130926旋度、散度、電場強(qiáng)度-3

1、學(xué)習(xí)內(nèi)容回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容回顧0 引言引言1.1 電磁場物理模型的構(gòu)成電磁場物理模型的構(gòu)成1.2 矢量分析矢量分析1.3 場論基礎(chǔ)場論基礎(chǔ)p 科學(xué)內(nèi)涵和應(yīng)用領(lǐng)域科學(xué)內(nèi)涵和應(yīng)用領(lǐng)域 p 發(fā)展歷程與發(fā)展簡史發(fā)展歷程與發(fā)展簡史考察標(biāo)量場等值面的變化率。設(shè)等值面方程為考察標(biāo)量場等值面的變化率。設(shè)等值面方程為 (x, y, z) = C 。標(biāo)量場梯度的圖示標(biāo)量場梯度的圖示標(biāo)量場的特性分析標(biāo)量場的特性分析梯度梯度是描述標(biāo)量場各點(diǎn)最大空間是描述標(biāo)量場各點(diǎn)最大空間變化率的變化率的矢量矢量。gradxyzxyzeeell e方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是描述標(biāo)量場各點(diǎn)空間是描述標(biāo)量場各點(diǎn)空間變化率的變化率的數(shù)值數(shù)值。電磁場是矢量

2、場，電磁場是矢量場，矢量場的性質(zhì)由其矢量場的性質(zhì)由其散度散度和和旋度旋度確定確定. 通量源通量源強(qiáng)度的量度強(qiáng)度的量度 F( ) 旋渦源旋渦源強(qiáng)度的量度強(qiáng)度的量度F( )J矢量場的特性分析？矢量場的特性分析？SdqFSldIFl 散度是散度是通量通量（矢量面積分）的體密度，（矢量面積分）的體密度， 旋度是旋度是環(huán)量環(huán)量 （矢量線積分）的面密度。（矢量線積分）的面密度?？疾飙h(huán)向矢量考察環(huán)向矢量F的的環(huán)量密度環(huán)量密度，取其圍定的，取其圍定的微小微小面積為面積為 S，令，令 en 為為 S 的法向單位矢量，它與環(huán)向矢量的法向單位矢量，它與環(huán)向矢量 l 構(gòu)成右螺旋關(guān)系，則定構(gòu)成右螺旋關(guān)系，則定義旋度為：

3、義旋度為： nl0SSel dFFmaxlimcurl1.矢量場的旋度是一個矢量；矢量場的旋度是一個矢量；2.其方向和環(huán)量積分路徑循行的方向滿足其方向和環(huán)量積分路徑循行的方向滿足右螺旋定則，且為獲得最大環(huán)量位置的面右螺旋定則，且為獲得最大環(huán)量位置的面積元的法線方向積元的法線方向 en ；3.其大小表征了每單位面積上矢量場的最其大小表征了每單位面積上矢量場的最大環(huán)量。大環(huán)量。2. 2. 矢量場的旋度矢量場的旋度旋度描述了旋渦源的強(qiáng)度，也表明了場的形狀。旋度描述了旋渦源的強(qiáng)度，也表明了場的形狀。()()()yyxxzzxyzFFFFFFcurlyzzxxyFeee旋度表達(dá)式旋度表達(dá)式xyzxyzx

4、yzFFF eeeF旋度的物理意義旋度的物理意義 矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù); 點(diǎn)P 的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值; 在矢量場中，若 A=J 0 , 稱之為旋度場(或渦旋場)， J 稱為旋度源(或渦旋源)； 點(diǎn)P 的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)量密度的方向; 若矢量場處處 A= 0，稱之為無旋場。無旋場無旋場：無旋場是旋度恒為零的場，即：無旋場是旋度恒為零的場，即0F0 F For存在矢量恒等式存在矢量恒等式可以看出，可以看出，無旋場可以用另一個標(biāo)量的梯度表達(dá)無旋場可以用另一個標(biāo)量的梯度表達(dá)，即，即一般稱標(biāo)量一般稱標(biāo)量 是矢量場是矢量場 F 的的標(biāo)量位標(biāo)量位。 靜電場的電場強(qiáng)度靜電

5、場的電場強(qiáng)度 E 旋度處處為零，靜電場是一個無旋場，旋度處處為零，靜電場是一個無旋場，因此，電場強(qiáng)度因此，電場強(qiáng)度 E 可以表示為標(biāo)量電位可以表示為標(biāo)量電位 的梯度，即的梯度，即 EcosSSdFdSFS1.1.通量通量通量：通量： 矢量矢量 A 沿某一沿某一有向曲面有向曲面 S 的面積分稱為矢量的面積分稱為矢量 A 通過該有向曲通過該有向曲面面 S 的通量，以標(biāo)量的通量，以標(biāo)量 表示，即表示，即 1.3.3 矢量場的散度矢量場的散度一般取曲面的外側(cè)為一般取曲面的外側(cè)為正側(cè)正側(cè)，即由內(nèi)側(cè)指向外側(cè)為法向正方向。，即由內(nèi)側(cè)指向外側(cè)為法向正方向。xyzSF dydzF dxdzF dxdy閉合面通量

6、閉合面通量：SdFS 0 0 (有正源有正源) 0 0, 電場方向電場方向由點(diǎn)電荷沿徑向指向四周由點(diǎn)電荷沿徑向指向四周； 若若q 0, 則反向。即點(diǎn)電荷的電場具有球?qū)ΨQ性。則反向。即點(diǎn)電荷的電場具有球?qū)ΨQ性。3.3.電場強(qiáng)度的計算！電場強(qiáng)度的計算！0.位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷 q 在在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的電場點(diǎn)產(chǎn)生的電場214troqqFertFEqroerq24 V/ma) a) 單個單個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度4qq)(20tprrrrrrFrE疊加積分法計算電場強(qiáng)度疊加積分法計算電場強(qiáng)度E20( )4ttqqRrF re空間任意點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場空間任意點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場2

