帶電粒子在磁場中的運動解題技巧

1、帶電粒子在磁場中的運動帶電粒子在勻強磁場中作圓周運動的問題是近幾年高考的熱點，這些考題不但涉及到洛倫茲力作用下的動力學(xué)問題， 而且往往與平面圖形的幾何關(guān)系相聯(lián)系，成為考查學(xué)生綜合分析問題、運用數(shù)字知識解決物理問題的難度較大的考題。但無論這類問題情景多么新穎、設(shè)問多么巧妙，其關(guān)鍵一點在于規(guī)范、準(zhǔn)確地畫出帶電粒子的運動軌跡。只要確定了帶電粒子的運動軌跡，問題便迎刃而解。下面舉幾種確定帶電粒子運動軌跡的方法。一、對稱法帶電粒子如果從勻強磁場的直線邊界射入又從該邊界射出，則其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱，且入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等（如圖1）;帶電粒子如果沿半徑方向射入具有圓

2、形邊界的勻強磁場，則其射出磁場時速度延長線必過圓心（如圖2）。利用這兩個結(jié)論可以輕松畫出帶電粒子的運動軌跡，找出相應(yīng)的幾何關(guān)系。MNB勺勻強磁場。正、負電子同時從同3如圖所示，直線上方有磁感應(yīng)強度為例1. OMNvm）e它們從磁場射入磁場（電子質(zhì)量為成30。角的同樣速度，電荷為一點以與中射出時相距多遠？射出的時間差是多少？解析：正、負電子的半徑和周期是相同的。只是偏轉(zhuǎn)方向相反。先確定圓心，畫出半徑和軌跡（如圖4）,由對稱性知：射入、射出點和圓心恰好組成正三角形。所以兩個射出點LT AsmAf = Brs由圖還看出經(jīng)歷時間相差，所以解此題的關(guān)鍵是找圓心、相距=2,=找半徑和用對稱。rv的圓形區(qū)域

3、內(nèi)，有一個勻強磁場。一帶電粒子以速度5所示，在半徑為例 2.如圖 。MNOMON= 120點射出，。時，求：帶電從點為圓心。當(dāng)/點沿半徑方向射入磁場區(qū)，并由R及在磁場區(qū)中的運動時間。粒子在磁場區(qū)的偏轉(zhuǎn)半徑E3-5日 KM NOM ONO即為帶電粒子作圓周的垂線，此兩垂線的交點點作半徑解析：分別過運動時圓弧軌道的圓心，如圖 6所示。MNO O'的邊線為該圓心角由圖中的幾何關(guān)系可知，圓弧0 ,所對的軌道圓心角為60I蘇R=r=/tan30的角平分線，由此可得帶電粒子圓軌道半徑為。國耳qB:故帶電粒子示半子帶電粒的軌道徑可表為運動周期：又_；樞氏I 二 - Ff 反i = J =芋 X帶電粒

4、子在磁場區(qū)域中運動的時間二、旋轉(zhuǎn)圓法在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射速度大小相同的帶電粒子時，帶電粒子的運動軌跡是圍繞發(fā)射點旋轉(zhuǎn)的半徑相同的動態(tài)圓（如圖7）,用這一規(guī)律可快速確定粒子的運動軌跡。Svm質(zhì)量為，所示，0度范圍內(nèi)發(fā)射速度大小為為電子源， 它在紙面360例3.如圖80qqMNSL 擋板左側(cè)充的電子（是一塊足夠大的豎直擋板，與<0）,電量為的水平距離為 mvqL求擋板被電子擊中的范圍為多大？ /滿垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為0w/ HHiKL II ao 陽s四=9S點旋轉(zhuǎn)的動態(tài)圓，粒子的軌跡為繞且動態(tài)解析：由于粒子從同一點向各個方向發(fā)射，圓的每一個圓都是逆時針旋轉(zhuǎn)

