數(shù)學課例研究報告材料

1、實用標準文檔數(shù)學課例研究報告一.研究目標基本目標：通過研究體現(xiàn)數(shù)學課堂教學中學生學生主體作用的激發(fā)、學生參與作用的操作、學生能力培養(yǎng)方面的發(fā)揮、教學策略多樣化、教學模式系列化的課堂教學實例及理論成 果。衍生目標：在研究中，通過課例實踐，讓學生在“做中學”，激發(fā)和增強對學習數(shù)學的 興趣，體驗自主學習與探究思考的過程，發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學學習方法， 建構(gòu)自己的數(shù)學知識體系，發(fā)展自己的數(shù)學思維，感悟數(shù)學之美，提高數(shù)學學習水平。二、課題研究的內(nèi)容與方法（一）研究的內(nèi)容課例研究，是最基礎(chǔ)的教學實踐研究，從課例中，我們可以觀察到的教與學實踐過程要素是：關(guān)于教師的教：A、教學設(shè)計的適切性（包涵信息技術(shù)應用的適切性

2、）日教學過程的生成性（教學機智）C教學評價的有效性關(guān)于學生的學：A學習的準備日學習的注意程度C數(shù)學思維的深度、廣度、靈活性D知識鞏固能力關(guān)于信息技術(shù)與數(shù)學課程整合的過程：構(gòu)建有效教學過程，促進學生意義建構(gòu)因此，我們的研究內(nèi)容主要包括對課例的系統(tǒng)分析、總結(jié)和課例要素的觀察分析。（二）研究的方法本課題主要采用行動研究法。以信息技術(shù)與初中數(shù)學課程整合的研究為載體，把探索研究結(jié)果與運用研究成果結(jié)合起來，邊設(shè)計邊實施，邊實施邊修正，邊修正邊反思，促進課題研究的深入。重點初中各年級的教材內(nèi)容為主，選擇一些突破口。選擇若干個點分析其理論基礎(chǔ)、內(nèi)容特點、技術(shù)特征、學生的學習方式、學習結(jié)果及學生的個性發(fā)展等進行

3、研究。課例研究的流程包括五個步驟：(1)課前分析(教學內(nèi)容分析、學生分析)；(2)教學設(shè)計；(3)課堂教學觀察；(4)教學反思；(5)教學過程建模。三、研究的過程第一階段：行動序曲初步的個人備課和準備階段：1 .研討課例研究目標的構(gòu)建與課例內(nèi)容的確立，形成課例的初步研究方案。2 .制定和申報課例研究方案，成立課例研究組。第二階段：實踐探索：1 .開展課例研究工作，確定有關(guān)研究課的內(nèi)容，注重集體研討。2 搜集、整理內(nèi)容，以便有計劃、有系統(tǒng)地進行研究。3 .有實驗教師講課，研究小組聽課、評課，形成一定的教學模式。第三：課后反思第四階段：全面總結(jié)課題研究工作，撰寫集體備課筆記四：課例研修報告：課例名

4、稱：1、一元二次方程教師：王偉課時數(shù)：一課時課型：新授課一兀二次方程4 .分解因式法一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎(chǔ)：在前幾冊學生已經(jīng)學習了一元一次方程、 二元一次方程組、 可化為一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并積累了解一元一 次方程的方法，熟練掌握了解一元一次方程的步驟；在八年級學生學習了分解因式， 掌握了提公因式法及運用公式法（平方差、完全平方）熟練的分解因式；在本章前幾 節(jié)課中又學習了配方法及公式法解一元二次方程， 掌握了這兩種方法的解題思路及步 驟。學生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學習過程中，學生已經(jīng)經(jīng)歷了用配方法和公式 法求一元二次方程的解的過程，并在現(xiàn)實情

