2015年高考全國2卷理科數(shù)學(xué)試題(含解析)

1、絕密啟用前2014年高考全國 2 卷理科數(shù)學(xué)試題（含解析）注意事項：1答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上6執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t 均為 2，則輸出的 S= （ ）A.4 B.5 C.6 D.7請點擊修改第 I 卷的文字說明評卷人得分、選擇題（題型注釋）第I 卷（選擇題）1設(shè)復(fù)數(shù) z1， z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1 2 i，則 z1z2 （A.- 5 B.5 C.- 4+ iD.- 4 - i2設(shè)向量 a,b 滿足 |a+b|= 10 ， |a-b|= 6 ，則 a b = ( )A.1 B.2 C.3 D.53鈍角三角形 ABC的面積

2、是 12 ， AB=1，BC= 2 ，則 AC=( )A.5 B. 5 C.2 D.14某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75 ，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6 ，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ）A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.455如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示 1cm） , 圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為 3cm，高為 6cm 的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比 值為（ ）A. 17B. 5 C. 10D. 127 9 27 37設(shè)曲線 y=ax-ln（x+1）

3、 在點 （0,0） 處的切線方程為 y=2x， A.0 B.1 C.28設(shè) F 為拋物線OAB的面積為（A. 343B.D.3C: y2 3x的焦點，過 F 且傾斜角為 30°938C. 3623D.則 a= （ ）的直線交 C于 A,B 兩點， O為坐標原點，則9直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， BCA=90°，M，）N分別是 A1B1，A1C1 的中點， BC=CA=C1C，則 BM與 AN所成的角的余弦值為（A.10 B. 5C.10設(shè)函數(shù) f x 3sin xm. 若存在是（ ）A. , 6 6,B.C. , 2 2,D.3010D.f x 的極值點, 4 4,

4、 1 1,x0 滿足 x02 f x0m2 ，則 m的取值范圍第 II 卷（非選擇題）請點擊修改第 II 卷的文字說明年份代號 t1234567人均純收入 y2.93.33.64.44.85.25.9評卷人得分1011 x a 的展開式中，填空題（題型注釋）x7 的系數(shù)為 15，則 a=用數(shù)字填寫答案 ）12 函數(shù) f x sin x 2 2sin cos x 的最大值為 13已知偶函 數(shù) f x 在 0, 單調(diào)遞減，14設(shè)點 M（ x0,1 ），若在圓評卷人得分三、解答題（題型注釋）f 2 0.若 f x 1 0，則 x的取值范圍是O: x2 y2 1上存在點 N，使得 OMN=4°

5、;5 ，則 x0 的取值范圍是15已知數(shù)列 an 滿足 a1=1， an 1 3an 1.（1）證明 an 12 是等比數(shù)列，并求 an 的通項公式； （2）證明： 1 1 + 1 3 .a1 a2an 216如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為矩形， PA平面 ABCD，E 為 PD的中點 . （1）證明： PB平面 AEC；年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份2007200820092010201120122013（ 1）求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程；（ 2）利用（ 1）中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家

6、庭人均純收入的變化情況， 并預(yù)測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入 .附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：nti t yi yb i 1 n ， a? y b?t2ti ti118設(shè) F1, F2 分別是橢圓x2 y2 a2 b21 a b 0 的左右焦點，M是 C 上一點且 MF2 與 x 軸垂直，直線 MF1 與 C的另一個交點為 N.（1）若直線 MN的斜率為 3 ，求 C的離心率；4（ 2）若直線 MN在 y 軸上的截距為 2，且 MN 5 F1N ，求 a,b.19已知函數(shù) f x =ex e x 2x.（ 1）討論 f x 的單調(diào)性；（2）設(shè) g x f 2

7、x 4bf x ，當(dāng) x 0時， g x 0, 求b的最大值；（ 3）已知 1.4142 2 1.4143，估計 ln2 的近似值（精確到 0.001 ）20如圖， P是 e O外一點， PA是切線， A為切點，割線 PBC與 e O相交于點 B，C，PC=2PA，D為 PC 的中點， AD的延長線交 e O于點 E。（2） AD DE=2PB221在直角坐標系 xoy 中，以坐標原點為極點， x 軸為極軸建立極坐標系，半圓 C 的極坐標方程為2cos ，0,2 .（1）求 C 的參數(shù)方程；1）中你得到的參數(shù)方程，（2）設(shè)點 D在 C上，C在 D處的切線與直線 l:y 3x 2垂直，根據(jù)（ 確

