數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用

1、數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用摘要數(shù)學模型是研究生命發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和分析生命現(xiàn)狀的工具。建立可靠的本文從生物數(shù)學的發(fā)展、分支了解生物數(shù)學的歷史，緊接著又在數(shù)學模型在生物數(shù)學的地位中了解數(shù)學模型的地位，最后在數(shù)學模型的應(yīng)用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型.這將有助于在生物數(shù)學的研究中，依據(jù)數(shù)學模型的基礎(chǔ)，建立符合規(guī)律的數(shù)學模型，在生命進程中驗證新的規(guī)律、新的發(fā)現(xiàn)，使在研究生物學時更清晰、更明了.關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；生物學；應(yīng)用ApplicationofmathematicalmodelinBiologyAbstract:Mathematicalmodelsinbiologysuchasa

2、microscopecanbefoundinbiologicalmysteries,biologicalresearchthroughwiththeestablishmentofthemathematicalrulesofthelawofdevelopmentoflife,whichlaunchedanewdiscovery,newrulesandinbiologyestablishedreliablemodelofthebiologicalstatusofclassifiedanalysisandforecasting.Thefromthehistoryofmathematicalbiolo

3、gydevelopment,thebranchoftheunderstandingofmathematicalbiology,followedbyanotherinthemathematicalmodelinMathematicalBiologystatusinunderstandingthestatusofmathematicalmodel.Finally,intheapplicationofmathematicalmodelknowdifferentialequationmodel,thedifferentialequationmodelandthestabilityofthemodel.

4、Thiswillhelpinmathematicalbiologyresearch,onthebasisofthemathematicalmodel,establishedinaccordancewiththelawofthemathematicalmodel,intheprocessoflifetoverifynewrules,newfoundinbiologicalresearchclearer,moreclear.Keywords:mathematicalmode;biology;application1 引言，12 文獻綜述，12.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀，12.3 提出問題，23 生物數(shù)學

5、的發(fā)展，23.1 生物數(shù)學發(fā)展歷史，33.2 生物數(shù)學的分支，43.2.1 生物信息學，53.2.2 生物統(tǒng)計，53.2.3 數(shù)量遺傳學，53.2.4 數(shù)學生態(tài)學，53.2.5 數(shù)理醫(yī)藥學，63.3 數(shù)學模型在生物數(shù)學中的地位，64 數(shù)學模型在生物學中應(yīng)用，64.1 微分方程模型，64.2 差分方程模型，114.3 穩(wěn)定性模型，135 結(jié)論，175.1 主要發(fā)現(xiàn)，175.2 后示，185.3 局限性，185.4 努力方向，18參考文獻19，1引言數(shù)學是所有自然學科的基礎(chǔ)，生物卻是偏文科性質(zhì)的自然學科，把兩者有機的的結(jié)合在一起就構(gòu)成了生物數(shù)學.但在生物學中應(yīng)用數(shù)學最多的還是數(shù)學模型的應(yīng)用，解決生

6、物中各種種群增長問題，種群擴散問題，環(huán)境污染問題等.雖然有生物數(shù)學這樣的學科產(chǎn)生，但真正讓數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學的學生了解數(shù)學在生物中的應(yīng)用，仍需要很大的努力.同時，許多人會覺得數(shù)學的知識只能應(yīng)用在生物中，而生物知識卻不能應(yīng)用在數(shù)學問題解決中，但是有些實際問題卻不得不提醒我們，在解決一部分實際問題時，我必須得先了解生物上的一些知識，才能解決.但同時我們也得先了解生物數(shù)學這門學科，以及生物數(shù)學的的分支，我們才能知道生物與數(shù)學的聯(lián)系，方便我們在解決一些實際問題時，全面的考慮問題，分析問題.生物數(shù)學是數(shù)學的邊沿學科，使數(shù)學模型得以更好的建立的根本，不僅是一個學科的分支，更是學習應(yīng)用數(shù)學的一個工具.了解生物數(shù)

7、學的發(fā)展，知道生物數(shù)學的產(chǎn)生，并知道生物數(shù)學的分支，方便更好的學習數(shù)學模型，然后才能把數(shù)學模型更好應(yīng)用在生物學中，數(shù)學模型是應(yīng)用數(shù)學中最直觀應(yīng)用于數(shù)學的東西，但數(shù)學模型中很大一部分模型和生物相關(guān)聯(lián)，所以才會出現(xiàn)生物數(shù)學.特別地，生物數(shù)學在整個數(shù)學建模中起了很重要的作用.2文獻綜述2.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查閱到的參考文獻中，分別就數(shù)學模型做了介紹，并且對模型的應(yīng)用也做了介紹.在文獻1-4中詳細的講解了生物數(shù)學的起源、發(fā)展、分支等方面，還闡述了生物數(shù)學在其他方面的應(yīng)用，其中穿插的講解了數(shù)學模型在生物數(shù)學中地位以及生物數(shù)學的未來發(fā)展趨勢.在文獻5中主要是利用數(shù)學模型在生物序列結(jié)構(gòu)比較中的研究及其應(yīng)用

