華師大版九年級數(shù)學(xué)教案圓新課標(biāo)原創(chuàng)

1、華師大版九年級數(shù)學(xué) 第二十三章 圓23.1圓的認(rèn)識 (一)鞏固練習(xí)教學(xué)目的：1、 理解圓及弦、弧、優(yōu)弧、劣弧、圓心角、圓周角的概念，了解弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系。2、 探索并了解圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對圓周角的特征。【知識重點與學(xué)習(xí)難點】1、圓的概念與日常中“圓”的概念的區(qū)別，幾何中的圓是一條封閉的曲線，而日常生活中的“圓”是一個圓盤。圓概是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。2、理解弦、弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧、同心圓、等圓、等弧、弓形、圓周角等與圓有關(guān)的概念。半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于900（直角）。900的圓周角所對的弦是圓的直徑。在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該

2、弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等等與圓有關(guān)的性質(zhì)。3、重點要放在圖形的識別上，如從圖形中能正確地識別出哪些圖形是圓的弦、哪些圖形是圓的弧。4、難點：圓周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對圓周角的特征。【方法指導(dǎo)與教材延伸】1、確定一個圓需要有兩點，一是圓心確定位置，二是半徑確定大小，若只固定圓心，半徑不確定，那么將會得到一系列的同心圓；若只固定半徑大小，圓心不確定，那么將會得到一系列的等圓，因而只有將圓心的位置和半徑的大小都確定之后，圓才能被確定下來。2、等弧是指兩條能夠完全重合的弧，而不是指長度相等的兩條弧，所以，等弧必須出現(xiàn)在同圓或等圓中，如果兩個圓既不是同一個圓也不是半徑相等的等圓

3、，那么分別屬于這兩個圓的兩條弧就一定不可能是等弧?！纠}選講】例1、填空題：如圖，O中，AB、CD是兩條直徑，弦CEAB，的度數(shù)是40，則BOD ；分析：由CEAB可得=，又的度數(shù)是40計算得的度數(shù)是1100，即BOD=AOC=1100。例2、選擇題：1.在O與O中，若AOBAOB，則有( )(A) ； (B) ； (C) ； (D) 與的大小無法比較； 分析：由于不知是同圓或是同心圓，所以無法比較，即選D。2.下列命題中，假命題是( )(A)長度相等的弧是等??； (B)等弧必須是同圓或等圓中的弧，否則不能互相重合；(C)度數(shù)相等的弧不一定是等??； (D)等弧的度數(shù)相等；分析：（A）答案中由于

4、不知是同圓或是同心圓，所以是假命題。即選A。3.在同圓或等圓中，如果圓心角BOA=2COD則下列式子中能成立的是( )(A)AB2CD； (B)AB2CD (C) ； (D) 2；分析：這題很容易選A答案，這是誤解，應(yīng)正確畫出示意圖，由三角形二邊之和大于第三邊的性質(zhì)來判斷，應(yīng)選正確的答案B。例3、已知：O中，弧BC所對的圓周角是BAC，圓心角是BOC， 求證：BAC= BOC.分析：本題有三種情況：（1） 圓心O在BAC的一邊上 （2） 圓心O在BAC的內(nèi)部（3） 圓心O在BAC的外部 如果圓心O在BAC的邊AB上,只要利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可證明。 如果圓心O在BAC的內(nèi)

5、部或外部,那么只要作出直徑AD,將這個角轉(zhuǎn)化為上述情況的兩個角的和或差即可。證明:(1) 圓心O在BAC的一條邊上 OA=OC=C=BAC =BAC=BOC.BOC=BAC+C (2)(3)略小結(jié)：我們知道有一些命題的證明是要分情況來逐一進(jìn)行討論的，大家應(yīng)該明確，要不要分情況證明，主要看各種情況的證明方法是否相同，如果相同，則不需要分情況證明，如果不同，則必須分情況證明，即不能重復(fù)，也不能遺漏例4：OA、OB、OC都是O的半徑，AOB=2BOC， 求證：ACB=2BAC.分析: AOB和ACB都對著弧AB, BOC和BAC都對著弧BC,因此,根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得出它們之間的關(guān)系證明： ACB=