7、4oqRreRrrrr rer r其中，其中，204tqqr rr rr r b) n 個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度 (矢量疊加矢量疊加)c) 連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度301()4ddqrrE(r)rrr( )dqdVr301( )4VdqrrE rrr20( )14RVdVRr e由由n個點(diǎn)電荷個點(diǎn)電荷q1, q2, qn 產(chǎn)生的電場，可利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式，產(chǎn)生的電場，可利用點(diǎn)電荷場強(qiáng)公式，直接由疊加原理，求得直接由疊加原理，求得310()14Nkkkkqrrrr對電荷連續(xù)分布的帶電體對電荷連續(xù)分布的帶電體,可劃分為無限多個可劃分為無限多個電荷元電

8、荷元 dq , 用點(diǎn)電荷用點(diǎn)電荷的場強(qiáng)公式積分。的場強(qiáng)公式積分。2101( )4NkkkkqRE re電荷元電場電荷元電場 例例1 有一均勻帶電直線，單位長度的電量為有一均勻帶電直線，單位長度的電量為 (電荷線密度電荷線密度)，求離直線的距離為求離直線的距離為 a 的的 P 點(diǎn)處的場強(qiáng)。點(diǎn)處的場強(qiáng)。 解解: 此類題可按下列步驟求解此類題可按下列步驟求解: (1) 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，如圖所示。，如圖所示。 (2) 將直線分為長將直線分為長 dx 的無限多個電荷元的無限多個電荷元 dq = dx (視為點(diǎn)電視為點(diǎn)電荷荷)，并寫出一個有代表性，并寫出一個有代表性(位置用變量位置用變量

9、 x 表示表示)的電荷元在的電荷元在 P 點(diǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的電場：產(chǎn)生的電場：24rdxdEo 由于不同位置的電荷元在由于不同位置的電荷元在 P 點(diǎn)產(chǎn)點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)生的場強(qiáng) dE 方向不同方向不同, 故應(yīng)將故應(yīng)將 dE 向向 x 軸和軸和 y 軸方向投影軸方向投影, 有有(3) 分析問題的對稱性分析問題的對稱性。dExdEyoPaxy xdq= dx dxrdEdEx= dE cos (4)統(tǒng)一積分變量統(tǒng)一積分變量,定積分限定積分限,完成完成積分積分,得到所求場強(qiáng)分量式得到所求場強(qiáng)分量式 21cos42xxoxrdxE 21sin42xxoyrdxEx = -a ctg )sin(sin412ao 21

10、sin4daEoydEy= dE sin 1 2 21cos4daEox)cos(cos421ao dExdEyoPaxy xdqdxrdE轉(zhuǎn)換變量，方便積分運(yùn)算轉(zhuǎn)換變量，方便積分運(yùn)算dE 沿沿 x 和和 y 方向的分量為：方向的分量為：2sinadxdsinar (1) 對無限長帶電直線對無限長帶電直線, 說明說明: :aEoy 2, 0 xE)sin(sin412aEox )cos(cos421aEoy (2) 對平面、柱面的場強(qiáng)求解，可利用帶電直線公式進(jìn)行積分。對平面、柱面的場強(qiáng)求解，可利用帶電直線公式進(jìn)行積分。 1= 0和和 2= ；代入得；代入得 1 2dExdEyoPaxy xdq

11、dxrdE 一無限大帶電平面，面電荷密度一無限大帶電平面，面電荷密度 ，求其電場分布。求其電場分布。yyxydEdy dxP平面可看成無數(shù)條寬為平面可看成無數(shù)條寬為 dy 的細(xì)線組成的細(xì)線組成每個每個 dy 在在 P 點(diǎn)產(chǎn)生的場為：點(diǎn)產(chǎn)生的場為：ryE02dd yd 由對稱性：由對稱性：0d yyEE xEEd cosEd 22yxr rx cos 2202dyxyxE 02 方向垂直于平面方向垂直于平面rErE02 (勻強(qiáng)電場勻強(qiáng)電場)oE 2 oE 2 E=0E=0OE OE0E OE記住無限大記住無限大平面電場！平面電場！+-正負(fù)電極板間的電場正負(fù)電極板間的電場兩正電極板間的電場兩正電極

12、板間的電場由對稱性可知，由對稱性可知，P點(diǎn)場強(qiáng)只有點(diǎn)場強(qiáng)只有x分量分量均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場強(qiáng)。 （圓環(huán)帶電量為（圓環(huán)帶電量為 q，半徑為半徑為 R） LLqxqrrqEEEd44ddd2020 coscoscos2322020)(44cosxRqxrqE 204xqE 方向由方向由 q 的正負(fù)決定。的正負(fù)決定。說明遠(yuǎn)離環(huán)心的場強(qiáng)相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場。說明遠(yuǎn)離環(huán)心的場強(qiáng)相當(dāng)于點(diǎn)電荷的場。EdrqdxRPq d（1）當(dāng)）當(dāng)Rx （2）當(dāng)）當(dāng)23220)(4xRqxE 0 x0 E（3）考慮）考慮E最大值對應(yīng)位置點(diǎn)最大值對應(yīng)位置點(diǎn)0dd xERx22 EoxRx22 Rx22 任何均勻帶