【2015屆備考】2014全國名校數(shù)學試題分類匯編(11月第四期)：F單元+平面向量

1、F單元平面向量 目錄F單元平面向量1F1平面向量的概念及其線性運算1F2平面向量基本定理及向量坐標運算1F3平面向量的數(shù)量積及應用1F4 單元綜合1 F1平面向量的概念及其線性運算【數(shù)學理卷·2015屆廣東省廣州市執(zhí)信中學高三上學期期中考試（201411）】7在中，點在上，且，點是的中點，若，則（ ）A B C D【知識點】平面向量的線性運算.F1【答案】【解析】B 解析：根據(jù)題意畫出圖形如下：,即，解得，則，故選B?！舅悸伏c撥】先利用平行四邊形法則求出向量，再利用可得結(jié)果?！緮?shù)學文卷·2015屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（201411）】3、已知平面向量的夾角為，且

2、，在中，D 為BC的中點，則（ ）A2 B4 C6 D8【知識點】向量的運算. F1 F3 【答案】【解析】A解析：因為，所以 ，故選A.【思路點撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，再利用模與數(shù)量積的關(guān)系，把求模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算.F2平面向量基本定理及向量坐標運算【湖北省襄陽四中、龍泉中學、宜昌一中、荊州中學2015屆高三10月四校聯(lián)考數(shù)學（文）答案】14.如圖，平面內(nèi)有三個向量,其中與與的夾角為，與的夾角為，且，=2，若=+（，）則+的值為 【知識點】平面向量基本定理F2【答案解析】6 過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，由BOC=90°，AOC=30°

3、;，由=2得平行四邊形的邊長為2和4，+=2+4=6故答案為6【思路點撥】過C作與的平行線與它們的延長線相交，可得平行四邊形，然后將向量用向量與向量 表示出即可【數(shù)學理卷·2015屆貴州省遵義航天高級中學高三上學期第三次模擬考試（201411）(1)】10.已知直線，且(其中O為坐標原點)，則實數(shù)的值為（ ） A.2 B. C.2或-2 D.【知識點】向量的運算.F2【答案】【解析】C 解析：以，為鄰邊作平行四邊形，則所以平行四邊形為距形，又，所以四邊形為正方形，a0，直線x+y=a經(jīng)過點（0，2），a=2故答案為：2【思路點撥】以OA、OB為鄰邊作，由已知得為正方形，由此能求出a=

4、2.【數(shù)學理卷·2015屆湖北省黃岡中學高三上學期期中考試（201411）】4. 已知向量與不共線，且，若三點共線，則實數(shù)滿足的條件是（ ）. . 【知識點】平面向量基本定理及向量坐標運算F2【答案解析】C 由，且A、B、D三點共線，所以存在非零實數(shù)，使=，即，所以，所以mn=1故答案為C【思路點撥】因為與 共起點A，所以要使A、B、D三點共線，只需存在非零實數(shù)，使 =成立即可，代入整理后可得mn的值【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】14在中，AB=2，AC=3，D是邊BC的中點，則 【知識點】向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾

5、何意義；平面向量數(shù)量積的運算F2 F3【答案】【解析】 解析：根據(jù)向量的加減法法則有：，,此時，故答案為。【思路點撥】由中，AB=2，AC=3，D是邊BC的中點，我們易將中兩個向量變形為，然后再利用向量數(shù)量積的計算公式，代入即可得到答案【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】5若，且，那么與的夾角為（ ）A B C D【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系F2 F3【答案】【解析】B 解析：，且，即，展開得：，整理得：1+1×2×=0解得：，故向量與的夾角為120°，故選B.【思路

