線性相關(guān)性學(xué)習(xí)教案

1、線性相關(guān)性線性相關(guān)性第一頁，共42頁。一、線性組合一、線性組合注：注：1) 若若 ，也稱向量，也稱向量 與與 成比例成比例.k 2）零向量）零向量(xingling)0可由任一向量可由任一向量(xingling)組的線性表出組的線性表出. .,21221121線性組合的一個，稱為向量組則向量使中的數(shù)若有數(shù)域定義sssskkkkkkP第1頁/共42頁第二頁，共42頁。3）一向量）一向量(xingling)組中每一向量組中每一向量(xingling)都可由都可由該向量該向量(xingling)組線性表出組線性表出. 12(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)n4）任一任一 維向量維向量 都

2、是向量組都是向量組12(,)na aa n也稱為也稱為 n 維單位向量組維單位向量組 12,n 的一個的一個(y )(y )線性組合線性組合1 122.nnaaa事實上，有對任意皆有事實上，有對任意皆有12(,),na aa 第2頁/共42頁第三頁，共42頁。若能，寫出它的一個若能，寫出它的一個(y )線性組合線性組合123(1,2, 3,1),(5, 5,12,11),(1, 3,6,3)解解：設(shè)：設(shè) ，即有方程組，即有方程組 112233kkk123123123123522531312631134kkkkkkkkkkkk （1）例例1 判斷向量能否由向量組線性表出判斷向量能否由向量組線性表

3、出. 123, (2, 1,3,4) 第3頁/共42頁第四頁，共42頁。對方程組對方程組(1)的增廣矩陣作初等的增廣矩陣作初等(chdng)行變換化階行變換化階梯陣梯陣所以所以(suy)(suy)方程組方程組(1)(1)有解它的一般解為有解它的一般解為 213311331 00 10 0000 000kkk126311134A 1 5 1 20 3 1 10 0 0 00 0 0 031,k 令令從而從而(cng (cng r)r)有有得得(1)的一個解的一個解 ，(1,0,1)第4頁/共42頁第五頁，共42頁。的向量式，故：的向量式，故：這

4、正是線性方程組這正是線性方程組是否有解，是否有解，相當于判斷向量方程相當于判斷向量方程 Axxxxss2211.有有解解方方程程組組線線性性表表出出，可可以以由由向向量量組組 Axs21.,）（，這這里里設(shè)設(shè)的的解解是是，而而若若snsssTsARkkkAxkkk 2121221121問問題題的的，線線性性表表示示向向量量，用用給給定定向向量量組組 s21第5頁/共42頁第六頁，共42頁。1、定義、定義(dngy)二、向量二、向量(xingling)組的等價組的等價向量向量(xingling)(xingling)組等價組等價. . 若向量組若向量組 中每一個向量中每一個向量 12,s (1,2

5、, )iis 若兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個若兩個向量組可以互相線性表出，則稱這兩個可以經(jīng)向量組可以經(jīng)向量組 線性表出線性表出； 12,t 12,s 皆可經(jīng)向量組皆可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則稱向量組線性表出，則稱向量組第6頁/共42頁第七頁，共42頁。向量向量(xingling)組之間的等價關(guān)系具有：組之間的等價關(guān)系具有：1) 反身(fn shn)性2) 對稱性對稱性 3) 傳遞性傳遞性2、性質(zhì)、性質(zhì)(xngzh)第7頁/共42頁第八頁，共42頁。三、線性相關(guān)三、線性相關(guān) 1、線性相關(guān)線性相關(guān) 注：特殊注：特殊(tsh)(tsh)情形情形 2）任意一個）任意一個(y )含零向

6、量的向量組必線性含零向量的向量組必線性相關(guān)相關(guān). 定義定義11：若向量組若向量組 中有一向量中有一向量12,(2)ss 稱為稱為(chn wi)線性相關(guān)的線性相關(guān)的.可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組可經(jīng)其余向量線性表出，則向量組12,s 1）向量組）向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) 成比例成比例. 12, 12, 第8頁/共42頁第九頁，共42頁。定義定義11：向量組向量組 稱為線性相關(guān)稱為線性相關(guān)12,(1)ss 如果存在如果存在 P 上上不全為零的數(shù)不全為零的數(shù) 12,sk kk11220.sskkk使使在在 時，時，定義定義11與與定義定義1 11是等價的是等價的. . 2s 注注：第9頁/共42

