全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.62全等三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對應(yīng)元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3會作角的平分線，了解角的平分線的性質(zhì)，能利用三角形全等證明角的平分線的性質(zhì)， 會利用角的平分線的性質(zhì)進(jìn)行證明.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對應(yīng)相等一邊一銳角對應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等（其他對應(yīng)元素也相等，如對應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有

2、一組對應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、角平分線的性質(zhì)1.角的平分線的性質(zhì)定理 角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.2.角的平分線的判定定理 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3.三角形的角平分線 三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距離相等.4.與角平分線有關(guān)的輔助線 在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形； 在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切巍⑺倪呅?、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，

3、可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1 證明線段相等的方法： (1) 證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2) 利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.(3) 等式性質(zhì).2 證明角相等的方法：(1) 利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2) 證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3) 利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4) 同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(5) 對頂角相等.3 證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法：可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4 輔助線的添加:(1)作公共邊可

4、構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5. 證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件. （3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】類型一、巧引輔助線構(gòu)造全

5、等三角形(1)倍長中線法1、已知，如圖，ABC中，D是BC中點(diǎn)，DEDF,試判斷BECF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，按倍長中線法，倍長過中點(diǎn)的線段DF，使DGDF,證明EDGEDF，F(xiàn)DCGDB，這樣就把BE、CF與EF線段轉(zhuǎn)化到了BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BECFEF；證明：延長FD到G，使DGDF,連接BG、EGD是BC中點(diǎn)BDCD又DEDF在EDG和EDF中EDGEDF（SAS）EGEF在FDC與GDB中FDCGDB(SAS)CFBGBGBEEGBECFEF【總結(jié)升華】有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線可考慮倍長中線法（或倍長過中點(diǎn)的線段

6、）.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是ABC與ADC的中線，且ACBABC求證：CD2CE【答案】證明： 延長CE至F使EFCE，連接BF EC為中線， AEBE在AEC與BEF中， AECBEF（SAS） ACBF，AFBE（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）又 ACBABC，DBCACBA，F(xiàn)BCABCA ACAB，DBCFBC ABBF又 BC為ADC的中線， ABBD即BFBD在FCB與DCB中， FCBDCB（SAS） CFCD即CD2CE(2)作以角平分線為對稱軸的翻折變換構(gòu)造全等三角形2、已知：如圖所示，在ABC中，C2B，12求證：ABACCD【答案與解析】證明：在AB

7、上截取AEAC在AED與ACD中， AEDACD（SAS） EDCD AEDC(全等三角形對應(yīng)邊、角相等)又 C2B AED2B由圖可知：AEDBEDB， 2BBEDB BEDB BEED即BECD ABAEBEACCD(等量代換)【總結(jié)升華】本題圖形簡單，結(jié)論復(fù)雜，看似無從下手，結(jié)合圖形發(fā)現(xiàn)ABAC故用截長補(bǔ)短法在AB上截取AEAC這樣AB就變成了AEBE，而AEAC只需證BECD即可從而把ABACCD轉(zhuǎn)化為證兩線段相等的問題舉一反三：【變式】如圖，AD是的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HDBD.(1)求證：B與AHD互補(bǔ)；(2)若B2DGA180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段A

8、H、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明.【答案】證明：（1）在AB上取一點(diǎn)M, 使得AMAH, 連接DM. CADBAD, ADAD, AHDAMD. HDMD, AHDAMD. HDDB, DB MD. DMBB. AMDDMB 180°, AHDB180°. 即 B與AHD互補(bǔ). （2）由（1）AHDAMD, HDMD, AHDB180°. B2DGA 180°, AHD2DGA. AMD2DGM. AMDDGMGDM. 2DGMDGMGDM. DGMGDM. MDMG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）.利用截長(或補(bǔ)短)法

9、作構(gòu)造全等三角形3、如圖所示，已知ABC中ABAC，AD是BAC的平分線，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MBMCABAC【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳BAC，所以可在AB上截取線段AEAC，這時(shí)BEABAC，如果連接EM，在BME中，顯然有MBMEBE這表明只要證明MEMC，則結(jié)論成立【答案與解析】證明：因?yàn)锳BAC，則在AB上截取AEAC，連接ME在MBE中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊）在AMC和AME中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的對應(yīng)邊相等）又 BEABAE， BEABAC， MBMCABAC【總結(jié)升華】充分利用角平分線的對稱性，截長補(bǔ)短是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，A