6、點撥】根據(jù)三個向量的關(guān)系，通過向量夾角公式求出結(jié)果【數(shù)學文卷·2015屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（201411）】16、在直角梯形中， ，點是梯形內(nèi)或邊界上的一個動點，點是邊的中點，則的最大值是 【知識點】向量的坐標運算；簡單的線性規(guī)劃問題. E5 F2 F3【答案】【解析】6解析：以A我原點，直線AB 為x軸，直線AD為y軸，建立直角坐標系，則，設，則=x+2y,由圖可知點C(2，2)為取得最大值的最優(yōu)解，所以的最大值是6.【思路點撥】建立直角坐標系，把向量的數(shù)量積用坐標表示，再用線性規(guī)劃求解.【數(shù)學文卷·2015屆廣東省廣州市執(zhí)信中學高三上學期期中考試（2014

7、11）】16（本小題滿分12分）設平面向量，函數(shù)（1）求函數(shù)的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當,且時，求的值.【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換C4 F2【答案】【解析】（1）（2） 解析：依題意.2分（1） 函數(shù)的值域是；.4分令，解得.7分所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為。.8分（2） 由得，因為，所以，得.10分.12分【思路點撥】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標運算，求出函數(shù)f（x）的表達式，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求函數(shù)f（x）的值域和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的二倍角公式進行計算即可【數(shù)學文卷·2015屆廣東省廣州市執(zhí)信中學高三上學期期中考

8、試（201411）】6若向量，則（ ） A. B. C. D.【知識點】向量的坐標運算.F2【答案】【解析】C 解析：因為，所以,則,故選C。【思路點撥】利用向量的坐標運算公式即可。F3平面向量的數(shù)量積及應用【湖北省襄陽四中、龍泉中學、宜昌一中、荊州中學2015屆高三10月四校聯(lián)考數(shù)學（文）答案】12 平面向量與的夾角為，=（2,0），=1，則= 【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案解析】2由已知|=2，=+4+42=4+4×2×1×cos60°+4=12=2.【思路點撥】根據(jù)向量的坐標求出向量的模，最后結(jié)論要求模，一般要把模平方，知道夾角就可以解

9、決平方過程中的數(shù)量積問題，題目最后不要忘記開方【數(shù)學（文）卷·2015屆四川省南充市高三第一次高考適應性考試（201411）word版】11.已知向量，且，則x=_.【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系F3 【答案】【解析】0 解析：，且，解之可得x=0故答案為0.【思路點撥】由題意可得，解之即可【數(shù)學理卷·2015屆湖南省長郡中學2015屆高三月考試卷（三）word版】16.（本小題滿分12分） 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為，且bcos C= 3acos B- ccos B (1)求cos B的值； (2)若，且，求和的值【知識點】 正弦定理；余弦定理；向量

10、的數(shù)量積. C8 F3 【答案】【解析】（1）；（2）.解析：（1）由正弦定理得則，故，可得即，可得.又因此.（6分）（2）由，可得，又，故，由，可得，所以，即所以.（12分）【思路點撥】(1)把正弦定理代入已知等式，利用兩角和與差的三角函數(shù)和誘導公式化簡得所求；（2）由數(shù)量積得定義和（1）的結(jié)論，求得，再根據(jù)余弦定理求得a,c值.【數(shù)學理卷·2015屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】三、解答題（本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）16（本小題滿分12分）已知中，記（1）求解析式并標出其定義域；（2）設，若的值域為，求實數(shù)的值【知識點

11、】平面向量數(shù)量積的運算；正弦定理C8 F3【答案】【解析】（1）；（2）。解析：（1）由正弦定理有：；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，； -6分（2），。 當時，的值域為。又的值域為 解得 綜上 -12分【思路點撥】（1）利用正弦定理可得BC，AB，再利用數(shù)量積運算可得f（x），利用三角形的內(nèi)角和定理可得其定義域；（2）對m分類討論，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出【數(shù)學理卷·2015屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】2已知向量m(1，1)，n(2，2)，若(mn)(mn)，則（ ）A4 B3 C2 D1【知識點】數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系F3【答案】

12、【解析】B 解析：由向量得，由，得解得：故選B。【思路點撥】由向量的坐標加減法運算求出，的坐標，然后由向量垂直的坐標運算列式求出的值【數(shù)學理卷·2015屆山東省泰安市高三上學期期中考試（201411）】16.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知點.（I）求；（II）設實數(shù)t滿足，求t的值.【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案解析】(1）3，2（2）-1(1）A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6），=-3×1+（-1）×（-5）=3，|+|=2（2）()，=0,即-=-3×2+（-1）

