數(shù)學(xué)建模陳東彥版課后答案

1、第一部分 練習(xí)與思考題第1章 建立數(shù)學(xué)模型1.1 在穩(wěn)定的椅子問題中，如設(shè)椅子的四腳連線呈長方形，結(jié)論如何？（穩(wěn)定的椅子問題見姜啟源數(shù)學(xué)模型第6頁）1.2 在商人們安全過河問題中，若商人和隨從各四人，怎樣才能安全過河呢？一般地，有名商人帶名隨從過河，船每次能渡人過河，試討論商人們能安全過河時，與應(yīng)滿足什么關(guān)系。（商人們安全過河問題見姜啟源數(shù)學(xué)模型第7頁）1.3 人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當(dāng)人不在時，狗要吃雞，雞要吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河？1.4 有3對夫妻過河，船至多載兩人，條件是任一女子不能在其丈夫不在的情況下與其他的男子在一起。問怎樣過河？1.5 如果

2、銀行存款年利率為5.5%，問如果要求到2010年本利積累為100000元，那么在1990年應(yīng)在銀行存入多少元？而到2000年的本利積累為多少元？1.6 某城市的Logistic模型為，如果不考慮該市的流動人口的影響以及非正常死亡。設(shè)該市1990年人口總數(shù)為8000000人，試求該市在未來的人口總數(shù)。當(dāng)時發(fā)生什么情況。1.7 假設(shè)人口增長服從這樣規(guī)律：時刻的人口為，最大允許人口為，到時間內(nèi)人口數(shù)量與成正比。試建立模型并求解，作出解的圖形并與指數(shù)增長模型和阻滯增長模型的結(jié)果進(jìn)行比較。1.8 一晝夜有多少時刻互換長短針后仍表示一個時間？如何求出這些時間？1.9 你在十層樓上欲乘電梯下樓，如果你想知道

3、需要等待的時間，請問你需要有哪些信息？如果你不愿久等，則需要爬上或爬下幾個樓層？1.10 居民的用水來自一個由遠(yuǎn)處水庫供水的水塔，水庫的水來自降雨和流入的河流。水庫的水可以通過河床的滲透和水面的蒸發(fā)流失。如果要你建立一個數(shù)學(xué)模型來預(yù)測任何時刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章 初等模型2.1 學(xué)校共1000名學(xué)生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。學(xué)生們要組織一個10人的委員會，試用下列辦法分配各宿舍的委員數(shù)：（1）按比例分配取整數(shù)的名額后,剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者.（2）2.1節(jié)中的Q值方法.（3）dHondt方法： 將各宿舍的人數(shù)用正整數(shù)相除，其商數(shù)如下

4、表：1 2 3 4 5 ABC235 117.5 78.3 58.75 333 166.5 111 83.25 432 216 144 108 86.4將所得商數(shù)從大到小取前10個(10為席位數(shù)),在數(shù)字下標(biāo)以橫線，表中A，B，C行有橫線的數(shù)分別為2，3，5，這就是3個宿舍分配席位.你能解釋這種方法的道理嗎。如果委員會從10人增至15人，用以上3種方法再分配名額.將3種方法兩次分配的結(jié)果列表比較.（4）你能提出其他的方法嗎.用你的方法分配上面的名額.動物 體重（） 心率（次/分）田鼠家鼠兔小狗25 670200 4202000 2055000 1202.2 在超市購物時你注意到大包裝商品比小包

5、裝商品便宜這種想象了嗎.比如潔銀牙膏50克裝的每支1.50元,120克裝的每支3.00元,二者單位的重量的價格比是1.2:1,試用比例方法構(gòu)造模型解釋這個現(xiàn)象.（1）分析商品的價格C與商品重量W的關(guān)系.價格由生產(chǎn)成本、包裝成本和其它成本等決定，這些成本中有的與重量W成正比，有的與表面積成正比，還有與W無關(guān)的因素。(2)給出單位重量價格C與W的關(guān)系。畫出它的簡圖，說明W越大C越小，但是隨著W的增加C減小的程度變小。解釋實際意義是什么。2.3 一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上的魚放生，打算按照放生的魚的重量給予獎勵，俱樂部只準(zhǔn)備了一把軟尺用與測量，請你設(shè)計按照測量的長度估計魚的重量的方法。假設(shè)魚池中只

6、有一種鱸魚，并且得到了8條魚的如下數(shù)據(jù)（胸圍指魚身的最大周長）：身長(cm)36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1重量(cm)765 482 1162 737 482 1389 652 454胸圍(cm)24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6先用機(jī)理分析建立模型，再用數(shù)據(jù)確定參數(shù)。2.4用已知尺寸的矩形板材加工一定的圓盤，給出幾種簡便、有效的排列方法使加工出盡可能多的圓盤。2.5雨滴勻速下降，空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積成正比，試確定雨速與雨滴質(zhì)量的關(guān)系。2.6生物學(xué)家認(rèn)為，對于休息狀態(tài)的熱血動物消耗的能量

7、主要用于維持體溫，能量與從心臟到全身的血流量成正比，而體溫主要通過身體表面散失，建立一個動物體重與心率之間關(guān)系的模型，并用下面的數(shù)據(jù)加以檢驗。大狗羊人馬30000 8550000 7070000 72450000 382.7 舉重比賽按照運動員的體重分組,你能在一些合理、簡化的假設(shè)下建立比賽成績與體重之間的關(guān)系嗎。下面是一界奧運會競賽的成績，可供檢驗?zāi)愕哪Ｐ?。組別最大體重 抓舉 挺舉 總成績（） （） （） （） 1 2 3 4 5 6 7 8 91054 132.5 155 287.559 137.5 170 307.564 147.5 187.5 33570 162.5 195 357.5