10、D是ABC的角平分線，ABAC,求證：ABACBDDC【答案】證明：在AB上截取AEAC,連結(jié)DEAD是ABC的角平分線，BADCAD在AED與ACD中AEDADC（SAS）DEDC在BED中，BEBDDC即ABAEBDDCABACBDDC（4）.在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段4、如圖所示，已知E為正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且DAEFAE求證：AFADCF【思路點(diǎn)撥】四邊形ABCD為正方形，則D90°而DAEFAE說明AE為FAD的平分線，按常規(guī)過角平分線上的點(diǎn)作出到角兩邊的距離，而E到AD的距離已有，只需作E到AF的距離EM即可，由角平分線性質(zhì)可知MEDE

11、AEAERtAME與RtADE全等有ADAM而題中要證AFADCF根據(jù)圖知AFAMMF故只需證MFFC即可從而把證AFADCF轉(zhuǎn)化為證兩條線段相等的問題【答案與解析】證明： 作MEAF于M，連接EF 四邊形ABCD為正方形， CDEMA90°又 DAEFAE， AE為FAD的平分線， MEDE在RtAME與RtADE中， RtAMERtADE(HL) ADAM(全等三角形對應(yīng)邊相等)又 E為CD中點(diǎn)， DEEC MEEC在RtEMF與RtECF中， RtEMFRtECF(HL) MFFC(全等三角形對應(yīng)邊相等)由圖可知：AFAMMF， AFADFC(等量代換)【總結(jié)升華】與角平分線有

12、關(guān)的輔助線： 在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段. 5、如圖所示，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長線于E， ，求證：BD是ABC的平分線【答案與解析】證明：延長AE和BC，交于點(diǎn)F，ACBC，BEAE，ADE=BDC（對頂角相等），EAD+ADE=CBD+BDC即EAD=CBD在RtACF和RtBCD中所以RtACFRtBCD（ASA）則AF=BD（全等三角形對應(yīng)邊相等）AE=BD，AE=AF，即AE=EF在RtBEA和RtBEF中，則RtBEARtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形對

13、應(yīng)角相等），即BD是ABC的平分線【總結(jié)升華】如果由題目已知無法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線構(gòu)造出三角形全等的條件，使問題得以解決平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線的添加方法.類型二、全等三角形動(dòng)態(tài)型問題6、在ABC中，ACB90°，ACBC，直線經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A，B兩點(diǎn)分別作的垂線AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).（1）如圖1當(dāng)直線不與底邊AB相交時(shí)，求證：EFAEBF.（2）將直線繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與底邊AB相交于點(diǎn)D，請你探究直線在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系，ADBD；ADBD；ADBD.【答案與解析】證明：（1）AE，BF，AECCFB90°，1290&

14、#176;ACB90°，2390°13。在ACE和CBF中，ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCECF，EFAEBF。（2）EFAEBF，理由如下：AE，BF，AECCFB90°，1290°ACB90°，2390°，13。在ACE和CBF中ACECBF（AAS）AECF，CEBFEFCFCE，EFAEBF。EFAEBFEFBFAE證明同.【總結(jié)升華】解決動(dòng)態(tài)幾何問題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：(1) 變化前的結(jié)論及說理過程對變化后的結(jié)論及說理過程起著至關(guān)重要的作用；(2) 圖形在變化過程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒有發(fā)生變化

15、；原來的線段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；(3) 幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三：【變式】已知：在ABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，求證：CFBD （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長線上時(shí)，如圖2，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立，并說明理由.【答案】證明：（1）正方形ADEF ADAF，DAF90° DAFDACBACDAC，即BADCAF 在AB

16、D和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF （2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段BC的延長線上時(shí)，仍有BDCF 此時(shí)DAFDACBACDAC，即BADCAF 在ABD和ACF中， ABDACF（SAS） BDCF【鞏固練習(xí)】一.選擇題1. 下列命題中, 錯(cuò)誤的命題是( ) A.兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 B.兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 C.兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等 D.兩邊和其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等2. 如圖, 在AOB的兩邊上截取AO BO, CO DO, 連結(jié)AD、BC交于點(diǎn)P. 則下列結(jié)論正確的是( ) AODBOC； APCBPD；