8、定 D的坐標 .22設(shè)函數(shù) f x = x 1 x a （a 0）a（ 1）證明： f x 2；（2）若 f 3 5，求 a 的取值范圍 .參考答案1A【解析】由題意知： z22 i ，所以 z1z2 -5 ，故選 A。考點：本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法，復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)是高考的重點，年年必考，常常 以選擇或填空題的形式出現(xiàn)，難度不大，熟練基礎(chǔ)知識是關(guān)鍵。2Arur 2rr2r 2r 2r rrur 2rr2【解 析】 因 為|ab|(ab)2ab2a b=10，|ab|(ab)2r2r2r rr 2r2r rab2a b6 ，兩式相加得：ab8 ，所以 a b1，故選A.考點： 本小題主要考

9、查平面向量的模、 平面向量的數(shù)量積等平面向量知識， 熟練基礎(chǔ)知識與 基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵。3B1 12【解析】由面積公式得： 2sinB ，解得 sinB ，所以 B 45o或B 135o，2 22當(dāng) B 45o 時，由余弦定理得： AC2 1 2 2 2 cos45o =1，所以 AC 1，又因為 AB=1，BC= 2 ，所以此時 ABC 為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以 B 135o ，由余弦定理得：AC2 1 2 2 2 cos135o =5，所以 AC 5 ，故選 B. 考點：本小題主要考查余弦定理及三角形的面積公式，考查解三角形的基礎(chǔ)知識 4A，則【解析】設(shè) A=“某

10、一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”， B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”P(B| A)P(A B)P(A)0.60.750.8，故選 A.考點：本小題主要考查條件概率的求法，熟練概率的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵5C【解析】因為加工前的零件半徑為3，高為 6，所以體積 V1 54 ，又因為加工后的零件，左半部為小圓柱，半徑為 2 ，高 4 ，右半部為大圓柱，半徑為3 ，高為 2 ，所以體積54 34 10V2 16 18 34 ，所以削掉部分的體積與原體積之比為 ，故選 C.54 27 考點：本小題主要考查立體幾何中的三視圖，考查同學(xué)們的空間想象能力 .6D【解析】 由題意知：當(dāng) k 1時，M 2，S 5

11、；當(dāng) k 2時，M 2，S 7；當(dāng) k 3時， 輸出 S=7，故選 D?？键c：本小題主要考查程序框圖的基礎(chǔ)知識，程序框圖是新課標新增內(nèi)容，是高考的重點， 年年必考，主要以客觀題的形式出現(xiàn)，經(jīng)常也數(shù)列、不等式、函數(shù)等知識相結(jié)合，在知識的交匯處出題，應(yīng)熟練這部分的基礎(chǔ)知識7B解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域, 可知區(qū)域為三角形，平移直線 z 2x y，可知當(dāng)經(jīng)過兩條直線x 3y 1 0與 x y 7 0的交點 A(5， 2)時，取得最大值 8，故選 B.考點： 本小題主要考查在約束條件下的簡單的目標函數(shù)的最值問題，正確畫圖與平移直線是解答這類問題的關(guān)鍵 .8D【解析】由題意可知：直線 AB 的方程

12、為 y 3(x 3) ，代入拋物線的方程可得：344y 12 3y 9 0 ， 設(shè) A (x1,y1)B (x2, y2) ， 則 所 求 三 角 形 的 面 積 為1 39(y1 y2) 4y1y2 = ，故選 D.2 44考點： 本小題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系， 考查兩點間距離公式等基礎(chǔ)知識， 考查同 學(xué)們分析問題與解決問題的能力 .9C解析】以 C 為原點，直線 CA為 x 軸，直線CB為 y 軸，直線 CC1為 z 軸，則設(shè)CA=CB=，1B(0,1,0) ，M ( 1 , 1 ,1) ，A( 1，0，0)，N ( )11,02 2 234 301 1 1，故 BM (12, 2