8、76 167.5 200 367.583 180 212.5 392.591 187.5 213 402.599 185 235 420108 195 235 430108 197.5 260 457.52.8 速度為的風(fēng)吹在迎風(fēng)面積為的風(fēng)車上，空氣密度是。用量綱分析方法確定風(fēng)車獲得的功率與，的關(guān)系。2.9 雨速的速度與空氣密度、粘滯系數(shù)和重力加速度有關(guān)，其中粘滯系數(shù)的定義是：運動物體在流體中受的摩力與速度梯度和接觸面積的乘積成正比，比例系數(shù)為粘滯系數(shù)。用量綱分析方法給出速度的表達(dá)式。2.10 原子彈爆炸時巨大的能量從爆炸點以沖擊波形式向四周傳播。據(jù)分析在時刻沖擊波達(dá)到的半徑與釋放能量，大氣密

9、度，大氣壓強有關(guān)（設(shè)時）。用量綱分析方法證明，是未定函數(shù)。2.11 用量綱分析方法研究人體浸在勻速流動的水里時損失的熱量。記水的流速，密度，比熱，粘性系數(shù)，熱傳導(dǎo)系數(shù)，人體尺寸。證明人體與水的熱交換系數(shù)與上述各物理量的關(guān)系可表為，是未定函數(shù)，定義為單位時間內(nèi)人體的單位面積在人體與水的溫差為時的熱量交換。2.12 在小說格里佛游記中,小說國中的人們決定給格里佛相當(dāng)與一個小人食量1728倍的食物.他們是這樣推理的,因格里佛身高是小人的12倍.他的體格是小人的倍.所以他需要的食物是一個小人的食量的1728倍.為什么他們的推理是錯誤的?正確的答案是什么? 2.13 戰(zhàn)后Olympic運動會女子鉛球記錄

10、如下:年份1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1984距離(米)13.75 15.28 16.59 17.32 18.14 19.61 21.03 21.16 22.41 23.57你是否可以從這些數(shù)據(jù)中預(yù)測2000年的奧運會女子鉛球的最佳成績.第3章 簡單的優(yōu)化模型3.1 在存貯模型的總費用中增加購買貨物本身的費用。重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型中結(jié)果與原來的一樣。而在允許缺貨模型中最優(yōu)訂貨周期和定貨批量都比原來結(jié)果減少。3.2 建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)，銷售速率為常數(shù)，在每個生產(chǎn)周期內(nèi)，開

11、始的一段時間一邊生產(chǎn)一邊銷售，后來的一段時間()只銷售不生產(chǎn)，畫出貯存量的圖形。設(shè)每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為，單位時間每件產(chǎn)品貯存費為，以總費用最小為目標(biāo)確定最優(yōu)生產(chǎn)周期。討論和的情況。3.3 在3.3節(jié)森林救火模型中，如果考慮消防隊員的滅火速度與開始救火時的火勢有關(guān)，試假設(shè)一個合理的函數(shù)關(guān)系，重新求解模型。3.4 在雨中從一處沿直線跑道另一處，若雨速為常數(shù)且方向不變。試建立數(shù)學(xué)模型討論是否跑的越快，淋雨量越少。將人體簡化成一個長方體，高（頸部以下），寬，厚，設(shè)跑步距離，跑步最大速度，雨速，降雨量，記跑步速度為。按以下步驟進(jìn)行討論：（1）不考慮雨的方向，設(shè)降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估計跑完全程的總淋

12、雨量。（2）雨從迎面吹來，雨線與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖1，建立總淋雨量與速度及參數(shù)，之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少。計算，時的總淋雨量。（3）雨從背后吹來，雨線方向與跑步方向在同一平面內(nèi)，且與人體的夾角為，如圖2。建立總淋雨量與速度及參數(shù)，之間的關(guān)系，問速度多大，總淋雨量最少。計算時總淋雨量。（4）以總淋雨量為縱軸，速度為橫軸，對(3)作圖（考慮的影響），并解釋結(jié)果的實際意義。（5）若雨線方向與跑步方向不在同一平面內(nèi)，模型會有什么變化。圖1 圖23.5 甲乙兩公司通過廣告來競爭銷售商品的數(shù)量，廣告費分別是和。設(shè)甲乙公司商品的售量在兩公司總售量中占的份額，是它們的廣告

13、費在總廣告中所占份的函數(shù)和。又設(shè)公司的收入與售量成正比，從收入中扣除廣告費即為公司的利潤。試構(gòu)造模型的圖形，并討論甲公司怎樣確定廣告費才能使利潤最大。（1）令，則。畫出的示意圖。（2）寫出甲公司利潤的表達(dá)式。對于一定的，使最大的的最優(yōu)值應(yīng)滿足什么關(guān)系。用圖解法確定這個最優(yōu)值。3.6 人行走時作的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。試建立模型討論在作功最小的準(zhǔn)則下每秒走幾步最合適（勻速行走）。（1）設(shè)腿長，步長，證明人體重心在行走時升高（2）將腿看作均勻直桿，行走看作腿繞腰部的轉(zhuǎn)動。設(shè)腿的質(zhì)量，行走速度，證明單位時間所需動能為。（3）設(shè)人體質(zhì)量，證明在速度一定時每秒行走 步作功最小。

14、實際上，分析這個結(jié)果合理嗎。 （4）將（2）的假設(shè)修改為：腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線運動。證明結(jié)果應(yīng)為步。分析這個結(jié)果合理。 病房手術(shù)室床3.7 駛于河中的渡輪，它的行駛方向要受水流的影響。船在河的位置不同，所受到水流的影響也不同。試設(shè)計一條使渡輪到達(dá)對岸時間最短的航線。3.8 發(fā)電站的設(shè)計者們在堰壩上安裝水輪機(jī)，當(dāng)潮水通過堰壩時，推動水輪機(jī)運轉(zhuǎn)，從而帶動發(fā)電機(jī)發(fā)電。潮水通過水輪機(jī)的瞬時速度可由操作者控制，那么，要生產(chǎn)最大能量，應(yīng)如何控制潮水的瞬時速度？3.9 為了保證病人平躺在長寬分別為，的病床上從病房進(jìn)入手術(shù)室（如圖所示），兩條垂直的通道至少應(yīng)寬多少？3.10 觀察魚在水中的運動