6、AOB BAC=BOC =ACB=2BAC AOB=2BOC 例5、如圖，等腰三角形ABC中，ABAC，以AB為直徑的半圓交BC于D，交AC于E，已知為40，求A與的度數(shù)；分析：等腰三角形的三線合一和直徑所對的圓周角是直角的性質(zhì)結(jié)合起來，可考慮添加輔助線AD。證明：連結(jié)AD直徑AB=ADB=900=ADBC=A=2DACAB=AC=A=800DAC=的度數(shù)=DAC=40的度數(shù)是40ADBC =BAD=DACAB=AC =BAD=40 DAC=40 = 的度數(shù)是400的度數(shù)=DAB 的度數(shù)是40 直徑AB=的度數(shù)是1800=-=的度數(shù)是1000例6、已知：如圖，AB是O的直徑，C為AB延長線上一

7、點，CE交O于點D，且CD=OA。求證：分析：因為AOE是COE的一個外角，且與C不相鄰，所以AOE=C+E，現(xiàn)在要證明即為AOE=3C，所以只要證得E=2C即可，又由于OE為半徑，而連結(jié)OD后OD也是半徑，故OE=OD，所以O(shè)DE=E，從而可證。證明：連結(jié)OD。CD=OA=ODC=COD又OD=OEE=ODEAOE=C+E=C+ODE=C+COD+C=3C， 說明：由于在一個圓中的半徑總是相等的，可以利用相等的半徑來得到相等的角，從而得出某些角的關(guān)系。鞏固練習(xí)一、填空題：1. 在圓中80的弧所對的圓心角的度數(shù)是 ；2. 頂點在 上的角叫圓心角，圓心到弦的距離叫 ；3. 在O中，的度數(shù)為60，

8、的長是圓周長的 ；4. 40的圓心角所對的弧是圓周的 ；5. 一條弦長恰好為半徑長，則弦所對的弧是半圓的 ；6. 如圖，AB、CD是O的直徑，OEAB，OFCD，則 ， ， ， ； 7. O中的一段弧的度數(shù)為100，則AOB ； 8圓內(nèi)接五邊形各邊相等，各邊所對的優(yōu)弧的度數(shù)為 ；9一條弦等于其圓的半徑，則弦所對的優(yōu)弧的度數(shù)為 ；10一條弦把圓分成13兩部分，則劣弧所對的圓心角的度數(shù)為 ；11已知A、B、C為O上三點，若、度數(shù)之比為123，則AOB ，BOC ，COA ；12 如圖，CD是半圓的直徑，O是圓心，E是半圓上一點且EOD45，A是DC延長線上一點，AE交半圓于B，如果ABOC，則EA

9、D ；二、選擇題：13.在同圓或等圓中，如果 ，則AB與CD的關(guān)系是( )(A)AB2CD； (B)AB2CD； (C)AB2CD； (D)ABCD；14.如圖，在O中A、B、C分別為圓周上的三點，ABC的外角的度數(shù)為n，那么AOC的度數(shù)為( )(A)2n ；(B) n；(C) 180n；(D) 90n15. 下列每張方格紙上都畫有一個圓，只用不帶刻度的直尺就能確定圓心位置的是（ ） （A） （B） （C） （D） 16.如圖，AB為O的直徑，C、D是O上的兩點，BAC20，則DAC的度數(shù)是( ) (A)30 ； (B) 35； (C) 45； (D) 70；17中華人民共和國國旗上的五角星的

10、畫法通常是先把圓五等分然后連結(jié)五等分點而得（如圖）五角星的每一個角的度（ ） （A）30（B）35（C）36（D）37三、證明題：18.已知：如圖，ABCD，求證：ADBC；19如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于半圓O，AB是直徑（1）請你添加一個條件，使圖中的四邊形ABCD成等腰梯形，這個條件是 （只需填一個條件）。（2）如果CDAB，請你設(shè)計一種方案，使等腰梯形ABCD分成面積相等的三部分，并給予證明20如圖，BE是ABC的外接圓O的直徑，CD是ABC的高。（1） 求證：ACBC=BECD。（2） 已知：CD=6，AD=3，BD=8，求O的直徑BE的長。參考答案：一、180，2頂點在圓上的角、弦心

11、距，3，4，56、，7100，8288，9300，1090，1160120180，1215，二、13C，14A，15A，16B，17C，三、18=，-=-，=， 19. 20（1）證明：連結(jié)EC。BE為直徑，BCE=900，ADC=ECB，又A=E，ADCECB，ACBC=BECD，（2）解：在RtACD和BCD中，CD=6，AD=3，BD=8， ，由（1）知ACBC=BECD，即10=BE6， BE=， 0的直徑為。23.1圓的認(rèn)識 (二) （補充“垂徑定理”）教學(xué)目的：3、 探索并了解圓周角的對稱性，掌握垂徑定理，并學(xué)會運用垂徑定理，解決有關(guān)的證明，計算。4、 掌握過圓心作一條與弦垂直的線

