一元線性回歸

1、一元線性回歸模型及其在經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用中文摘要：本文回顧了描述變量相關(guān)關(guān)系和回歸分析方面的基本知識(shí)，系統(tǒng)闡述了一元線性回歸模型的基本原理，并將其應(yīng)用于濮陽(yáng)市國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)中，取得了較好的效果。英文摘要：Thispaperreviewstherelationshipbetweenvariablesanddescribethebasicknowledgeofregressionanalysis,thesystemdescribesalinearregressionmodelofthebasicprinciples,andappliedtoforecastgrossdomesticproduct,

2、PuyangCity,andachievedgoodeffect.引言：隨著科技的迅速發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅在它的傳統(tǒng)領(lǐng)域一一經(jīng)濟(jì)建設(shè)、工程技術(shù)等方面發(fā)揮著越來越重要的作用，而且不斷向一些新的領(lǐng)域滲透，形成了許多交叉科學(xué)，如計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口控制論、生物數(shù)學(xué)等。數(shù)學(xué)模型成為人們認(rèn)識(shí)和研究這些學(xué)科的一種重要的工具，如何利用所學(xué)知識(shí)，建立與實(shí)際生活背景更貼切的數(shù)學(xué)模型來解決我們經(jīng)濟(jì)生活中存在的問題是擺在人們面前的重要課題！本文回顧了描述變量相關(guān)關(guān)系和回歸分析方面的基本知識(shí)，系統(tǒng)闡述了一元線性回歸模型的基本原理，并將其應(yīng)用于實(shí)際生活中。相關(guān)關(guān)系基本知識(shí)回顧：在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，經(jīng)常會(huì)遇到一些相互關(guān)聯(lián)

3、、相互制約的變量，它們之間客觀上存在著一定的關(guān)系，為了揭示其內(nèi)在聯(lián)系，往往需要確定這些變量的關(guān)系程度。變量之間的關(guān)系大致可分為兩類，一類是確定性的關(guān)系，變量之間按照確定的函數(shù)關(guān)系發(fā)生關(guān)聯(lián)，也稱函數(shù)關(guān)系，如物理學(xué)中速度與加速度之間的關(guān)系；另一類是不確定性的關(guān)系，這種關(guān)系無(wú)法用一個(gè)數(shù)學(xué)公式來精確描述。當(dāng)一個(gè)變量（稱因變量或可控變量）的取值確定后，若另一個(gè)變量（稱因變量或依變量）的取值雖無(wú)確定值，但以一確定的條件概率分布與之對(duì)應(yīng)，這種變量間的不確定性關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系，如人的血壓與年齡，身高與體重之間的關(guān)系，存在相關(guān)關(guān)系的變量稱為相關(guān)變量。統(tǒng)計(jì)學(xué)中研究相關(guān)關(guān)系的理論模型有相關(guān)模型和回歸模型兩種；相關(guān)模

4、型指的是變量間具有平行變化關(guān)系，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析方法稱為相關(guān)分析，研究的是多個(gè)變量在數(shù)量關(guān)系上的密切程度和性質(zhì)；回歸模型指的是變量間具有因果變化關(guān)系，相關(guān)的統(tǒng)計(jì)分析方法稱為回歸分析，研究的是一個(gè)隨機(jī)變量與一個(gè)或多個(gè)可控變量之間的變化關(guān)系。相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提，回歸分析則是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。相關(guān)分析需要依靠回歸分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量相關(guān)的具體形式，而回歸分析則需要依靠相關(guān)分析來表現(xiàn)變量之間數(shù)量變化的相關(guān)程度；相關(guān)分析研究變量之間相關(guān)的方向和程度，不能推斷變量之間相互關(guān)系的具體形式，也無(wú)法從一個(gè)變量的變化來推測(cè)另一個(gè)變量的變化情況；回歸分析可以推斷變量之間相互關(guān)系的具體形式，能夠從一個(gè)