15、發(fā)現(xiàn)，它不是水平游動，而是突發(fā)性、鋸齒狀地向上游動和向下滑行?？梢哉J(rèn)為這是在長期進(jìn)化過程中魚類選擇的消耗能量最小的運動方式。（1）設(shè)魚總是以常速運動，魚在水中凈重，向下滑行時的阻力是在運動方向的分力；向上游動時所需的力是在運動方向分力與游動所受阻力之和，而游動的阻力是滑行阻力的倍，水平方向游動時阻力也是滑行阻力的倍，寫出這些力。 （2）證明當(dāng)魚要從A點到達(dá)處于同一水平線上的B點時（見下圖），沿折線ACB運動消耗的能量與沿水平線AB運動消耗的能量之比為（向下滑行不消耗能量）。（3）根據(jù)實際觀察，試對不同的值（1.5，2，3），根據(jù)消耗能量最小的準(zhǔn)則估計最佳的值。第4章 數(shù)學(xué)規(guī)劃模型4.1 某飼養(yǎng)

16、場用種原料配合成飼料喂雞，為了讓雞生長得快，對種營養(yǎng)成分有一個最低標(biāo)準(zhǔn)。即對，要求第種營養(yǎng)成分在飼料中的含量不少于，若每單位第種原料中含第種營養(yǎng)成分的量為，第種原料的單價為，問應(yīng)如何配制飼料才能使成本最低？工作工人1 2 3 4甲乙丙丁10 9 7 85 8 7 75 4 6 52 3 4 54.2擬分配甲、乙、丙、丁四人去干四項工作，每人干且僅干一項。他們干各項工作需用天數(shù)見右表，問應(yīng)如何分配才能使總用工天數(shù)最少。4.3 某校經(jīng)預(yù)賽選出，四名學(xué)生，將派他們?nèi)⒓釉摰貐^(qū)各學(xué)校之間的競賽。此次競賽的四門功課考試在同一時間進(jìn)行，因而每人只能參加一門，比賽結(jié)果將以團(tuán)體總分計名次（不計個人名次）。設(shè)下

17、表是四名學(xué)生選拔時的成績，問應(yīng)如何組隊較好？課程學(xué)生數(shù)學(xué)物理化學(xué)外語908593799589918578738884838079874.4 某工廠生產(chǎn)兩種標(biāo)準(zhǔn)件，A種每個可獲利0.3元，B種每個可獲利0.15元。若該廠僅生產(chǎn)一種標(biāo)準(zhǔn)件，每天可A種標(biāo)準(zhǔn)件800個或B種標(biāo)準(zhǔn)件1200個，但A種標(biāo)準(zhǔn)件還需某種特殊處理，每天最多處理600個，A，B標(biāo)準(zhǔn)件最多每天包裝1000個。問該廠應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計劃，才能使每天獲利最大。4.5 將長度為500cm的線材截成長度為78cm的坯料至少1000根，98cm的坯料至少2000根，若原料充分多，在完成任務(wù)的前提下，應(yīng)如何截切，使得留下的余料最少？4.6 某廠

18、有原料甲、乙，生產(chǎn)四種產(chǎn)品A，B，C，D，各參數(shù)如下表：（1）求總收入最大的生產(chǎn)方案；（2）當(dāng)最優(yōu)生產(chǎn)方案不變時，分別求出A，B，C，D的單價的變化范圍；（3）當(dāng)最優(yōu)基不變時，分別求出原料甲、乙的變化范圍。單位消耗產(chǎn)品原料A B C D限額（公斤）甲乙3 2 10 40 0 2 0.518 3單價（萬元/萬件） 9 8 50 194.7 某廠生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，分別由四臺機(jī)床加工，加工順序任意，在一個生產(chǎn)期內(nèi)，各機(jī)床的有效工作時數(shù)，各產(chǎn)品在各機(jī)床的加工時數(shù)等參數(shù)如下表：加工時數(shù)機(jī)床產(chǎn)品甲 乙 丙 丁單 價（百元/件）AB2 1 4 02 2 0 123有效時數(shù) 240 200 180 140（

19、1）求收入最大的生產(chǎn)方案；（2）若引進(jìn)新產(chǎn)品C，每件在機(jī)床甲，乙，丙，丁的加工時間分別是3，2，4，3小時，問C的單價多少時才宜投產(chǎn)？當(dāng)C的單價為4百元時，求C投產(chǎn)后的生產(chǎn)方案。（3）為提高產(chǎn)品質(zhì)量，增加機(jī)床戊的精加工工序，其參數(shù)如下。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)。產(chǎn)品A B有效時數(shù)精加工時間2 2.42484.8 已知某廠生產(chǎn)有關(guān)參數(shù)：單位消耗產(chǎn)品原料A B C D E限額（公斤）甲乙丙0.1 0 0.2 0.3 0.10.2 0.2 0.1 0 0.30 0.3 0 0.2 0.1600500300單價（元）4 3 6 5 8（1）求最優(yōu)生產(chǎn)方案；（2）根據(jù)市場情況，計劃A至少生產(chǎn)500件，求相應(yīng)生產(chǎn)