12、段的輔助線的作法?！局R重點與學(xué)習(xí)難點】4、難點： 利用圓的軸對稱圖形來發(fā)現(xiàn)“垂徑定理”3通過探究、發(fā)現(xiàn)定理，培養(yǎng)觀察，分析、邏輯思維能力和歸納能力，提高的閱讀質(zhì)疑能力，通過選擇最優(yōu)方法、培養(yǎng)思維的靈活性。如通過垂徑定理的證明，滲透幾何變換思想。【試一試】1、垂徑定理的發(fā)現(xiàn)：如圖可以知道，圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸。如果在圖形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB，垂足為E，再將紙片沿著直徑CD對折，觀察右圖在O中任意一條弦AB將圓周分為哪幾部分？觀察右圖垂直于弦AB的直徑CD和弦AB將圓周分為哪幾部分？這幾部分間存在什么關(guān)系？EA與EB存在什么關(guān)系？比較AE與EB、與，你能發(fā)

13、現(xiàn)什么結(jié)論？總結(jié)出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，且平分弦所對的兩條弧。2、分析定理的題設(shè)和結(jié)論。 題設(shè) 結(jié)論 注意：題設(shè)中的兩個條件缺一不可。 垂徑定理的實質(zhì)可以理解為：一條直線，如果它具有兩個性質(zhì)：(1)經(jīng)過圓心；(2)垂直于弦，那么這條直線就一定具有另外三個性質(zhì)：(3)平分弦，(4)平分弦所對的劣弧，(5)平分弦所對的優(yōu)弧(如圖所示) 推論1：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。 (2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； (3)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧， 推論1的實質(zhì)是：一條直線(如圖) (1)若滿足：i

14、)經(jīng)過圓心，ii)平分弦，則可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所對的劣弧，v)平分弦所對的優(yōu)弧 (2)若滿足：i)垂直于弦，ii)平分弦。則可推出：iii)經(jīng)過圓心，iv)平分弦所對的劣弧，v)平分弦所對的優(yōu)弧 (3)若滿足；i)經(jīng)過圓心，ii)平分弦所對的一條弧，則可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所對的另一條弧 推論2： 圓的兩條平行弦所夾的弧相等 如圖中，若ABCD，則ACBD 注意：在圓中，解有關(guān)弦的問題時，常常需要作“垂直于弦的直徑作為輔助線。 【例題選講】例1如圖，AB是O的直徑，弦CD與AB相交，過A，B向CD引垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，求證：CE=DF。 證明

15、：過O作OMCD于M， CM=DM， AECD，BFCD， AE/OM/FB， 又O是AB中點， M是EF中點（平行線等分線段定理）， EM=MF， CE=DF。 說明：此例是垂徑定理及平行線等分線段定理相結(jié)合構(gòu)成的命題。由于C、D兩點是軸對稱點，欲證CE=DF，那么E，F(xiàn)也必是軸對稱點，由于E，F(xiàn)是垂足，那么E，F(xiàn)也應(yīng)關(guān)于某條垂線成軸對稱點，這樣，這兩個知識的結(jié)合部分仍是含有共同的對稱軸。 例2已知ABC內(nèi)接于O，且AB=AC，O的半徑等于6cm，O點到BC的距離為2cm，求AB的長。 分析：因為不知道ABC是銳角三角形，還是鈍角三角形（由已知分析，ABC不會是直角三角形，因為若是直角三角形

16、，則BC為斜邊，圓心O在BC上，這與O點到BC的距離為2cm矛盾），因此圓心有可能在三角形內(nèi)部，也可能在三角形外部，所以需分兩種情況進(jìn)行討論： （1） 假若ABC是銳角三角形，如圖，由AB=AC， 可知， ，點A是弧BC中點， 連結(jié)AO并延長交BC于D，由垂徑推論 可得ADBC，且BD=CD，這樣OD=2cm， 再連結(jié)OB，在RtOBD中OB=6cm， 可求出BD的長，則AD長可求出， 則在RtABD中可求出AB的長。 （2） 若ABC是鈍角三角形，如圖， 連結(jié)AO交BC于D，先證ODBC， OD平分BC，再連結(jié)OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD長，然后求出AD的長， 從而在RtA