5、變量的變化來推測(cè)另一個(gè)變量的變化情況?；貧w分析基本知識(shí)回顧:1.回歸分析的定義在研究某一社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展變化規(guī)律時(shí)，所研究的現(xiàn)象或?qū)ο蠓Q為被解釋變量，它是分析的對(duì)象；把引起這一現(xiàn)象變化的因素稱為解釋變量，它是引起這一現(xiàn)象變化的原因，被解釋變量反映了解釋變量變化的結(jié)果?；貧w分析是研究某一被解釋變量(因變量)與另一個(gè)或多個(gè)解釋變量(自變量)間的依存關(guān)系，其目的在于根據(jù)已知的解釋變量值或固定的解釋變量值(重復(fù)抽樣)來估計(jì)和預(yù)測(cè)被解釋變量的總體平均值。2 .回歸模型的分類(1)按模型中自變量的多少，分為一元回歸模型和多元回歸模型；(2)按模型中參數(shù)與被解釋變量之間是否線性，分為線性回歸模型和非線性回

6、歸模型；(3)按模型中方程數(shù)目的多少，分為單一方程模型和聯(lián)立方程模型；3.回歸分析的步驟(1)數(shù)據(jù)的收集與選取；(2)回歸模型參數(shù)的估計(jì)、模型的確定檢驗(yàn)與修正；(3)回歸模型應(yīng)用與推廣。4.回歸分析的任務(wù)找出相關(guān)變量間的回歸方程，并利用其進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。(1)依據(jù)一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，判斷變量間是否存在相關(guān)關(guān)系，若有則建立相關(guān)變量間的數(shù)學(xué)關(guān)系式(回歸方程)，并對(duì)所獲得的回歸方程的可信度作統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；(2)判斷各變標(biāo)考核變量(隨機(jī)變量)影響的顯著性，并做出統(tǒng)計(jì)選擇；(3)利用最終獲得的回歸方程對(duì)生產(chǎn)和試驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制。回歸分析是一種傳統(tǒng)意義上的應(yīng)用性較強(qiáng)的科學(xué)方法之一，在各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，它不

7、僅可以提取大量數(shù)據(jù)中的重要信息，掌握這些數(shù)據(jù)的特點(diǎn)及規(guī)律，進(jìn)而得出變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，對(duì)這些關(guān)系進(jìn)行分析；還可以利用這些關(guān)系式，有一些變量去預(yù)測(cè)和控制另一個(gè)因變量的取值，進(jìn)而知道這種預(yù)測(cè)和控制所到達(dá)的程度，并分析得出結(jié)論。一元線性回歸模型的基本原理1.一元線性關(guān)系的判斷一元線性回歸模型的使用條件是兩個(gè)變量之間存在線性關(guān)系，通過相關(guān)系數(shù)的來判定兩個(gè)變量之間存在線性相關(guān)。ninn、XiYi-、X：V_izini-ii-innnnCX2-Xi)2,Yi2-CYi)2，i丑ni,iiny占1,卜越大，線性相關(guān)越密切；當(dāng)0.5ErM1為線性相關(guān)，可以用一元線性回歸分析預(yù)測(cè)。2 .模型的建立設(shè)隨機(jī)

8、變量y與變量x之間存在著直線相關(guān)關(guān)系，(X，y)可用模型表示為：yi=P0+限+露(i=1,2,.,n),P。與Pi為未知參數(shù)，%(i=1,2,.n)相互獨(dú)立且服從N(0,I)的正態(tài)分布，求得瓦與良的估計(jì)值bo和，對(duì)于x,E(y)的估計(jì)值bo+b,記為y則方程=b十x稱為y對(duì)x的一元線性回歸模型。3,模型回歸效果的顯著性檢驗(yàn)對(duì)于一元線性回歸模型來說，我們常用的檢驗(yàn)方法有以下幾種:t檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)、擬合優(yōu)度利用最小二乘法估計(jì)參數(shù)：若能使回歸直線y=b0+bix盡可能地靠近散點(diǎn)(xyi),即應(yīng)使總的離回歸平方和:.2一，.2Q(b0,b1)=(yi-丫。=(yi-b0-bixi