20、方案；（3）因E滯銷，計劃停產(chǎn)，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（4）根據(jù)市場情況，限定C不超過1640件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（5）若限定原料甲需剩余至少50公斤，求相應(yīng)生產(chǎn)方案；（6）若限定生產(chǎn)A至少1000件，生產(chǎn)B至少200件，求相應(yīng)生產(chǎn)方案。 4.9 要從寬度分別為3m和5m的型和型兩種標(biāo)準(zhǔn)卷紙中，沿著卷紙伸長的方向切割出寬度分別為1.5m，2.1m和2.7m的型、型和型三種卷紙3000m，10000m和6000m。問如何切割才能使耗費的標(biāo)準(zhǔn)卷紙的面積最少。4.10 某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進(jìn)行有價證券的投資，可供購進(jìn)的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他

21、證券的收益需按50的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少要購進(jìn)400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。證券名稱證券種類信用等級到期年限到期稅前收益（）A市政294.3B代辦機(jī)構(gòu)2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5試解答下列問題：（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75的利率借到不超過100萬元資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.5，投資應(yīng)否改變？若證券C的稅前收益減少為4.8，投資

22、應(yīng)否改變？4.11 某儲蓄所每天的營業(yè)時間是上午9：00到下午5：00。根據(jù)經(jīng)驗，每天不同時間段所需要的服務(wù)員數(shù)量如下：910 1011 1112 121 12 23 34 45時間段（時）服務(wù)員數(shù)量43465688儲蓄所可以雇傭全時和半時兩類服務(wù)員。全時服務(wù)員每天報酬100元，從上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之間必須安排1小時的午餐時間。儲蓄所每天可以雇傭不超過3名的半時服務(wù)員，每個半時服務(wù)員必須連續(xù)工作4小時，報酬40元。問該儲蓄所應(yīng)如何雇傭全時和半時兩類服務(wù)員？如果不能雇傭半時服務(wù)員，每天至少增加多少費用？如果雇傭半時服務(wù)員的數(shù)量沒有限制，每天可以減少多少

23、費用？4.12 一家保姆服務(wù)公司專門向顧主提供保姆服務(wù)。根據(jù)估計，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必須經(jīng)過5天的培訓(xùn)才能上崗，每個保姆每季度工作（新保姆包括培訓(xùn)）65天。保姆從該公司而不是從顧主那里得到報酬，每人每月工資800元。春季開始時公司擁有120名保姆，在每個季度結(jié)束后，將有15的保姆自動離職。（1）如果公司不允許解雇保姆，請你為公司制定下一年的招聘計劃；哪些季度需求的增加不影響招聘計劃？可以增加多少？（2）如果公司在每個季度結(jié)束后允許解雇保姆，請為公司制定下一年的招聘計劃。4.13 某公司將4種不同含硫量的液體原

24、料（分別記為甲、乙、丙、?。┗旌仙a(chǎn)兩種產(chǎn)品（分別記為A、B）。按照生產(chǎn)工藝的要求，原料甲、乙、丁必須首先倒入混合池中混合，混合后的液體再分別與原料丙混合生產(chǎn)A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分別是3，1，2，1（），進(jìn)貨價格分別為6，16，10，15（千元/噸）；產(chǎn)品A、B的含硫量分別不能超過2.5，1.5（），售價分別為9，15（千元/噸）。根據(jù)市場信息，原料甲、乙、丙的供應(yīng)沒有限制，原料丁的供應(yīng)量最多為50噸，產(chǎn)品A，B的市場需求量分別為100噸、200噸。問應(yīng)如何安排生產(chǎn)？4.14. 某鋼管零售商從鋼管廠進(jìn)貨，將鋼管按照顧客的要求切割后售出。從鋼管廠進(jìn)貨時得到的原料鋼管長度都是18

25、50mm?，F(xiàn)有一客戶需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的鋼管。為了簡化生產(chǎn)過程，規(guī)定所使用的切割模式的種類不能超過4種，使用頻率最高的一種切割模式按照一根原料鋼管價值的1/10增加費用，使用頻率次之的切割模式按照一根原料鋼管價值的2/10增加費用，依此類推，且每種切割模式下的切割次數(shù)不能太多（一根原料鋼管最多生產(chǎn)5根產(chǎn)品）。此外，為了減少余料浪費，每種切割模式下的余料浪費不能超過100mm。為了使總費用最小，應(yīng)如何下料？水源A水源B水庫A發(fā)電站A水庫B發(fā)電站B4.15 某電力公司經(jīng)營兩座發(fā)電站，發(fā)電站分別位于兩個水庫上，位置如下圖所示。已知發(fā)電站A可以將

26、水庫A的1萬的水轉(zhuǎn)換為400千度電能，發(fā)電站B只能將水庫B的1萬的水轉(zhuǎn)換為200千度電能。發(fā)電站A，B每個月的最大發(fā)電能力分別是60000千度，35000千度，每個月最多有50000千度電能夠以200元/千度的價格售出，多余的電能只能夠以140元/千度的價格售出。水庫A，B的其他有關(guān)數(shù)據(jù)如下（單位：萬立方米）產(chǎn)品預(yù)測銷售量（萬件/周）生產(chǎn)率（件/小時）單位利潤（元/件）AB74.5100010000.150.3水庫A水庫B水庫最大蓄水量20001500水源流入水量本月20040下月13015水庫最小蓄水量1200800水庫目前蓄水量1900850請你為該電力公司制定本月和下月的生產(chǎn)經(jīng)營計劃。（