5、景中加以應用，切實提高了應用意識和能 力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同時在以前的數(shù)學學習中，學生已 經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經(jīng)驗，具備了一定的合作與 交流的能力。二、教學任務分析教科書基于用分解因式法解一元二次方程是解決特殊問題的一種簡便、特殊的方 法的基礎(chǔ)之上，提出了本課的具體學習任務：能根據(jù)已有的分解因式知識解決形如“x（x a）=0”和“x2 a2=0”的特殊一元二次方程。但這僅僅是這堂課具體的教學目 標，或者說是一個近期目標。數(shù)學教學由一系列相互聯(lián)系而又漸次遞進的課堂組成， 因而具體的課堂教學也應滿足于遠期目標，或者說，數(shù)學教學的遠期目標，應該與

6、具 體的課堂教學任務產(chǎn)生實質(zhì)性聯(lián)系。本課分解因式法內(nèi)容從屬于“方程與不等式” 這一數(shù)學學習領(lǐng)域，因而務必服務于方程教學的遠期目標：“經(jīng)歷由具體問題抽象出 一元二次方程的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學模型，并 在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，進一步培養(yǎng)學生分析問題、解決問 題的意識和能力。”同時也應力圖在學習中逐步達成學生的有關(guān)情感態(tài)度目標。為此,本節(jié)課的教學目標是：教學目標1、能根據(jù)具體一元二次方程的特征， 靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的 多樣性；2、會用分解因式法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次 方程；3、通過分解因式法的學習，

7、培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，并體會轉(zhuǎn)化的 思想。4、通過小組合作交流，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角 度解決問題的方法，并初步學會不同方法之間的差異，學會在與他人的交流中獲益。三、教學過程分析本節(jié)課設(shè)計了七個教學環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復習回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入，探究 新知；第三環(huán)節(jié)：例題解析；第四環(huán)節(jié)：鞏固練習；第五環(huán)節(jié)：拓展延伸；第六環(huán)節(jié): 感悟與收獲；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復習回顧內(nèi)容：1、用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為 (x+m)2=n (n>0)的形式。2、用公式法解一元二次方程應先將方程化為一般形式。3、選擇合適的方法解下列方程： x2

8、-6x=7 3x2+8x-3=0目的：以問題用的形式引導學生思考，回憶兩種解一元二次方程的方法，有利于學 生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡，為學生后面的學習作好鋪墊。實際效果：第一問題學生先動筆寫在練習本上，有個別同學少了條件“n>0”。第二問題由于較簡單，學生很快回答出來。第三問題由學生獨立完成，通過練習學生復習了配方法及公式法，并能靈活應用，提 高了學生自信心。第二環(huán)節(jié)：情景引入、探究新知內(nèi)容：1、師：有一道題難住了我，想請同學們幫助一下，行不行？生：齊答行。師：出示問題，一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數(shù)是幾? 你是怎樣求出來的？說明：學生獨自完成，教師巡視指

9、導，選擇不同答案準備展示。附：學生A:設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意，可列方程x2=3xx2-3x=0= a=1,b= -3,c=0 2b -4ac=9xi=0, x2=3這個數(shù)是0或3。學生B:設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意，可列方程 x2=3xx2-3x=0 x2-3x+(3/2) 2=(3/2) 2 (x-3/2)2=9/4 x-3/2=3/2 或 x-3/2= -3/2 xi=3,x2=0.這個數(shù)是0或3。學生C:設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意，可列方程x2=3x x2-3x=0即 x(x-3)=0x=0 或 x-3=0xi=0,x2=3這個數(shù)是0或3。學生D:設(shè)這個數(shù)為x,根據(jù)題意，可列方程x2=3x兩邊同

10、時約去x,得x=3這個數(shù)是3。2、師：同學們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學的做法是否存在問題？你認為那種方法更合適？為什么？說明：小組內(nèi)交流，中心發(fā)言人回答，及時讓學生補充不同的思路，關(guān)注每一個 學生的參與情況。超越小組：我們認為D小組的做法不正確，因為要兩邊同時約去X,必須確保X 不等于0,但題目中沒有說明。雖然我們組沒有人用 C同學的做法，但我們一致認為C 同學的做法最好，這樣做簡單又準確.學生E:補充一點，剛才講X須確保不等于0,而此題恰好X=0,所以不能約去， 否則丟根.師：這兩位同學的回答條理清楚并且敘述嚴密，相信下面同學的回答會一個比 一個棒!(及時評價鼓勵，激發(fā)學