17、 點(diǎn)P在AOB的平分線上 A. 只有B. 只有C. 只有D. 3. 如圖, ABCD, ACBD, AD與BC交于O, AEBC于E, DFBC于F, 那么圖中全等的三角形有( ) A. 5對B. 6對 C. 7對 D. 8對4如圖，ABBC于B，BEAC于E，12，D為AC上一點(diǎn)，ADAB，則（ ）A1EFD B FDBC CBFDFCD DBEEC5. 如圖，ABCFDE，C40°，F(xiàn)110°，則B等于（ ）A.20° B.30° C.40° D.150°6. 根據(jù)下列條件能畫出唯一確定的ABC的是（ ） A.AB3，BC4，AC

18、8 B.AB4，BC3，A30°C.A60°，B45°，AB4 D.C90°，ABAC67. 如圖，已知ABAC，PBPC，且點(diǎn)A、P、D、E在同一條直線上.下面的結(jié)論：EBEC；ADBC；EA平分BEC；PBCPCB.其中正確的有（ ） A.1個(gè) B. 2個(gè) C.3個(gè) D. 4個(gè)8. 如圖，AEAB且AE=AB，BCCD且BC=CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是（）A50 B62 C65 D68二.填空題9. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，2），B（5，5），C（5，2），存在點(diǎn)E，使ACE和ACB全等，寫出所有滿足條

19、件的E點(diǎn)的坐標(biāo) 10. 如圖，ABC中，H是高AD、BE的交點(diǎn)，且BHAC，則ABC_.11. 在ABC中，C90°，ACBC，AD平分BAC，DEAB于E.若AB20cm，則DBE的周長為_.12. 如圖，ABC中，C90°，EDAB，12，若CD1.3，則點(diǎn)D到AB邊的距離是_.13. 如圖，RtABC中，B90°，若點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，則AOC_.14. 如圖，BAAC，CDAB，BCDE，且BCDE.若AB2，CD6，則AE_. 15. ABC中，C90°，BC40，AD是BAC平分線，交BC于點(diǎn)D，且DC：DB3:5，則點(diǎn)D 到BA的距

20、離是_.16. 如圖，在ABC中，ABAC，BAC90°，AE是過A點(diǎn)的一條直線，AECE于E，BDAE于D，DE4，CE2，則BD_.三.解答題17如圖所示，已知在ABC中，B60°，ABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)O，求證：AECDAC18. 在四邊形ABCP中，BP平分ABC，PDBC于D，且ABBC2BD.求證：BAPBCP180°.19. 如圖：已知AD為ABC的中線，且12，34,求證：BECFEF.20已知：ABC中，AD平分BAC交BC于點(diǎn)D，且ADC60°問題1：如圖1，若ACB90°，ACAB，BDDC，則的值為_，的值為

21、_問題2：如圖2，若ACB為鈍角，且ABAC，BDDC（1）求證：BDDCABAC；（2）若點(diǎn)E在AD上，且DEDB，延長CE交AB于點(diǎn)F，求BFC的度數(shù) 【答案與解析】一.選擇題1. 【答案】B； 【解析】B項(xiàng)如果這兩個(gè)三角形一個(gè)是銳角三角形，一個(gè)是鈍角三角形，則雖然有兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等，但是不全等.2. 【答案】D；【解析】可由SAS證，由和AAS證，SSS證.3. 【答案】C；4. 【答案】B ；【解析】證ADFABF，則ABFADFACB，所以FDBC.5. 【答案】B； 【解析】CE，BFDE180°110°40°30°.6. 【答案】

22、C； 【解析】A項(xiàng)構(gòu)不成三角形，B項(xiàng)是SSA，D項(xiàng)斜邊和直角邊一樣長，是不可能的.7. 【答案】D；8. 【答案】A；【解析】易證EFAABG得AF=BG，AG=EF同理證得BGCDHC得GC=DH，CH=BG故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16，故S=（6+4）×16-3×4-6×3=50二.填空題9. 【答案】（1，5）或（1，1）或（5，1） ；10.【答案】45°； 【解析】RtBDHRtADC，BDAD.11.【答案】20； 【解析】BCACAE，DBE的周長等于AB.12.【答案】1.3； 【解析】AD是BAC的平分線，點(diǎn)D到AB的距離等于DC.13.【答案】135°；【解析】點(diǎn)O為角平分線的交點(diǎn)，AOC180°（BACBCA）135°.14.【答案】4； 【解析】證ABCCED.15.【答案】15； 【解析】作DEAB于E，則DECD.16.【答案】6； 【解析】CAEABD，ABDCAE.三.解答題17.【解析】證明：如圖所示，在AC上取點(diǎn)F，使AFAE，連接OF，在AEO和AF