7、頁第十頁，共42頁。定義定義1 12：若向量組若向量組 不線性相關(guān)，則稱不線性相關(guān)，則稱12,s 若不存在若不存在 P 中不中不全為零的數(shù)全為零的數(shù) ，使使12,sk kkP 11220sskkk向量組向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 2、線性無關(guān)、線性無關(guān)(wgun) 即即則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 第10頁/共42頁第十一頁，共42頁。11220sskkk必有必有120,skkk換句話說，換句話說，對于一個向量組對于一個向量組12,s 若由若由則稱向量組則稱向量組 為為線性無關(guān)的線性無關(guān)的.12,s 第11頁/共42頁第十二頁，共42頁。1）單獨一個

8、）單獨一個(y )向量線性相關(guān)當且僅當它是零向量線性相關(guān)當且僅當它是零向量；向量；3）一向量組線性相關(guān)的充要條件是其中）一向量組線性相關(guān)的充要條件是其中(qzhng)至少有一至少有一單獨一個單獨一個(y )向量線性無關(guān)當且僅當它是非零向量向量線性無關(guān)當且僅當它是非零向量.個向量可由其余向量線性表出個向量可由其余向量線性表出. 3、線性相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì)、線性相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì) 2）一個向量組中若有一向量為零向量，則該向量）一個向量組中若有一向量為零向量，則該向量組一定線性相關(guān)組一定線性相關(guān).第12頁/共42頁第十三頁，共42頁。5）如果向量組）如果向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)，而向量組而向量組12,s

9、 線性相關(guān)，則線性相關(guān)，則 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,s 線性表出線性表出.( (習(xí)題習(xí)題3)3) 12,s 都線性無關(guān)都線性無關(guān)(wgun).4）一個）一個(y )向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個向向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)；量組也線性相關(guān)；一個一個(y )向量組若線性無關(guān)，則它的任何一個向量組若線性無關(guān)，則它的任何一個(y )部分組部分組第13頁/共42頁第十四頁，共42頁。線性無關(guān)線性無關(guān)(wgun)的充要條件是齊次線性方程組的充要條件是齊次線性方程組只有只有(zhyu)(zhyu)零解；零解； 線性相關(guān)線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組的充要條件是齊次線性方

10、程組(2)有非零解有非零解.6）向量組）向量組 12(,),iiiinaaa 1,2,is （2） 111212112122221122000ssssnnsnsa xa xa xa xa xa xa xaxa x 向量組向量組12(,),1,2, ,iiiinaaais 第14頁/共42頁第十五頁，共42頁。特別地，對于特別地，對于(duy)n (duy)n 個個 n n 維向量維向量12(,),1,2,iiiinaaain 1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式1112121222120nnnnnnaaaaaaaaa 行列式行列式線性無關(guān)線性無關(guān).12,n 線

11、性相關(guān)；線性相關(guān)；12,n 第15頁/共42頁第十六頁，共42頁。的縮短的縮短(sudun)(sudun)組組. .7）若向量組）若向量組 12(,),1,2,iiiinaaais 線性無關(guān)線性無關(guān)(wgun)(wgun)，則向量組，則向量組 也線性無關(guān)也線性無關(guān)(wgun) .(wgun) .12,1(,),iiiini naaaa 1,2,is 向量組向量組 常稱為向量組常稱為向量組 12,s 12,s 的的延伸組延伸組；注注：稱為稱為12,s 12,s 而而相關(guān)相關(guān)，則向量組則向量組 也線性相關(guān)也線性相關(guān).12,s 反之，若向量組反之，若向量組 12,s 線性線性第16頁/共42頁第十七

