實變函數(shù)教案ch10附錄介紹

1、第十章 附 錄§10.1. R中Lebesgue測度的平移不變性及Lebesgue不可測集定義1設(shè)，稱 為E關(guān)于y的平移引理1設(shè)，則 成立：(1) ； (2) ； (3) ( 據(jù)，10題 ) (證略)定理1. (測度的平移不變性) 若E可測，則也可測，且 證：由， 11題知，E可測可測， 且 Zermelo選擇公理對于集族，若每個，則 ，可選取元素 Lebesgue不可測集的構(gòu)造：，記 結(jié)論：(i) 且 (ii) 當 當 ，可取 ，則 矛盾 對上的集族，每個非空，可取，得集合下證F是不可測集為此，記 ，(iii) 若 則 假設(shè) 滿足 從而 ，且不為0，于是，這樣，包含兩個不同的點和，

2、與F的取法矛盾(iv) 顯然， ，設(shè) ，則 由于 從而 有了以上準備，易證明F的不可測性反證法假設(shè)F可測，則也可測，且但 互不相交，故 ， 即 是常數(shù)，這不可能成立所以，F(xiàn) 不可測§10.2 有界變差函數(shù)與絕對連續(xù)函數(shù)定義. 實函數(shù)， 的分劃， 記 ， 稱 為 f 在分劃下對應的變差若 ，則稱為上的有界變差函數(shù)，記 ；稱 為在上的全變差；稱 ， 為的全變差函數(shù)定義. 實函數(shù)若對于上任意有限個互不相交的開區(qū)間，當 時，有 ，稱為上的絕對連續(xù)函數(shù)(或全連續(xù)函數(shù))定義. 設(shè) ， 稱 ， 為 f 的一個不定積分（書上錯）定理10.2.1. (1) 若，則 有 ； 若 使得且，則 ，且有 ，(

3、2) , (3) 若， 則 ， 且 ， ； ， ； ， ，其中分別為在上的界說明是一個線性空間(4) 若為上的有界單調(diào)函數(shù)，則 ， 且 .(5) 若， 則與具有相同的左、右連續(xù)點.(6)（Jordan分解）若，則存在上的兩個單增函數(shù)，滿足 定理.( 以下函數(shù)的定義域均為 )(1) 絕對連續(xù)函數(shù)必為一致連續(xù)函數(shù)；(2) 絕對連續(xù)函數(shù)必為有界變差函數(shù)；(3) 滿足Lipschite條件的函數(shù)必為絕對連續(xù)函數(shù)；(4) L可積函數(shù)的不定積分為絕對連續(xù)函數(shù)，且；(5) 絕對連續(xù)函數(shù)的線性組合與乘積為絕對連續(xù)函數(shù)；(6) 絕對連續(xù)函數(shù)的全變差函數(shù)為絕對連續(xù)函數(shù)；(7) 絕對連續(xù)函數(shù)必可分解為兩個單增的絕對

4、連續(xù)函數(shù)之差引理1. (略)引理2. R上的有限值單調(diào)函數(shù)關(guān)于 可導定理.設(shè)為上的有界單增函數(shù)，在的導數(shù)不存在的點x 處規(guī)定為任一值，則，且 推論若或絕對連續(xù)函數(shù)， 則 f 在上 存在有限導數(shù) 若在 不存在的點處規(guī)定 為任一值， 則 引理3. 若為上的絕對連續(xù)函數(shù)，且， 于， 則為常值函數(shù)定理.(微積分基本定理)為上的絕對連續(xù)函數(shù)的充要條件是， 滿足 ； 而且 于 推論連續(xù)函數(shù)，對應的有限廣義測度為，則為上的絕對連續(xù)函數(shù) §10.3 RiemannStieltjes 積分定義 設(shè)為上的單增函數(shù)，對應于的每個分劃 ，記 設(shè) f 在上的有界實函數(shù)， 分別稱為 f 關(guān)于與的Darboux

5、上、下和，其中 ，記 ， 若 ，稱之為在上關(guān)于的 RiemannStieltjes 積分，并稱在上關(guān)于 RS 可積，記為定理. 的充要條件是，分劃，使得 定理10.3.2. 若,則；并且，對于,對的任一分劃，以及在分劃下的任一介點集 （其中 ）， 均有 定理. 設(shè)為上的有界單調(diào)函數(shù)，為上的有界單增連續(xù)函數(shù)，則 定理.（RS 積分的基本性質(zhì)）(1) 若 ， 并且(2) 若 ，為常數(shù)，則， 并且 說明 是一個線性空間(3) 若 ， 則 (4) 若 ，則 ，并且 (5) 若 ，則 ， 并且 (6) 若 ，為正常數(shù)，則， 并且 定理. 設(shè) ， ，則（與的復合函數(shù)）定理. 若 ，那么：(1) ；(2)

6、，且 定義 設(shè)為上的有界函數(shù)，為上的有界單增函數(shù)對應于的任一分劃 ，任取介點集 ，作和 ，稱它為關(guān)于與的RiemannStieltjes 積分和設(shè) A為實常數(shù)，若 ，對于任一分劃以及介點集，只要 ，就有 ，則記作 定理. 若與有公共的間斷點，則 不存在定理. (1) 若 存在，則 ，且 (2) 若 (a) ，或(b) ，且在上連續(xù)單增，則上式成立定義 ，Jordan分解 若積分 ，存在，定義 注在下述兩種情形下，則上述積分必存在：(A) ，；(B) ，且 定理. 設(shè)，滿足上述注的(A) 或(B)，為在上的全變差函數(shù)，則 定理. 設(shè)，則 （分部積分法）定理. 若，為上有界單增函數(shù)， 則 滿足定理. 若在上單調(diào)， 且 ， 則 使得定理. 若，為嚴格增加函數(shù)， 是的反函數(shù)，記 則 （換元積分法）定理10.3.14. 若，則，且 定理. 設(shè)，為在上的全變差函數(shù) 定義， 那么：(1) ，且 ；(2) ； ；(3) 定理. 設(shè)在上有界，為上有界單增函數(shù)，則以下三條等價：(1) (2) 存在