經(jīng)濟數(shù)學中的邊際與彈性分析

1、經(jīng)濟數(shù)學中的邊際與彈性分析朱文濤(健雄職業(yè)技術(shù)學院商貿(mào)系，江蘇太倉215411)摘要：邊際與彈性是經(jīng)濟數(shù)學中的重要概念，是微分學在經(jīng)濟分析中應(yīng)用的一種有效的方法。本文從經(jīng)濟數(shù)學理論中的“邊際”和“彈性”出發(fā)，對目前企業(yè)管理中常見的幾個問題進行了數(shù)學化討論和數(shù)學模型的建立，包括最低成本、最優(yōu)利潤和價格變動對銷售收入的影響模型等。關(guān)鍵詞：邊際；彈性；經(jīng)濟數(shù)學中圖分類號：F224文獻標識碼：A邊際分析和彈性分析是經(jīng)濟數(shù)量分析的重要組成部分，是微分法的重要應(yīng)用。它密切了數(shù)學與經(jīng)濟問題的聯(lián)系。在分析經(jīng)濟量的關(guān)系時，不僅要知道因變量依賴于自變量變化的函數(shù)關(guān)系，還要進一步了解這個函數(shù)變化的速度，即函數(shù)的變化

2、率，它的邊際函數(shù)；不僅要了解某個函數(shù)的絕對變化率，還要進一步了解它的相對變化率，即它的彈性函數(shù)。經(jīng)過深層次的分析，就可以探求取得最佳經(jīng)濟效益的途徑。一、邊際及其經(jīng)濟意義邊際作為一個數(shù)學概念,是指函數(shù)y=f(x)中變量x的某一值的“邊緣”上y的變化。它是瞬時變化率,也就是y對x的導數(shù)。用數(shù)學語言表達為：設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)可導,則稱導數(shù)f(x)為f(x)在(a,b)內(nèi)的邊際函數(shù)；在x0處的導數(shù)值f(x)稱為f(x)在x0處的邊際值。根據(jù)不同的經(jīng)濟函數(shù)，邊際函數(shù)有不同的稱呼，如邊際成本、邊際收益、邊際利潤、邊際產(chǎn)值、邊際消費、邊際儲蓄等。本文主要分析前三個邊際函數(shù)的應(yīng)用。1、邊際成本。

3、在經(jīng)濟學中，把產(chǎn)量增加一個單位時所增加的總成本或增加這一個單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本定義為邊際成本，邊際成本就是總成本函數(shù)在所給定點的導數(shù)，記作MC=C(q)。2、邊際收益。是指銷售量增加一個單位時所增加的總收益或增加這一個單位的銷售產(chǎn)品的銷售收入，是總收入函數(shù)在給定點的導數(shù)，記作MR=C(q)。3、邊際利潤。對于利潤函數(shù)L(q)=R(q)-C(q),定義邊際利潤為L(q)=R(q)-Cf(q)=MR-MC，表示指銷售量增加一個單位時所增加的總利潤或增加這一個單位銷售量時利潤的改變量。二、邊際理論的應(yīng)用模型邊際分析理論是當代經(jīng)濟理論中數(shù)學方法的基礎(chǔ)之一，可用來預測商品價格需求量或供給量，確定企業(yè)內(nèi)部生

4、產(chǎn)資料同勞動數(shù)量之間最合理的比例；確定企業(yè)的最佳規(guī)模，直至最合理的分配整個社會的資源等問題。下面主要探討一下，如何利用邊際理論決策最低成本、最優(yōu)利潤，以提高企業(yè)經(jīng)營管理水平。1.建立最低成本的模型從圖1可知，由于平均成本包括有產(chǎn)量的增加而始終遞減的固定成本，同時它又是按全部產(chǎn)量平均計算的，所以它的曲線由遞減轉(zhuǎn)為遞增較邊際成本曲線為遲。CAQQ（產(chǎn)量）Q邊際成本與平均成本之間有一個很重要的關(guān)系。從上圖來看，當平均成本與邊際成本相等時，MC=AC,平均成本為最低，也就是說，邊際成本曲線MC與平均成本曲線AC相交于平均成本曲線的最低點處F處。這一點就是通常所謂的“經(jīng)濟能量點”或“經(jīng)濟有效點”，也就是

