無窮級數(shù)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上無窮級數(shù)總結(jié)一、 概念與性質(zhì)1. 定義：對數(shù)列，稱為無窮級數(shù)，稱為一般項；若部分和 數(shù)列有極限，即，稱級數(shù)收斂，否則稱為發(fā)散.2. 性質(zhì)設(shè)常數(shù)，則與有相同的斂散性；設(shè)有兩個級數(shù)與，若，則；若收斂，發(fā)散，則發(fā)散；若，均發(fā)散，則斂散性不確定；添加或去掉有限項不影響一個級數(shù)的斂散性；設(shè)級數(shù)收斂，則對其各項任意加括號后所得新級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和注：一個級數(shù)加括號后所得新級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)發(fā)散；一個級數(shù)加括號后收斂，原級數(shù)斂散性不確定級數(shù)收斂的必要條件：；注：級數(shù)收斂的必要條件，常用判別級數(shù)發(fā)散；若，則未必收斂；若發(fā)散，則未必成立二、 常數(shù)項級數(shù)審斂法1. 正項級數(shù)及其審斂法

2、 定義：若，則稱為正項級數(shù). 審斂法：（i） 充要條件：正項級數(shù)收斂的充分必要條件是其部分和數(shù)列有界.（ii） 比較審斂法：設(shè)與都是正項級數(shù)，且，則若收斂則收斂；若發(fā)散則發(fā)散.A. 若收斂，且存在自然數(shù)，使得當(dāng)時有成立，則收斂；若發(fā)散，且存在自然數(shù)，使得當(dāng)時有成立，則發(fā)散；B. 設(shè)為正項級數(shù)，若有使得，則收斂；若，則發(fā)散.C. 極限形式：設(shè)與都是正項級數(shù)，若，則 與有相同的斂散性.注：常用的比較級數(shù)：幾何級數(shù)：；級數(shù)：； 調(diào)和級數(shù)：發(fā)散（iii）比值判別法（達(dá)郎貝爾判別法）設(shè)是正項級數(shù)，若 ，則收斂；，則發(fā)散注：若，或，推不出級數(shù)的斂散.例與，雖然，但發(fā)散，而收斂.（iv）根值判別法（柯西判別

3、法）設(shè)是正項級數(shù)，若，級數(shù)收斂，若則級數(shù)發(fā)散（v）極限審斂法：設(shè)，且，則且，則級數(shù)發(fā)散；如果，而,則其收斂（書上P317-2-（1）注：凡涉及證明的命題，一般不用比值法與根值法，一般會使用比較判別法正項級數(shù)的比（根）值判別法不能當(dāng)作收斂與發(fā)散的充要條件，是充分非必要條件2.交錯級數(shù)及其審斂法定義：設(shè)，則稱為交錯級數(shù).審斂法：萊布尼茲定理：對交錯級數(shù)，若且，則收斂.注：比較與的大小的方法有三種：比值法，即考察是否小于1；差值法，即考察是否大于0；由找出一個連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，使考察是否小于03.一般項級數(shù)的判別法：若絕對收斂，則收斂.若用比值法或根值法判定發(fā)散，則必發(fā)散.三、 冪級數(shù)1. 定義：稱為冪

4、級數(shù).2. 收斂性 阿貝爾定理：設(shè)冪級數(shù)在處收斂，則其在滿足的所有處絕對收斂反之，若冪級數(shù)在處發(fā)散，則其在滿足的所有處發(fā)散 收斂半徑（i）定義：若冪級數(shù)在點(diǎn)收斂，但不是在整個實軸上收斂，則必存在一個正數(shù)，使得當(dāng)時，冪級數(shù)收斂；當(dāng)時，冪級數(shù)發(fā)散；稱為冪級數(shù)的收斂半徑.（ii）求法：設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為，其系數(shù)滿足條件，或，則當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，注：求收斂半徑的方法卻有很大的差異前一個可直接用公式，后一個則須分奇、偶項（有時會出現(xiàn)更復(fù)雜的情況）分別來求在分成奇偶項之后，由于通項中出現(xiàn)缺項，由此仍不能用求半徑的公式直接求，須用求函數(shù)項級數(shù)收斂性的方法（iii）收斂半徑的類型A.，此時收斂域僅為一點(diǎn)；

5、B.，此時收斂域為；C.=某定常數(shù)，此時收斂域為一個有限區(qū)間3.冪級數(shù)的運(yùn)算（略）4.冪級數(shù)的性質(zhì)若冪級數(shù)的收斂半徑，則和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)連續(xù)若冪級數(shù)的收斂半徑，則和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且可逐項求導(dǎo)，即，收斂半徑不變?nèi)魞缂墧?shù)的收斂半徑，則和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積，且可逐項積分，即，收斂半徑不變5.函數(shù)展開成冪級數(shù)若在含有點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)的階泰勒公式為，記，介于之間，則在內(nèi)能展開成為泰勒級數(shù)的充要條件為.初等函數(shù)的泰勒級數(shù)（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；.6. 級數(shù)求和冪級數(shù)求和函數(shù)解題程序（i）求出給定級數(shù)的收斂域；（ii）通過逐項積分或微分將給定的冪

6、級數(shù)化為常見函數(shù)展開式的形式（或易看出其假設(shè)和函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系），從而得到新級數(shù)的和函數(shù)；注：系數(shù)為若干項代數(shù)和的冪級數(shù)，求和函數(shù)時應(yīng)先將級數(shù)寫成各個冪級數(shù)的代數(shù)和，然后分別求出它們的和函數(shù)，最后對和函數(shù)求代數(shù)和，即得所求級數(shù)的和函數(shù)數(shù)項級數(shù)求和（i）利用級數(shù)和的定義求和，即，則，其中根據(jù)的求法又可分為：直接法、拆項法、遞推法A.直接法：適用于 為等差或等比數(shù)列或通過簡單變換易化為這兩種數(shù)列；B.拆項法：把通項拆成兩項差的形式，在求項和時，除首尾兩項外其余各項對消掉（ii）阿貝爾法（構(gòu)造冪級數(shù)法），其中冪級數(shù)，可通過逐項微分或積分求得和函數(shù)因此四、 傅里葉級數(shù)1. 定義定義1：設(shè)是以為周期的

7、函數(shù)，且在或上可積，則， ， 稱為函數(shù)的傅立葉系數(shù)定義2：以的傅立葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為函數(shù)的傅立葉級數(shù)，表示為定義3：設(shè)是以為周期的函數(shù)，且在上可積，則以 ，為系數(shù)的三角級數(shù) 稱為的傅立葉級數(shù)，表示為2.收斂定理（狄里赫萊的充分條件）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上滿足條件除有限個第一類間斷點(diǎn)外都是連續(xù)的；只有有限個極值點(diǎn)，則的傅立葉級數(shù)在上收斂，且有.3.函數(shù)展開成傅氏級數(shù)周期函數(shù)（i）以為周期的函數(shù)：，；注：若為奇函數(shù)，則(正弦級數(shù))， ； 若為偶函數(shù)，則(余弦級數(shù))， .（ii）以為周期的函數(shù)：+，；注：若為奇函數(shù)，則(正弦級數(shù))， ； 若為偶函數(shù)，則，(余弦級數(shù))， .非周期函數(shù)（i）奇延拓：A.為上的非周期函數(shù)，令，則除外在上為奇函數(shù)，(正弦級數(shù))， ；B. 為上的非周期函數(shù)，則令，則除外在上為奇函數(shù)，(正弦級數(shù))， .（ii）偶延拓：A.為上的非周期