AB上的動線段，PQ=1, F為AC上的動點，連接 EQ、FP,則EQ+FP的最小值 為。圖 3.19解：過點E作EE'/ PQ,取EE =PQ=1,作點E'關(guān)于AB的對稱點E'連接E'RE'',P如圖4.45所示， 四邊形 EE' PQ為平行四邊形，E' P=E P E' P=EQ EQ+FP=E P+FP=E ' P+FPE' ',F如圖4.46所

37、示，當(dāng)且僅當(dāng)E''、P、F三點共線且E''AC時取到最小值。當(dāng)E''小AC時，設(shè)E'E'與'AD的交點為G,E''國AD的交點為H,如圖4.47所示。Q E'與E'關(guān)于AB對稱，E' ' G=E G=ED= AG= 2, Q/A=45°,/FHA=/E' ' HG50,HG=E ' G=1, AH=AG HG= 1。在等腰直角 ZAFH 和 AHGE '中，AH= 1 , HG= 1 , FH= ,E''H=2,E&#

38、39;'F=E''H+FH=2, 當(dāng)E''巾 AC 時，E''取得最22小值為3-2-0 2思路點撥：作 EE' / PQ,取EE' =PQ,構(gòu)造平行四邊形，將 EQ+FP的長度轉(zhuǎn)化為E' P+ FP的長度來 找最小值。作對稱點，構(gòu)造 將軍飲馬”模型，再利用 垂線段最短”求出最小值。與題 21類似，本題也要將 線段PQ壓縮”為一個點，屬于平移后求垂線段長度的問題。23、如圖3.20所示，在正方形 ABCD中，AB=4, E、F分別為AB、AD的中點，MN和PQ分別是邊BC、CD上的線段，MN=PQ=1,依次連接EM

39、、NP、QF、EF,則六邊形EMNPQF周長的最小值為 解：分別過點 E、F作BC、CD的平行線，截取 EE =FF' =MN=PQ,作點E'關(guān)于BC的對稱點E' 點F'關(guān)于CD的對稱點F'連接E' N E''、NF'R F'',珈圖4.48所示， 四邊形EENM和四邊形FF'PQ為平行四邊形，EM=E N , FQ=F P。Q點E'、E'關(guān)于BC對稱，N為BC上的點，E' N=E '°N同理，F(xiàn)' P=F' o六邊形 EMNPQF的周長=E

40、M+MN+NP+PQ+FQ+EF ,其中MN、PQ、EF為定值，要求周長最 小值即求 EM+NP+FQ 的最小值。Q EM+NP+FQ=E N+NP+F ' P E' ' F'如圖 4.49 所示，當(dāng) E'、' N、P、F'四點共線時取到最小值。建立如圖4.50所示的坐標(biāo)系，由題意得點E的坐標(biāo)為(0, 2),E' (1, 2),E，' F542 Q AE=AF= 2, EF= V2 AE= 2& ,六邊形E' '(1, 2)。同理可得 F' '(6, 3), EMNPQF的周長最小值

41、為7，2+2。思路點撥：本題中有兩條定線段平移，那我們就仿照上兩題的方法平移兩次即可。分別構(gòu)造平行四邊形EE' NM和平行四邊形 FF' PQ將六邊形EMNPQF的周長最小值問題轉(zhuǎn)化為 E' ' N+NP+F '的最小值問 題(屬于 郵差送信”問題)，依舊作出對稱點，根據(jù)兩點之間線段最短求出最小值。這里求解最小值時用到了平面直角坐標(biāo)系，這是 諭懶”的一種計算方法，相當(dāng)于在平面直角坐標(biāo)系的背景下應(yīng)用勾股定理，亦可 根據(jù)勾股定理求解 E' F：與題21,題22相比，本題是兩次平移后的兩點之間距離”問題。24、如圖3.21所示，在矩形 ABCD中，AB

42、=2, BC= 4, E、F分別為AD、BC上的動點，且 EFXAC, 連接AF、CE,則AF+CE的最小值為 。圖 3.21解：過點C作CG / EF,且CG=EF ,連接FG、AG,如圖4.51所示， 四邊形ECGF為平行四邊形，EC=FG。在圖4.52中，過點B作BH/ EF , 四邊形BFEH為平行四邊形，EF=BH 。Q EF± AC,AABCshab,BH： AC=EF ：AC=AB ：BC。綜上所述， CGXAC 且 CG=EF= 55 ,G 為定點，AF+ CE=AF + FG AG,如圖4.53所示，當(dāng)A、F、G三點共線時取到最小值。 在矩形 ABCD中，AB= 2