5、，這樣可以作出打到最高點與最低點的軌跡，如圖9所示，最MNPMNSQQ為最，最低點為動態(tài)圓與高點為動態(tài)圓與為直徑時的相切時的交點相割，且單"E = w y低點，帶電粒子在磁場中作圓周運動，由洛侖茲力提供向心力，由得:蟆二坨二國SO=L , SQSQ=L由幾何關(guān)系得：為直徑，則：2LOP= P o為切點，所以，所以粒子能擊中的范圍為 s 2xyyAx.范圍內(nèi)有垂直于 0«« 0所示，在（ 例4. 2010全國新課程卷）如圖 10BO處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為。坐標(biāo)原點mqxy平面內(nèi)，的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均

6、在量質(zhì)量為、電荷量為y己知粒子在磁場中做圓周運動的半徑介于到90°范圍內(nèi)。與軸正方向的夾角分布在 0a之間，從發(fā)射粒子到粒子全部離開磁場經(jīng)歷的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運動周期的四分之一。求最后離開磁場的粒子從粒子源射出時的：y軸正方向夾角正弦。）速度方向與 2）速度大小；（1 （vR,由牛頓第二定律和洛侖茲 解析：設(shè)粒子的發(fā)射速度為，粒子做圓周運動的半徑為mv,解得：。力公式得:RaOR作“動態(tài)圓”，如圖11V （從 所示，由圖不難看出，在磁場中點以半徑C的圓弧，圓弧與磁場的邊界相切。其軌跡是圓心為設(shè)該粒子在磁場運動時間最長的粒子，2OCAJ。，依題意，所以/中的運動時間為軸正方

7、向的夾角為y”，由幾何關(guān)系得：設(shè)最后離開磁場的粒子的發(fā)射方向與sir. a =6-啟1D化而變化，因此其軌跡為半徑縮放的動態(tài)圓(如圖 的軌跡，使問題得到解決。,解得：三、縮放圓法帶電粒子以大小不同， 方向相同的速度垂直射入勻強磁場中，作圓周運動的半徑隨著速度的變12),利用縮放的動態(tài)圓，可以探索出臨界點dB, 一電子從左邊界垂直勻強所不，勻強磁場中磁感應(yīng)強度為，寬度為快J 5 .如圖13em。，要使電子能從軌，已知電子的質(zhì)量為磁場射入，入射方向與邊界的夾角為，電量為道的另一側(cè)射出，求電子速度大小的范圍。解析：如圖14所示，當(dāng)入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出，速率越大，軌

8、道半徑越大，當(dāng)軌道與邊界相切時，電子恰好不能從另一側(cè)射出，當(dāng)速率v,帶電粒子在磁場中作圓周運動，由大于這個臨界值時便從右邊界射出，設(shè)此時的速率為or+r 0 d =幾何關(guān)系得：cos:,所以供提向心力：力倫時運場在電 子磁中動洛茲得：，所以電子從另一側(cè)射出的條件是聯(lián)立解速度大于d,電所示，左邊有一對平行金屬板，兩板的距離為卷）如圖 15. （2010全國II 例6UB方面 平行于板面并垂直紙面朝里。圖中右邊壓為，兩板間有勻強磁場，磁感應(yīng)強度為0aEFGE邊與金屬板垂直），有一邊長為（的正三角形區(qū)域在此區(qū)域內(nèi)及其邊界上也有勻強Bq的正離子沿平行于磁場，磁感應(yīng)強度大小為，方向垂直紙面向里。假設(shè)一系

9、列電荷量為EF金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板間的區(qū)域，并經(jīng)H射入磁場區(qū)域。不計重力。邊中點EGE叫出磁場，求離子甲的質(zhì)量；）已知這些離子中的離子甲到達邊界后，從邊界 （1EGIGI長為）已知這些離子中的離子乙從點（圖中未畫出）穿出磁場，且邊上的（2a/4 ,求離子乙的質(zhì)量；3（3）若這些離子中的最輕離子的質(zhì)量等于離子甲質(zhì)量的一半，而離子乙的質(zhì)量是最大的，問磁場邊界上什么區(qū)域內(nèi)可能有離子到達?qvBqUd解=解析：由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，則有：/ w=U/Bd（為一定數(shù)值）。得離子的速度為：0m改變，但質(zhì)量結(jié)合帶電離子在磁場中做勻速圓周運