8、進行了介紹，且主要研究了數(shù)學模型在DNA蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用.在文獻6中主要綜述了生物數(shù)學這一門學科的大概，介紹了生物數(shù)學各分支的具體內(nèi)容，還講解了生物數(shù)學模型的實例.在文獻7中強調(diào)了數(shù)學在生物學中的地位，從不同的角度詮釋數(shù)學在生物學中的應(yīng)用，以及數(shù)學模型的方法.在文獻8中從建立數(shù)學模型的步驟、初等模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型等方面進行了介紹，詳細的講解了數(shù)學模型在不同方面的應(yīng)用.在文獻9中運用馬爾薩斯模型、logistic模型、人口統(tǒng)計模型三種方法對江蘇省人口總數(shù)進行了預(yù)測，并且對三種模型的精確度作了分析.在文獻10中依據(jù)文獻8中的課后習題進行了解答，更好理解了數(shù)學模型的應(yīng)用

9、.在文獻11中對人口增長的原因進行了分析，并且運用不同的方法對人口增長過快的控制進行了描述，還運用偏微分方程、差分方程分別描述了人口狀態(tài)的連續(xù)模型和離散模型.在文獻12中介紹了差分方程在經(jīng)濟領(lǐng)域、動力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面的應(yīng)用，強調(diào)了運用差分方程模型建立數(shù)學模型解決實際問題的重要性.在文獻13中通過化學、物理、生物、交通、經(jīng)濟管理和工程技術(shù)中眾多數(shù)學模型的實例，建立了各種現(xiàn)實問題數(shù)學模型的主要方法和基本規(guī)律.在文獻14中找到了種群生長的數(shù)學模型，依據(jù)差分方程理論，建立了描述種群生長的非線性差分方程模型，并分析了該模型的可靠性和穩(wěn)定性.在文獻15中主要從兩個方面闡述了植物昆蟲種群模型的分類、通

10、用表達式的表達，并針對各類型的植物種群動態(tài)模型進行了特殊說明.2.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價文獻1-15中分別就生物數(shù)學的起源、發(fā)展、分支分別進行了闡述以及差分方程模型在生物學中的應(yīng)用等方面作了說明.但文獻中沒有對生物數(shù)學深入進行研究，以及沒有對與差分方程模型相關(guān)的的微分方程模型以及穩(wěn)定性模型在生物學中應(yīng)用進行研究.2.3 提出問題現(xiàn)有文獻中只是對生物數(shù)學發(fā)展、起源、分支的各方面單獨的進行了研究，以及數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用只是進行了一方面的介紹.因此本文就以上問題把生物數(shù)學的發(fā)展、起源、分支的各方面綜合進行了分析，并且對數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用中的差分方程模型進行了全方面的研究.3生物數(shù)學的發(fā)展

11、生物數(shù)學顧名思義便是生物與數(shù)學的結(jié)合，是生物與數(shù)學的邊沿學科，運用數(shù)學方法研究和解決生物學問題，并對與生物有關(guān)的數(shù)學方法進行理論研究的學科.粗略地說，它包括生物數(shù)學與數(shù)學生物學兩部分內(nèi)容，前者看重數(shù)學，后者看重生物學.如果把生物學的分支領(lǐng)域看作一個集合，數(shù)學的分支范圍看作另一個集合，生物數(shù)學便是兩個集合導出的乘積空間.因而生物數(shù)學的分支內(nèi)容十分豐富，從研究使用的數(shù)學方法區(qū)分，生物數(shù)學可分為生物統(tǒng)計學、生物信息論、生物系統(tǒng)論、生物控制論和生物方程等的分支.另外，由于生命現(xiàn)象極為復雜，從生物學中提出的數(shù)學問題往往也十分復雜，需要進行大量計算工作，因此計算機是解決生物數(shù)學問題的重要工具2.3.1生物