13、1,1)，AN ( 12,0,1) ，AN1122所以 cos BM,AN|BM | | AN | 6 522 考點： 本小題主要考查利用空間向量求線線角， 考查空間向量的基本運算， 考查空間想象能 力等數(shù)學(xué)基本能力，考查分析問題與解決問題的能力 .10C10 ，故選 C.解 析】 由題 意知： f x 的極值 為 3 ，所 以 f x0 2 3 ， 因 為f ' (x0 )3 c ox0s， 0mm所以x0k,k z，所以x0 k 1,k z即| x0 | |k 1| 12，所以 |x0 | |m|，m2m 2 m 222即2 x0f(x0)22 m3，而4已知x02 f x0m2

14、，所以 m2m243m23，故43，解得m2或 m 2，故選C.考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究的極值，考查三角函數(shù)，考查一元二次不等式的解法，考查分析問題與解決問題的能力 11解析】 因為 Tr 1 C10x a ，所以令 10 r 7，解得 r 3，所以 T4 C10x a =15x ，1解得 a .2 考點：本小題主要考查二項式定理的通項公式，求特定項的系數(shù)，題目難度不大，屬于中低 檔.121【 解 析 】 由 題 意 知 ： f x sin x 2 2sin cos x = sin x 2sin cos x= sin cos x cos sin x 2sin cos x = cos s

15、in x sin cos x=sin x=sinx ，即 f (x) sin x ，因為 x R，所以 f (x) 的最大值為 1.考點： 本小題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)、 三角函數(shù)的最值的求解， 熟練公式是解答好 本類題目的關(guān)鍵 .13 ( 1,3)解析】因為 f (x)是偶函數(shù)，所以不等式 f(x 1) 0 f(|x 1|) f(2) ，又因為 f(x)在 0, ) 上單調(diào)遞減，所以 |x 1| 2 ，解得 1 x 3.考點： 本小題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性， 考查絕對值不等式的解法， 熟練基礎(chǔ)知 識是關(guān)鍵 .14 1,1【解析】由題意知：直線 MN與圓 O 有公共點即可，即圓

16、心 O到直線 MN的距離小于等于 1即可，如圖，過 OA MN， 垂 足 為A，在 Rt OMA中，因為 OMN=45，所以 |OA| |OM |sin 4o5=22 |OM | 1，解得 |OM | 2，因為點 M（ x0,1 ），所以|OM | x02 12，解得 1 x0 1，故x0的取值范圍是 1,1.考點： 本小題主要考查考查直線與圓的位置關(guān)系， 考查數(shù)形結(jié)合能力和邏輯思維能力， 考查 同學(xué)們分析問題和解決問題的能力，有一定的區(qū)分度 .n3n 115 an2解析】試題分析：本題第（ 1）問，證明等比數(shù)列，可利用等比數(shù)列的定義來證明，之后利用等比數(shù)列，求出其通項公式；對第（12）問，可

17、先由第（ 1）問求出 1 ，然后轉(zhuǎn)化為等 an比數(shù)列求和，放縮法證明不等式試題解析： （ 1）證明：由 an 1 3an111 得 an 13(an ) ，所以22an 1 12an 23，所以an 1 是等比數(shù)列，首項為n21 3 ，公比為223，所以 an3 n 13n 1 ，解得2ann3n122）由（ 1）知：n3n1an2，所以1 2 ， n， an 3 1因為當(dāng)n1時n， 3n 12 n311， 所 以 3n1 11n12 3n 1是 1 1 La1 a2an11L33n11=3(1 1n )=23n1113所以 11L13 .a1a2an2易錯點】對第（ 1）問，構(gòu)造數(shù)列證明等比

18、數(shù)列不熟練；對第（2）問，想不到當(dāng) n 1時，3n 1 2 3n 1 ，而找不到思路，容易想到用數(shù)學(xué)歸納法證明而走彎路.考點：本小題考查等比數(shù)列的定義、 數(shù)列通項公式的求解、 數(shù)列中不等式的證明等基礎(chǔ)知識， 考查同學(xué)們的邏輯推理能力， 考查分析問題與解決問題的能力 . 數(shù)列是高考的熱點問題之一，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解決好該類問題的關(guān)鍵 16【解析】試題分析：本題第（ 1）問，證明直線與平面平行，可利用線面平行的判定定理來 證明；對第（ 2）問，可先建立空間直角坐標系，由空間向量的坐標運算計算二面角，從而 計算出 AB，然后由棱錐的體積公式求出三棱錐的體積.試題解析：（ 1）證明：設(shè) O為AC與