43、, BC= 4,思路點撥：本題要求兩條線段和的最小值，而對分開的兩線段不易判斷最值的問題，所以需要將它們合并起來，可采用的方法是全等轉(zhuǎn)換，我們這里使用的是平移變換。將線段CE平移至以點F和另一個固定點G為端點的線段位置，即可根據(jù)兩點之間線段最短解決最小值問題。25、如圖3.22所示，在？ABCD中，AD=7, AB= 2<3 , Z B=600, E是邊BC上任意一點，沿AE剪開，將 “BE沿BC方向平移到4DCF的位置，得到四邊形 AEFD,則四邊形AEFD周長的最小值為 解：如圖 4.54 所示，將AABE 平移，AabeA DCF , AE=DF , BE=CF。在？ABCD 中，

44、AD=BC ,AD=EF , 四邊形 AEFD的周長=2AD+2AE= 14+2AE。如圖4.55所示，當(dāng) AEBC時，AE取得最小思路點撥：四邊形 AEFD依舊是一個平行四邊形，周長等于 2 (AD+AE),故將四邊形 AEFD周長的 最小值問題轉(zhuǎn)化為 AE的最小值問題。根據(jù) 熏到直線，垂線段最短”即可解決問題。26.如圖1所示，在 RtAABC中，/ BAC = 90°, AB = 4, AC=3,點D、E分別是 AB、AC的中點，點 G、 F在BC邊上(均不與端點重合)，DG / EF>ABDG繞點D順時針旋轉(zhuǎn)180°,將4CEF繞點E逆時針 旋轉(zhuǎn)180

45、6;,拼成四邊形 MGFN ,則四邊形MGFN周長l的取值范圍是.26.解：由題意得 ABGDAAMD,. . / M = / DGB , .AM/ / BG, 四邊形MGFN為平行四邊形，. .l = 2 (GF + GM). ，GF=MN=BG + CF= BCGF,15一 GF = _ BC=, GM = 2DG ,.，當(dāng)DG取得最小值時，四邊形 MGFN大.如圖1和圖2所示，當(dāng) DGLBC時，DG的周長最?。煌?當(dāng) DG取得最大值時，四邊形 MGFN周長最取得最小值；若點G與點B重合，則DG取得最大值.當(dāng)DGLBC時，/ B是公共角， ABDGABCA, BD : BC= DG :

46、AC,6 DG =一, 5 6 八一一=DG V 2,5 ,49 Mv 13 5思路點撥：四邊形MGFN為平行四邊形，而 GF為定值，所以將周長的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為線段DG(EF)的取值范圍問題，當(dāng) DGLBC時DG取得最小值；由于點 G、F與端點均不重合，因此最大值取不 到.27.如圖1所示，在 RtAABC中，/ ACB=90°, CDAB.若CD = 3,則Szabc的最小值為圖127.解：取AB的中點巳連接CE,如圖1所示，圖11-CE= AB.2CD± AB,.CE 式D,AB>CD = 6,- Saabc的最小值為9.當(dāng)且僅當(dāng)D為AB的中點時取到最小值,

47、思路點撥”，找CD為定值，則當(dāng)AB最小時，S3bc取得最小值.根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半 ”和里線段最短 到當(dāng)D為AB的中點時，AB取得最小值為2CD.直角三角形中斜邊上的中線是一個比較容易被忽略的知識 點，尤其是在需要主動去構(gòu)造的時候 .28.如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點 。為圓心、2為半徑畫。O, P是。上一動點且點 P 在第一象限內(nèi)，過點 P作。O的切線與x軸相交于點B,與y軸相交于點A,則線段AB的最小值是圖128.解：取AB的中點Q,連接OP、OQ,如圖1所示，圖1.OQ= - AB. 2. OPMOQ,1 八一 一AB P,2AB>4即AB的最小值為4,此時

48、AAOB為等腰直角三角形.思路點撥”，AB的最小值在要求AB的最小值，只需取 AB的中點，求出斜邊上的中線的最小值，根據(jù)垂線段最OP與斜邊上的中線重合時取到 .AC相切，且與AB、29.如圖1所示，在矩形ABCD中，BC=8, AB=6,經(jīng)過點B和點D的兩個動圓均與 BC、AD、DC分別交于點 G、H、E、F,則EF+GH的最小值是 .29.解：設(shè)切點為 N,連接OD、ON,作出AC邊上白高DM,如圖1所示. / ADC = 90°,.EF 為。的直徑，AC= 762 82 = 10, EF = OD + ONRM ,當(dāng)且僅當(dāng)切點為點 M時EF取到最小值，EFmin=DM=2gSVD