17、DB中求出AB的長。 略解：（1）連結(jié)AO并延長交BC于D，連結(jié)OB， AB=AC， ，ADBC且BD=CD， OD=2，BO=6， 在RtOBD中，由勾股定理得：BD=4， 在RtADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB=4 (cm) （2）同（1）添加輔助線求出BD=4， 在RtADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB= (cm)， AB=4cm或4cm。 說明：凡是與三角形外接圓有關(guān)的問題，一定要首先判斷三角形的形狀，確定圓心與三角形的位置關(guān)系，防止丟解或多解。 例3已知如圖：直線AB與O交于C，D，且OA=OB。 求證：AC=BD。 證明：作OEAB

18、于點E， CE=ED， OA=OB， AE=BE， AC=BD。 請想一下，若將此例的圖形做如下變化，將如何證明。 變化一，已知：如圖，OA=OB， 求證：AC=BD。 變化二：已知如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點，求證：AC=BD。 說明：這三道題的共同特點是均需要過點O作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明，所變化的是A，B兩點位置。 例4如圖，O的直徑AB和弦CD相交于點E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=600，求CD的長。 解：作OFCD于F，連結(jié)OD， AE=1，EB=5， AB=6，OA=3， OE=OA-AE=3-1=2，在RtOEF中， DEB

19、=600， EOF=300，EF=OE=1， OF=， 在RtOFD中，OF=，OD=OA=3， DF= (cm)， OFCD，DF=CF， CD=2DF=2 (cm) 說明：因為垂徑定理涉及垂直關(guān)系，所以就可出現(xiàn)與半徑相關(guān)的直角三角形，求弦長，弦心距，半徑問題，常常可以利用弦心距、半徑和半弦組成一個直角三角形，用其性質(zhì)來解決問題，因而，在圓中常作弦心距或連結(jié)半徑作為輔助線，然后用垂徑定理來解題。 例5、如圖大O的半徑為6cm，弦AB=6cm，OCAB于C，以O(shè)為圓心OC的長為半徑作圓，交OA、OB于點D、E。(1)求小O的半徑OC的長(2)求證：ABDE分析：求OC的長的問題實際上是一個解直

20、角三角形的問題，而求證ABDE則可以利用三線八角來完成。（1） 解：OA=OB=AB=6cm AOB為等邊三角形 底邊AB上的高OC也是底邊上的中線 OC=（2） 證明：AOB是等邊三角形 A=AOB=600 在ODE中，OD=OE，DOE=600 ODE為等邊三角形 ODE=600 ODE=A DEAB說明：這里用到了等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，若要證明“OC垂直平分DE”，如何表達(dá)較為簡便？【同步練習(xí)】一、判斷正誤： 1直徑是圓的對稱軸。 （ ）2三點確定一個圓 （ ）3平分弦的直徑垂直弦 （ ）4在同圓中，等弦對等弧 （ ）5圓心角相等，它們所對的弧相等 （ ）6在同圓中，等弧對等弦

21、（ ）7線段AB是O的直徑，點C在直線AB上，如果ACAB，則點C一點在O的內(nèi)部 （ ）8正方形ABCD，根據(jù)經(jīng)過不在同一直線上的三個點可以確定一個圓，它可以確定四個圓。 （ ）9在O中， ，那么它們所對弦的關(guān)系是AB=2CD。 （ ）10O的半徑為5cm，點P到圓的最小距離與最大距離之比為2：3，則OP長為1cm。 （ ）二、填空題：1. 在半徑為R的圓中，垂直平分半徑的弦長等于 ；2. 已知O的半徑為5cm，的度數(shù)為120，則弦AB的長是 ；3. 已知O的半徑為R，弦AB的長也為R，則AOB ，弦心距是 ；4. 已知：O的半徑為2cm，弦AB所對的劣弧為圓的，則弦AB的長為 cm，AB的弦

22、心距為 cm；5已知：O中，弦AB垂直直徑CD于點P，半徑4cm，OP2cm，則AOB ，ADC ，的度數(shù)為 ，ADC的周長為 cm；6。O的弦AB是半徑OC的垂直平分線，則的度數(shù)為 ；7在O中，弦CD與直徑AB相交于E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF cm，弦CD的長為 cm；三、選擇題：1、 下列四個命題中：圓心角是頂點在圓心的角；兩個圓心角相等，它們所對的弦也相等；兩條弦相等，它們的弦心距也相等；在等圓中，圓心角不等，所對的弦也不等；其中，正確的命題是( ) (A) ；(B) ；(C) ；(D) ；2、若兩條弧的度數(shù)相等，則( )(A)兩條弧所對的弦相等；(