27、千度是非國際單位制單位，1千度10千瓦時）4.16 有4名同學(xué)到一家公司參加三個階段的面試：公司要求每個同學(xué)都必須首先找公司秘書初試，然后到部門主管處復(fù)試，最后到經(jīng)理處參加面試，并且不允許插隊（即任何一個階段4名同學(xué)的順序是一樣的）。由于4名同學(xué)的專業(yè)背景不同，所以每人在三個階段的面試時間也不同，如下表所示（單位：分鐘） 秘書初試主管復(fù)試經(jīng)理面試同學(xué)甲131520同學(xué)乙102018同學(xué)丙201610同學(xué)丁81015這4名同學(xué)約定他們?nèi)棵嬖囃暌院笠黄痣x開公司。假定現(xiàn)在時間是早晨8:00，問他們最早何時能離開公司？4.17 某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品、，分兩班生產(chǎn)，每周生產(chǎn)總時間為80小時，兩種產(chǎn)品的預(yù)

28、測銷售量、生產(chǎn)率和盈利如下表。制定一合理的生產(chǎn)方案，要求依次滿足下列目標(biāo)：（1）充分利用現(xiàn)有能力，避免設(shè)備閑置；（2）周加班時間限制在10小時以內(nèi)；（3）兩種產(chǎn)品周生產(chǎn)量應(yīng)滿足預(yù)測銷售量，滿足程度的權(quán)重之比等于它們單位利潤之比；（4）盡量減少加班時間。第5章 微分方程模型5.1 某人每天由飲食獲取10467焦熱量，其中5038焦用于新陳代謝，此外每公斤體重需支付69焦熱量作為運動消耗，其余熱量則轉(zhuǎn)化為脂肪，已知以脂肪形式貯存的熱量利用率為100%，每公斤脂肪含熱量41868焦，問此人的體重如何隨時間而變化？5.2 生活在阿拉斯加海濱的鮭魚服從Malthus增長模型其中以分鐘計。在時一群鯊魚來到

29、此水域定居，開始捕食鮭魚。鯊魚捕殺鮭魚的速率是，其中是時刻鮭魚總數(shù)。此外，由于在它們周圍出現(xiàn)意外情況，平均每分鐘有0.002條鮭魚離開此水域。（1）考慮到兩種因素，試修正Malthus模型。（2）假設(shè)在是存在100萬條鮭魚，試求鮭魚總數(shù)，并問時會發(fā)生什么情況？5.3 根據(jù)羅瑟福的放射性衰變定律，放射性物質(zhì)衰變的速度與現(xiàn)存的放射性物質(zhì)的原子數(shù)成正比，比例系數(shù)成為衰變系數(shù)，試建立放射性物質(zhì)衰變的數(shù)學(xué)模型。若已知某放射性物質(zhì)經(jīng)時間放射物質(zhì)的原子下降至原來的一半（稱為該物質(zhì)的半衰期）試決定其衰變系數(shù)。5.4 用具有放射性的測量古生物年代的原理是：宇宙線轟擊大氣層產(chǎn)生中子，中子與氮結(jié)合產(chǎn)生。植物吸收二氧

30、化碳時吸收了，動物食用植物從植物中得到。在活組織中的吸收速率恰好與的衰變速率平衡。但一旦動植物死亡，它就停止吸收，于是的濃度隨衰變而降低。由于宇宙線轟擊大氣層的速度可視為常數(shù)，既動物剛死亡時的衰變速率與現(xiàn)在取的活組織樣本（剛死亡）的衰變速率是相同的。若測得古生物標(biāo)本現(xiàn)在的衰變速率，由于的衰變系數(shù)已知，即可決定古生物的死亡時間。試建立用測古生物年代的模型（的半衰期為5568年）。5.5 試用上題建立的數(shù)學(xué)模型，確定下述古跡的年代：（1）1950年從法國Lascaux古洞中取出的碳測得放射性計數(shù)率為0.97計數(shù)（），而活樹木樣本測得的計數(shù)為6.68計數(shù)（），試確定該洞中繪畫的年代；（2）1950年

31、從某古巴比倫城市的屋梁中取得碳標(biāo)本測得計數(shù)率為4.09計數(shù)（），活數(shù)標(biāo)本為6.68計數(shù)（），試估計該建筑的年代。5.6 一容器用一薄膜分成容積為和的兩部分，分別裝入同一物質(zhì)不同濃度的溶液。設(shè)該物質(zhì)分子能穿透薄膜由高濃度部分向低濃度部分?jǐn)U散，擴(kuò)散速度與兩部分濃度差成正比，比例系數(shù)稱為擴(kuò)散系數(shù)。試建立描述容器中溶液濃度變化的數(shù)學(xué)模型。設(shè)，每隔100s測量其中一部分溶液的濃度共10次，具體數(shù)據(jù)為454，499，535，565，590，610，626，650，659，單位為。試建立擴(kuò)散系數(shù)，并決定2h后兩部分中溶液的濃度各為多少。5.7 建立耐用消費品市場銷售量的模型。如果已知了過去若干時期銷售量的情

32、況，如何確定模型的參數(shù)。5.8 根據(jù)經(jīng)驗當(dāng)一種新產(chǎn)品投入市場后，隨著人們對它擁有量的增加，其銷售量的下降速度與成正比。廣告宣傳可給銷售量添加一個增長速度，它與廣告費成正比，但廣告只能影響這種商品在市場上尚未飽和的部分（設(shè)飽和量為）。建立銷量的模型。若廣告宣傳只進(jìn)行有限時間，且廣告費為常數(shù)，問如何變化？5.9 對于技術(shù)革新的推廣，在下列幾種情況下分別建立模型（1）推廣工作通過已經(jīng)采用新技術(shù)的人進(jìn)行，推廣速度與已采用新技術(shù)的人數(shù)成正比，推廣是無限的。（2）總?cè)藬?shù)有限，因而推廣速度隨著尚未采用的新技術(shù)人數(shù)的減少而降低。（3）在（2）的前提下還要考慮廣告等媒介的傳播作用。5.10 某種細(xì)菌的增長率不知