11、生的學習熱情)3、師：現(xiàn)在請C同學為大家說說他的想法好不好？生：齊答好學生 C: X(X-3)=0 所以 Xi=0或 =3因為我想 3X0=0,0X(-3)=0, 0x 0=0反過來，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a與b至少有一個等于04、師：好，這時我們可這樣表示：如果axb=0,那么a=0或b=0這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時，中間應寫上“或”字。我們再來看c同學解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?,而另一邊可以 分解成兩個因式的乘積，然后利用axb=0,則

12、a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一 次方程，從而求出方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即當一元二次方程的一邊為0,而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我門 就采用分解因式法來解一元二次方程。目的：通過獨立思考，小組協(xié)作交流，力求使學生根據(jù)方程的具體特征，靈活選取適 當?shù)慕夥?在操作活動過程中，培養(yǎng)學生積極的情感，態(tài)度，提高學生自主學習和思考 的能力，讓學生盡可能自己探索新知，教師要關(guān)注每一位學生的發(fā)展.問題3和4進一 步點明了分解因式的理論根據(jù)及實質(zhì)，教師總結(jié)了本節(jié)課的重點.實際效果：對于問題1學生能根據(jù)自己的理解選擇一定的方法解決，速度比較快。第2問讓學生合作

13、解決，學生在交流中產(chǎn)生了不同的看法，經(jīng)過討論探究進一步了解 了分解因式法解一元二次方程是一種更特殊、簡單的方法。C同學對于第3問的回答從特殊到一般講解透徹，學生語言學生更容易理解。問題4的解決很自然地探究了新知一一分解因式法.并且也點明了運用分解因式法解一元二次方程的關(guān)鍵：將方程左邊化為因式乘積，右邊化為0,這為后面的解題做了鋪墊。是“二者中至少有一個成立”的意思，“且”是“二者同時成立”的意思。第三環(huán)節(jié)例題解析內(nèi)容：解下列方程、 、 、5X2=4XX-2=X(X-2) (X+1) 2-25=0（仿照引例學生自行解決）（師生共同解決）（師生共同解決）學生G:解方程（1）時，先把它化為一般形式，

14、然后再分解因式求解。說明：如果ab=0,那么a=0或b=0, “或” 包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立。解：（1）原方程可變形為5X2-4X=0X(5X-4)=0X=0 或 5X-4=0Xi=0,X2=4/5學生H:解方程（2）時因為方程的左、右兩邊都有（x-2）,所以我把（x-2）看作整 體，然后移項，再分解因式求解。解：（2）原方程可變形為（X-2） -X（X-2）=0（X-2）（1-X）=0X-2=0 或 1-X=0Xi=2 ,X2=1學生K:老師，解方程（2）時能否將原方程展開后再求解師：能呀，只不過這樣的話會復雜一些，不如把 （x-2）當作整體簡便。學生M方程（x+1） 2

15、- 25=0的右邊是0,左邊（x+1） 2-25可以把（x+1）看做整體， 這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可分解因式。解：（3）原方程可變形為（X+1）+5（X+1）-5=0（X+6）（X-4）=0X+6=0 或 X-4=0X1=-6） X=4師：好！這個題實際上我們在前幾節(jié)課時解過，當時我們用的是開平方法，現(xiàn) 在用的是因式分解法。由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用 時，以簡便為主。問題：1、用這種方法解一元二次方程的思路是什么 ？步驟是什么？（小組合作交流）2、對于以上三道題你是否還有其他方法來解 ？（課下交流完成）目的：例題講解中，第一題學生獨自完成，考察了學