23、B)兩弧所對的弦心距相等；(C)兩弧的長度相等；(D)兩弧所對的圓心角相等；3、半徑為4cm，120的圓心角所對的弦長為( )(A)5cm；(B)cm；(C)6cm；(D)cm；4、在O中，弦AB所對的劣弧為圓的，有以下結(jié)論：為60；AOB60； AOB60；AOB是等邊三角形； 弦AB的長等于這個圓的半徑。其中正確的結(jié)論是( ) (A) ；(B) ；(C) ；(D) ；5、在O中，圓心角AOB90，點O到弦AB的距離為4，則O的直徑的長為( )(A)；(B) ；(C)24；(D)16；6、在同圓或等圓中，若的長度等于的長度，則下列說法正確的個數(shù)是( )的度數(shù)等于的度數(shù)；所對的圓心角等于所對的

24、圓心角；和是等弧；所對的弦的弦心距等于所對的弦的弦心距；(A)1個；(B)2個；(C)3個；(D)4個；7、在O中，兩弦ABCD，OM、ON分別為這兩條弦的弦心距，則OM、ON的關(guān)系是( )(A)OMON；(B) OMON；(C) OMON；(D)無法確定；8、下列語句中，正確的有( )相等的圓心角所對的弧相等；平分弦的直徑垂直于弦；長度相等的兩條弧是等??；經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對稱軸； (A)1個；(B)2個；(C)3個；(D)4個；四、解答題： 1、 某種儀器上的一塊圓形玻璃被打碎了，它的殘片如圖所示。你能幫助配一塊大小完全相同的玻璃嗎？如能，請說出方法并畫出它的大小。2、如圖，在O

25、中，弦AB/EF，連結(jié)OE，OF交AB于C，D， 求證：AC=DB。 3、如圖，AB是O直徑，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，連結(jié)OE，OF，求證：OEF=OFE 4、在ABC中，C=900，AC=15，BC=8，分別以A、B為圓心，AC、BC的長為半徑畫圓，分別交AB于P、Q。求PQ的長。5、已知AB是O的直徑，P是OA上任意一點，C是O上任意一點。求證：PA6、已知如圖，BC為半圓O的直徑，ADBC，垂足為D，過點B作弦BF交AD于點E，交半圓O于點F，弦AC與BF交于點H，且AE=BE。求證：（1）（3） AHBC=2ABBE參考答案一、1（直徑所在直線是圓的對稱軸） 2（經(jīng)過不在

26、同一直線上的三個點確定一個圓） 3（平分弦（不是直徑）的直徑垂直弦） 4（在同圓中，等弦所對的優(yōu)（劣）弧等，因為一條弦對兩條弧） 5 6、 7、 8、 9、 10、（OP的長是1cm或25cm） 二、1、R 2、5 3、600， 4、2，1 5、1200，600，600， 6、1200 7、1，4三、1、C 2、D 3、B 4、D 5、B 6、D 7、A四、解答題：1、提示：在殘片的圓弧上任取三點A、B、C，連結(jié)AB、AC并作AB、AC的中垂直線，得交點即圓心，再畫圓。2、證明：作ONEF交AB于M， AB/EF， OMAB， OE=OF， OEF=OFE， OCD=OEF，ODC=OFE，

27、OCD=ODC， OC=OD， CM=DM， AM=BM， AC=BD 3證明：作OMCD于M， AECD于E，BFCD于F， AE/OM/BF， OA=OB，EM=FM， OE=OF，OEF=OFE 4、提示：PQ=AP+BQ-AB=15+8-17=65、提示：當(dāng)C與A、B不重合時，連結(jié)CO，PA=AO-PO=CO-POPC，又PCPO+CO=PO+BO=PB，PAPCPB；當(dāng)C、B重合時，PC=PB；當(dāng)C、A重合時。PC=PB；當(dāng)C、A重合時，PA=PC PA。6、證明（1）BC是半圓O的直徑BAC=90.即BAD+DAC=90ADBC，DAC+C=90.BAD=C.（又AE=BE，ABE

28、=BAD. C=ABE. AE=AF.（2）連結(jié)AF，在AFH和BCH中，AFB=BCA，AHF=BHC，AFHBCH.（ AB=AF，AB=AF ABH=C，ABH+AHB=90，DAC+C=90，AHB=DAH.AE=EH=BE. BH=2BE. 將、代入，有AHBC=2ABBE23.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系 (一)教學(xué)目的：1、掌握點與圓、直線與圓的位置關(guān)系。2、掌握直線和圓的三種位置以及位置關(guān)系的判定和性質(zhì)。3、通過點與圓、直線與圓以及圓與圓位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)綜合運用圓有關(guān)方面知識的能力4、培養(yǎng)用運動變化的觀點，去觀察圖形，研究問題的能力。5、滲透類比、分類、化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，指導(dǎo)相