12、數(shù)學發(fā)展歷史生物數(shù)學的最早起源于中國北宋科學家沈括，于1088年推出的“胎育之理”的數(shù)學模型，并說明了出生嬰兒性別大致相等的規(guī)律，建立了種群動態(tài)模型.到1202年，意大利數(shù)學家斐波那契在計算書第12章的第七節(jié)中，關(guān)于家兔繁殖的問題，建立了家兔增長的動態(tài)模型.屋書=屋+'書，A>2；F。=E=1.后來，法國數(shù)學家棣莫弗于1730年的分析集錦中第一次給出了斐波那契數(shù)列的通項公式Sn=15V-1T5.1963年，一些美國數(shù)學家成立了斐波那契協(xié)會，并且發(fā)行了一份專門研究他的季刊-斐波那契季刊，這標志著對斐波那契家兔增長的動態(tài)模型的性質(zhì)及應(yīng)用進入了一個新的發(fā)展階段.1604年，中國明朝的著

13、名科學家徐光啟在其著作農(nóng)政全書中用數(shù)學的概率方法估計過和平時期人口的增長，說“頭三十年為一世”這是最早的人口增長模型.1662年，英國經(jīng)濟學家、人口統(tǒng)計學家格朗特，在他的專著生命表的自然和政治觀察中，研究了倫敦市人口的出生率、死亡率等指數(shù)與人口增長的關(guān)系，并且通過計算得出倫敦的人口大概每64年將增加一倍.且發(fā)現(xiàn)人口的出生率與死亡率相對穩(wěn)定，提出“大數(shù)恒靜定律”.1693年，英國數(shù)學家、天文學家哈雷按年齡分類，以德國布雷斯勞市1687-1691年間市民的死亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，精確地表示了每年的死亡率.從而改進了格朗特的生命表，并定義了死亡率的含義，制訂了世界上第一份最完整、最科學的生命表.1748

14、年，歐拉在其出版的無窮分析引論的第六章“指數(shù)與對數(shù)”中，所舉的例子中：假設(shè)人口數(shù)量Pn關(guān)于年份n滿足方程Pn+=（1+x）Pn（其中n為整數(shù)，增長率X為正實數(shù)），若初值為P0,則Pn關(guān)于n的表達式可以改寫為Pn=（1十X）np°,此模型被稱為人口幾何增長動態(tài)數(shù)學模型.1760年，瑞士數(shù)學家、醫(yī)學家、物理學家丹尼爾伯努利對天花病毒進行了分析，且建立了天花病毒動態(tài)數(shù)學模型p'(x)=P(X)ax,其中，x為人口的年齡，p為人口1- ppe4因感染上天花而死亡的概率，p'(x盾示感染天花病毒后痊愈的年齡為x的人口數(shù)量，q為每人每年感染上天花的概率.伯努利在天花病毒動態(tài)數(shù)學模

15、型中所作感染上天花的概率與因感染上天花的概率，關(guān)于x相互獨立的理想假設(shè)存在一定的局限性.1761年，法國物理學家、數(shù)學家達蘭貝爾改進了伯努利的模型，得到了更符合實際情況的動態(tài)數(shù)學模型：p(x)=p(x)expfj0v(ydy"其中v(y)為因感染天花而死亡的人數(shù).1798年，英國統(tǒng)計學家馬爾薩斯在人口原理中，根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計顯示，針對人口增長規(guī)律，提出人口種群模型的基本假設(shè)：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率的常數(shù)r,從對人口增長和食品過去增長的分析中導出了微分方程模型：已知初始時刻to時種群數(shù)量為N(t。)=N。，設(shè)t時刻的種群數(shù)量為N=N(t)經(jīng)過&后，在t+占時刻

16、，種群的數(shù)量變?yōu)镹(t+&).由上述基本假設(shè)，在工時間內(nèi)，種群數(shù)量的增加量與當時的種群數(shù)量N(t)成比例，比例系數(shù)為r,則在At內(nèi)，種群的增量可寫為N(t+AtAN(t)=rN(tpt.再將上式兩邊同時除以西，得到N(t+&t)N(t)=rN(t),當二tAtt0時，N(t腦足：則=rN或=r.上述微分方程模型為馬爾薩斯模型3.dtdt1.2 生物數(shù)學的分支伴隨著生物數(shù)學的快速發(fā)展，生物數(shù)學研究的內(nèi)容已經(jīng)形成一個巨大的體系，總共包含了14個分支學科4.這些學科是按下列兩種分類方法來劃分的.第一種是按所涉及的數(shù)學方法來分類，分為生物統(tǒng)計、生物動力系統(tǒng)和生物控制論、統(tǒng)計醫(yī)藥學、人口