16、生對引例的掌握情況，便于及時 反饋。第2、3題體現(xiàn)了師生互動共同合作，進一步規(guī)范解題步驟，最后提出兩個問題。 問題1進一步鞏固分解因式法定義及解題步驟，而問題 2體現(xiàn)了解題的多樣化。實際效果：對于例題中（1）學生做得很迅速，正確率比較高；（2）、（3）題經(jīng)過探究 合作最終順利的完成，所以學生#緒高漲，討論熱烈，思維活躍，正是因為這，問題1、2學生們有見地的結(jié)論不斷涌現(xiàn)，敘述越來越嚴謹。說明：在課本的基礎(chǔ)上例題又補充了一題，目的是練習使用公式法分解因式第四環(huán)節(jié)：鞏固練習內(nèi)容：1、解下列方程：(1)(X+2)(X-4)=0(2 )X2-4=0(3 )4X(2X+1)=3(2X+1)2、一個數(shù)平方的

17、兩倍等于這個數(shù)的 7倍，求這個數(shù)？目的：華羅庚說過“學數(shù)學而不練，猶如入寶山而空返”該練習對本節(jié)知識進行鞏 周，使學生更好地理解所學知識并靈活運用。實際效果：此處留給學生充分的時間與空間進行獨立練習，通過練習基本能用分 解因式法解一元二次方程，收到了較好的效果。第五環(huán)節(jié)拓展與延伸師：想不想挑戰(zhàn)自我？學生：想內(nèi)容：1、一個小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的速度 h(m),與 時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-5t 2小球何時能落回地面？2、一元二次方程(m-1)x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0 有一個根為 0,求 m 的說明：a學生交流合作后教師適當引導提出兩個問提，1、第

18、一題中小球落回地面 是什么意思？ 2、第二題中一個根為0有什么用？b這組補充題目稍有難度，為了激發(fā)優(yōu)秀生的學習熱情。目的：學生在對分解因式法直接感知的基礎(chǔ)上，在頭腦加工組合，呈現(xiàn)感知過的 特點，使認識從感知不段發(fā)展，上升為一種可以把握的能力。同時學生通過獨立思考 及小組交流，尋找解決問題的方法，獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗，調(diào)動了學生學習的積極性， 也培養(yǎng)了團結(jié)協(xié)作的精神，使學生在學習中獲得快樂，在學習中感受數(shù)學的實際應用 價值。實際效果：對于問題1,個別學生不理解問題導致沒列出一元二次方程；問題 2由 于在配方法時接觸過此類型的題目，因此掌握比較不錯。說明：小組內(nèi)交流時，教師關(guān)注小組中每個學生的參與積

19、極性及小組內(nèi)的合作交 流情況。第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵。2、在應用分解因式法時應注意的問題。3、分解因式法體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學思想？目的：鼓勵學生結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容談自己的收獲與感想。實際效果：學生暢所欲言，在民主的氛圍中培養(yǎng)學生歸納概括能力和語言表達能 力；同時引導學生反思探究過程，幫助學生肯定自我、欣賞他人。第七環(huán)節(jié)布置作業(yè)1、課本習題 2.71、2（2） （3）2、預習提綱：如何列方程解應用題四、教學反思1. 評價的目的是為了全面了解學生的學習狀況，激勵學生的學習熱情，促進學生的全面發(fā)展.所以本節(jié)課在評價時注重關(guān)注學生能否積極主動的

20、思考，能否清楚的表達自己的觀點，及時發(fā)現(xiàn)學生的閃光點，給予積極肯定地表揚和鼓勵增強他們對數(shù)學活 動的興趣和應用數(shù)學知識解決問題的意識，幫助學生形成積極主動的求知態(tài)度2. 這節(jié)課的“拓展延伸”環(huán)節(jié)讓學生切實體會到方程在實際生活中的應用.拓展了學生的思路，培養(yǎng)了學生的綜合運用知識解決問題的能力.3. 本節(jié)中應著眼干學生能力的發(fā)展，因此其中所設(shè)計的解題策略、思路方法在今后的教學中應注意進一步滲透，才能更好地達到提高學生數(shù)學能力的目標.2課例名稱：求解中考壓軸題的四種常見解題方法教師：黃振課時：一課時課型：復習課中考數(shù)學壓軸題教學目標：掌握 中考壓軸題的四種常見解題方法3.1 壓軸題的概念中考數(shù)學試卷