49、C=6-8=4.8. AC 10.矩形為中心對稱圖形，向理，GH min=EF min= 4.8 , .(EF + GH)mn=9.6.恩路點撥雖然目標(biāo)式是 EF+GH的組合形式，但是觀察后發(fā)現(xiàn)兩個線段可獨立求解最值.由于矩形為中心對稱圖形，因此EF和GH的最小值顯然是相等的，于是將問題轉(zhuǎn)化為求EF的最小值，注意到 EF是圓的直徑，根據(jù)垂線段最短”，可知圓的最短直徑是 9CD斜邊上的高線.30.如圖1所示，在那BC中，/C = 90°, AC=4, BC=3-忒D、E分別為 AC、BC邊上的動點，且DE=3, 以DE為直徑作。，交AB于M、N,則MN的最大值為 .30.解：過點。作O

50、GLAB,連接ON、CO,如圖1所示,ON= r= 1 DE = 3 ,22,-.GN=GM= 1MN 2在RtOGN中，GN2= ON2 OG2,其中ON為定值，故當(dāng) OG取最小值時，GN取得最大值，即 MN取得 最大值.過點C作CHXAB.在 RtAABC 中，AC=4, BC=3,AB = 5. SAABC= 1AC BC= 1CH AB,2CH = - 5sCO + OG,5OG>12- 3= _9_ GNmax =,10(9)21012 . MN max= 2GNmax=5思路點撥DE為定值，即。O的半徑為定值，故當(dāng)弦 OG最短時垂足的位置.MN上的垂徑最短時，MN取得最大值，

51、根據(jù) 里線段最短”找出31.如圖3.28所示，在RtABC中,將點P繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90得到點A P',90連接,AB 3, AC 4, D為AC的中點，P為AB上的動點,CP',則線段CP '的最小值為O解：如圖4.62所示，過點 由題意可得DP P'D,ADP EP'D在 DAP和 P'ED中ADP EP'DA P'EDP'作 PE'PDP' 90AC于點P'ED 90DP DP'DAP 心 P'ED (AAS)P'ECP'AD 2P'E當(dāng)AP DE 2,

52、即點E與點C重合時，CP'，線段CP'的最小值為2BA ON于點A,四邊形 ABCD為正方形，P90得到CE ,連接BE。若AB 4 ,則BE的32.如圖3.29所示，已知 MON 30 , B為OM上一點， 為射線BM上一動點，連接 CP ,將CP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)最小值為PO圖 3.29解：連接PD,如圖4.64所示在正方形 ABCD 中，CD BC , BCD 90 。由題意得PC CE , PCE 90 ,BCE DCP 90 BCP在 BCE和 DCP中BC CDBCE DCPCE CP圖 4.64 . BCE DCP (SAS) BE PD如圖4.65所示，當(dāng)PD 在

53、 Rt AOB 中， OOA 3AB 4 3在 RtODP 中，PDBE的最小值為2 J3OM時，PD取得最小值 3011L-OD (OA AD) 23 2, 222圖 4.6533.已知梯形 ABCD 中，AD/BC, AB BC , AD 1 ,AB 3, BC 4。若P為線段AB上任意一點，延長 PD到點E ,使DE 2PD ,再以PE、PC為邊作口 PCQE ,如圖3.30所示，則對角線 PQ的最小值為 。圖 3.30解：如圖4.66所示PE /CQ , 2PD DE . PFD st QFC .DF PD PF 1 . -FC CQ FQ 31八1-PF PQ, DF DC 44即F

54、為DC的四等分點（定點）N,DM /FN，四邊形 ABMD為矩形 DM AB 3 , BM AD 1MC 3F為DC四等分點N為CM四等分點3 MN 343 7 PF BN 1 -4 4PQ 4PF 7PQ的最小值為734.如圖3.31所示，在 ABC中，點Q是射線PM上的一個動點。則BC圖 4.67AiDbKc M NC圖 4.684AC 10, BAC 30 ,點P是射線AB上的一個動點，cos CPM 4,5CQ長度的最小值是。如圖4.67所示，當(dāng)PF AB時，PF取得最小值，PQ也取得最小值如圖4.68所示，過點D、F分另作BC的垂線段，垂足分別為點 M、解：如圖4.69所示，當(dāng)CP AN時， 同理，當(dāng)CQ PM時，CQ最小A Q-_MAc cNP B 圖 3.31CP最小由于cos CPM為定值，CP、在 RtAPC 中，AC 10,八1八CP -AC 5 2在 Rt CPQ 中，cos CPM PQ PC cos CPM 4CQ JCP2 PQ2 3CQ的最小值為3CQ同時取得最小值BAC 30/4bp圖 4.69.一 一一一235.如圖3.32所不，直線y x 4與x軸、y軸分別交于點 A和點B ,點D為線段OB的中點，點C、P 3分別為AB、OA上的動點。當(dāng)PC PD最小時，點P的坐標(biāo)為解：作點D關(guān)于x軸的對稱點 PD PD'