17、統(tǒng)計學等；生物動力系統(tǒng)又分為種群動力學，細胞動力學、人口動力學等.第二種是按研究生命科學中的分支學科的不同分類，有數(shù)學生態(tài)、數(shù)量生理、數(shù)量分類、數(shù)量遺傳、傳染病動力學、數(shù)量生物經(jīng)濟學、數(shù)理醫(yī)藥學、神經(jīng)科學的數(shù)學模型、分子動力學、細胞動力學、人口動力學等分支學科.其中數(shù)學生態(tài)學又可分為種群生態(tài)學、統(tǒng)計生態(tài)學、系統(tǒng)生態(tài)學等分支學科.1.2.1 生物信息學從生物信息學研究的具體內(nèi)容上說，主要有3個部分：新算法與統(tǒng)計學方法研究、各類數(shù)據(jù)的分析和解釋以及管理數(shù)據(jù)和研制有效利用的新工具.生物信息學是由分子生物學與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是由各種生物學與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是各種生物

18、學數(shù)據(jù)，研究的方法主要有對生物學數(shù)據(jù)的搜索、收集、篩選、處理（編輯、整理、管理和顯示）以及利用（計算和模擬）.生物信息學是現(xiàn)在生命科學和自然科學的重大前沿領(lǐng)域之一，并且也將是21世紀自然科學的核心領(lǐng)域之一.隨著基因組測序計劃的展開和分子結(jié)構(gòu)測定技術(shù)的突破以及網(wǎng)絡(luò)的普及，生物學數(shù)據(jù)庫逐漸成熟起來.伴隨著生物研究中數(shù)學模型和算法的不斷完善，擁有許多強有力的生物信息分析工具，如進化分析、聚類分析等的產(chǎn)生.部分有效的分析工具極大地依賴于生物序列和結(jié)構(gòu)的比較.序列和結(jié)構(gòu)的比較是最重要和最常用的原始操作，是許多其它復雜操作的基礎(chǔ)5.1.2.2 生物統(tǒng)計生物統(tǒng)計是生物數(shù)學的一個重要分支，在生物界一直受到普遍

19、重視.它在醫(yī)學界成為了衛(wèi)生統(tǒng)計的主要內(nèi)容，目前主要從事統(tǒng)計檢驗的應(yīng)用和改進有關(guān)logistic回歸模型方面的研究和應(yīng)用生存分析以及研究人的壽命表的人口統(tǒng)計等方面.其中運用多元統(tǒng)計分析來研究生物現(xiàn)象，成為生物統(tǒng)計發(fā)展的一個方向.1.2.3 數(shù)量遺傳學數(shù)量遺傳學的分析方法，在動物遺傳育種方面，提供有價值的育種參數(shù)；在作物育種方面，對主要作物的一些基本數(shù)量性狀的遺傳規(guī)律進行分析，現(xiàn)在趨向于分析一些地區(qū)性作物的一些特定的性狀；在試驗設(shè)計上更加接近于信息量較大的雙列雜交設(shè)計，并且也是林木遺傳育種的一個分析手段.1.2.4 數(shù)學生態(tài)學數(shù)學生態(tài)學不僅是生物數(shù)學的分支，也是生態(tài)學的一部分.從使用的數(shù)學工具來分

20、有理論生態(tài)學，統(tǒng)計生態(tài)學與系統(tǒng)生態(tài)學.理論生態(tài)學主要是使用隨機微分方程，差分方程，線性代數(shù)，常微分方程和隨機過程等數(shù)學工具來設(shè)計與實際相近的數(shù)學模型；系統(tǒng)生態(tài)學是采用運籌學與系統(tǒng)分析理論等數(shù)學工具來研究生態(tài)系統(tǒng)；統(tǒng)計生態(tài)學主要是數(shù)理生態(tài)學與統(tǒng)計學的相結(jié)合，其中包括空間分布型，抽樣技術(shù)與多元分析等；如果就研究的對象來分，分為動物數(shù)學生態(tài)學，昆蟲數(shù)學生態(tài)學與植物數(shù)學生態(tài)學.1.2.5 數(shù)理醫(yī)藥學數(shù)理醫(yī)藥學是研究生物細胞的化學作用建立數(shù)學模型來研究，是生命科學的圍觀研究，例如：在毒理生態(tài)學中利用宏觀和微觀數(shù)學模型來研究環(huán)境污染對生物種群的影響數(shù)理醫(yī)藥學主要利用數(shù)學模型研究傳染病的方式、發(fā)展和傳染過程