21、中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：一、選擇題（客觀題，有些地方將其稱作“第I卷”）；二、填空題（形式簡單的主觀題）；三、解答題（二、三也合稱第n卷）。在這三類題型中， 思維難度較大的題目一般都設(shè)置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。中考壓軸題按其題型的區(qū)別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題；解答題型壓軸題（也即整個試卷的最后一題），叫大壓軸 題，通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。3.2 壓軸題的特點中考數(shù)學壓軸題的設(shè)計，大都有以下共同特點：知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系 復雜、思

22、路難覓、解法靈活?？v觀近幾年全國各地數(shù)學中考壓軸題，呈現(xiàn)了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統(tǒng)的函數(shù)綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動態(tài)幾何題、新 定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。中考壓軸題主要是為考察考生綜合運用知識的能力而設(shè)計的題目，其思維難度高，綜合性強，往往都具有較強的選拔功能，是為了有效地區(qū)分數(shù)學學科中尖子學生與一般學生的試 題。在課程改革不斷向前推進的形勢下，全國各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，綜合體現(xiàn)出多種解答數(shù)學問題的思想方法，貼近生活、 關(guān)注熱點、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進，為不同層次的學生展示自己的才華 創(chuàng)設(shè)了

23、平臺。3.3 壓軸題應對策略針對近年全國各地中考數(shù)學壓軸題的特點，在中考復習階段，我們要狠抓基礎(chǔ)知識的落實，因為基礎(chǔ)知識是“不變量”，而所謂的考試“熱點”只是與題目的形式有關(guān)。要有效地 解答中考壓軸題，關(guān)鍵是要以不變應萬變。加大綜合題的訓練力度，加強解題方法的訓練， 加強數(shù)學思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調(diào)適學生心理，增強學生信心。學生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因，如：基礎(chǔ)知識和基本技能的欠缺、 解題經(jīng)驗的缺失或訓練程度不夠、自信心不足等。 學生在壓軸題上的具體困難則可能是： “不知 從何處下手，不知向何方前進”。在求解中考數(shù)學壓軸題時，重視一些數(shù)學思想方法的靈活應用，

24、是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。2.求解中考壓軸題的常見思想方法2.1 分類討論思想代表性題型：動態(tài)幾何問題，存在性討論問題。例1. （2009年重慶）已知：如圖，在平面直角坐標系 工 中，矩形OABC勺邊OA在J 軸的正半軸上，OC在工軸的正半軸上，OA=2 OC=3過原點。作/AOC勺平分線交AB于點 D,連接DC過點D作D已DC交OA于點E。（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將/ EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與 y軸的正半軸交于點 F,另一邊6與線段OC交于點G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點 M,點M的橫坐標為5

25、 ,那么 EF=2GO1否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；文案大全Q使得直線GQQ的坐標；若不存解析：（1）由 AD BCtD及已知條件求得E、D C坐標，進而求出過點E、D> C的拋物線的解析式:（3）對于（2）中的點G,在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的 PCG是等腰三角形？若存在，請求出點在，請說明理由。2) ) EF=2G誠立.T點M在該拋物線上，且它的橫坐標為 5 ,12.點M的縱坐標為T.設(shè)DM勺解析式為 六質(zhì)+b1GH0)將點D M的坐標分別代入，得森555 解得電=& DM的解析式為， 23) EF=2過點D作D。