29、應(yīng)的學(xué)習(xí)方法，不僅學(xué)會數(shù)學(xué)，而且會學(xué)數(shù)學(xué)。【知識重點與難點】1、重點：掌握直線和圓的三種位置關(guān)系的性質(zhì)與判定2、難點：如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含在圖形中的兩個數(shù)量d和r，并加以比較直線和圓的三種位置關(guān)系?！痉椒ㄖ笇?dǎo)與教材延伸】1、點與圓的位置關(guān)系：每一個圓都把平面上的點分成三類，即（1）點在圓內(nèi)；（2）點在圓上；（3）點在圓外。點和圓的位置關(guān)系是由這個點到圓的距離與半徑的數(shù)量大小關(guān)系決定的，設(shè)圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則: 點在圓內(nèi)dr注：（1）=是由已知點與圓的位置關(guān)系確定d與r的大小關(guān)系； B,由條件A推出結(jié)論B的因果關(guān)系；另一方面表示B=A，由條件B推出結(jié)論A的因果關(guān)系。2、直線和圓相

30、交、相切、相離的概念： 當(dāng)直線由遠(yuǎn)而近對圓(或圓由遠(yuǎn)而近對直線)作相對運動時，會得到直線與圓的三種不同位置關(guān)系： 直線和圓沒有公共點，叫做直線和圓相離； 直線和圓有唯一公共點，叫做直線和圓相切。這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點。 直線和圓有兩個公共點，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線。 相離 相切 相交 說明：直線和圓相切是指直線和圓有一個并且只有一個公共點。與“有一 個公共點”的含義是不同的。要避免出現(xiàn)“直線和圓有一個公共點時叫做直線和圓相切”的錯誤。3直線和圓的位置關(guān)系的性質(zhì)和判定： 根據(jù)直線和圓相交、相切、相離的定義結(jié)合圖形(2)容易看出如果O的半徑為r，圓心到直線l的距

31、離為d，那么會有下面的結(jié)論： 直線l和O相交dr； 直線l的O相切dr； 直線l和O相離dr。 (1)直線l和O相交(2)直線l的O相切(3)直線l和O相離上面三個命題的左邊反映的是兩個圖形的位置關(guān)系，右邊反映的是圓心到直線l的距離與圓的半徑這兩個數(shù)量的大小關(guān)系。因而它們既可作為直線與圓的各種位置關(guān)系的判定，又可以作為圓與直線位置關(guān)系的性質(zhì)，換句話說直線和圓的位置關(guān)系可以用它們的交點的個數(shù)來區(qū)分。也可以用圓心到直線的距離與半徑的大小來區(qū)分。它們是一致的。從下表中可清楚了解這種相互依從關(guān)系：直線和圓的位置相交相切相離公共點個數(shù)210圓心到直線距離d與半徑r的關(guān)系drdrdr公共點名稱交點切點無直

32、線名稱割線切線無圖形說明： 根據(jù)直線與圓相交的定義，用直尺(或三角形板)在紙上移動，靠眼睛觀察。當(dāng)它與圓只有一個公共點時，畫出直線，即為已知圓的切線?！纠}選講】例1、求證：菱形各邊中點在以對角線的交點為圓心的同一個圓上。 已知：如圖，菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O。 求證：菱形ABCD各邊中點M、N、P、Q在以O(shè)為圓心的同一個圓上。 證明： 四邊形ABCD是菱形ACBD，垂足為O，且ABBCCDDA M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA的中點OMONOPOQAB根據(jù)圓的定義可知：M、N、P、Q四點在以O(shè)為圓心OM為半徑的圓上。 例2、若RtABC的三個頂點A、B、C在O上，

33、求證：RtABC斜邊AB的中點是O的圓心。 證明：ABC是直角三角形，AB是斜邊取AB中點M，則MCMAMB又OAOBOC O是AB中點 故M與O重合，即AB的中點是O的圓心。例3、如圖，ABC中，C90，B60，ACx，O的半徑為1，問：當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時，AC與O相離、相切、相交。分析：由于直線與圓的位置關(guān)系取決于圓心到直線的距離d與圓的半徑r間的數(shù)量關(guān)系，所以作ODAC于D，分別由AC與O相離、相切、相交可得知相應(yīng)的OD與O半徑r間的關(guān)系式，從而求出x的范圍。 解：作ODAC于D，在RtABC，C90B60，A30ODAOx(1)當(dāng)x1，即x2時，AC與O相離；(2)當(dāng)x1，即x2時