21、，已成為生物數(shù)學的分支.例如：對現(xiàn)有的傳染病模型作改進，使其更隨機化，更符合實際，并且建立了帶有年齡結(jié)構(gòu)的種群的長期和非長期免疫型的傳染病模型.1.3 數(shù)學模型在生物數(shù)學中的地位在數(shù)學的發(fā)展史中，數(shù)學一直都有著自己的理論體系.第一是基礎(chǔ)數(shù)學，第二是應(yīng)用數(shù)學，第三是計算數(shù)學.生命是數(shù)字的游戲，隨著近代生物學的高速發(fā)展，數(shù)學在生命科學的作用愈發(fā)突出，無論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學計算作為推動其前進的不懈動力6.數(shù)學模型：為了研究的目的而建立并能夠表現(xiàn)和描述真實世界某些現(xiàn)象、特征和狀況的數(shù)學問題.數(shù)學模型能定量地描述生命物質(zhì)運動的過程，一個復雜的生物學問題借助數(shù)學模型能

22、轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學問題，通過對數(shù)學模型的邏輯推理、求解和運算，就能夠獲得客觀事物的有關(guān)結(jié)論，達到對生命現(xiàn)象進行研究的目的7.4數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用數(shù)學模型中有初等模型、簡單優(yōu)化模型、數(shù)學規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型等，在生物學中應(yīng)用較廣泛的是微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型，并應(yīng)用于種群增長、疾病預(yù)測與控制、種群競爭、種群依存等方面.4.1微分方程模型微分方程是描述未知函數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，形如dy=x.在數(shù)學模型中dx需要描述實際對象的某些特性隨時間或空間的演變的過程，分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時，就需要建立的對象的動態(tài)模型網(wǎng).微分

23、方程模型應(yīng)用于經(jīng)濟、戰(zhàn)爭、醫(yī)學等方面，在生物學中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于傳染病的控制與防范，人口的控制和預(yù)測，種群增長的預(yù)測，細胞增長速率等方面下面介紹人口的預(yù)測和控制：指數(shù)增長模型由英國人口學家馬爾薩斯提出的，記時刻t的人口為x(t),且視x(t)為連續(xù)，可微的函數(shù)，并令初始時刻的人口為Xo,人口增長率為常數(shù)r,即單位時間內(nèi)xt)的增量攀,得微分方程(D(2)dx八=rx,x(0)=x0dt則得：xt)；=xoe"阻滯增長模型-Logistic模型：人口增長到一定數(shù)量后會下降，主要是受到環(huán)境條件、自然資源等因素的影響的阻滯作用，并且隨著人口的增長，阻滯作用越大，阻滯作用主要體現(xiàn)在對

24、人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降.將r表示為x的函數(shù)r(x),方程寫作dx一=r(xx,x(0)=xo(3)dt假設(shè)r(x)為x的線性函數(shù),即(4)rx):=r-sxr,s0其中s=L,xm為為自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)量，將(4)式代入(3)xm(5)以=r(xfl-W”dtIxmJ其中等式右邊rx體現(xiàn)人口自身的增長趨勢,1-體現(xiàn)環(huán)境和資源對人口增長的阻滯xm作用.例1江蘇省是全國主要的經(jīng)濟發(fā)展中心，具發(fā)展變化將帶動整個國民經(jīng)濟的發(fā)展變化，土地面積僅占全國的1.06%,人口卻占全國的5.72%,依據(jù)7T蘇省1978-2004年的總?cè)丝诒恚治鼋K省1978-2

25、000年的數(shù)據(jù)及預(yù)測江蘇省規(guī)劃期內(nèi)的總?cè)丝跀?shù)網(wǎng).1978-200419785834.3319876348.0019967110.1619795892.5519886438.2719977147.8619805938.1919896535.8519987182.4619816010.2419906766.9019997213.1319826088.9419916843.7020007327.2419836134.9919926911.2020017354.9219846171.4319936967.2720027382.9719856213.4819947020.5420037405.82198

26、66269.9019957066.0220047432.50表1江蘇省1978-2004年歷年人口表模型分析：江蘇省總?cè)丝趶?978年的5834.33萬人到2004年的7432.5萬人，增加了1598.17萬人，平均年增長率為9.4%.江蘇省1978年至2004年主要表現(xiàn)為：總?cè)丝跀?shù)逐年增長；各年之間的人口增長相對平穩(wěn).1978年-1989年，年平均增長率9.4%;1990年，年平均增長率為35.4%;1991-2003年，年平均增長率為6.7%;2.1-2.4年人口年增長率為3.8%、3.5%、3.4%、3.6%,四年平均增長率為3.6%.馬爾薩斯人口模型建立：模型假設(shè)：1.人口增長率是常數(shù)