26、OC于點K,貝U DA=DK DA陣 DKG KG=AF=1 GO=1. . EF=2GO(3);點 P在 AB上，G (1, 0) , C (3, 0),則設(shè) P (t , 2)PG = (t1)1+22, PC=(3 t) 2+2】，GC=2若 PG=PC 貝U ( t 1) i+2i= (3-t ) + +21解得t=2 . P (2, 2),此時點 Q與點P重合.Q (2, 2)若 PG=GC 貝U ( t 1) 一 +2 一 =2 一 ,解得 t=1 , P (1, 2) 此時GPLx軸.GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點Q的橫坐標為1,77.點Q的縱坐標為3 . Q (1, 3 )若

27、 PC=GC 貝U ( 3t) J+2i=2i ,解得 t=3 , P (3, 2)此時PC=GC=2 P與D重合過點Q作QHL x軸于點H,二一)他+iy+»a+D+i=力貝U QH=GH 設(shè) QH=h Q (h+1, h)66.712 7> hf = -2解得 5(舍去).Q ( 5 , 5)712 7綜上所述，存在三個滿足條件的點Q即Q (2, 2)或Q (1, 5 )或Q( 5 , W )思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題。第問結(jié)合“形”的特征，求出點 D E、C的坐標，再設(shè)二次函數(shù)一般式，用待定系數(shù) 法可求得二次函數(shù)解析式。體現(xiàn)了解函數(shù)問

28、題時常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想。第由D M所在直線與y軸相交哦于F,可求得F點坐標，并求出EF的長度，并由旋 轉(zhuǎn)過程中的角度相等關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造全等求出 OG得證結(jié)論。解決第問的關(guān)系是將 EF、 OG轉(zhuǎn)化為可求的已知量，得到其長度關(guān)系。體現(xiàn)出數(shù)學解題中的“轉(zhuǎn)化思想”。本題的第問討論存在性問題。要使 PCG是等腰三角形，其中G C為定點，P為不確定的點，因此應考慮 GE腰、GC為底，并考慮 G G P分別為頂點等多種情況進行分類討 論。假設(shè)存在P點，結(jié)合P點的位置，通過設(shè)置 P點坐標參數(shù)，用所設(shè)參數(shù)表示出相應三角 形邊長，由等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造相應方程，可求出 P點坐標。第問不僅體現(xiàn)了分類討 論思

29、想，還考察了用方程建模的能力。2.2轉(zhuǎn)化思想代表性題型：面積問題，二函數(shù)圖象與坐標軸的交點距離、二次函數(shù)與一次函數(shù)交點距離、反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點距離問題（與一元二次方程根的系數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化）。例2.已知：RtABC的斜邊長為5,斜邊上白高為2,將這個直角三角形放置在平面直 角坐標系中，使其斜邊 AB與x軸重合（其中 OA<OB ,直角頂點 C落在y軸正半軸上（如 圖1）。（1）求線段OA OB的長和經(jīng)過點 A B C的拋物線的關(guān)系式。（4分）（2）如圖2,點D的坐標為（2, 0）,點P （mj n）是該拋物線上的一個動點（其中m>0,n>0）,連接DP交BC于點E。當 BDE

30、是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標。（3分）又連接CD. CP （如圖3） , CDP是否有最大面積？若有，求出 CDP勺最大面積和 此時點P的坐標；若沒有，請說明理由。（3分）解析：由 RtAAOCC RtCO叫知，CO=OA.OB=OA(AB-OA)可求 OA=1,OB=4丹-1,0)R4,0)Q0,2)可設(shè)解析式為 y=a(x+1)(x-4),將點q0,2）代入，可求a= 2j = -x2 +-x+222 為所求£第）烏（4-。6|珞）; J J提示：ED=EB寸，過E作BD垂線，可得直線bc的解析式為 “ 丁 ,設(shè),利用勾股定理和點在直線1f1V = -x + 2y =