12、頁，共42頁。8）向量組線性相關(guān)的基本）向量組線性相關(guān)的基本(jbn)性質(zhì)定理性質(zhì)定理 定理定理2 設(shè)設(shè) 與與 為兩個為兩個12,s 12,r i) 向量組向量組 可經(jīng)可經(jīng) 線性表出線性表出；12,s 12,r 則向量組則向量組 必線性相關(guān)必線性相關(guān).12,r ii).rs 向量向量(xingling)組組，若，若第17頁/共42頁第十八頁，共42頁。要證要證 線性相關(guān)線性相關(guān)，即證有不全為零的數(shù)即證有不全為零的數(shù)12,r 使使 12,rk kk證：證： 由由i)，有，有 1,1,2,siijjjtir 11220.rrkkk作線性組合作線性組合 11rsijijijxt 11srijijji

13、x t 1122rrxxx1riiix 11rsijijijx t 若能找到不全為的若能找到不全為的 ，使使 12,rx xx10,1,2,rijiix tjs 第18頁/共42頁第十九頁，共42頁。中，方程中，方程(fngchng)(fngchng)的個數(shù)的個數(shù) s s 未知量的個未知量的個數(shù)數(shù) r r ，在方程在方程組組 （3） 111122121122221122000rrrrsssrrt xt xt xt xt xt xt xt xt x 從而有不全為零的數(shù)從而有不全為零的數(shù) ，使使12,rx xx所以所以(suy)（3）有非零解）有非零解. 11220rrxxx所以所以 線性相關(guān)線性

14、相關(guān)。12,r 則也使則也使 11220.rrxxx第19頁/共42頁第二十頁，共42頁。推論推論2 2任意任意(rny) n(rny) n1 1 個個 n n 維向量必線性相維向量必線性相關(guān)關(guān). . 推論推論3兩個兩個(lin )線性無關(guān)的等價向量組必含線性無關(guān)的等價向量組必含相同個數(shù)相同個數(shù)推論推論1 若向量組若向量組 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,r 12,s 線性表出，且線性表出，且 線線性無關(guān)性無關(guān)，則則 12,r .rs 的向量的向量(xingling).（任意（任意 個個 n 維向量必線性相關(guān)維向量必線性相關(guān). .） ()mn 第20頁/共42頁第二十一頁，共42頁。例例2 2判斷

15、判斷(pndun)(pndun)向量組向量組 是否線性無關(guān)是否線性無關(guān)(wgun)(wgun)？若線性相關(guān)，求一組非？若線性相關(guān)，求一組非零數(shù)零數(shù)123(1, 2,3),(2,1,0),(1, 7,9)123,k k k使使1122330.kkk解：解：1122330,kkk設(shè)設(shè)即有方程組即有方程組1231231320270 ,390kkkkkkkk 13233,kkkk 解之得解之得1233,1,1,kkk 3k為任意數(shù)為任意數(shù)所以線性相關(guān)所以線性相關(guān). .123, 令令31,k 則有則有使使1122330.kkk第21頁/共42頁第二十二頁，共42頁。由于由于 123, 線性無關(guān)，于是有線

16、性無關(guān)，于是有 131223000 xxxxxx 設(shè)設(shè)1122330,xxx即即 131122233()()()0 xxxxxx例例3已知向量組已知向量組 線性無關(guān)，向量線性無關(guān)，向量123, 證明：證明： 線性無關(guān)線性無關(guān). .123, 解之得解之得 1230.xxx所以所以 123, 線性無關(guān)線性無關(guān) .112,223,331,證：證：第22頁/共42頁第二十三頁，共42頁。練習(xí)(linx)：.:321321211321也線性無關(guān)，向量組線性無關(guān)，試證，已知向量組00321321211332211321)()(, kkkkkkkkk，則，則使使設(shè)有系數(shù)設(shè)有系數(shù)線線性性無無關(guān)關(guān)，則則，因因即

17、即3213323213210 kkkkkk)()(000000321332321kkkkkkkkk.證證畢畢線線性性無無關(guān)關(guān)，所所以以向向量量組組，才才有有可可見見，僅僅當當32133221132100 kkkkkk證證第23頁/共42頁第二十四頁，共42頁。向量向量(xingling)(xingling)組線性相關(guān)性組線性相關(guān)性的有關(guān)命題的有關(guān)命題向量組與其向量組與其(yq)部分組線性相關(guān)性的關(guān)系部分組線性相關(guān)性的關(guān)系.命題命題(mng t) 設(shè)向量組設(shè)向量組1，2 ，r線性相關(guān)線性相關(guān),則向量組則向量組1，2 ，r ，r1 ，s必線性相關(guān)必線性相關(guān),即一個向量組的部分組線性相關(guān)即一個向量組