27、；2.隨著時間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無線增長.模型構(gòu)成：把1978年-2000年作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)，2001-2004年的數(shù)據(jù)作為驗證.江蘇省1978-2000年的年平均人口增長率為7.65%,2004-2010年人口增長率為5.00%,2010-2020年人口增長率為2.35%.則代入馬爾薩斯人口模型(2)x(t)=Xpert(2)則x2001)=7213.13e0036-7477.533x2002=7477.533e°.°36=7751.629x2003=7751.629e°.°36=8035.771x2004=7405.82e°.°5

28、=7785.525-x2020)；=12984.63e°.0235-13293.38江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20017477.533201110759.2520027751.628201211015.0920038035.771201311277.0120047785.525201411545.1620058184.697201511819.6820068604.335201612100.7320079045.489201712388.4720089509.261201812683.0520099996.811201912984.632010105

29、09.36202013293.38表2馬爾薩斯模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值2001-2020年江蘇省預(yù)測人口總數(shù)年份人口總引數(shù)總口人圖1馬爾薩斯模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值由馬爾薩斯模型算出的江蘇省2001-2020年各年的人口數(shù)在上表和圖表中顯示出來.Logistic人口阻滯模型：模型構(gòu)成：將微分方程模型(5)dx,x=rxJ1出IXmJ化為：XG卜-X1.x(6)1e將江蘇省人口數(shù)據(jù)代入得出a、b兩參數(shù)，則得如下方程代入值:、，(8400Xt-40.730.05x1+6下X2001=8400,0.7340.0524)=7335.308400x2002=10.73

30、.0.0525=7380.92-c8400-cX2003=1-0730.0526;7424'5經(jīng)過計算得表3和圖2的結(jié)果江蘇省2001-2020年人口總數(shù)預(yù)測值8000.007900.00數(shù)7800.00總7700.00下7600.007500.007400.007300.00T一人口總數(shù)|年份江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值人口總數(shù)年份人口總數(shù)20017335.3020117720.3320027380.9220127750.9120037424.8520137780.2320047467.1320147808.20057507.7920157835.2520067546.892

31、0167861.0220077584.4620177885.7020087620.5420187909.3220097618.3620197931.9220107688.4320207953.53表3logistic模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測圖2logistic模型對江蘇省2001-2020年人口預(yù)測值由此可以看出Logistic阻滯模型精確點，所以江蘇省2020年預(yù)測人口為7953.53萬人(數(shù)學模型在人口預(yù)測中的應(yīng)用-以江蘇省為例).4.2差分方程模型差分方程又稱遞推關(guān)系式，是含有位置函數(shù)及其差分，但不含有導數(shù)的方程，且滿足該方程的函數(shù)稱為差分方程，差分方程是微分方程的離散化

32、.在實際問題中，遇到變量是離散的，就得考慮差分方程模型，在種群的控制與預(yù)測中，用到的就是差分方程模型，因為其中的時間和年齡均為離散量10.差分方程模型應(yīng)用于醫(yī)學CK市場經(jīng)濟分析、產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出等方面，同微分方程模型一樣在生物學中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于按年齡分組的人口模型、種群的增長變化等方面11.下面介紹差分方程模型當中比較典型的按年齡分組的種群模型-leslie模型：將種群按年齡大小等間隔分成n個年齡組，記時段k第i個年齡組的種群數(shù)量為X(k),k=1,2,，i=0,1,2,，n.模型假設(shè)：1.假設(shè)種群的繁殖率和死亡率不隨時段k變化，只與年齡組有關(guān)；2. 第i年齡組的繁殖率為bi,即每個

33、個體在1個時段內(nèi)繁殖的數(shù)量；3. 第i年齡組的死亡率為di,即1個時段內(nèi)死亡數(shù)量的比例；4. 記s=1-di為存活率.模型構(gòu)成：時段k+1第i+1年齡組(i=1,2：,n-1)的數(shù)量是時段k第i年齡組存活下來的數(shù)量.得：nX1(k+1)=£biXi(k),k=0,1,2,(1)i=1Xik+1)=SiXi(k),k=0,1,2，i=1,2，n1(2)記種群數(shù)量在時段k按年齡組的分布向量為：x(k)=k(k)X2(k廣，Xn(kT,k=0,1,2，(3)由繁殖率。和存活率6構(gòu)成的矩陣blb2bnJbns1000(4)(5)(6)L=|0s200aaaa00sn0_則將(1),(2),(