5、成本最低的一點。企業(yè)家應(yīng)該把生產(chǎn)規(guī)模調(diào)整到平均成本的最低點（即F點），才能使生產(chǎn)資源得到最有效的利用，增加盈利。建立模型的程序如下：第一步：建立子模型MC=dTCdQ(1)TCAC=TC2Q其中：Q一產(chǎn)量；TC總成本；AC一平均成本；MC邊際成本第二步：建立最優(yōu)化成本數(shù)學模型。（推導略）MC=ACi=0（AC的第二階導數(shù)大于零）（3）滿足上述（3）的Q值的生產(chǎn)規(guī)模，可以使AC達到最小值。舉例：TC（Q）=300+6Q+0.02Q2MC=TC(Q)=dTC=6+0.04QdQ2TC(Q)2006Q0.02Q2200AC=60.02QQQQdAC/200200=(+6+0.02Q)=0.02rdQ

6、QQ2所以，6+0.04Q=+6+0.02QQ得到：Qi=100,Q2=-100(舍去)此時dAC=。.02篝=0故產(chǎn)量達100時，AC最低2、建立最大利潤模型如何求最大利潤？當商品產(chǎn)量無限增大時，價格極低，得不到最大利潤；價格無限增大時，銷售量極少，也得不到最大利潤。如圖2看出，只有在邊際收益等于邊際成本時，即兩條切線平行，收入和成本兩個函數(shù)的導數(shù)相等時，這兩條曲線間的距離最大，才達到最大利潤，才能找到合理的生產(chǎn)模型。此外為了是利潤極大值存在，利潤函數(shù)的二階導數(shù)還必須小于零。圖2R(收益成本、利潤)建立的模型程序為：第一步：建立子模型dTRMR=(4)dQMC=TC(5)dQ其中：Q廣量；T

7、C-總成本；TR總收益；MC邊際成本；MR-邊際收益第二步：建立最優(yōu)化利潤模型。MR=MCJd2(MRMC)(6)2:0dQ2滿足上述(6)的Q的生產(chǎn)規(guī)模，可以使利潤達到最大。舉例：2TR=50Q-2QcQ32TC=-3Q215Q2503MR=50-4QMC=Q2-6Q+15所以,50-4Q=Q2-6Q+152Q2-2Q-35=0(Q5)(Q-7)-0所以Q1=5,Q2=7因為產(chǎn)量不可能是負數(shù)，所以最大利潤的產(chǎn)量應(yīng)該是7件。三、需求價格彈性及其經(jīng)濟意義彈性作為一個數(shù)學概念是指相對變化率，即相互依存的一個變量對另一個變量變化的反應(yīng)程度。用比例來說，是自變量變化1%所引起因變量變化的百分數(shù)。彈性是

8、一種不依賴于任何單位的計量法，即是無量綱的。需求價格彈性是是經(jīng)濟數(shù)學彈性中應(yīng)用最廣泛的概念之一。它是指物品的需求量對價格變化的反應(yīng)程度即需求彈性=需求變化百分比/價格變化百分比。設(shè)需求函數(shù)為Q=Q(P)，這里P為價格,Q為需求量。如果我們以極限為工具來研究需求彈性，則此變化率可定義為Ep=lim99=EdQ,需求彈性有其實際的經(jīng)濟含義：表示當某種商品的價p0P/PQdP格下降(或上升)1%時，其需求量將增加(或減少)|Ep|%。需求價格彈性可分五類：1)缺乏彈性。當-1Ep0時，價格變動1%,需求量變化小于1%。表示價格的變化對需求量的影響較小，在適當漲價后，不會使需求量有太大的下降，從而可以