19、 BD交點，連結(jié) OE，則由矩形 ABCD知： O為 BD的中點， 因為 E是BD的中點，所以 OEPB，因為 OE 面 AEC，PB 面 AEC，所以 PB平面 AEC。 （ 2）以 A為原點，直線 AB、AD、 AP分別為 x、y、 z 軸建立空間直角坐標系，設(shè) AB=m，則 uurrAB （m,0,0） 是平面 AED的一個法向量，設(shè) n （x, y,z） 是平面 AEC的法向量，則r uur3 1n AE y z 0 22r uurun AC mx 3y 0因為二面角的大小與其兩個半平面的兩個法向量的夾角相等哉互補，所以r uuur cos n,AB33 4m2=cos 60o ，解得

20、 m 3，因為 E是 PD的2中 點 ， 所 以 三 棱 錐 E-ACD 的 高 為 1 ， 所 以 三 棱 錐 E-ACD2的體積為 1 SACD6 2 6 2 2 8解 得 z 3y ， 3y mx ， 所 以 令 y 1 ， 得【易錯點】對第（ 1）問，證明線面平行時 , 容易漏掉條件；對第（ 2）問，二面角的大小與 兩個法向量夾角相等或互補的關(guān)系， 一部分同學(xué)容易得出它們相等； 并且計算法向量可能出 現(xiàn)錯誤 .考點： 本小題考查空間中直線與平面平行等位置關(guān)系的證明、二面角的求解， 空間幾何體的體積的求法， 考查利用空間向量知識解決立體幾何的能力， 考查同學(xué)們的邏輯推理能力、 空 間想象

21、能力，考查分析問題以及解決問題的能力 .17（1） $y 0.5t 2.3；（2）在 2007至2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加 0.5千元；6.8千 元 .【解析】試題分析：本題第（1）問，由給出的 $b與$a公式求出 $b 與$a ，從而求出回歸直線方程；對第（ 2）問，由第（ 1）問求出的回歸直線方程進行預(yù)測，令t 9，可得 y 的近似值.試題解析：(1)由題意知， t4，y4.3，所以$b 3 1.4 2 0.7 0 0.5 1.8 3 1.69 4 1 0 1 4 90.5，（ 2）由（ 1）中的線性回歸方程可知， 人均純收入在逐年增加，平均每年增加所

22、以 a$= y b$t =4.3 0.5 4 2.3，所以線性回歸方程為 $y 0.5t 2.3。b 0，所以在 2007至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭令 t 9 得：$y 0.5 9 2.3 6.8，故預(yù)測該地區(qū)在 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入為0.5千元.6.8千 元。2）問在 2007 至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居屬中檔題目， 考查同學(xué)們分析問題【易錯點】本題的易錯點是第（ 1）問計算錯誤，第（ 民家庭人均純收入的變化情況，不知道如何回答 . 考點： 本小題主要考查線性回歸方程的解法等基礎(chǔ)知識， 與解決問題的能力 .18（1） 12；（2）a 7，b 2 7.解析】試題分析：本

23、題第（ 1）問，可結(jié)合 MF2 與 x 軸垂直，由勾股定理及橢圓定義求出橢圓的離心率；對第（ 2）問，觀察到 MF2 是三角形的中位線，然后結(jié)合向量的坐標運算及 橢圓方程，可求出a,b.試題解析：（1）由題意知， | MF2 | 3 ，所以 | MF2 | 3c ，由勾股定理可得： | MF1 | 5 c ，2c4223 51由橢圓定義可得：3c5c=2a，解得 C 的離心率為 1 。222（2）由題意，原點 O為F1F2的中點， MF2y軸，所以直線 MF1與 y軸的交點 D（ 0， 2）是線段 MF1的中點，故 b 4 ，即 b2 4a，由 MN 5 F1N得|DF1| 2|F1N |，設(shè)