34、4)綜合為x(k+1)=Lx(k),k=0,1,2,當L和x(0)已知是，可以預(yù)測種群數(shù)量在k時段按年齡組的分布為xk=Lkx0,k=0,1,2,Leslie模型的穩(wěn)定狀態(tài)分析：(1)L矩陣存在正單特征根九，九k|w%,k=2,3,，n特征向量x=卜亙,要,，吟孕工華人1人1(2)若L矩陣存在0,h葉下0貝1標|M，L1,k=2,3,，n,且lim嘩)=cx*,c是由口，s,x(o)決定的常數(shù).因為x(k)=Lkx(0),L對角化，L=ptdiag(%,九2,，九n)】p，,則im_=-=pdiag1,0,p'x0=cx*.k爐當k充分大使，種群的年齡結(jié)構(gòu)和數(shù)量x(k)做如下分析:1)

35、 x(k/c"x*,種群按年齡組的分布趨向穩(wěn)定，x*稱穩(wěn)定分布，與初始分布無關(guān)2) x(k+1六八x(k),x«+1提九x(k),各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，九稱固有增長率.3)九=1時，x(k+1kx(kkcx*,x*=1,s1,s1s2,，s八sn，各年齡組種群數(shù)量不變.4) x(kbcMx*,x*=1,Si,SiS2,，SiS2生丁，xi由(k)定sx(k)i=1,2，n1,存活率s是同一時段的xi書與xi之比.例2設(shè)一群動物最高年齡為15歲，每5歲一組，分成3個年齡組，各組的繁殖率11為bi=0,b2=4,bs=3,存活率為s=-,S2=,開始時3組各有1000

36、八，求1524年后各組分別有多少只,以及時間充分長以后種群的增長率和按年齡組的分布解：先求L矩陣0120X0=1000,1000,10001K=15=3貝Ux3=L3x0)=01120100010001000-3813812一100011000=14375,1375,8751T1000-則固有增長率3-2-8按年齡組的分布為：1,1232T1a124*12J一Ft各組15年后分別有14735只、1375只、875只.固有增長率為1.5,穩(wěn)定的按年齡組的、一，11分布為1,1,-.<318J4.3穩(wěn)定性模型用微分方程建立的動態(tài)模型來描述動態(tài)過程的變化規(guī)律，但是對于某些問題，并不需要研究動態(tài)

37、過程的每個瞬時的動態(tài)，而僅僅是要求研究某種狀態(tài)下的特征，特別是足夠長的時間內(nèi)動態(tài)過程的變化趨勢.穩(wěn)定性方程模型應(yīng)用于捕魚業(yè)、軍事競爭、經(jīng)濟增長穩(wěn)定等方面，在生物學中的應(yīng)用于種群的相互競爭、種群的相互依存、食餌與捕食者等方面12.在建模的開始先了解二階微分方程的平衡點和穩(wěn)定點的求解過程.xit)=fXi,X2fXi,X2=0X2(t)=g(Xi,X2)g(Xi，X2)=0的實根Xi=Xi°,X2=X；為方程的平衡點，記作Po(Xi°,X0).如果存在某個領(lǐng)域，使方程的解為Xi(t),X2(t).從這個領(lǐng)域內(nèi)的某點(Xi(0)X2(0出發(fā),滿足tm、。Xi°,tm_X

38、2(t)=x；則稱平衡點p0是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.用直接法求平衡點的穩(wěn)定性xit=aixia2x2X2t=bixib2x2系數(shù)矩陣為A=ea21Ib2.在平衡點p°(0,0)的穩(wěn)定性，假定A的行列式detA=0的根兒決定，則可以寫成九2+p兒+q=0PP=-(a1+b2)§=detA若p0,q0,則平衡點穩(wěn)定；若p<0n£q<0,則平衡點不穩(wěn)定.依據(jù)差分方程模型求穩(wěn)定性的方法建立種群競爭模型：兩個種群見存在著相互競爭、依存、捕食關(guān)系，當兩個種群為了爭奪優(yōu)先的資源而進行生產(chǎn)斗爭，其結(jié)局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強的種群達到環(huán)境容許的最大數(shù)量i5