9、增加收入?；旧畋匦杵肥侨狈椥缘摹Ｈ缂Z食、食鹽、針線等。2)富有彈性。當Ep-1時，價格變動1%,需求量變化大于1%,也就是價格的變化將會引起需求的較大變化，這時需求量對價格的依賴是很大的，換句話說，適當漲價會使需求較大幅度上升從而增加收入。奢侈品、高價商品往往屬于富有彈性的。3）單位彈性。當Ep=-1時，這時需求量的相對變化與價格的相對變化基本相等，即商品的漲價或降價對商品的銷售基本無大的影響。4）完全彈性。當Ep=+oo時，表示價格的任何變動都引起需求量無限的變動。如國家對棉、油、木材以及某些戰(zhàn)略物資的定價收購，需求量可為無限制的5）完全無彈性。當Ep=0時，表示不管價格如何變動,需求

10、量固定不變。四、需求價格彈性的應(yīng)用模型需求價格彈性應(yīng)用很多，這里主要談?wù)剝r格變動對銷售收入的影響模型。在商品經(jīng)濟中經(jīng)營者關(guān)心的是提價或降價對總收入的影響，利用需求彈性的概念可以使經(jīng)營者認識到：漲價未必增收，降價未必減收的理論依據(jù)。設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=f（P）,商品的價格有一改變量PP,這時需求量相應(yīng)的改變量為AQ,銷售收入R=QP的改變量記為AR,由需求彈性的求解公式：Ep=pdQQdP可得PdQ=EpQdP因此，由價格P的微小變化（QP很小時）而引起的銷售收入R的改變量R=（QP）d（QP）=QdPPdQQdPEpQdP1EpQdP由Ep0（富有彈性）時，若90則ARA0;若APA0則奸

11、0。這表明適當調(diào)低商品的價格薄利多銷，能使總收入增加；若提高商品的價格，企業(yè)的總收入反而減少。當Ep1（缺少彈性）時，若&P0貝IJAF0;若APA0WJ4RA0。這表明降低價格使總收入減少，提價可使總收入增加。當Ep|=1（單位彈性）時，我們可以證明總收入的改變量AR是較價格改變量AP高價的無窮小量，提價或降價對總收入沒有明顯的影響。下圖3表示不同彈性的需求曲線。圖3從以上需求曲線的不同情況，可顯示對價格變動的反映程度之差異。三個圖中矩形A0DC的面積分別大于、等于、小于矩形BOFK的面積，各矩形面積分別表示收益R=PQ的大小。美國勞埃德？雷諾茲在微觀經(jīng)濟學分析與政策一書中舉過這樣一個例子：

12、“假定你是小五金零件的生產(chǎn)者，你的產(chǎn)品的需求曲線是非彈性的(即Ep1),這意味著什么呢？如果你將價格提高，比如說5%,你能夠出售的零件數(shù)量下降少于5%0因此，你得到的錢數(shù)是價格乘以數(shù)量，將大于過去。相反如果降價5%,零件售量低于5%的增加，你的銷售收入就會下降?！崩涸O(shè)小五金零件的需求價格E=0.60此例驗證了上述結(jié)論的正確性。上述結(jié)論均可為企業(yè)改善經(jīng)營管理提供信息，對企業(yè)經(jīng)濟決策起一定的作用。參考文獻：1王保華，叢國華.邊際與彈性及其經(jīng)濟應(yīng)用J.哈爾濱金融高等?？茖W校學報，1997(4):15-17.2劉玉紅.經(jīng)濟數(shù)學在經(jīng)濟管理中的應(yīng)用J.山西統(tǒng)計，2002(5):14-15.3耿鎖華.數(shù)學

13、:濟中的彈性分析J.南京金融高等專科學校學報，2000(2):80-81.4史為，李楠.應(yīng)用邊際分析理論建立最優(yōu)化經(jīng)濟數(shù)學模型J.昆明大學學報(綜合版),2002(1):15-19.TheAnalysisofMarginandElasticityinEconomicMathematicsZHUWen-tao(Chien-ShiungInstituteofTechnology,Taicang215411,China)Abstract:Marginandelasticityareimportantconceptsineconomicmathematics,aswellaseffectivewaysofdifferentialcalculusappliedineconomicanalysis.BasedonMargindndelasticityinthetheoryofeconomicmathematics,thisarticleistooffermathematizationdiscussionandestablishmentofmathematicalmodeltosomecommonquest