33、道，但假設(shè)它是常數(shù)，試驗開始時估計大約有11500個細(xì)菌，一時后有2000個，問四時后大約有多少細(xì)菌？5.11 假設(shè)某生物種群的增長率不是常數(shù)，它以某種的方式依賴于環(huán)境的溫度。如果已知溫度是時間的函數(shù)，試給出初始為的生物種群的增長模型。證明種群以指數(shù)增長系數(shù)而增長或衰減，即，這個增長系數(shù)等于時間依賴增長的平均值。5.12 只考慮人口的自然增長，不考慮人口的遷移和其它因素，紐約人口滿足方程若每年遷入人口6000人，而每年約有4000人被謀殺，試求出紐約的未來人口數(shù)，并討論長時間后紐約的人口狀況。5.13 一群體的增長受自限規(guī)律制約。設(shè)在一定環(huán)境下該群體的生存極限數(shù)為，當(dāng)群體中生物很少時，每40m

34、m增加一倍。若開始時動物分別為和，求2h后群體中動物的總數(shù)。5.14 某地有一池塘，其水面面積約為，用來養(yǎng)殖某種魚類。在如下的假設(shè)下，設(shè)計能獲取較大利潤的三年的養(yǎng)魚方案。（1）魚的存活空間為；（2）每魚每需要的飼料為，市場上魚飼料的價格為；（3）魚苗的價格忽略不計，每魚苗大約有500條魚；（4）魚可四季生長，每天的生長重量與魚的自重成正比，365天長成為魚，成魚的重量為；（5）池內(nèi)魚的繁殖與死亡均忽略；（6）若為魚重，則此種魚的售價為 （7）該池內(nèi)只能投放魚苗。5.15 人工腎是幫助人體從血液中帶走廢物的裝置，它通過一層薄膜與需要帶走廢物的血管相通如下圖，人工腎中通以某種液體，其流動方向與血液

35、在血管中的流動方向相反，血液中的廢物透過薄膜進(jìn)入人工腎設(shè)血液和人工腎中液體的流速均為常數(shù)，廢物進(jìn)入人工腎的數(shù)量與它在這兩種液體中的濃度差成正比。人工腎總長建立單位時間內(nèi)人工腎帶走廢物數(shù)量的模型液體流動方向薄膜血管血液流動方向人工腎5.16 在魚塘中投放尾負(fù)苗，隨著時間的增長，尾數(shù)將減少而每尾的重量將增加.（1）設(shè)尾數(shù)的(相對)減少率為常數(shù)；由于喂養(yǎng)引起的每尾魚重量的增加率與魚表面積成正比，由于消耗引起的每尾魚重量的減少率與重量本身成正比分別建立尾數(shù)和每尾魚重的微分方程，并求解 （2）用控制網(wǎng)眼的辦法不捕小魚，到時刻T才開始捕撈，捕撈能力用尾數(shù)的相對減少量表示，記作E，即單位時間捕獲量是問如何選

36、擇T和E，使從T開始的捕獲量最大.5.17 建立腫瘤生長模型通過大量醫(yī)療實踐發(fā)現(xiàn)腫瘤細(xì)胞的生長有以下現(xiàn)象：1)當(dāng)腫瘤細(xì)胞數(shù)目超過1011時才是臨床可觀察的；2)在腫瘤生長初期，幾乎每經(jīng)過一定時間腫瘤細(xì)胞就增加一倍；3)由于各種生理條件限制，在腫瘤生長后期腫瘤細(xì)胞數(shù)目趨向某個穩(wěn)定值(1)比較Logistic模型與Gompertz模型：，其中是細(xì)胞數(shù)，N是極限值，是參數(shù)(2)說明上述兩個模型是Usher模型：的特例5.18 藥物動力學(xué)中的 Michaelis-Menton 模型為（），表示人體內(nèi)藥物在時刻的濃度研究這個方程的解的性質(zhì). （1）對于很多藥物(如可卡因)，比大得多，Michadis-M

37、enton方程及其解如何簡化（2）對于另一些藥物(如酒精)，比大得多，Michaeli-Menton方程及其解如何簡化5.19 考慮一個受某種物質(zhì)污染的湖水，假設(shè)這個湖的湖水體積（以立方米計）不變，且污染物質(zhì)均勻地混合于湖水中。以記在任一時刻每立方米湖水所含污染物的克數(shù)，這是污染程度的一種合適量度，習(xí)慣稱它為污染濃度。令記每天流出的湖水立方米數(shù)，由假設(shè)，這也等于每天流入湖里的水量。我們的問題是：如果某時刻污染物質(zhì)突然停止進(jìn)入湖水，那么需要經(jīng)過多長時間才能使湖水的污染濃度下降到開始時污染的5%？5.20 兩棵不同類別的植物種在一起，按比例吸取養(yǎng)料，試建立它們的生長模型。5.21 構(gòu)造一個在接種疫

38、苗成為有效防疫手段之前一種傳染病蔓延如麻疹的模型。麻疹的潛伏期為0.5周，在這段時間內(nèi)一個被感染的孩子表面上看來是正常的，但卻會傳染給別人。過了這段時間后，患病的孩子一直隔離到病愈為止。病愈后的孩子是免疫的。粗略地說，麻疹流行隔年更為嚴(yán)重。（1）構(gòu)造一個適用于三種情況的簡單的微分方程模型：容易感染的、傳染的以及被隔離（或痊愈）。也適用于由于出生而大量增加易感染者的情況。假設(shè)每個感染者隨機(jī)地與居民接觸，并以概率P傳染給被感染者。（2）證明你的模型有某種周期性質(zhì)。如果它不是，就加以修改，因為麻疹流行肯定是趨于周期式地出現(xiàn)的。（3）估計你的模型中的參數(shù)以擬合0.5周期的潛伏期及2年的周期流行的觀察結(jié)