9、)達(dá)到最小，欲使二元函數(shù)Q(bo,H)最小,：QF值）=p值總和n-1SST2、F檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量定義從方差分析的角度進(jìn)行的回歸模型整體性檢驗(yàn)所采用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是F統(tǒng)計(jì)量。 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F反映平均回歸平方和與平均剩余平方和的比較。SSRFLSSEn-2且F服從自由度為1和n-2的F分布。即：F干（1,n-2）可以推導(dǎo)，F(xiàn)與可決系數(shù)r2有以下關(guān)系2rF=-2（n-2）1-r利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是F可以對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，即F檢驗(yàn)。3、F檢驗(yàn)的步驟1提出假設(shè)原假設(shè)H0：Pi=0備擇假設(shè)Hi:：i-02給定顯著性水平a,查F分l布表獲得臨界值Fa(1,n-2),例如： 在顯著性水平3=0.05,n-2=8時(shí)

10、，查F分布表,可以得至U：F0.05(1,8)=5.323據(jù)由下式可以利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值4進(jìn)行比較，做出判斷若FFa(1,n-2),差異顯著，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè);若Fx,記為； ， 則方程y=b0+13迷稱為y對(duì)x的一元線性回歸模型。利用最小二乘法估計(jì)參數(shù)：若能使回歸直線y=b0+x盡可能地靠近散點(diǎn)(x-yj,即應(yīng)使總的離回歸平方和：nnQM,)=(yi-yi)2=Z(yi-b-bixj2達(dá)至最小值。ii4若要函數(shù)Q(b0,bi)值達(dá)到最小， 那么則要函數(shù)Q(b0,bi)分別對(duì)a,b所求的一階偏導(dǎo)數(shù)均為零，也即是：工Q,2=一2乙(yibobixi)=0cbo日Q二一2乙(

11、yi-bo-bixi)xi=0cbiid對(duì)上式進(jìn)行整理可得:bo=51.。7bL=2.65有了一元線性回歸方程，我們將今后每年的固定資產(chǎn)投資額帶入回歸預(yù)測(cè)模型中，便可以預(yù)測(cè)今后每年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值。設(shè)：濮陽(yáng)市2。5念得固定資產(chǎn)投資額為5oo百萬(wàn)元，則國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的預(yù)測(cè)值為:nboXi=Vi二i三.)nnnboxi-bi=x2=，XYiJiA,i_1i_1其解bo,bi稱為Bo與Bi的最小二乘估計(jì)，從中求解出bo,bi：、Yi、X1ibo二一一-bi一一nnbi=nnnnyXYi-XiqYii-Li三i三2:2n%XiIXiTTn其中n=i07Xj=i482i提出假設(shè)原假設(shè)H。：年0備擇假設(shè)H1：

12、Z=02給定顯著性水平a,查F分l布表獲得臨界值Fa(1,n-2),例如：在顯著性水平a=0.05,n-2=8時(shí)，查F分布表，可以得至口：F0.05(1,8)=5.323據(jù)由下式可以利用樣本數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的值SSR1_一SSEn-2=533.9244進(jìn)行比較，做出判斷若FAFM1,n-2),差異顯著，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè);若FFM1,n-2),差異顯著，拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)；2、下面我們也可以采用SPSS軟件來處理這個(gè)問題，結(jié)果如下:模型綜合分析表n2|yi-yiW.J二!yi-yiiw.-4bModelSummaryModelRRSquareAdjustedRSquareStd

13、.ErroroftheEstimateChangeStatisticsDurbin-WatsonRSquareChangeFChangedf1df2Sig.FChange1.993a.985.98330.85068.985533.92418.0002.350a.Predictors:(Constant),固定資產(chǎn)投資b.DependentVariable:國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值由模型綜合分析表可得出F值為533.924,SIG=0.000小于P=0.05,結(jié)合方差分析表，可知,回歸效果顯著。SiaFChanaeSig.FChange.000方差分析表ANOVAbModelSumofSquaresdfMe

14、anSquareFSig.1Regression508169.4871508169.487533.924.000aResidual7614.1138951.764Total515783.6009a.Predictors:(Constant),固定資產(chǎn)投資b.DependentVariable:國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值F=533.924這個(gè)F值比較大，sig=0.000小于P=0.05由上可知：F=533.924F00(51,8m5.320.05FFa(1,n-2),因此差異顯著。結(jié)束語(yǔ)論文回顧了描述變量相關(guān)關(guān)系和回歸分析方面的基本知識(shí)，系統(tǒng)闡述了一元線性回歸模型的基本原理，并將其應(yīng)用于濮陽(yáng)市國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值預(yù)測(cè)中，結(jié)果表明所建模型可行、有效