10、動的半徑 分析，可畫出不同質(zhì)量的帶電離子在磁場中的運動軌跡，如圖EGAEFK,與邊相切于（1）由題意知，離子甲的運動軌跡是圖雖然離子速度大小不變，R=mv/qB16中的動態(tài)圓。公式17中的半圓，半圓與aRaB ） ° cos30tan15 0 =（邊垂直相交于點，由幾何關(guān)系可得半徑:m從而求得離子甲的質(zhì)量EIO中，由余弦定理得：）離子乙的運動軌跡如圖 18所示，在A（22瞪=中室-底-吟仁-小如附R24 ,=,解得二日的金昭u£7（3）由半徑公式可知R=mv/qBRm結(jié)合（1） （°02）問分析可得:若離子的質(zhì)量滿足/2（,甲甲mmmEH離開磁場，則所有離子都垂直

11、（離開磁場的位RRHS置到之間，即的距離介于到2甲甲mmmEG離開磁場，離開磁場的位置介若離子的質(zhì)量滿足< <,則所有離子都從 二甲IEIEAEAIAE=于。到距離之間，其中的距離 四、臨界法rv和速度 以題目中的“恰好” “最大” “最高” “至少”等詞語為突破口，借助半徑B之間的約束關(guān)系進行動態(tài)軌跡分析，確定軌跡圓和邊界的關(guān)系，找出臨界點，然以及磁場后利用數(shù)學(xué)方法求解極值，畫出臨界點的軌跡是解題的關(guān)鍵。L的水平極板間，有垂直紙面向內(nèi)的勻強磁場，如圖 19.長為所示，磁感應(yīng)強度 7 例BLmq勺 帶負電粒子（不計重力）為，板間距離也為電量為，兩極板不帶電，現(xiàn)有質(zhì)量為v射入磁場，欲

12、使粒子打到極板上，求初速度的從左邊極板間中點處垂直磁感線以水平速度范圍。解析：由左手定則判定受力向下，所以向下偏轉(zhuǎn)，恰好打到下板右邊界和左邊界為兩個臨界OAB在直角三角形打到右邊界時，21所示，分別作出兩個狀態(tài)的軌跡圖，如圖20、圖狀態(tài)，解得軌道半徑中，由幾何關(guān)系得:因此電子在磁場中運動時洛倫茲力提供向心力所示，由幾何關(guān)系得軌跡半徑21打在左側(cè)邊界時，如圖向心力所以供運電子在磁場中動時洛倫茲力提v<&所以打在板上時速度的范圍為30射出與0mq adL, ab邊足abcdB,方向垂直紙面向里內(nèi)充滿磁感應(yīng)強度為.如圖 22, 一足夠長的矩形區(qū)域例8adOOdV勺 帶電粒子，。，大小為邊夾角為的勻強磁場，現(xiàn)從矩形區(qū)域邊中點夠長，粒子重力忽略不計。求：邊長為已知粒子質(zhì)量為，電量為abv的大小范圍；(1 )試求粒子能從邊上射出磁場的0(2)粒子在磁場中運動的最長時間和在這種情況下粒子從磁場中射出所在邊上位置的范圍Oab邊射出的粒子的點射入磁場的粒子運動軌跡的動態(tài)圓,能夠從（1）畫出從 解析：dcabAO則邊上的所示，軌跡與臨界軌跡如圖23點，此時軌跡圓心為邊相切時，射到Lr得最大速度。軌道半徑，由ababBOrL/3點，此時軌跡圓心為軌跡與，則軌道半徑邊相切時，射到，