39、果。估計出的參數(shù)值是否實際？5.22 用放射性同位素測量大腦局部血流量的方法如下：由受試者吸入含有某種放射性同位素的氣體，然后將探測器置于受試者頭部某固定處，定時測量該處的放射性記數(shù)率（簡稱記數(shù)率）同時測量他呼出氣的記數(shù)率。由于動脈血將肺部的放射性同位素輸送到大腦，使腦部同位素增加，而腦血流量又將同位素帶離，使同位素減少。實驗證明腦血流引起局部地區(qū)記數(shù)率下降的速度與當(dāng)時該處的記數(shù)率成正比。其比例系數(shù)反映該處的腦血流量，被稱為血流量系數(shù)。只要確定該系數(shù)即可推算出腦血流量。動脈血從肺部輸送同位素至大腦引起腦部記數(shù)率上升的速度與當(dāng)時呼出的記數(shù)率成正比。若某受試者的測試數(shù)據(jù)如下：時間（分）1.001.

40、251.501.752.002.252.502.753.00頭部記數(shù)率1534152814681378127211621052947348呼出氣記率223115341054724498342235162111時間（分）3.253.503.754.004.254.504.755.005.25頭部記數(shù)率757674599531471417369326288呼出記數(shù)率765236251712864時間（分）5.5050756.006.256.256.757.007.257.50頭部記數(shù)率25525519917515513712110794呼出氣記率321111111時間（分）7.758.008.25

41、8.258.759.009.259.509.75頭部記數(shù)率837365575050393531呼出氣記率000000000試建立確定血流系數(shù)的數(shù)學(xué)模型并計算上述受試者的腦血流系數(shù)。5.23 給狗一次快速靜脈注射常咯啉，測得血藥濃度的動態(tài)數(shù)據(jù)如下：時間0 0.25 0.5 1 2 4 6濃度12.23 3.53 2.68 2.38 1.99 1.20 0.78利用這些數(shù)據(jù)估計有關(guān)二室模型的參數(shù)。5.24 多數(shù)藥物是口服或靜脈注射的，并且被血液吸收需要時間。同時藥物將由腎排除出。給出這種情況的藥物動力學(xué)模型。下列是一些關(guān)于藥物動態(tài)的數(shù)據(jù)。第一種藥物是磺胺嘧啶，第二種藥物是水揚酸鈉。用O表示口服，I

42、表示靜脈注射，第2列中的“克”表示原服用量，其余的表示用藥后各時刻的血藥濃度。檢驗?zāi)愕哪Ｐ蛿M合的程度？對于不一致的現(xiàn)象你能怎樣解釋？藥物動態(tài)數(shù)據(jù)用法克 1時2時4時6時8時 10時12時24時OOII4.040.1.81.82.31.83.83.72.72.83.43.33.63.92.62.73.03.52.12.32.62.02.2OII10102015.039.456.714.431.443.015.724.235.212.516.226.65.25 本世紀(jì)初，在倫敦觀察到一種現(xiàn)象，大約每兩年發(fā)生一次麻疹病流行，生物學(xué)家試圖解釋這一現(xiàn)象，他認(rèn)為，易感人數(shù)有新成員不斷地補充，根據(jù)這一假設(shè)，

43、試建立數(shù)學(xué)模型并解釋這一現(xiàn)象。5.26 在北美的五大湖中，安大略湖處于伊利湖的下游，但安大略湖不僅接受伊利湖來的水，還要接受非伊利湖流入的水。試建模描述這兩個湖的污染情況。如果流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的，對它們的污染情況給出進(jìn)一步的分析。假設(shè)除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流動外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暫時被停止了。試計算把安大略凈化到50%以及5%所需要的時間。5.27 下表給出了五大湖中四個湖的觀測數(shù)據(jù)，使用這些數(shù)據(jù)建模對其中的一個或兩個湖的污染給出進(jìn)一步的分析。北美五大洲的觀測數(shù)據(jù)：特 征蘇比利爾湖密執(zhí)安湖伊利湖安大略湖長度/km寬度/nm面積/km2水 面流域陸地總

44、 和最大深度/m 平均深度/m 水的體積/km3平均年降雨/mm平均流量/（升/秒）水的平均保存時間/年5602568236712483820720040614812221736206736018949018858015117845175860281844871787501264034.83859125665879384459601715886355507202.63098519684704489013224486163686366268807.85.28 一家環(huán)境保護(hù)示范餐廳用微生物將剩余的食物變成肥料，餐廳每天將剩余的食物制成漿狀并與蔬菜下腳及少量紙片混合成原料，加入真菌菌種后放入容器內(nèi)。

45、真菌消化這些混合原料，變成肥料。由于原料充足，肥料需求旺盛，餐廳希望增加肥料產(chǎn)量。由于無力添加新設(shè)備，餐廳希望用增加真菌活力的辦法來加速肥料生產(chǎn)。試通過分析以前肥料生產(chǎn)記錄（表），建立反映肥料生成機(jī)理的數(shù)學(xué)模型，提出改善肥料生成的建議。食物漿蔬菜下腳碎紙投料日期產(chǎn)出日期8611271203791051211108257775231 79 21 82 28 52 15 32 44 60 51380 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 090,7,1390,7,1790,7,2490,7,2790,8,1090,8,1390,8,2090,8,2291,4,3091,5,291,5,791,5

46、,1090,8,1090,8,1390,8,2090,8,2290,9,1290,9,1890,9,2490,10,891,6,1891,6,2091,6,2591,6,28第6章 穩(wěn)定性模型6.1 一個漁場中的魚資源若不進(jìn)行捕撈按自限規(guī)律增長，若在漁場中由固定的船隊進(jìn)行連續(xù)的捕撈作業(yè)，單位時間的產(chǎn)量與漁場的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為，試建立描述該漁場的數(shù)量的數(shù)學(xué)模型，并討論如何控制使?jié)O場的魚資源保持穩(wěn)定。6.2 與Logistic模型不同的另種描述種群增長規(guī)律的是Gompertz模型：其中和的意義與Logistic模型相同.設(shè)漁場魚量的自然增長服從這個模型，且單位時間捕撈量為討論漁場魚量的平衡點