24、 aN（x1,y1） ，由題意知 y1 0，則2( c x1) c2y1 2，即3x1c1 2 ，代入 C 的方程得y119c214a22 1，將 b2 4a 及 ca2 b2b222代入 49ac22 b12 1得： 9(a42a24a) 41a 1，解得 a 7，b 2 7.【易錯點】對第（ 1）問，較容易，大部分同學(xué)都能計算出；對第（2）問, 一部分同學(xué)考慮不到中位線，容易聯(lián)立方程組求解而走彎路，并且容易出現(xiàn)計算失誤 .考點： 本小題考查橢圓的幾何意義 (離心率的求解) 、橢圓的方程、 直線與橢圓的位置關(guān)系， 考查數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法、設(shè)而不求思想 ，考查同學(xué)們的計算能力以及分析問題、解決

25、問 題的能力 .圓錐曲線是高考的熱點問題 ,年年必考 ,熟練本部分的基礎(chǔ)知識是解答好本類問題 的關(guān)鍵 .19(1)函數(shù) f(x)在 R上是增函數(shù)； (2)2；(3) 0.693【解析】試題分析：本題第( 1)問，判斷函數(shù)的單調(diào)，關(guān)鍵是判斷導(dǎo)數(shù)的正數(shù)；對第(2)問，可構(gòu)造函數(shù) g(x) f(2x) 4bf (x)，對( 3)問，可根據(jù) b的取值討論 .' x 1試題解析：(1)因為 f '(x) ex x 2 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) x 0時等號成立， 所以函數(shù) f(x) 在 exR上是增函數(shù)；(2)因為 g(x) f(2x) 4bf (x) =e2x e 2x 4b(ex ex) (8

26、b 4)x，所以 g'(x) 2e2x e2x 2b(ex e x) (4b 2) = 2(ex e x 2)(ex ex 2b 2).(1) 當(dāng)b 2時, g'(x) 0,等號僅當(dāng) x 0時成立，所以 g(x)在R上單調(diào)遞增，而g(0) 0， 所以對任意 x 0， g(x) 0 ；2)當(dāng) b 2 時，若 x 滿足 2 ex e x 2b 2，即 0 x ln(b 1 b2 2b )時， g'(x) 0，而 g(0) 0 ，因此當(dāng) 0 x ln(b 1 b2 2b)時， g(x) 0 ， 綜上， b 的最大值為 2.3(3)由( 2)知， g(ln 2) 2 2b 2(

27、2b 1)ln 2 ，2當(dāng) b 2 時， g(ln 2) 3 4 2 6ln 2 0 ， ln 2 8 2 3 0.6928 ；2 12當(dāng)b 3 2 1時， ln(b 1 b2 2b) ln 2， g(ln 2) 3 2 2 (3 2 2)ln 2 420，18 2ln 2 0.6934 ，所以 ln 2的近似值為 0.693.28【易錯點】對第 ( )問,函數(shù)單調(diào)性的判斷，容易 ;對第( 2)問,考慮不到針對 b去討論；對 第( 3)問 , 找不到思路 .考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，綜合性較強，考查 函數(shù)與方程、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，考查同學(xué)們分析問題、

28、解決問題的能力，熟練函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識以及基本題型是解答好本類題目的關(guān)鍵 . 20（1）見解析（ 2）見解析【解析】試題分析：本題第（ 1）問，先由已知得出 PA=PD，然后由對應(yīng)角相等，拆分角得 出結(jié)論；對第（ 2）問，可由切割線定理得出 PA 2PB， PC 4PB， 然后由相交弦定理，得出結(jié)論 .試 題 解 析 ：（ 1 ） 連 結(jié) AB， AC， 由 題 意 知 PA=PD， 故 P A DP D ，A 因 為P D A D A CD ，CPAD BAD PAB， DCA PAB ，所以 DACBAD，從而 BE EC ，因此 BE=EC.（2）由切割線定理得： PA2 PB PC ，因為 PC 2PA，所以 PA 2PB，PC 4PB ，11 由相交弦定理得： AD DE BD DC=（PD PB） PD =（ PC PB） PC22=（2PB PB） 2PB 2PB2 ，所以等式成立 .【易錯點】對第（ 1）問，不容易找到思路 ; 第（ 2）問中不會靈活應(yīng)用已知條件而出錯 . 考點：本小題主要考查圓的切線、割線、相交弦定理、圓內(nèi)接四邊形等平面幾何知識，考查 數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題、解決問題的能力 .x 1 cos3 321（1）,（