31、-x + 22<2bc上，可得兩個方程組（2-4+/=2=2分別可求片和鳥。方法1 :連OP如圖4。j =+-z+2P (m, n)在拋物線22 上1 -m +-冽+2 p (m 22)S cp=S 四邊形 ODPC Sx OCD2 2 =Sx poc+ S apdo Saocd= O OC |x p|+ 2 OD, |y p| 2 OC OD1 11 2 31-m +-湘+ 2-=2 X2m+2 X2( 22) 2x2X22 5525=2 m1 + 2 mj 2 (mi 2 ) 1+855 25當m=2時，SCP而積最大，此時p ( 2 , 8)方法2:過D作X軸的垂線，交PC于M,如

32、圖5。n-2,、/小 2理一4 e易求PC的解析式為y =z + 2Af(2,1-2)m ，且 m ，故工皿-£口©加 + OZJAiP / （兀F -年）。 yD）1 口 1 一4口、,9二三小3出二不陽（+ 2）二的+盟-22 2 m1m25m-當 2時,思想方法解讀：本題是一道二次函數(shù)與平面幾何綜合的壓軸題第問由三角形形似 （或射影定理）求出相關(guān)線段的長， 寫出相應點的坐標。然后靈活 設(shè)置二次函數(shù)式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)式。第問，雖然題目要求是 直接寫出點E的坐標。但點E的坐標必須通過計算得到。 而在 計算的過程中，要考慮符合要求的等腰三角形的多樣性，需分類討論頂

33、點、腰的對應情況。第問是本題的難點。題中的面積表示，要結(jié)合 P （m n）在拋物線上，充分利用點的 坐標的幾何意義，或是利用平面幾何的性質(zhì)，有效表示BCD的面積，將不能直接表示的三角形面積轉(zhuǎn)化為能用已知線段和 P點坐標表示的面積。方法1是將四邊形分割成兩個三角形 POC APOD方法2,是通過過 D點作垂線，直接將 BDC?；癁?PDM CDM2. 3極端值思想代表性題型：動態(tài)幾何問題，動態(tài)函數(shù)問題。例3 .已知乙4SC=90*=2, BC = 3 AD H BC,產(chǎn)為線段RD上的動點，點GPQ_AD在射線AB±,且滿足PC AB （如圖1所示）.（1）當給 =2,且點。與點3重合時

34、（如圖2所示），求線段PC的長；3HQ 二-（2）在圖1中，聯(lián)結(jié)工產(chǎn).當 2 ,且點。在線段AB上時，設(shè)點 自。之間的距離為X, S戶肥，其中網(wǎng)鼾口表示'APQ的面積，旬陽？表示25C的面積，求y關(guān)于I的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；PQ_AD解析：（1） AD=2且Q點與B點重合。由PC ??？ =1, PB （Q =PC, PQE等. 3尬腰直角三角形，BC=3 PC=Bccos45° =3X 2=2 。(2)如圖：作 P已BC, PHAQ BQ=x,貝U AQ=2-x。圖1空竺由 BPD BDP BF = AB = 4 ,又 BF=PEPF 33PE = 4 , p pf

35、=4 pe2 S AAPQ=? (2 x) PF, SAPBC=2 X3PEy= 4 (2x)P點與D點重合時，此時 CQ取最大彳to過 D作DHL BGPQ 35 PQ AD 2cd= 2 ,此時 PC = AB ,2=2, pq=8 , bq=ab- aq=87，函數(shù)的定義域：0WxW 8(3)方法1: PQ/PC=AD/AB假設(shè) PQ不垂直 交于Q'點，則：B, Q',巳C四點共圓。由圓周角定理，以及相似三角形的性質(zhì)得：又由于PQ/PC=AD/AB 所以，點 Q與點PC,則可以作一條直線 PQ'垂直于 PC,與ABPQ /PC=AD/AB, Q重合，所以角/QPC

36、=90PN AD PQ方法 2:如圖 3,作 PML BC PN AB 由 BN = AB = PC ,即 PM =PC PNQ PMC/ MPC= / NPN / QPCh MPC- / QPB= / NPQF / QPIM= 90°思想方法解讀：這是一道動態(tài)幾何的變式綜合題。PQ_AD第問，線段的比值PC 乂B不變,Q在特殊點(與B點重合)，由AD=AB=2故PQ(B) =PC, PQE等腰直角三角形。利用幾何性質(zhì)可求出PG第問中利用三角形相似比，結(jié)合已知條件中的固定線段比，找出 PAQ 4PBC高之 間的比例關(guān)系，是求函數(shù)式的關(guān)鍵。而第二問中寫出函數(shù)的定義域則是難點。需分析出P