47、及其穩(wěn)定性，求最大持續(xù)產(chǎn)量及獲得最大產(chǎn)量的捕撈強度和漁場魚量水平.6.3 Smith F E曾提出過一個在有限食物中的生物種群增長的一個簡單的模型。這個模型是基于對某種昆蟲的實驗而提出的。與Logistic模型一樣，種群個體的增長率正比于可獲得的食物與用以維持生存的食物消耗量之差，即以前假設(shè)正比于種群的個體數(shù)，Smith提出當(dāng)種群處于增長狀態(tài)時，為了存活將需要更多的食物，從而他給出了模型其中為常數(shù)，試給出Smith研究的種群動態(tài)的模型，討論它的平衡態(tài)及其穩(wěn)定性。6.4 設(shè)一生物群體經(jīng)常受流行病的侵襲。該群體一開始以自限規(guī)律增長，當(dāng)總數(shù)達(dá)到時，流行病開始流行，此時群體總數(shù)變化服從規(guī)律，且，因此群

48、體總數(shù)開始減少。當(dāng)群體減少至某值 ()時，流行病停止傳播。群體又按最出的自限規(guī)律增長，直至總數(shù)達(dá)到，流行病再次發(fā)生，于是群體在與之間循環(huán)。試證：從增至的時間為，而從減到的時間為。從而整個循環(huán)的周期為。6.5 當(dāng)老鼠過多時鼠群就會發(fā)生瘟疫，而且鼠群總數(shù)增大會吸引大量貓、貓頭鷹等捕鼠動物。因此在幾個星期內(nèi)鼠群的9798%就回死去或被捕食，直到數(shù)量降到最高峰的2%時，由于密度太低，瘟疫停止傳播，捕鼠動物因鼠稀少而離開。設(shè)在增加時服從指數(shù)規(guī)律，減少時服從。試證明鼠群增加到最高峰需要時間，而從最高峰減少至最低數(shù)字需時間。設(shè)年，說明。6.6 如下哪一個模型對于描述疾病在有限的人群中的傳播是合理的： （1）

49、； （2）；（3），其中為感染病人的總數(shù)，為人群總數(shù)。6.7 考慮如下的種群增長模型：（1）， （2）（3）， （4）其中為常數(shù)，對于每個情形，試描述生育和死亡的機(jī)制。6.8 建立相互依存的兩物種群體的數(shù)學(xué)模型：設(shè)第一物種獨立存在時服從自限增長規(guī)律，第二物種為第一物種提供食物有助于第一物種的增長；若無第一物種，第二物種以固定的死亡率衰減，第一種生物為第二生物提供食物，促進(jìn)第二物種的增長。同時第二物種也受自限規(guī)律制約。6.9 若在掠肉魚小魚系統(tǒng)中考慮一種情形：掠肉魚只捕食成年的小魚而不捕食幼魚。試建立該情形的數(shù)學(xué)模型。6.10 試建立以下化學(xué)反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型（1）設(shè)1mol物質(zhì)A和1mol物質(zhì)B經(jīng)

50、不可逆化合反應(yīng)生成1mol物質(zhì)P。由于化合反應(yīng)是由兩物質(zhì)分子碰撞而發(fā)生的，物質(zhì)A和B的濃度越大，A、B轉(zhuǎn)化為P的速率越快。設(shè)已知A和B的初始濃度，試建立此化合反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。（2）設(shè)A、B兩種物質(zhì)溶解在水中，A、B可以相互轉(zhuǎn)化。A轉(zhuǎn)化為B稱為正反應(yīng)，B轉(zhuǎn)化為A稱為逆反應(yīng)。若正反應(yīng)的速率與A的濃度成比，比例系數(shù)為，逆反應(yīng)的濃度與B的濃度成正比，比例系數(shù)為，已知A、B初始時的濃度，試建立此可逆反應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。6.11 考慮如下的三種群的生態(tài)模型，假設(shè)系數(shù)都是正的，試描述每個生物種在這個系統(tǒng)中所起的作用。6.12 假設(shè)給第一類即易受傳染者注射預(yù)防針，其注射的速度同這一類的人數(shù)成正比，這時（1）試求其

51、軌線。（2）由（1）推出下列結(jié)論：對于方程的每一個，當(dāng)趨向于無窮大時，趨向于零。6.13 本世紀(jì)初期，在倫敦曾觀察到這種現(xiàn)象：大約每兩年爆發(fā)一次麻疹傳染病。生物學(xué)家試圖解釋這種現(xiàn)象，他認(rèn)為易受傳染病的人數(shù)因人口中增添新的成員而不斷得到補充。因此，他假設(shè)其中和都是正的常數(shù)。試求：（1）找出方程組的平衡解；（2）證明方程組的初始值足夠接近這個平衡解的每一個解，當(dāng)趨于無窮大時，都趨向于平衡解。（3）當(dāng)趨向于無窮大時，方程組的每一個解都趨于平衡解。所以，我們得到結(jié)論：方程組不能解釋重復(fù)發(fā)生麻疹傳染病這種現(xiàn)象。相反，它表明，這種疾病最終將趨向于穩(wěn)恒狀態(tài)。6.14 （本題為美國首屆大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競賽試題）在一個資源有限即有限的食物、空間、水等等的環(huán)境里發(fā)現(xiàn)天然存在的動物群體。試選擇一種魚類或哺乳動物（例如北美矮