13、×（-1）=-5，=22+（-1）2=5，-5-5t=0，t=-1【思路點撥】（1）利用向量數(shù)量積坐標運算及求模公式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可得：=0，再結(jié)合向量垂直的坐標表示可得關(guān)于t的方程，進而解方程即可得到t的值【數(shù)學理卷·2015屆山東省泰安市高三上學期期中考試（201411）】12.已知向量的夾角為45°，且 .【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案解析】3 因為、的夾角為45°，且|=1，|2-|=，所以42-4+2=10，即|2-2|-6=0，解得|=3或|=-（舍）故答案為3【思路點撥】將|2-|=平方，然后將夾角與|=1代入得到

14、|的方程，解方程可得【數(shù)學文卷·2015屆湖南省長郡中學2015屆高三月考試卷（三）word版】20.（本小題滿分13分） 已知橢圓以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，且橢圓以拋物線y2 =16x的焦點為其一個焦點，以雙曲線的焦點為頂點. (1)求橢圓的標準方程； (2)已知點A(-1,0),B(1,0)，且C，D分別為橢圓的上頂點和右頂點，點P是線段CD上的動點，求的取值范圍；（3）試問在圓上是否存在一點M，使F1MF2的面積（其中a為橢圓的半長軸長，b為橢圓的半短軸長，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點），若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【知識點】 橢圓的方程；向量數(shù)量積坐標運算；三

15、角形的面積公式. H5 F3 【答案】【解析】（1）；（2）；（3）存在點M且=2.解析：（1）因為拋物線y2=16x的焦點坐標和雙曲線的焦點分別為(4,0)和(5,0).所以所以橢圓的標準方程：.（3分）（2）設，則則當OPCD時，取到最小值，即：當點P在D點時，取到最大值：OD=5.所以：.（7分）（3）如圖所示：由第一問可知，圓的方程為.F1MF2的面積設M(x,y),又F1MF2的面積又F1(-4,0),F2(4,0)，設直線MF2的傾斜角為，直線MF1的傾斜角為，則即的值為2.（13分） 【思路點撥】(1)由已知得橢圓中的參數(shù)a,b,c的值即可；（2）求得線段CD方程，設出點得向量坐

16、標，從而得，再化為關(guān)于的函數(shù)，由得的取值范圍；（3）由（1）得出圓的方程為.F1MF2的面積不妨設M在x軸上方，結(jié)合圖形可得點M的縱坐標，進一步求得的三角函數(shù)值.【數(shù)學文卷·2015屆湖南省長郡中學2015屆高三月考試卷（三）word版】18.（本小題滿分12分）設記(1)求函數(shù)的最小正周期；（2）試用“五點法”畫出函數(shù)在區(qū)間的簡圖，并指出該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到；（3）若時，函數(shù)的最小值為2，試求出函數(shù)的最大值并指出x取何值時，函數(shù)取得最大值.【知識點】 向量的數(shù)量積；二倍角公式；兩角和與差的三角函數(shù)；函數(shù)的圖像與性質(zhì)；F3 C6 C5 C4 【答案】【解

17、析】（1）；（2）見解析；（2）時取得最大，最大值為解析：（1）， （3分）（2）x0010-10y向左平移得到，再保持縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的變?yōu)椋詈笤傧蛏掀揭苽€單位得到.（8分）（3）當即時取得最大，最大值為（12分） 【思路點撥】（1）利用向量數(shù)量積得坐標公式，二倍角公式，兩角和與差的三角函數(shù)公式，求得，從而得函數(shù)的最小正周期；（2）計算時的范圍，從而確定“五點法”中的關(guān)鍵點，然后列表、描點、畫出圖像；可以將的圖像先平移再橫伸縮變換得y圖像.也可以先進行橫伸縮變換再 進行平移變換得y圖像；（3）先計算時的范圍，從而得最值關(guān)于m的表達式，進而求得結(jié)論.【數(shù)學文卷·2015