18、的部分組線性相關(guān),那么這個向量組也一定線性相關(guān)那么這個向量組也一定線性相關(guān).已知向量組已知向量組 1， 2 ， r線性相關(guān)線性相關(guān),證證rkkk,21,使使則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù) rrkkk2211 srrrkkk0012211于是有于是有r ,21sr ,1故向量組故向量組線性相關(guān)線性相關(guān).第24頁/共42頁第二十五頁，共42頁。向量向量(xingling)(xingling)組線性表示與線性組線性表示與線性相關(guān)性關(guān)系相關(guān)性關(guān)系 命題命題 給定向量組給定向量組1，2 ，s, (s2),該向量組線性相關(guān)的充分必要條件是至少有某一個該向量組線性相關(guān)的充分必要條件是至少有某一

19、個(y )向量向量i可以由其余可以由其余s-1個向量線性表示個向量線性表示.證明證明(zhngmng) (必要性必要性) 不妨設(shè)不妨設(shè)ks 0,于是有于是有即向量即向量 s可以由其余可以由其余s-1個向量線性表示個向量線性表示.已知向量組已知向量組 1， 2 ， r線性相關(guān)線性相關(guān),skkk,21,使使則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù) sskkk22111112211sssssskkkkkk 第25頁/共42頁第二十六頁，共42頁。充分性充分性 即向量即向量(xingling)組組1，2 ，s, (n2)中有某一個向量中有某一個向量(xingling)i可以由其余可以由其余s-1個

20、向量個向量(xingling)線性表示線性表示,則該向量則該向量(xingling)組線性相關(guān)組線性相關(guān).證證即向量即向量(xingling)組組1，2 ，s線性相關(guān)線性相關(guān). ssskkk1112211整理整理(zhngl)得得不妨設(shè)向量不妨設(shè)向量 s可以由其余可以由其余s-1個向量線性表示個向量線性表示.112211ssskkk sskkk2211,使使即存在一組不全為零的數(shù)即存在一組不全為零的數(shù)-1,121sskkkk第26頁/共42頁第二十七頁，共42頁。命題 設(shè)向量組A: 1，2 ，s； 向量組B: 1，2 ，s, ；若向量組A線性無關(guān)(wgun), 向量組B線性相關(guān)，則向量 可由向

21、量組A線性表示,且表示式唯一.由線性相關(guān)定義由線性相關(guān)定義(dngy),則存在一組不全為零的數(shù)則存在一組不全為零的數(shù)k1，k2 ，ks，k故一定故一定(ydng)有有k0,即向量即向量 可由向量組可由向量組A線性表示線性表示. kkkkss2211使若若k0,則則k1， k2 ，ks不全為零不全為零,故向量組故向量組A線性相關(guān)線性相關(guān),與已知矛盾與已知矛盾.sskkkkkk 2211證證第27頁/共42頁第二十八頁，共42頁。下證唯一性下證唯一性:設(shè)設(shè)兩式相減兩式相減, ,得得sskkk 2211sslll 2211唯一性得證唯一性得證. ssslklklk)()()(222111由向量由向量

22、(xingling)組組 A: 1，2 ，s 線性無關(guān)線性無關(guān),得得0, 0, 02211 sslklklk.,2211sslklklk即即第28頁/共42頁第二十九頁，共42頁。1、極大、極大(j d)線性無關(guān)組線性無關(guān)組 i) 12,iiir線性無關(guān)；線性無關(guān)； 極大線性無關(guān)極大線性無關(guān)(wgun)(wgun)組，簡稱極大無關(guān)組，簡稱極大無關(guān)(wgun)(wgun)組組. . 一個部分組一個部分組12,iiir若滿足若滿足 定義定義(dngy)(dngy)12,s 為為nP中的一個向量組，它的中的一個向量組，它的設(shè)設(shè)線性表出線性表出；12,iiir(1)jjs ii) 對任意的對任意的 ,