39、.模型假設(shè)：i.兩個種群獨自生存在一個自然環(huán)境中；2.兩個種群的數(shù)量演變遵循Logistic規(guī)律.模型構(gòu)成:ri,2是他們的固有增長率，Ni,N2記Xi(t),X2(t價別為兩個種群的數(shù)量，是他們的最大容量，則種群一Xi(t)=1X11一XiNi（i）式表示種群一在原有資源下，無種群二的種群數(shù)量.當種群二出現(xiàn)時，要考慮種群二消耗同一種有限資源對甲的增長產(chǎn)生的影響.于是得種群二的增長方程xi(t)=riXi1一XiX2NiN2(2)其中。i的意義是：單位數(shù)量的種群二（相對N2）消耗的供給種群一的食物量為單位數(shù)量（相對Ni）消耗的供給種群一的食物量的小.則種群二的方程為X2(t)=r2X2i-Xi

40、X2NiN2。2和小的意義相對應(yīng).穩(wěn)定性分析：將（2）,（3）解代數(shù)方程組XiNi一位g(Xi,X2上口乂？i-2XiNiX2N2J(5)得4個平衡點piNi,0,P0,刈，PNiifN2i-二2i一二i'i-二i二2,P4(0,0)只有當平衡點位于第一象限時才有實際意義，因此對于P3而言，只有叫,。2同時大于i,或者同時小于i才滿足.按照差分方程判斷平衡點和穩(wěn)定性的方法，計算A.gXiXifXzl9X21ri2x1-iX2r產(chǎn)iXiNi2二2X2NiN2JN2Xi2x2N2)p=-。gx2q=detA得下表4平衡點Pq穩(wěn)定條件P1（N1,0）r1-r2（12）-12（12）5<

41、122>1卬0小2）-10-仃1）+r2-12（1-。1）仃1>1,。2<1N11一仃1）N2（一仃2）P3d'd,1仃1仃21仃1仃2jr1（1一仃1）+2（1一仃2）12（1-仃1f1-仃2）1一仃盧？5<1,2<11一仃1仃2P4（0,0）-（1+2）心不穩(wěn)定表4種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性表格解釋：1 .。1<1意味著種群在競爭資源時，種群二的競爭弱于種群一；。2>1意味著種群在競爭資源時，種群一的競爭強于種群二，即Xi（t）X2（t也向于平衡點R.2 .。1>1意味著種群在競爭資源時，種群二的競爭強于種群一；仃2<1意味著

42、種群在競爭資源時，種群一的競爭弱于種群二，即X（t）X2（t也向于平衡點P2.3 .仃1<1產(chǎn)2<1,意味著在競爭中種群一和種群二相對于對方都比較弱，即X1（t）X2（t）趨向于平衡點P3.4 .。1>1產(chǎn)2>2,意味著在競爭資源時，種群一和種群二相對于對方都比較強，但這時的平衡點P4不穩(wěn)定.例3一個島嶼上棲居著食肉動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物.爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存.在適當假設(shè)下建立三者之間關(guān)系的模型，求平衡點.解：設(shè)X1（t）X2（t,X3（t）分別表示植物、哺乳動物、食肉動物在時刻t的數(shù)量.假設(shè)不考慮植物、哺乳動物對自身的阻滯作用設(shè)2

43、為植物的固有增長率，而哺乳動物的存在使植物的增長率減少，建立植物數(shù)量的模型:小Xiri.'iX2dt"意味著哺乳動物消耗植物的能力.哺乳動物依靠植物生存，離開植物無法生存，設(shè)植物的死亡率2,則哺乳獨自存在時:dx2t_出二FX2植物存在為哺乳動物提供了食物，但是食肉動物使哺乳動物的數(shù)量減少，建立哺乳動物數(shù)量的模型:dX2tX2Ir212X1-'X3dt其中“意味著植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力，口意味著食肉動物捕食哺乳動如的能力.食肉動物離開哺乳動物無法生存，設(shè)哺乳動物的死亡率為3,則食肉動物獨自存在時有:dX3t-T3X3dt哺乳動物的存在時為食肉動物提供食物，于是建立食肉動物的數(shù)量模型:dX3t-X3-r3'3X2dt%意味著哺乳動物對食肉動物的供養(yǎng)能力.綜上所述，建立如下微分方程ddx1(t)dtdX2tdtdX3t=xiri-1X2=X2-22X1-口X3X3-r33X2得微分方程的平衡點得:Pi0,0,0P2r2,ri,o.工2兒iJ5結(jié)論5.i主要發(fā)現(xiàn)本文探討了生物數(shù)學的發(fā)展，生物數(shù)學的分支以及數(shù)學模型在生物數(shù)學中的地位，接著通過數(shù)學模型中的微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型更好的了解數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用.并在微分方程模型中運用江蘇省的歷年總?cè)丝谶M行