34、，AC與O相切；(3)0x1，即0x2時，AC與O相交。例4、如圖，O直徑AB的兩端點到直線MN的距離分別為m、n，AB6，當(dāng)m、n分別為下列長度時，MN與O有怎樣的位置關(guān)系？m1，n4；m1.5，n4.5；m 4，n4分析：由于O的半徑已經(jīng)知道，因此只需求出O到MN的距離，作OHMN于H，可得OH(mn)，然后比較OH與半徑的大小，便得到直線與圓的位置關(guān)系。 解：過點O作OHMN于H，則ACOHBD 又OAOBHCHDOH (ACBD)(mn) OH(14)2.5OHAB，MN與O相交； OH(1.54.5)3OHAB，MN與O相切； OH (44)OHAB，MN與O相離。 說明：應(yīng)用直線和

35、圓的位置關(guān)系的判定公式，判定直線和圓的位置關(guān)系時，一定要找準(zhǔn)半徑的長和圓心到直線的距離，然后比較兩者的大小，按公式判斷位置關(guān)系。例5、已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，以腰DC的中點E為圓心的圓與AB相切，梯形的上底AD與下底BC的方程x210x160的兩根，求圓的半徑r。 分析：對于“直線與圓相切dr”這句話應(yīng)從兩個方面理解：從左往右看是相切的性質(zhì)，從右往左看是相切的判斷，所以要求圓E的半徑，主要是要求E到AB的距離。解：如圖，過E作EFAB于F。 E是CD的中點，且EFAB，DAAB，BCAB， EF是梯形ABCD的中位線。 AD、BC是方程x210x160的兩根。 ADBC10

36、EF(ADBC)5 O與AB相切，rEF5例6、如圖，一個圓球放置在V型架中。圖9-2是它的平面示意圖，CA、CB都是O的切線，切點分別是A、B，如果O的半徑為cm，且AB6cm，求ACB。解：如圖，連結(jié)OC交AB于點D，ABODCCA、CB分別是O的切線，CACB，OC平分ACB，OCABAB6，BD3。在RtOBD中，OBsinBOD，BOD60B是切點，OBBC，OCB30， ACB60。例7、如圖，直角梯形ABCD，ADBC，ADC135，DC8，以D為圓心，以8個單位長為半徑作D，試判定D與BC有向幾個交點？ 分析：D與BC交點的個數(shù)，決定于點D到BC的距離，作DEBC于E，計算DE

37、的長度，即可作出判斷。解：作DEBC于EADBC ADCC180 又ADC135，C45 DEC為等腰直角三角形 CD8 DE8，即點D到BC的距離是8個單位， 因此D與BC只有一個交點。鞏固練習(xí)1、在矩形ABCD中，AB8，AD6，以A為圓心作圓，如果B、C、D三點中至少有一點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，則圓A的半徑r的取值范圍是？ 2、試述點和圓的位置關(guān)系？ 3、直線和圓的公共點的數(shù)目不能超過 ，這是因為 。 4、RtABC的斜邊AB6厘米，直角邊AC3厘米，以C為圓心，2厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是 ，4厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是 ，若和AB相切，那么半徑長為 。 5、過圓上一

38、點可以和圓的 條切線；過圓外一點可以作圓的 條切線，過 點，不存在圓的切線。 6、O的半徑為6，O的一條弦AB長為3 ，以3為半徑的同心圓與AB的位置關(guān)系是：A相離 B相切 C相交 D無法確定 7、等邊ABC的面積為3cm2，以A為圓心的圓與BC所在的直線l： (1)沒有公共點；(2)有唯一的公共點；(3)有兩個公共點。 求這三種情況下點A到直線l的距離d的范圍。 (1) (2) (3)8、已知RtABC的斜邊AB8cm，AC4cm，以點C為圓心、半徑分別為2cm和4cm畫兩個圓，這兩個圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？半徑為多長時，AB與C相切？ 9、在射線OA上取一點A，使OA4cm，以A為圓心，