23、 可經(jīng)可經(jīng)j 四、極大線性無關(guān)組四、極大線性無關(guān)組, 秩秩則稱則稱 12,iiir 為向量組為向量組 12,s 的一個的一個第29頁/共42頁第三十頁，共42頁。1）一個向量組的極大）一個向量組的極大(j d)無關(guān)組不是唯一的無關(guān)組不是唯一的.注注3）一個）一個(y )線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組是其自身身.4）一個向量組的任意兩個極大無關(guān)）一個向量組的任意兩個極大無關(guān)(wgun)組組都等價都等價. 5）一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組都含有相同）一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組都含有相同 個數(shù)的向量個數(shù)的向量. . 2）向量組和它的任一極大無關(guān)組等價）向量組和它

24、的任一極大無關(guān)組等價. .（根據(jù)定理（根據(jù)定理2的推論的推論1即得）即得）第30頁/共42頁第三十一頁，共42頁。定義定義(dngy)(dngy)向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為這向量組的極大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為這個個性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)(xngzh)：一個一個(y )(y )向量組線性相關(guān)的充要條向量組線性相關(guān)的充要條件是件是它的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩與它所含向量個數(shù)相同；它的秩它所含向量個數(shù)它的秩它所含向量個數(shù).向量組的向量組的秩秩. 2、向量組的秩、向量組的秩 1）一個向量組線性無關(guān)的充要條件是）一個向量組線性無關(guān)的充要條件是2）等價向量組必有相同的秩）等價向量組必有相同的

25、秩. .第31頁/共42頁第三十二頁，共42頁。3）若向量組）若向量組12,s 可經(jīng)向量組可經(jīng)向量組 12,t 線性表出，則秩線性表出，則秩 12,s 秩秩 12,t （習(xí)題（習(xí)題(xt)12(xt)12） 例例4設(shè)設(shè)12(1, 1,2,4),(0,3,1,2),345(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6)1）證明：）證明： 線性無關(guān)線性無關(guān). .12, 2）把）把擴充成一個極大無關(guān)組擴充成一個極大無關(guān)組. .12, 第32頁/共42頁第三十三頁，共42頁。1）證：）證： 由于不成比例，由于不成比例，12, 2）解：）解：1122330,kkk由由即即131212312

26、3303027042140kkkkkkkkkk 132333,kk kkk 為自由未知量為自由未知量. .解得解得123, 線性相關(guān)線性相關(guān). .即即 可經(jīng)線性表出可經(jīng)線性表出.12, 3 第33頁/共42頁第三十四頁，共42頁。1122340,kkk由由1230.kkk解得解得124, 線性無關(guān)線性無關(guān). .即即 不能由線性表出不能由線性表出.12, 4 即即13123123120310220420kkkkkkkkkk 第34頁/共42頁第三十五頁，共42頁。112234450,kkkk再由行列式再由行列式10 121 31 12 12 542 06存在不全為零的數(shù)使存在不全為零的數(shù)使123

27、4,k k k k1245, 線性相關(guān)線性相關(guān). .0 故即為由故即為由 擴充的一個極大無關(guān)組擴充的一個極大無關(guān)組.12, 124, 1 0 1 20 3 0 30 1 0 14 2 0 6 第35頁/共42頁第三十六頁，共42頁。例例5求向量組求向量組12(1, 1,2,4),(0,3,1,2),345(3,0,7,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6)的極大的極大(j d)(j d)無關(guān)組無關(guān)組. .10 3121 3 01 12 1 72 542 14 06A 解：解：作矩陣作矩陣(j zhn)(j zhn)對矩陣對矩陣A A作初等作初等(chdng)(chdng)行變換化階梯形行變換化階梯形第36頁/共42頁第三十七頁，共42頁。1 0 3120 3 3030 1 1010 2 242A1 0 3120 0 0000 1 1010 0 0441 0 3120 1 1010 0 0440 0 000B由矩陣由矩陣 B 知線性無關(guān)且為極大無關(guān)組知線性無關(guān)且為極大無關(guān)組.124, 125, 也是極大無關(guān)組也是極大無關(guān)組.可知可知134, 可知可知也是極大無