18、屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】19.（本小題滿分13分）已知在ABC中，三條邊a,b、c所對的角分別為A、B,C，向量m=（sinA，cosA），n（cosB，sinB），且滿足m·nsin2C.（1）求角C的大?。?2)若sinA,sinC, sinB成等比數(shù)列，且，求邊c的值并求ABC外接圓的面積?！局R點】平面向量的數(shù)量積；等比數(shù)列的性質(zhì)；正弦定理.D3 F3 C8【答案】【解析】（1）；（2） 解析：（1）m·nsin2C. （2）sinA,sinC, sinB成等比數(shù)列 設外接圓的半徑為，由正弦定理可知： 【思路點撥】（1）根據(jù)向量的數(shù)量積

19、公式可得結(jié)果；（2）先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求出c，再利用正弦定理即可。【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】14在中，AB=2，AC=3，D是邊BC的中點，則 【知識點】向量的加法及其幾何意義；向量的減法及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的運算F2 F3【答案】【解析】 解析：根據(jù)向量的加減法法則有：，,此時，故答案為?！舅悸伏c撥】由中，AB=2，AC=3，D是邊BC的中點，我們易將中兩個向量變形為，然后再利用向量數(shù)量積的計算公式，代入即可得到答案【數(shù)學文卷·2015屆湖南省衡陽八中高三上學期第四次月考（201411）】5若，且，那么與的夾角為（

20、 ）A B C D【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角；向量的模；數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系F2 F3【答案】【解析】B 解析：，且，即，展開得：，整理得：1+1×2×=0解得：，故向量與的夾角為120°，故選B.【思路點撥】根據(jù)三個向量的關(guān)系，通過向量夾角公式求出結(jié)果【數(shù)學文卷·2015屆湖北省黃岡中學高三上學期期中考試（201411）】12.已知向量，且，則實數(shù)等于_【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案解析】9 ，由得，解得：故答案9【思路點撥】根據(jù)向量的數(shù)量積求出x值?！緮?shù)學文卷·2015屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（20

21、1411）】16、在直角梯形中， ，點是梯形內(nèi)或邊界上的一個動點，點是邊的中點，則的最大值是 【知識點】向量的坐標運算；簡單的線性規(guī)劃問題. E5 F2 F3【答案】【解析】6解析：以A我原點，直線AB 為x軸，直線AD為y軸，建立直角坐標系，則，設，則=x+2y,由圖可知點C(2，2)為取得最大值的最優(yōu)解，所以的最大值是6.【思路點撥】建立直角坐標系，把向量的數(shù)量積用坐標表示，再用線性規(guī)劃求解.【數(shù)學文卷·2015屆河北省衡水中學高三上學期期中考試（201411）】3、已知平面向量的夾角為，且，在中，D 為BC的中點，則（ ）A2 B4 C6 D8【知識點】向量的運算. F1 F3

22、 【答案】【解析】A解析：因為，所以 ，故選A.【思路點撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則得，再利用模與數(shù)量積的關(guān)系，把求模問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算.【數(shù)學文卷·2015屆山東省泰安市高三上學期期中考試（201411）】16.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系中，已知點.（I）求；（II）設實數(shù)t滿足，求t的值.【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用F3【答案解析】(1）3，2（2）-1(1）A（1，4），B（-2，3），C（2，-1）=（-3，-1），=（1，-5），+=（-2，-6），=-3×1+（-1）×（-5）=3，|+|=2（2）()，=0,即-=-3×2+（-1）×（-1）=-5，=22+（-1）2=5，-5-5t=0，t=-1【思路點撥】（1）利用向量數(shù)量積坐標運算及求模公式即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可得：=0，再結(jié)合向量垂直的坐標表示可得關(guān)于t的方程，進而解方程即可得到t的值【數(shù)學文卷·2015屆山東省泰安市高三上學期期中考試（201411）】13.已