37、點運動的極端情況，當 P與D重合時，BQ取得最大值。集合圖形的幾何性質(zhì)及已知條件中 的固定線段比，求出此時 BQ的長度，既為BQ的最大值。體現(xiàn)極端值思想。中可以用四點共圓通過歸一法求證，也可以通過構(gòu)造相似形求證。2. 4數(shù)形結(jié)合思想(用好幾何性質(zhì))代表性題型：函數(shù)與幾何綜合題。例4.在平面直角坐標系 xOy中，已知拋物線y=a (x+1)】+c (a>0)與x軸交于A、B 兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,其頂點為M,若直線MC勺函數(shù)表達式為丫,3而與x軸的交點為N,且CO立BCO= 10 。求次拋物線的函數(shù)表達式。C的點P,使以N、P、C為頂點的三角形是以 NCP的坐標：若不存

38、在，請說明理由；(2)在此拋物線上是否存在異于點 為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點(3)過點A作x軸的垂線，交直線 MQ點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物 線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？解析：由直線y=kx 3與y軸交點坐標為 C (0, 3)拋物線y=a (x+1)1+c (a>0)開口向上，過 C (0, 3)A、B在y軸兩側(cè)，B在y軸右側(cè)。如圖。RtMO計,OC=3 cosZBCO= 10BC=J10 , OB=1 . B (1,0) 又 B (1, 0) , C (0, 3)在 y=a (x+1) +c

39、 上，拋物線解析式y(tǒng)=x +2x- 3由拋物線頂點 M(1, 4),直線y=kx 3過M,直線解析式y(tǒng)=x 3N (3, 0)NOC等腰直角三角形假設(shè)拋物線上存在點 P使4NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。PC為另一條直角邊。PC! CN而A與N關(guān)于y軸對稱在拋物線上。存在P1 ( 3, 0)使 NPE以NC為一條直角邊的直角三角形PN為另一條直角邊。 PNL CN則/ PNO=45設(shè)PN交y軸于點D,則D (0, 3)PN所在直線y= x+3-3 +庖存在P2 (-為一條直角邊的直角三角形。滿足條件的點有P1(：9-病 -3-犧,2) , P3(2-3+屈9-標,0),P2(2, 29

40、 +后2)NPC為以 NC-3-屈9 +屈,P3 (2,2 )若拋物線沿對稱軸向上平移。設(shè)向上平移b個單位(b>0)。此時拋物線的解析式為：y=x + +2x 3+b拋物線與線段 NQ總有交點，即由拋物線解析式、 直線MC所在直線解析式組成的方程組y二#+ 21-3 +方有解。由 y = X-3消除y得x】+x+b=0,A=1-4b>0,.-.0< b< 4丁向上最多可平移 4個單位若向下平移 b個單位(b>0),設(shè)y=x + +2x-3- b由 y=x+3,可求得 Q( 3, 6) , N (3, 0)對于拋物線 y=x+2x 3 b當x = - 3, y= b,拋物線與直線 y= x+3有父點，則需一b>-6, bW6當x=3時，y=12 b,拋物線與直線 y= -x+3有交點，則12-b >0, bw 12。，向下最多可平移 12個單位。思想方法解讀：本題還是一道二次函數(shù)與平面幾何綜合的壓軸題。第問中，由直線解析式求出C點坐標，由C點坐標結(jié)合a> 0,判定拋物線與x軸交述點的大致位置。并結(jié)合 cos / BCO= 10 ,求出B點坐標，在根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的 解析式。第問，以NC為直角邊的直角三角形，應分 C、N分別為直角頂點分類討論。 結(jié)合相應