39、作一直徑為4cm的圓，問：過O的射線OB與OA的銳角取怎樣的值時，OA與OB(1)相離；(2)相切；(3)相交。10已知菱形ABCD中，A60，對角線AC、BD相交于O，邊長AB16，以O(shè)為圓心，半徑為多長時所作的圓才能與菱形四條邊都相切？參考答案1 解：ABCD是矩形，AB8，AD6，則AC10 B、C、D三點中至少有一點在OA內(nèi)，至少有一點在OA外，則6r102答：圓內(nèi)的點與圓心的距離小于半徑的點； 圓上的點與圓心的距離等于半徑的點；圓外的點與圓心的距離大于半徑的點。3答：不能超過2個，這是因為同一直線上三點的圓不存在。4解：在RtABC中，斜邊AB6厘米，直角邊AC3厘米， BC3厘米

40、作CDAB于D，則CD633CD厘米。 故以C為圓心，2厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是相離，4厘米為半徑的圓和AB的位置關(guān)系是相交，若和AB相切，則半徑長為厘米。51，2，圓內(nèi)。6解：由依題知O到AB的距離 5 以3為半徑的同心圓與AB的位置關(guān)系是相離，選A。7解：過A作ADBC，垂足為D，得BDBC， 在RtABD中 由勾股定理得；BC 由三角形面積公式得，BCADBCBC3 BC2 ADBC3 (1)當(dāng)A與直線l沒有公共點時，dAD，即d3cm（圖(1)） (2)當(dāng)A與直線l有唯一公共點時，dAD，即d3cm（圖(2)） (3)當(dāng)A與直線l有兩個公共點時，dAD，即d3cm（圖(3)）8

41、解：在RtABC的斜邊AB8cm，AC4 BC4，作CDAB于D 由CDABACBC得 以2cm為半徑，C為圓心畫圓與AB相離。 以4cm為半徑，C為圓心畫圓與AB相交。 以2cm為半徑，C為圓心畫圓與AB相切。9解：如圖，作ACOB于C，則 ACOAsin4sin (1)當(dāng)AC2即4sin2 sin時，A與B相離，此時30 (2)當(dāng)AC2，即sin，30時，A與B相切。 (3)當(dāng)AC2，即sin，30時，A與B相交10解：作OEAB于E， AB16，OAB30 OBAB8，AOAB8 OEABAOOB OE4 答：半徑為4時，以O(shè)為圓心所作的圓才能與菱形四邊都相切。23.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)

42、系同步練習(xí)1已知O的半徑為5 cm，A為線段OP的中點，當(dāng)OP=6 cm時，點A與O的位置關(guān)系是（ ） A點A在O內(nèi) B點A在O上 C點A在O外 D不能確定 2兩個圓的圓心都是O，半徑分別為r1、r2，且r1OAr2，那么點A在 （ ）Ar1內(nèi) Br2外 Cr1外，r2內(nèi) Dr1內(nèi)，r2外3如圖，O中，點A，O，D以及點B，O，C分別在一直線上，圖中弦的條數(shù)為（ ）A2 B3 C4 D54如圖已知等邊三角形ABC的邊長為cm，下列以A為圓心的各圓中，半徑是3cm的圓是（ ）5直線與半徑r的O相交，且點O到直線的距離為5，則r的值是（ ）Ar5 Br5 Cr5 Dr56OA平分BOC，P是OA上

43、任一點（O除外），如果以P為圓心的圓與OC相交，那么P與OB的位置關(guān)系是（ ）A相切 B相離 C相交 D以上都有可能7半徑分別為1cm 和2cm 的兩圓外切,那么與這兩圓都相切且半徑為3cm 的圓的個數(shù)有（ ） A5個 B4個 C3個 D2個8如圖一個圓環(huán)的面積為9，大圓的弦AB切小圓于點C，則弦AB的長為（ ）A9 B18 C3 D99如圖，同樣大的硬幣，其中一個固定，另一個沿著其周圍滾動，滾動時，兩枚硬幣總是保持有一點相接觸（相外切），當(dāng)滾動的硬幣沿固定的硬幣周圍滾動一圈，回到原來的位置時，滾動的那個硬幣自轉(zhuǎn)的周數(shù)為（ ）A1 B2 C3 D410已知兩圓的半徑分別是2，3，圓心之間的距離是d，若兩圓有公共點，則下列結(jié)論正確的是（ ）Ad1 Bd5 C1d5 D1d511設(shè)O1和O2的半徑分別是R和r，圓心之間的距離O1O25,且R，r是方程的兩根，則O1和O2 的位置關(guān)系是（ ）A內(nèi)切 B外切 C相交 D相離12已知O的直徑為8cm，點A，B，C與圓心O的距離分別為4cm，3cm，5cm，則點A在 上，點B在 ，點C在 。13一條過圓心的弦AB長8 cm，此圓的半徑是 ，AB的垂直